浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习 二次函数与幂函数1教案
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第4节 二次函数与幂函数教学案 理(含解析)新人教A版
第四节 二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上减对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1性质图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点 (1,1)1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b2a与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ． 1C.32D ．2C [∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12， ∴k ＋α＝1＋12＝32.]3.如图是①y ＝x a；②y ＝x b；③y ＝x c在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜bD [结合幂函数的图象可知b ＞c ＞a .]4．(教材改编)已知函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值X 围为( )A ．a ≤－5B ．a ≤5C ．a ≥－5D ．a ≥5C [由题意可得－a 2≤52，即a ≥－5.]5．(教材改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0,3]， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1， 又g (0)＝0，g (3)＝9－6＝3，∴g (x )max ＝3，即g (x )的值域为[－1,3]．]幂函数的图象及性质1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数D [设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．] 2.幂函数y ＝x m 2－4m(m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [由图象可知y ＝xm 2－4m是偶函数，且m 2－4m ＜0，∴0＜m ＜4，又m ∈Z，∴m ＝1,2,3， 经检验m ＝2符合题意．]3．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值X 围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解之得－1≤a ＜23.][规律方法]1求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.2利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.(1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [(1)∵f (0)＝3，∴c ＝3.又f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2. ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)∵f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2， 又f (x )为偶函数，且值域为(－∞，4]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋ab ＝0，2a 2＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，2a 2＝4.∴f (x )＝－2x 2＋4.][规律方法] 求二次函数解析式的方法已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为x ＝2＋－12＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数的最大值是8，即4a－2a －1－－a24a＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0]D ．[－3,0]D [当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值X 围为[－3,0]．][母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.－3 [由题意知f (x )必为二次函数且a ＜0，又3－a2a ＝－1，∴a ＝－3.]►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解]f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5；(2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.►考法3 二次函数中的恒成立问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a的取值X 围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值X 围是________． (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)因为对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，a＞2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12， 又－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12≤12，则实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)因为函数f (x )＝x 2＋mx －1的图象是开口向上的抛物线，要使对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0. 所以实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0.] [规律方法] 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值X 围的思路及关键1一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.2两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f x 恒成立⇔a ≥f xmax，a ≤f x 恒成立⇔a ≤f xmin.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值X 围．[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f －1＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]．g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1， 故k 的取值X 围是(－∞，1)．。
高三年级第一轮复习二次函数与幂函数课件 PPT
4x5的单调区间, 4x4
并比较 f (π)与f ( 2)的大小.
2
解
∵
x24x5
1
f(x)x24x41(x2)2
=1+(x+2)-2,
其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再 向上平移1个单位得到，
该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞，-2)上是 增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.
2 ∵f（2）=-1，a(21)281,
2 解之，得a=-4. f(x) 4 (x 1 )2 8 4 x2 4 x 7 .
2
探究提高
二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.
则实数m的取值范围是_______.
解析
•1m ,,m1.
又(1,2)且m1在(1,2)上是增函 , 数
