旋转相似经典例题知识讲解
巧用旋转法解几何题资料讲解
巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。
例1．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF，求证：EF2=AE2+BF2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EG∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠DAG=∠DBF，BF=AG∴AG∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2+BF2例2，如图2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。
解：作MC⊥CP，使MC=CP，连接PM，BM∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2∵AC=BC ， ∴⊿CAP ≌⊿CBM （SAS ）∴MB=AP=3∵PC=MC ，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM==22MC PC =22PC =22， 在⊿MPB 中，PB 2+PM 2=（22）2+12=9=BM 2∴⊿MPB 是直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如图3，直角三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+CF 2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE ，CF 转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将∠BAE 和∠CAF 合在一起，取零为整。
有关旋转相似知识点总结
有关旋转相似知识点总结一、旋转相似的定义旋转相似是指两个图形之间通过旋转而得到的相似图形。
在几何学中，相似图形是指形状相同但大小不同的两个图形。
旋转相似是通过以一个点为中心、一个角度为旋转角的旋转变换，把一个图形变成另一个相似图形的过程。
二、旋转相似的性质1. 旋转相似的两个图形具有相同的形状，只是大小不同。
2. 旋转相似的两个图形之间的角度是相等的，只是大小不同。
3. 旋转相似的两个图形之间的长度比例是相等的。
三、旋转相似的判定条件判定两个图形是否通过旋转相似变换而得到的可以通过以下条件来判定：1. 两个图形之间的形状相同，只是大小不同；2. 两个图形之间的角度相等，即对应的顶点和边的角度相等；3. 两个图形之间的长度比例相等；4. 两个图形之间的对应边平行。
四、旋转相似的应用旋转相似在几何的计算和解决问题中有着重要的应用，以下是旋转相似的几个典型应用场景：1. 直角三角形的旋转相似在直角三角形中，通过旋转相似的变换，可以得到很多相似的三角形，从而方便我们计算和解决几何问题。
2. 图形的旋转相似在图形的计算和解决问题中，通过旋转相似的变换可以得到相似的图形，从而方便我们计算和解决问题。
3. 旋转相似的直角坐标系应用在直角坐标系中，通过旋转相似的变换可以对图形进行变换和计算。
五、旋转相似的例题以下是几个关于旋转相似的例题：例题1：已知ΔABC与ΔA’B’C’是旋转相似，有AB=3，BC=4，\angle B=120^\circ, A’B’=2, B’C’=3, 求AC的长。
解析：通过已知条件，可以计算出A’B’C’的长度和角度。
然后求出AC的长。
例题2：已知图中ABCD是一个正方形，O是AB的中点，求图形ABCD经过旋转相似变换得到的图形A'B'C'D'。
解析：ABCD经过旋转相似变换得到的图形A'B'C'D'，其中A'O=A'B'，AO=MC，即A'O+AO=AM。
第二十三章旋转知识点总结,经典例题,单元测试
第二十三章旋转知识点总结，经典例题，单元测试：1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，就叫做图形的旋转。
点0叫做旋转中心，旋动的角叫做旋转角。
旋转方向：顺时针和逆时针。
2.旋转的特征：（旋转不改变图形的大小和方向）（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
3.旋转对称图形：一个图形绕着某一动点转动一定的角度后能与自身完全重合，这种图形称为旋转对称图形，绕着转动的这一点，称为旋转中心。
注：结合旋转对称图形的定义知：正三角形绕其中心旋转1200后能与自身完全重合，故正三角形是旋转对称图形；正方形绕其对角线的交点（旋转中心）旋转900后能与自身完全重合，故正方形是旋转对称图形。
一般的正n（n≥3）变形是旋转对称图形，那么最少旋转时，能与自身完全重合。
4.设计旋转对称图形：（1）确定旋转中心、旋转角度和旋转方向；这是旋转的三要素。
（2）确定图形中的关键点；（3）将这些关键点绕旋转中心绕指定方向旋转指定的角度。
（4）顺次连接新关键点，得到所求图形。
