线性代数考试练习题带答案

线性代数试题集与答案解析

一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)

1. 设向量组α1，α2，α3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( )。

(A) α 1 −α 2 ，α 2 −α 3 ，α 3 −α 1

(B) α 1 ，α 2 ，α 3 + α 1

(C) α 1 ，α 2 ，2 α 1 −3 α 2

(D) α 2 ，α 3 ，2 α 2 + α 3

正确答案：B

解答参考：A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与α1，α

2，α

3

等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个

向量的线性组合，是线性相关向量组。

2.

(A) 必有一列元素全为0；

(B) 必有两列元素对应成比例；

(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；

(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合。

你选择的答案：未选择[错误]

正确答案：C

解答参考：

3. 矩阵 ( 0 1 1 −1 2 ,0 1 −1 −1 0 ,0 1 3 −1 4 ,1 1 0 1 −1 ) 的秩为( )。

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

你选择的答案：未选择[错误]

正确答案：C

解答参考：

4. 若矩阵 ( 1 a −1 2, 1 −1 a 2 ,1 0 −1 2 ) 的秩为2,则 a的值为。

(A) 0

(B) 0或-1

(C) -1

(D) -1或1

正确答案：B

解答参考：

5. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 −8 x 2 x 3，则 f的矩阵为。

(A) ( 2 4 0 0 5 −8 0 0 5 )

(B) ( 2 4 0 0 5 −4 0 −4 5 )

(C) ( 2 2 0 2 5 −4 0 −4 5 )

(D) ( 2 4 0 4 5 −4 0 −4 5 )

正确答案：C

解答参考：

6. 设 A、 B为 n阶方阵，且 A与 B等价， | A |=0 ，则 r(B)

(A) 小于n

(B) 等于n

(C) 小于等于n

(D) 大于等于n

正确答案：A

解答参考：

7. 若矩阵 [ 1 2 2 −3 ,1 −1 λ−3 ,1 0 2 −3 ] 的秩为2,则λ的取值为

(A) 0

(B) -1

(C) 2

(D) -3

正确答案：C

8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 A x=0 的基础解系的是

(A) 2

(B) -2

(C) 1

(D) -1

正确答案：B

解答参考：

二、判断题(判断正误，共6道小题)

9.设A ,B 是同阶方阵，则AB=BA 。

正确答案：说法错误

解答参考：

10.若A是方阵，则| A |=| A T | 。

正确答案：说法正确

解答参考：

11.如果矩阵A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。

正确答案：说法错误

解答参考：反例： A=( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) ， B=( 0 0 0 0 1 0 0 0 1 )

12.非齐次线性方程组Ax=b 一定有解。

正确答案：说法错误

解答参考：

13.若A、B是n阶非零方阵，且AB=0 ，则| A |≠0 或者| B |≠0 。

正确答案：说法错误

解答参考：

14.设λ=0 是n阶方阵A的特征值，则方程组Ax=0 有非零解。

正确答案：说法正确

（注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交

客观题答案。)

三、主观题(共12道小题)

15.设α 1 =( 6 −2 0 4 ) , α 2 =( −3 15 7 ) ，则3 α 1 −2 α 2 =

参考答案：3 α1−2 α 2 =( 24 −8 −10 −2 )

16.设α=( −1 1 0 ) , A=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , B=( 1 0 0 3 2 2 ) ,则αAB=

参考答案：αAB=( 0 14 )

1

7.

参考答案：

1/3，35

18.是线性______的，它的一个极大线性无关组是_________________。

参考答案：

相关（因为向量个数大于向量维数）。α1, α2, α4。

因为α3=2 α1+ α2,A=| α1α2α4| ≠0 。

19.时，此方程组只有零解。

参考答案：r=n 时，此方程组只有零解。

20.是分块对角矩阵，其中参考答案：(2n+1)!!

21.

参考答案：| AB |=−8

22.

参考答案：a> 1/ 2

23.

为标准形。

参考答案：

2

4.

参考答案：

25.

参考答案：

26.用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及f的标准型。问：这个二次型是否是正定的？为什么？