11m21,即m(2,5).
2
2
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
题型分类 深度剖析
题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且
思维启迪 由 f(x)xm22m3(m∈N*)的图象关于y
轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+∞）上是减函
数，∴m2-2m-3<0，从而确定m值，再由函数f(x)=
x
m 3
的单调性求a的值.
解 ∵函数在(0，+∞)上递减，
2021高考浙江版数学一轮讲义：第二章 § 2.4 二次函数和幂函数 Word版含解析
§ 2.4二次函数和幂函数1.幂函数(1)定义:形如①y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数.常见的五类幂函数为y=x,y=x2,y=x3,y=x 12,y=x-1.(2)性质a.幂函数在(0,+∞)上都有定义;b.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;c.当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式a.一般式:②f(x)=ax2+bx+c(a≠0);b.顶点式:③f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);c.两根式:④f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(3)二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)图象定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域[4ac-b2,+∞)(-∞,4ac-b2]单调性在[-b2a,+∞)上单调递增,在-∞,-b2a 上单调递减在-∞,- b2a上单调递增,在-b2a,+∞上单调递减奇偶性当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)顶点坐标(-b,4ac-b2)对称性图象关于直线x=-b2a对称(4)若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x1)=f(x2),则图象关于直线⑤x=x1+x22对称;若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+m)=f(-x+n),则图象关于直线⑥x=m+n2对称.1.(教材习题改编)下图是①y=x a;②y=x b;③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b1.答案 D2.函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是( )A.-1B.2C.3D.-1或22.答案 B3.(2018浙江温州高三月考)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0, f(p)<0,则必有( )A. f(p+1)>0B. f(p+1)<0C. f(p+1)=0D. f(p+1)的符号不能确定 3.答案 A4.(教材习题改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22),则此函数的解析式为 ;在区间上递减.4.答案 y=x -12;(0,+∞)5.已知函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,则实数a 的取值范围是 . 5.答案 (-∞,1]∪[2,+∞)考点一 二次函数的解析式典例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试求出此二次函数的解析式.解析 解法一:(利用“一般式”解题)设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0). 由题意得{4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得{a =-4,b =4,c =7. ∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x 2+4x+7.解法二:(利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x=2-12=12,∴m=12.又函数有最大值8,∴n=8,∴f(x)=a (x -12)2+8, ∵f(2)=-1,∴a (2-12)2+8=-1, 解得a=-4,∴f(x)=-4(x -12)2+8=-4x 2+4x+7. 解法三:(利用“两根式”解题)由已知可得f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即f(x)=ax 2-ax-2a-1.又函数有最大值8, ∴4a (-2a -1)-(-a )24a=8.解得a=-4或a=0(舍).∴所求函数的解析式为f(x)=-4x 2+4x+7.1-1 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且截x 轴所得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求二次函数 f(x)的解析式.解析 ∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R 恒成立, ∴f(x)的图象的对称轴为直线x=2. 又∵f(x)的图象截x 轴所得的线段长为2, ∴f(x)=0的两根为x=1和x=3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0), ∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,a=1.∴二次函数f(x)的解析式为f(x)=(x-1)·(x -3), 即f(x)=x 2-4x+3.考点二 二次函数的图象与性质命题方向一 二次函数图象识别问题典例2 (2019镇海中学模拟)一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,则一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;<0,而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧,对于选项B,由一次函数的图象可知a>0,b>0,则-b2a故应排除B,故选C.方法指导识别二次函数图象应学会“三看”2-1 函数y=1-|x-x2|的图象大致是( )答案 C 当x=-1时,y=1-|-1-1|=-1,所以排除A,D,当x=2时,y=1-|2-4|=-1,所以排除B,故选C.命题方向二二次函数的单调性问题典例3 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)求使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数的实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.解析(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a=-a,2要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3={x2+2x+3=(x+1)2+2,x≤0, x2-2x+3=(x-1)2+2,x>0,其图象如图所示.∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数.◆探究1 若函数f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.解析∵f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,∴-a≤-4,即a≥4.◆探究2 若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),求a为何值.解析∵f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),∴-a=-4,即a=4.方法技巧研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.