旋转的定义：【例1】如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：1.旋转中心是什么？旋转角是什么？2.经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？【例2】如图所示，⊿ABC 和⊿ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠AED 都是直角，点C 在AD 上，如果⊿ABC 经旋转后能与⊿ADE 重合，那么哪一点是旋转中心？旋转角度是多少？并指出对应点。
CBDEAM DBC EAN练一练：如图所示，⊿ABC 是等腰三角形，∠ACB=900，D 是AB 边上一点，⊿CBD 经逆时针旋转后到达⊿CAE 的位置，则旋转中心是 ，旋转角度是 ，点B 的对应点是 ，点D 的对应点是 ，线段CB 的对应线段是 ，线段CD 的对应线段是 ，∠CBD 的对应角是 ，如果点M 是线段BC 的中点，点N 是线段AC 的中点，那么经过上述旋转之后，点M 旋转到了 。
九年级旋转专题讲义
九年级旋转专题讲义旋转专题讲义（九年级）一、基础知识1. 旋转的定义：在平面内，一个图形绕着某一点转动一定的角度而不改变其位置的运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。
2. 旋转的性质：（1）旋转中心到图形上任意一点的距离在旋转前后保持不变。
（2）图形上任意两点绕旋转中心按同一方向旋转相等的角度后，对应点到旋转中心的距离相等。
（3）图形上任意两点绕旋转中心按相反方向旋转相等的角度后，对应点到旋转中心的距离相等，但方向相反。
二、常见题型及解题方法1. 确定旋转角：在题目中，常常会给出一些图形经过某种运动后的位置，需要确定这些图形是绕哪个点按什么方向旋转了多少度。
此时可以通过观察图形变化前后的位置，找出旋转中心和旋转角。
2. 求解旋转问题：在求解与旋转相关的问题时，常常需要利用旋转的性质，通过已知条件推导出其他未知条件。
例如，在求解几何图形的面积或周长时，可以通过旋转将不规则图形转化为规则图形，从而方便计算。
3. 判断是否为旋转对称图形：在判断一个图形是否为旋转对称图形时，可以通过观察图形是否能够绕某点按一定角度旋转后与自身重合来确定。
如果可以，则该图形是旋转对称图形。
4. 求解旋转对称图形的中心和角度：在求解旋转对称图形的中心和角度时，可以通过观察图形自身旋转的过程，找出旋转中心和旋转角度。
例如，在求解正多边形的中心和角度时，可以通过将多边形的各顶点绕中心点按相同的方向旋转相同的角度后与自身重合来确定。
三、典型例题解析例1：在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC上一点，且CF=3BF。
将△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABG。
则下列结论：①AF=AG；②BF=BG；③AF=FG；④△AFD≌△GFC中，正确的有（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④分析：根据题意，通过全等三角形的判定与性质分别判断即可。
解答：①∵△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABG，∴AF=AG，故①正确；②∵CF=3BF，E为CD的中点，∴BF=DF=CG=BG，故②正确；③在△AFD与△GFC中，∵AD=AG，DF=CG，AF=FG，∴△AFD≌△GFC （SSS），∴∠AFC=∠AFD=90°+∠DFA，又∵∠AFC+∠AFD+∠DFA=180°，∴AF≠FG，故③错误；④由③得：AF≠FG，故④错误；故选A。
相似旋转模型典型例题
相似旋转模型典型例题摘要：一、相似旋转模型的概念和基本原理1.相似旋转模型的定义2.相似变换的基本原理二、相似旋转模型的典型例题解析1.例题一：求解相似旋转模型中的角度和比例因子2.例题二：利用相似旋转模型求解空间几何问题3.例题三：利用相似旋转模型求解立体图形的表面积和体积三、相似旋转模型的应用领域1.在机械工程中的应用2.在建筑设计中的应用3.在其他领域的应用正文：相似旋转模型是一种将一个图形通过旋转、缩放等变换，使其与另一个图形相似的模型。
这种模型在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
本文将详细解析相似旋转模型的基本原理，并通过典型例题解析，帮助大家更好地理解和运用相似旋转模型。
一、相似旋转模型的概念和基本原理1.相似旋转模型的定义相似旋转模型是指通过旋转、缩放等变换，使得两个图形达到相似的状态。
在数学中，相似是指存在一个非零常数k，使得两个图形对应的边成比例。
2.相似变换的基本原理相似变换包括旋转变换、缩放变换和错切变换。
其中，旋转变换是通过一个固定点将一个图形旋转到另一个图形；缩放变换是通过一个固定点将图形沿某一方向进行缩放；错切变换是在某一方向上对图形进行缩放，同时沿垂直于该方向的方向进行平移。
二、相似旋转模型的典型例题解析1.例题一：求解相似旋转模型中的角度和比例因子已知两个相似的直角三角形ABC和DEF，其中∠BAC = ∠DFE = 90°，AB = 2，BC = 4，求旋转角和比例因子。
