中考数学 旋转变换模型

第10讲 几何变换—旋转变换模型

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⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）

等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角

等线段变换（与圆相关）

【练1】 （2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（060α︒<<︒），将线段BC 绕点B 逆时

针旋转60°得到线段BD ．

（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，15060BCE ABE ∠=︒∠=︒，

，判断ABE △的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若45DEC ∠=︒，求α的值．

知识关联图

真题演练

【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=，

，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．

（1）若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；

（2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小

（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．

例题精讲

考点1：手拉手模型：全等和相似

包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来

（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）

（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）

（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）

（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）

【例1】 （14年海淀期末）已知四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形 ，且AB CE >．

（1）如图1，连接BG 、DG ．求证：BG DE =；

（2）如图2，如果正方形ABCD 的边长为2，将正方形CEFG 绕着点C 旋转到某一位置时恰好使得CG BD ∥，BG BD =． ①求BDE ∠的度数；

②请直接写出正方形CEFG 的边长的值．

【题型总结】 手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？

【例2】 （2014年西城一模）

四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

（1）如图24-1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及

EC

GC

的值； （2）将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

图

【例3】 （2015年海淀九上期末）如图1，在ABC △ 中，4BC =，以线段AB 为边作ABD △，使得AD BD =，

连接DC ，再以DC 为边作CDE △，使得DC DE =，CDE ADB α∠=∠=．

（1）如图2 ，当45ABC ∠=︒且90α=︒时，用等式表示线段AD DE ，之间的数量关系；

B

（2）将线段CB 沿着射线CE 的方向平移，得到线段EF ，连接BF AF ，．若 90α=︒，依题意补

全图3， 求线段AF 的长；请直接写出线段AF 的长（用含α的式子表示）．

B

B

B

图2 图3 备用图

图1

【例4】 （13年房山一模）

（1）如图1，ABC △和CDE △都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE 相交于点P ，求证：BE AD =．

（2）如图2，在BCD △中，120BCD ∠<，

分别以BC 、CD 和BD 为边在BCD △外部作等边ABC △、等边CDE △和等边BDF △，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①AD BE CF ==；②BEC ADC ∠=∠；③60DPE EPC CPA ∠=∠=∠=； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB PC PD BE ++=．

B

图

A

D

考点2： 角含半角模型：全等

秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等

F

E

D C

B

A G F

E

D C

B

A A

B

C

D

E

F F

E

D C

B A G

A

B

C

D

E

F

G

A

B

C D E A

C

D E F

【例1】 （2012年西城期末）已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ，DN 分别平分正方形的两个

外角，且满足45MAN ∠=︒，连结MC ，NC ，MN ．猜想线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．