(2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆(-∞,-b2a](A⊆[-b2a,+∞)).2-2 (2019浙江模拟)已知函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞,1]上递减,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是( )A.[-√2,√2]B.[1,√2]C. [2,3]D.[1,2]答案 B 对任意的x 1,x 2∈[0,t+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤2转化为f(x)max -f(x)min ≤2. 由f(x)在(-∞,1]上是减函数,得--2t 2≥1,即t≥1,从而有t-0≥t+1-t,故f(x)在[0,1+t]上的最大值为1,最小值为1-t 2,故有1-(1-t 2)≤2,解得-√2≤t≤√2,又t≥1,所以1≤t≤√2.故选B.命题方向三 二次函数的最值问题典例4 (2019浙江名校新高考研究联盟高三第一次联考)设函数f(x)=|x 2+a|+|x+b|(a,b∈R),当x∈[-2,2]时,记f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为 .答案258解析 去绝对值得f(x)=±(x 2+a)±(x+b),根据二次函数的性质可得,f(x)在[-2,2]上的最大值为f(-2), f(2),f (-12)或f (12),所以M(a,b)≥f(-2)=|4+a|+ |-2+b|,M(a,b)≥f(2)=|4+a|+|2+b|, M(a,b)≥f (12)=|14+a|+|12+b|, M(a,b)≥f (-12)=|14+a|+|-12+b|, 上面四个式子相加可得4M(a,b)≥2(|4+a |+|14+a|)+|2-b|+|2+b|+|12+b|+|12-b| ≥2×|4-14|+(|2+2|+|12+12|)=252, 即M(a,b)≥258,所以M(a,b)的最小值为258. 方法点拨二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①对称轴、区间都是固定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点指区间的两个端点和顶点,一轴指对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可解决.变式练(2019台州中学月考)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为( )A.{-3,-1}B.{-1,3}C.{-3,3}D.{-1,-3,3}答案 C f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,故函数图象的对称轴是x=1.因为f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为4,所以当1≤a时,ymin=f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1(舍去)或a=3,当a+2≤1,即a≤-1时,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=1(舍去)或a=-3,当a<1<a+2,即-1<a<1时,ymin=f(1)=0≠4,不符合题意.故a的取值集合为{-3,3}.深化练已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,求实数a的取值范围.解析由题可知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当a=0时,符合题意;当a≠0时,x=0时,有-3<0恒成立;x≠0时,a<32(1x-13)2-16,因为1x∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当1x =1,即x=1时,不等式右边取最小值12.所以a<12,且a≠0.综上,实数a的取值范围是(-∞,12).命题方向四一元二次不等式恒成立问题典例5 已知a∈R,函数f(x)={x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a 的取值范围是 .答案 [18,2]解析 ①当x∈[-3,0]时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以x 2+2x+a-2≤-x,参变量分离得a≤-x 2-3x+2,令y=-x 2-3x+2=-(x +32)2+174,所以当x=0或x=-3时,y 取得最小值,为2,所以a≤2.②当x∈(0,+∞)时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以-x 2+2x-2a≤x,参变量分离得a≥-12x 2+12x,令y=-12x 2+12x=-12(x -12)2+18,所以当x=12时,y 取得最大值,为18,所以a≥18.由①②可得18≤a≤2. 规律总结由不等式恒成立求参数的取值范围的思路1.一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据:(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max ;(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min .2-3 已知函数f(x)={x 2+2x +a -1,-3≤x ≤0,-x 2+2x -a ,0<x ≤3.当a=0时, f(x)的最小值等于 ;若对任意x∈[-3,3], f(x)≤|x|恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案 -3;[14,1] 解析 当a=0时,f(x)={x 2+2x -1,-3≤x ≤0,-x 2+2x ,0<x ≤3.-3≤x≤0时, f(x)=(x+1)2-2, 得当x=-1时, f(x)有最小值-2, 0<x≤3时, f(x)=-(x-1)2+1, 得当x=3时, f(x)有最小值-3, 所以,当a=0时, f(x)的最小值等于-3.由对任意x∈[-3,3], f(x)≤|x|恒成立, 知 ①-3≤x≤0时,x 2+2x+a-1≤-x 恒成立, 即a≤-x 2-3x+1恒成立, 令g(x)=-x 2-3x+1=-(x +32)2+134,则-3≤x≤0时,g(x)的最小值为g(0)=g(-3)=1, 所以a≤1.②0<x≤3时,-x 2+2x-a≤x 恒成立, 即a≥-x 2+x 恒成立, 令h(x)=-x 2+x=-(x -12)2+14,则当0<x≤3时,h(x)的最大值为h (12)=14, 所以a≥14.综上,实数a 的取值范围是[14,1].考点三 二次函数的综合问题典例6 (2019鄞州中学高三月考)已知函数f(x)=x 2+ax+3. (1)当a=-4时,求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)对任意x∈R 都有f(1+x)=f(1-x)恒成立,求函数f(x)的解析式; (3)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为-3,求实数a 的值. 解析 (1)当a=-4时, f(x)=x 2-4x+3=(x-1)(x-3), 由f(x)=0可得x=1或x=3, 所以函数f(x)的零点为1和3.(2)由于f(1+x)=f(1-x)对任意x∈R 恒成立,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,即-a2=1,解得a=-2,故函数f(x)的解析式为f(x)=x 2-2x+3.(3)函数f(x)=x 2+ax+3图象的对称轴为直线x=-a2, 当-a2≥1,即a≤-2时, f(x)在[-1,1]上单调递减, 所以f(x)min =f(1)=a+4=-3,解得a=-7,符合题意;当-1<-a2<1,即-2<a<2时, f(x)在[-1,-a2]上单调递减,在(-a2,1]上单调递增, 所以f(x)min =f (-a2)=4×3-a 24=-3,解得a=±2√6,与-2<a<2矛盾,舍去;当-a2≤-1,即a≥2时, f(x)在[-1,1]上单调递增, 所以f(x)min =f(-1)=4-a=-3,解得a=7,符合题意. 综上所述,a=-7或a=7. 规律总结二次函数的综合问题中,最典型的就是二次函数与不等式的综合问题,其中又以三个“二次”问题最为典型,也就是二次函数、二次方程和二次不等式的综合问题.它们常结合在一起,而二次函数又是其核心,所以,利用二次函数的图象(数形结合)是探求这类问题的基本策略.