解析：根据相似三角形的性质，对应边成比例，得到比例因子k = AB/DF = 2/DF。
同时，由于两个三角形相似，它们的旋转角相等，即∠BAC =∠DFE。
通过解方程可得旋转角为90°，比例因子为2。
2.例题二：利用相似旋转模型求解空间几何问题已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB = 2，BC = 4，AA1 = 6，求与长方体相似的立方体ABCDEF-A1B1C1D1的边长。
九年级数学利用旋转构造相似三角形解决相关问题
九年级数学利用旋转构造相似三角形解决相关问题一、旋转相似：如果两个相似三角形绕某一点旋转，那么必然会出现一对新的相似三角形。
如图，已知△ABC ∽ △AB1C1 ，则有△ABB1 ∽ △ACC1 。
证明：∵ △ABC ∽ △AB1C1 ，∴ ∠BAC = ∠B1 AC1 ，∠BAB1 = ∠CAC1 ，∴ △ABB1 ∽ △ACC1 。
二、例题讲解：例题1、如图所示，已知△ABC 为等边三角形， D 为 AB 的中点，DE = 1 ， EA = 2 ，求线段 CE 的最大值？解题思路：△ABC 为等边三角形，由已知条件点 D 为 AB 的中点，则∠ACD = 30° ，△ADC 为直角三角形（等腰三角形中三线合一）。
可以利用这个∠ACD = 30° 特殊角进行构造相似三角形。
解答过程：解：连 CD ，则CD ⊥ AD ，且 AC = 2 AD ，构造Rt△AEH ，使得 AH = 2AE ,如图所示则Rt△ADC ∽ Rt△AEH 。
∴ ∠DAC = ∠EAH = 60° ，∴ ∠EAD = ∠HAC ，∴ △AHC ∽ △AED ，∵ 在Rt△AEH 中，∠EAH = 60°，∠AEH = 90° ，∴ EH = √3 AE = 2√3 ，∴ CE ≤ EH + CH ，∴ CE ≤ 2√3 + 2 。
小结：这里可以看出若Rt△ADC ∽ Rt△AEH ，则由旋转相似可以得出△AHC ∽ △AED 。
例题2、如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB = 90° ，AC = 2BC ，CD = 3 ，AD = √5 ，求线段 BD 的最大值？解题思路：由已知△ACB 为直角三角形，AC = 2BC ，则可以利用这个直角三角形直角边的比构造相似三角形。
解答过程：解：过点 C 作CH⊥CD ，使 CH = 2 CD ，连接 DH ， AH ，如图所示则有：Rt△ACB ∽ Rt△HCD 。
中考数学复习 瓜豆原理 ——旋转相似之主动从动
旋转相似之主动从动(瓜豆原理)例题1、如图等腰Rt△ABC,AB=AC=2,点E是半径为1的圆C上的一动点，连接AE,过点A 向左侧作AD⊥AE，且使得AE=AD。
其中点D是因E动而动，所以我们称点E为主动点，点D为从动点。
(1)问随着主动点E的运动，求从动点D的运动路径长？(2)连接CD,求CD的最大值与最小值(3)△ABC与△ADE是我们之前学过的旋转相似，那么请问：主动点E和圆心C这两点在旋转相似中我们称他们的位置关系是。
例题2、如图半径为1的圆C，圆外有一定点A,且AC=2,圆C上有一动点E,连接AE,以A 为直角顶点向左侧作等腰直角△EAD.(1)求点D的运动路径长。
(2)求CD的最大与最小值。
定义：①把主动点所在的圆心称之为：主心②把“动而形不变”的三角形中的三个顶点中的定点称之为旋转中心(公共顶点)。
总结：作主动与从动类型题目步骤：以“主动点”和“主心”为旋转同位点，将“动而形不变”的三角形绕“旋转中心”进行放大旋转，使得“主动点”与“主心”重合(即：使得同位点重合)，从而构建旋转相似的两个三角形，之后就可以利用旋转相似得到”从动点”的运动轨迹了。
变式1、在△ABC中,BC=2,AC=1,以AB为边作等腰直角△ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时，求线段CD长的最大值为多少?变式2、在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点，且PA=2，以PB为边作等边∠PBM，则线段AM的长最大值为___.变式3、已知：PA=2，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB 的两侧.(1)如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应∠APB的大小、正方形ABCD的面积．变式4、△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，以 BC 为边在△ABC 外作正方形 BCDE ，BD 、CE交于点 O ，则线段 AO 的最大值为 ．P D CB A P DCBA例题3、如图，点O在线段AB上，OA=1,OB=3，以O为圆心，OA为半径作圆O，点M 在圆O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△ABC，使∠MBC=90°，M，B，C三点按逆时针顺序排列，连接AC，则AC长的取值范围是_____.变式1、如图，P是圆O上一个动点，A是圆O外的的一个定点，且AO=4，连接AP，作AQ⊥AP，且AQ=AP。