如一元二次方程根的分布问题常借助二次函数图象,从开口方向、对称轴、判别式、端点函数值四方面入手处理.3-1 (2018浙江杭州第二中学热身)已知函数f(x)=x 2-2mx+m+2,g(x)=mx-m,若存在x 0∈R,使得f(x 0)<0且g(x 0)<0同时成立,则实数m 的取值范围是 .答案 (3,+∞)解析 当m>0,x<1时,g(x)<0, 所以f(x)<0在(-∞,1)有解, 则{f (1)<0,m ≥1或{0<m <1,Δ>0, 即m>3或{0<m <1,m 2-m -2>0(无解),故m>3.当m<0,x>1时,g(x)<0,所以f(x)<0在(1,+∞)有解, 所以{f (1)<0,m <0,此不等式组无解.综上,m 的取值范围是(3,+∞).考点四 幂函数的图象与性质典例7 已知幂函数f(x)=x -m 2-2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,则f(2)的值为 .答案 16解析 根据幂函数的性质可得-m 2-2m+3>0,即m 2+2m-3<0,解得-3<m<1,又m∈Z,故m 的可能取值为-2,-1,0.当m=-2时,-m 2-2m+3=3,不符合题意;当m=-1时,-m 2-2m+3=4,符合题意;当m=0时,-m 2-2m+3=3,不符合题意.所以f(x)=x 4,所以f(2)=24=16. 方法指导研究幂函数时,要从熟记五个基本幂函数的图象开始,理清幂函数y=x α(α∈R)的相关性质,再辅之以数形结合的方法,这类问题就会迎刃而解.如果不是基本的幂函数,那么通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂指数是负整数时化为分式),然后根据得到的根式(分式)研究幂函数的性质.幂函数的定义域就是使这些根式或分式有意义的自变量的集合,直接利用定义判断其奇偶性和单调性.4-1 若函数f(x)是幂函数,则f(1)= ,若满足f(4)=8f(2),则f (13)= . 答案 1;127解析 设f(x)=x α(α∈R), 则f(1)=1.由f(4)=8f(2)得4α=8×2α, 则2α=α+3,∴α=3,则f(x)=x 3,则f (13)=127.A 组 基础题组1.幂函数f(x)的图象过点(2,√22),则f(8)=( )A.14 B.√24 C.12D.√21.答案 B2.函数f(x)=2x 2-mx+3在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则f(2)=( ) A.10 B.14 C.19 D.20 2.答案 C3.函数y=√2的值域为( ) A.[0,4] B.(-∞,4]C.[0,+∞)D.[0,2]3.答案 D4.已知a∈{-1,2,12,3,13},若f(x)=x a 为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的值是( ) A.-1或3B.13或3C.-1,13或3 D.13,12或3 4.答案 B5.已知函数f(x)=x 2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b 的值为( ) A.-2 B.3C.-3D.25.答案 A 依题意,知-1,4为方程x 2+(a+1)x+ab=0的两个根,所以{-1+4=-(a +1),-1×4=ab ,解得{a =-4,b =1,所以a+2b 的值为-2,故选A. 6.(2019绍兴一中月考)命题“ax 2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A.a<0或a≥3 B.a≤0或a≥3 C.a<0或a>3D.0<a<36.答案 A 若ax 2-2ax+3>0恒成立,则a=0或{a >0,Δ=4a 2-12a <0,可得0≤a<3,故当命题“ax 2-2ax+3>0恒成立”是假命题时,a<0或a≥3.7.二次函数f(x)=x 2+2ax+b 在[-1,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 7.答案 [1,+∞)解析 二次函数f(x)=x 2+2ax+b 的图象的对称轴为直线x=-a,∵f(x)在[-1,+∞)上单调递增,∴-a≤-1,即a≥1.8.幂函数f(x)=(m 2-3m+3)x m 的图象关于y 轴对称,则实数m= . 8.答案 2解析 ∵函数f(x)=(m 2-3m+3)x m 是幂函数,∴m 2-3m+3=1, 解得m=1或m=2.当m=1时,函数f(x)=x 的图象不关于y 轴对称,舍去; 当m=2时,函数f(x)=x 2的图象关于y 轴对称, ∴实数m=2.9.(2019浙江台州高三上期末)已知f(x)={x +3,x <0,x 2+x -1,x ≥0,则f(2)= ;不等式f(x)>f(1)的解集为 . 9.答案 5;(-2,0)∪(1,+∞) 解析 f(2)=22+2-1=5.f(x)>f(1)等价于{x <0,x +3>1或{x ≥0,x 2+x -1>1,解得-2<x<0或x>1,故不等式的解集为(-2,0)∪(1,+∞).10.对于定义在R 上的函数f(x),若实数x 0满足f(x 0)=x 0,则称x 0是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=x 2+ax+1没有不动点,则实数a 的取值范围是 . 10.答案 (-1,3)解析 问题等价于方程x 2+ax+1=x 无解,即x 2+(a-1)x+1=0无解,∴Δ=(a -1)2-4<0⇒-1<a<3. 11.设二次函数f(x)=ax 2+2bx+c(c>b>a),其图象过点(1,0),且与直线y=-a 有交点. (1)求证:0≤ba <1;(2)若直线y=-a 与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A,B,C,D 四点,且线段AB,BC,CD 能构成钝角三角形,求b a 的取值范围.11.解析 (1)证明:由题意知,a+2b+c=0,又c>b>a, 所以a<0,c>0.由c=-a-2b>b>a,得-13<b a <1.因为函数y=f(x)的图象与直线y=-a 有交点, 所以方程ax 2+2bx+c+a=0有实根, 故Δ=4b 2-4a(c+a)=4b 2+8ab≥0, 所以4(b a )2+8·ba ≥0, 解得ba ≤-2或ba ≥0, 综上可得,0≤ba <1.(2)易知A,D 关于对称轴对称,B,C 关于对称轴对称, 所以|AB|=|CD|, 设|AB|=|CD|=m,|BC|=n,因为线段AB,BC,CD 能构成钝角三角形, 所以{m +m >n ,m 2+m 2<n 2,解得n<2m<√2n,故 2n<2m+n<(√2+1)n,所以2|BC|<|AD|<(√2+1)|BC|.设x 1,x 2是方程ax 2+2bx+c+a=0的两个根, 所以|x 1-x 2|=|BC|=√4(b a )2+8·ba . 设x 3,x 4是方程ax 2+2bx+c-a=0的两个根,所以|x 3-x 4|=|AD|=√4(b a )2+8·ba +8. 所以2√4(b a )2+8·ba<√4(b a )2+8·ba +8<(√2+1)√4(b a )2+8·ba ,解得-1+√24<ba <-1+√153. B 组 提升题组1.设函数f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R)的两个零点分别为x 1,x 2,若|x 1|+|x 2|≤2,则( ) A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤21.答案 B 由根与系数的关系知b=x 1x 2,所以|b|=|x 1||x 2|≤(|x 1|+|x 2|2)2≤1(当且仅当|x 1|=|x 2|时,等号成立),故选B.2.设抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴有两个交点A,B,顶点为C,设Δ=b 2-4ac,∠ACB=θ,则cos θ= ( ) A.Δ-4Δ+4 B.√Δ-√Δ+2 C.Δ+4Δ-4 D.√Δ+2√Δ-22.答案 A 如图所示.∵|AB|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-b a )2-4·c a =√Δa , ∴|AD|=√Δ2a ,而|CD|=|4ac -b 24a |=Δ4a ,∴|AC|2=|AD|2+|CD|2=Δ4a 2+Δ216a 2=Δ2+4Δ16a 2, ∴cos θ=|AC |2+|BC |2-|AB |22|AC |·|BC |=1-|AB |22|AC |2=1-Δa 22·Δ2+4Δ16a 2=Δ-4Δ+4,故选A.3.下图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b 2>4ac;②2a -b=1;③a -b+c=0;④5a<b.其中正确的结论是( )A.②④B.①④C.②③D.①③3.答案 B 因为二次函数的图象与x 轴交于两点,所以b 2-4ac>0,即b 2>4ac,①正确;因为图象的对称轴为直线x=-1,即-b2a =-1,所以2a-b=0,②错误;由题图可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确,故选B.4.若f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],且|f(x)|的最大值为12,则4a+3b= . 4.答案 -32 解析 由题意可知,{ |f (-1)|≤12,|f (0)|≤12,|f (1)|≤12,即{ |1-a +b |≤12,|b |≤12,|1+a +b |≤12,而|1-a+b|+|1+a+b|≥2|1+b|, 所以2|1+b|≤1,解得-32≤b≤-12,又|b|≤12等价于-12≤b≤12, 所以b=-12, 所以{|12-a|≤12,|12+a|≤12, 解得a=0. 故4a+3b=-32.5.(2019镇海中学月考)已知函数f(x)=x 2-2ax+5(a>1). (1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a 的值;(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4,求实数a 的取值范围;(3)若f(x)在[1,3]上有零点,求实数a 的取值范围. 5.解析 (1)易知f(x)在[1,a]上单调递减, 所以{f (1)=a ,f (a )=1,所以a=2.(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,则a≥2,所以当x∈[1,a+1]时, f(x)min =f(a)=5-a 2,f(x)max =f(1)=6-2a, 因为对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4, 即f(x)max -f(x)min ≤4,即6-2a-5+a 2≤4, 所以a 2-2a-3≤0,得-1≤a≤3. 所以2≤a≤3.(3)f(x)=x 2-2ax+5(a>1)在[1,3]上有零点, 即x 2-2ax+5=0在[1,3]上有解, 所以2a=x+5x 在[1,3]上有解,令h(x)=x+5x ,易知h(x)=x+5x 在[1,√5]上是减函数,在[√5,3]上是增函数, 因为h(1)=6,h(√5)=2√5,h(3)=143,所以2√5≤h(x)≤6,所以2√5≤2a≤6,所以√5≤a≤3.(2019浙江,16,4分)已知a∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 . 答案 43解析 |f(t+2)-f(t)|≤23⇔|a(t+2)3-(t+2)-(at 3-t)|≤23⇔|6at 2+12at+8a-2|≤23⇔|3at 2+6at+4a-1|≤13⇔-13≤3at 2+6at+4a-1≤13⇔23≤a(3t 2+6t+4)≤43, ∵3t 2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,∴若存在t∈R,使不等式成立,则需a>0, 故a(3t 2+6t+4)∈[a,+∞),∴只需[a,+∞)∩[23,43]≠⌀即可,∴0<a ≤43, 故a 的最大值为43.。
高考数学一轮复习 2.4二次函数与幂函数学案
§2.4二次函数与幂函数学考考查重点 1.求二次函数的解析式；2.求二次函数的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式进行综合应用；3．利用幂函数的图象、性质解决有关问题．本节复习目标 1.理解二次函数三种解析式的特征及应用；2.分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；3.充分应用数形结合思想把握二次函数、幂函数的性质．1．二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝___________________的函数叫做二次函数．(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝_______________________.②顶点式：f(x)＝_______________________.③零点式：f(x)＝_______________________.2．二次函数的图象和性质3. 幂函数形如______________(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质1． 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为____________．2．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________．3． 若幂函数222)33(--+-=m mx m m y 的图象不经过原点，则实数m 的值为_______4． 如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为____________．5． 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数．变式训练1：已知二次函数f (x )同时满足条件：(1)f (1＋x )＝f (1－x )；(2)f (x )的最大值为15；(3)f (x )＝0的两根立方和等于17.求f (x )的解析式．题型二二次函数的图象与性质例2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．变式训练2：若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是____________．题型三二次函数的综合应用例3若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．变式训练3：已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．题型四幂函数的图象和性质例4 已知幂函数)()(322*--∈=N m x x f m m 的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33)23()1(m m a a ---<+的a 的取值范围．变式训练4：已知幂函数12)()(-+=m m x x f (m ∈N *) (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．。
浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案指数与指数函数
-----第1课时分数指数幂高三数学王丽萍2011-9-1教材分析：本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.学情分析：学生基础较为薄弱，大部分学生知道运算性质，但是运用却不灵活。
关键是对知识理解的不够透彻。
只有在理解的基础上，通过运算，才能使学生熟练掌握本节知识。
教学目的：1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.教学重点：1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.教学难点：对分数指数幂概念的理解.教学过程：一、知识梳理：1．根式的定义2．根式的运算性质：①当n为任意正整数时，(错误!未找到引用源。
)错误!未找到引用源。
=a.②当n为奇数时，错误!未找到引用源。
=a；当n为偶数时，错误!未找到引用源。
=|a|=错误!未找到引用源。
.⑶根式的基本性质：错误!未找到引用源。
，（a错误!未找到引用源。
0）用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.3．引例：当a＞0时①错误!未找到引用源。
②错误!未找到引用源。
③错误!未找到引用源。
④错误!未找到引用源。
上述推导过程主要利用了根式的运算性质，整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.4.正数的正分数指数幂的意义错误!未找到引用源。
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.规定：(1)错误!未找到引用源。
高三数学一轮复习课件之2.4二次函数与幂函数
42
(3)当 a＜0 时，f(x)＝ax2－2x 的图象开口向下且对称轴 x＝1a＜0， 在 y 轴的左侧，
所以 f(x)＝ax2－2x 在[0,1]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(1)＝a－2.