相似三角形中的旋转问题
相似三角形中的旋转问题
1. 旋转变换的定义，在平面几何中，旋转是指以某一点为中心，按照一定的角度将图形绕这一点旋转。
对于相似三角形，我们可以
进行旋转使得一个相似三角形变换到另一个相似三角形的位置。
2. 旋转变换的性质，在相似三角形中，进行旋转变换后，两个
相似三角形的对应边长之比保持不变。
这是因为旋转变换保持了形
状不变，只是进行了位置上的调整。
3. 旋转变换的应用，在实际问题中，我们可以利用相似三角形
的旋转性质来解决一些几何问题，比如计算相似三角形的边长比例、求解角度等问题。
此外，在工程、建筑等领域中，也常常会利用相
似三角形的旋转性质进行设计和计算。
4. 旋转变换的几何意义，通过旋转变换，我们可以更好地理解
相似三角形之间的关系，从而推导出一些性质和定理。
这有助于我
们在解决几何问题时更加深入地理解相似三角形的特性。
总的来说，相似三角形中的旋转问题涉及到旋转变换的定义、
性质、应用和几何意义，通过深入研究和理解这些问题，我们可以
更好地掌握相似三角形的性质和应用，从而更好地解决相关的几何问题。
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旋转与全等、相似中的线段数量关系
基本例题：1、如图，△ABC 中，∠C ＝90°.（1）将△ABC 绕点B 逆时针旋转90，画出旋转后的三角形；（2）若BC ＝3，AC ＝4，点A 旋转后的对应点为A′，求A′A 的长
变式1,如图 Rt △AB'C'是由Rt △ABC,绕点A 顺时针旋转得到的，连接C C'交AB 于E, (1) 证明：△CA C'∽△BA B'
(2) 延长C C'交B B'于F ，证明：△CA E ∽△FBE
变式2，△ABC 绕点B 逆时针旋转90°得到△DBE,若恰好得到C 、E 、D 三点共线，则AC 、BC 、CD 的数量关系是
变式3，△ABC 绕点B 逆时针旋转a °得到△DBE,若恰好得到C 、E 、D 三点共线，则AC 、BC 、CD 的数量关系是
E
B'C'
C
A E D
B
A
C
E
B
A
C
变式4、Rt △ABC 中，AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,求：AD 、CD 、BD 的数量关系
变式5、Rt △ABC 中，AC=kBC,∠ACB=∠ADB=90°，连接CD,探究：AD 、CD 、BD 的数量关系
变式6、如图，在△OAB 和△OCD 中，∠A ＜90°，OB=KOD （K ＞1），∠AOB=∠COD ，∠OAB 与∠OCD 互补，试探索线段AB 与CD 的数量关系，并证明你的结论。
变式7.如图AB ∥CD ,BC ∥ED , ∠BCD+∠ACE=180°。
(1)当BC=CD 且∠ACE=90°时 如图3探究线段AC 和CE 之间的数量关系 （2）当BC=CD 时如图2探究线段AC 和CE 之间的数量关系
（3）当BC=kCD 时如图1探究线段AC 和CE 之间的数量关系（用含k 的式子表示）
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D C
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D B
80中田凌志老师提供
1如图R t △ABC ，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作直线MN ∥AC,点P 在直线BC 上，∠EPF=∠CAB ，且两边分别交直线AB 于E ，交直线MN 于F 。
如图（1）（2）(3)探究PE 与PF 之间的数量关系，并证明
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C B A
2如图△ABC 中，AC=m ，AB=n ，过点B 作直线MN ∥AC,点P 在直线BC 上，∠EPF=∠CAB ，且两边分别交直线AB 于E ，交直线MN 于F 。
探究PE 与PF 之间的数量关系，并证明
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图1
图2
图3
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28中郑洪松老师
例题：如图，ABC Rt ∆中，kAC AB =，︒=∠90BAC ，E 是AC 上一点，BE AD ⊥于D ，BE CF ⊥于F . 探究AD 与DF 的数量关系.
练习：如图，在ABC ∆中，AC k AB ⋅=，α22=∠=∠ACB BAC ，D 为ABC ∆外部一点，BAC BDA ∠=∠，BD 交CA 延长线于F ，DA 交BC 延长线于E ，G 为AC 延长线上一点，且︒=∠+∠180AFB AGE ⑴如图1，1=k 时，猜想线段AF 、CG 的数量关系为 ； ⑵如图2，1≠k 时，探究线段AF 、CG 的数量关系，并说明理由.
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图1
图2。