a－2，a＜1， 综上所述，f(x)min＝－1a，a≥1.
43
[拓展探究] 若将本例中的函数改为 f(x)＝x2－2ax，其他不变， 应如何求解？
奇偶性
当 b＝0 时为偶函数
对称性
函数的图象关于直线 x＝－2ba对称
答案
2．幂函数
8
(1)定义：形如_y_＝__x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，
α 是常数．
(2)五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
图象
定义域
_R__ _R__ _R__ {_x_|_x_≥_0_}__ {_x_|_x_≠_0_}___
02 课堂题型全突破
导 03 真题自主验效果 航
04 课后限时集训
4
课前 知识全 通 关
5
1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝__a_x_2＋__b__x＋__c____ (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为_(_h_，__k_) _； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点．
解析答案
16
4．(教材改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc 在第一象限的图 象，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b②③的指数大于零且 b＞c，①的指数小于零，因 此 b＞c＞a，故选 D.]
(浙江专版)高考数学一轮复习专题2.5二次函数与幂函数(讲)
第05节 二次函数与幂函数【考纲解读】【知识清单】1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质【重点难点突破】考点1 二次函数的解析式【1-1】【2017湖北武汉模拟】若函数()()(2)f x x a bx a ＝＋＋ (常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式()f x ＝________. 【答案】224x －＋【解析】由()f x 是偶函数知()f x 图象关于y 轴对称，∴2b ＝－，∴()2222f x x a ＝－＋，又()f x 的值域为(－∞，4]，∴224a =，故()224f x x ＝－＋.【1-2】已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x R ∈，都有()2)2(f x f x －＝＋，求f (x )的解析式．【答案】()243f x x x ＝－＋【领悟技法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【触类旁通】【变式一】已知：抛物线与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过点为（1，-29），则函数解析式为______． 【答案】2142y x x =-- 【解析】设二次函数解析式为()()12y a x x x x =--，因为二次函数图象交x 轴于（-2，0），（4，0）两点，且过点（1，-29），设()()24y a x x =+-，∴()()9 12142a -=+-， ∴12a =． ∴ 所求函数解析式为：()()1242y x x =+-, 2142y x x =--． 【变式二】已知二次函数f (x )同时满足以下条件：(1)()1)1(f x f x ＋＝－； (2)()f x 的最大值为15；(3)()f x ＝0的两根的立方和等于17. 求()f x 的解析式．【答案】()26129f x x x ＝－＋＋考点2 二次函数的图象和性质【2-1】【2017浙江，5】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M –mA．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a af b f a b f b==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B．【2-2】【2018年天津卷文】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】［，2］【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.详解：分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是.【2-3】二次函数满足,且解集为（1）求的解析式；（2）设,若在上的最小值为,求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）直接根据两个已知条件得到关于a,b,c的方程，解方程组即得的解析式.(2)对m分类讨论，利用二次函数的图像和性质求m的值.详解：（1）∵∴即①又∵即的解集为∴是的两根且a>0.∴②③a=2,b=1,c=-3∴【领悟技法】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．【触类旁通】【变式一】【2017湖南岳阳县第一中学模拟】若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为( )A. （0,4]B. （0,8）C. （2,5）D.【答案】B【解析】当时，显然不成立当时，若=≥0，即时结论显然成立；若=＜0，时只要即可，即则,选B【变式二】【浙江省东阳中学高一6月月考】已知为实数，要使函数f(x)=|x24x+92m|+2m 在区间[0,4]上的最大值是9，则m的取值范围是____.【答案】【解析】分析：利用二次函数的对称轴判定函数的最值，再讨论何时取到最大值和最小值，进而得到答案．详解：，其对称轴为，且，，若，即，解得，此时，，且也成立；若，则，即，由，得，综上所述，．考点3 二次函数的综合应用【3-1】【2017湖南衡阳三次联考】《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()(),a f a ， ()(),b f b ， ()(),c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ）A. []0,1B. ⎡⎢⎣⎭C. ⎛ ⎝⎦D. ⎣ 【答案】A【解析】由题意可知，∵()222f x x x =-+，∴0x =或2， 22201m m m ∴-+≤∴≤≤，，故选A.【3-2】【浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年10月月考】二次函数的值域为，且，则的最大值是________．【答案】 【解析】二次函数的值域为，且，又，即，，由函数在上是增函数可得，对于函数，当时，函数有最大值为，故答案为.【3-3】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知函数，若存在实数，使得且同时成立，则实数的取值范围是__________．【答案】.【解析】分析：从函数形式上看，中的符号容易判断，当时，，当，，因此当，在有解；当时，在有解，故可求出的取值范围． 详解：当时，，所以在有解，则或，也即是或（无解），故）． 当，，所以在有解，所以，此不等式组无解．综上，的取值范围为．【领悟技法】二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ，n )和对称轴方程x ＝m ，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值． 【触类旁通】【变式一】【2017湖北九江模拟】已知()2(2)24f x x a x ＝＋－＋，如果对()31[]0x f x ∈－，，＞恒成立，则实数a 的取值范围为________. 【答案】1(,4)2-【解析】因为()2(2)24f x x a x ＝＋－＋，对称轴()2x a ＝－－，对()31[]0x f x ∈－，，＞恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩ 解得a ∈∅或14a ≤＜或12a -<＜1，所以a 的取值范围为1(,4)2-. 【变式二】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围. 【答案】(－∞，1). 【解析】(1)由题意知12(1)10baf a b ⎧-=-⎪⎨⎪-=-+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩ 所以()221f x x x ＝＋＋，由()21()f x x ＝＋知，函数()f x 的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，221x x x k >＋＋＋在区间[－3，－1]上恒成立，即21k x x <＋＋在区间[－3，－1]上恒成立，令()21g x x x ＝＋＋，x ∈[－3，－1]，()g x 在区间[－3，－1]上是减函数，则()()11min g x g ＝－＝，所以1k <，故k 的取值范围是(－∞，1). 考点4 二次函数根的分布【4-1】【福建省南平市2017-2018学年高一下学期期末】不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由条件可得a ＜0，x 2﹣x+＜0 的解集为{x|﹣2＜x ＜1}，利用根与系数的关系求得 a=﹣1，c=2，从而得到函数y=ax 2-x+c=﹣x 2-x+2=﹣（x-1）（x+2），由此得到函数y=ax 2-x+c 的图象． 详解：∵不等式ax 2﹣x+c ＞0的解集为{x|﹣2＜x ＜1}，∴a＜0， 故x 2﹣x+＜0的解集为{x|﹣2＜x ＜1}．∴﹣2和1是方程x 2﹣x+=0的两个根，故﹣2+1=，﹣2×1=，解得 a=﹣1，c=2． 故函数y=ax 2-x+c=﹣x 2 -x+2=﹣（x-1）（x+2），其图象为A ， 故选：A ．【4-2】若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是 . 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ,这样可以解得m 的范围5(2,)2. 【4-3】已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =.当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点.当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合.因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点.当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立.因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-.所以此时10a -≤<综上可得，10a -≤≤. 【领悟技法】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 【触类旁通】【变式一】【2018届浙江省台州中学高三模拟】，若方程无实根，则方程（ ）A. 有四个相异实根B. 有两个相异实根C. 有一个实根D. 无实数根 【答案】D【解析】分析：将函数看成抛物线的方程，由于抛物线的开口向上，由方程无实数根可知，对任意的，，从而得出没有实根.详解：因为抛物线开口向上，由方程无实数根可知，抛物线必在直线上方，即对任意的，，所以方程没有实根，故选D.【变式二】【2017贵州遵义第四中学模拟】已知关于x 的方程()2110x a x a b +++++=的两个根分别为,,αβ其中()0,1,α∈()1,β∈+∞，则11b a -+的取值范围是（ ）A. ()2,0-B. ()0,2C. ()1,0-D. ()0,1 【答案】A【解析】设()()211f x x a x a b =+++++函数，则问题转化为函数()f x 的零点在()()0,1,1,+∞内，由二次函数()()211f x x a x a b =+++++的根的分布得出不等式组()()10230{{0010f a b f a b <++<⇒>++>，在平面直角坐标系aOb 中画出不等式组230{10a b a b ++<++>表示的平面区域如图，则问题转化为求动点(),P a b 与定点()1,1M -连线的斜率11MP b k a -=+的取值范围问题，因为0MB k =，所以20MP k -<<，应填答案A. 考点5 幂函数的图象与性质【5-1】【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上期中】若幂函数1,m y x y x -==与n y x =在第一象限的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为 （ ）A. 101m n -<<<<B. 10n m -<<<C. 10m n -<<<D.101n m -<<<<【答案】D【5-2】【2018届安徽省合肥市三模】已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是( )A. -1，3B. ，3C. -1，，3D. ，，3 【答案】B【解析】分析：分别研究五个幂函数的奇偶性与单调性，从而可得结果. 详解：因为在上单调递增，所以，排除选项； 当时，为非奇非偶函数，不满足条件，排除，故选B.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.【5-3】【2018届上海市上海师范大学附属中学高三上期中】已知()()33312a a ---<+，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】()1,4,32⎛⎫-∞-⋃-⎪⎝⎭【解析】因为3y x =是R 上的增函数，所以11312a a <-+，解得4a <-或132a -<<，故填()1,4,32⎛⎫-∞-⋃-⎪⎝⎭. 【领悟技法】1．幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 【触类旁通】【变式一】已知幂函数()21*()()f x x m m m N ∈－＝＋，经过点(2)，试确定m 的值，并求满足条件()2()1f a f a >－－的实数a 的取值范围．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】∵幂函数()f x经过点21()2m m －＋，即12122()m m －2＝＋.∴22m m =＋.解得1m ＝或2m ＝－.又∵*m N ∈，∴1m ＝.∴()12f x x ＝，则函数的定义域为[0)∞，＋，并且在定义域上为增函数．由()2()1f a f a >－－，得201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪->-⎩，解得312a ≤<.∴a 的取值范围为31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【变式二】【2018届贵州省遵义市第四中学高三上学期第一次月考】若偶函数()y f x =在(],0-∞上单调递减，且252a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 253b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 132c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等式成立的是( )A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】C【易错试题常警惕】易错典例1：若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________． 易错分析：忽视0m =．正确解析：0m =时，函数在给定区间上是增函数；0m ≠时，函数是二次函数，对称轴为122x m=-≤-， 由题意知0m >，∴10<m 4≤，综上10m 4≤≤． 温馨提示：首先是函数类型的确定，其次对于二次函数来说，单调性与开口及对称轴有关系． 易错典例2：设()0,1x ∈时，函数py x ＝的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．易错分析：考虑幂函数y ＝x α的图象时比较片面没有考虑到α>0尤其是易丢α＝0时的情况．温馨提示：幂函数()y x R αα∈＝当指数α在不同范围内时其图象也会随着变化，注意分类讨论思想的运用．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
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浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：二次函数与幂函数1
教材分析：二次函数是高考中常见的函数，常在求复合函数的单调性，不等式的求解，求参
数等综合应用题中出现。幂函数是基本初等函数之一，在高考中出现的频率不高。
学情分析：初中就二次函数的解析式三种形式作过详细的讲述，高中则是用函数的观点来研
究它的性质，学生对概念了解，但应用能力可能比较欠缺。
教学目标：1.掌握二次函数的图象与性质;
2.了解的概念幂函数;
3.结合函数21132,,,,xyxyxyxyxy的图象,了解它们的变化情
况.
教学重点、难点：二次函数与幂函数的图象与性质
教学流程：
一、课堂提问——知识回顾
1. 二次函数的解析式C
（1）一般式cbxaxxf2)(，（0a）
（2）顶点式abacabxaxf44)2()(22，（0a）
（3）两点式))(()(21xxxxaxf，（0a）
2. 二次函数的性质C
解析式
cbxaxxf2)( （a>0） cbxaxxf2)(
(a<0)
图象
定义域
值域
单调性 在 单调递减 在 单调递增 在 单调递增
在 单调递减
奇偶性 当 时，为偶函数；当 时，为非奇非偶函数；
二、课堂练习——习题讲练
C例1．画出下列函数的图象：
（1）1)(2xxf
（2）12)(2xxxf
（3）22)(2xxxf
C练习1. 画出下列函数的图象：
（1）21)(xxf
（2）12)(2xxxf
（3）22)(2xxxf
B练习2.设abc>0,二次函数的图象可能是（ ）
A B
C D
C例2．函数1)(2mxxxf的图象关于直线x=1对称，求m的值.
B练习3.函数32)1()(2mxxmxf为偶函数，
求（1）m的值;
（2）函数的单调增区间，函数的单调减区间;
（3）函数在区间[-5，-3]上，[3，5]上的单调性.
C例3．二次函数y=f(x)的图象是以原点为顶点，且过点（1，1），求f(x)解析式.
B/A练习4.已知关于x的二次函数txtxxf21)12()(2，求证：对于任意Rt，方
程f(x)=1必有实数根.
三、小结
1．二次函数的解析式
2．二次函数的图象与性质
四、作业布置
C1.若axxxf2)(0)(mf,求（1）)1(mf值；（2）比较)1(mf与0的大小.
B/A2.已知函数.0,4,0,4)(22xxxxxxxf若)()2(2afaf，求实数a的取值范围.
五、板书设计
二次函数与幂函数 作业布置
1. 二次函数的解析式 （1）一般式cbxaxxf2)(，（0a） （2）顶点式abacabxaxf44)2()(22，（0a） （3）两点式))(()(21xxxxaxf，（0a） 例1例1．画出下列函数的图象： （1）1)(2xxf （2）12)(2xxxf （3）22)(2xxxf 练习 1.
3. 2. 二次函数的性质C 解析式 cbxaxxf2)( （a>0） cbxaxxf2)( (a<0) 图象 定义域 值域 单调性 在 单调递减 在 单调递增 在 单调递增 在 单调递减 奇偶性 当 时，为偶函数；当 时，为非奇非偶函数； 例2．函数1)(2mxxxf的图象关于直线x=1对称，求m的值. 练习2.
练习 3.
例3．二次函数y=f(x)的图象是以原点为顶点，且过点（1，1），求f(x)解析式. 练习4.