高一-培优-函数的单调性与奇偶性

个性化教学辅导教案

设函数y f x的定义域为U，若对于定义域U内的某个区间D内的任意两个自变量x,, x2，当为x2时，始终有f x, f x2，那么就说f x在区间D上是增函数.区间D称为y f x的单调增区间；

当X i X2时，始终有f x, f X2，那么就说f x在区间D上是减函数.区间D称为y f x的单调减区间•

函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

①任取x,，X2 D，令x i X2 ;②作差f X i f X2 ;③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（判断差f为f x2的正负）；⑤下结论（指出函数 f x在给定的区间D上的单调性）（B）图象法（从图象上看升降）

（C）

（D

单调性相同的区间只能用中文字“和”来连接

例1.讨论函数f X X -的单调性.

X

例2.已知定义在区间0, 上的函数f x满足f xy f x f y，且当x 1 时，f x 0.

(1 )求f 1的值；(2)判断f x的单调性； (3)若f 3

变式：函数f x对任意的a、b R,都有fab f a f b

(1)求证：fx是R上的增函数；(2)若f4 5,解不等式

例3.已知定义域为R的函数f (x)

2x

2x1

是奇函数.

(I)求a,b的值；(n)判断函数f x的单调性;

1,解不等式f x 2.

1,并且当x 0时，f x 1.

f 3m2 m 2 3.

(川)若对任意x [ 2, 1],不等式f(2x24) f (4m 2mx) 0恒成立，求实数m的取值范围.

x 3

g 门，

g （X ）1

叽

（X 1）

，设

f （X ）

和

g （X ）

的公共

D 时，f （x ）在m, n 上的值域是g （n ）,g （m ）。 （1）求集合D ； （ 2）确定函数在D 上的单调性；（3）求a 的取值范围。

函数的奇偶性 （注意：函数的奇偶性是函数的整体性质）

一般地，对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x ，都有f x f x ，那么f x 叫做偶函数。 一般地，对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x ，都有f X f x ，那么f x 叫做奇函数。

注：①如果奇函数在 x=0处有定义，则f （0）=0 ；②偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于 原点对称；③奇函数与偶函数的定义域一定关于原点对称 函数奇偶性判定方法: （A ）定义法

（W ）若对任意t R ，不等式 f(t 2 2t) f (2t 2 k)

0恒成立，求k 的取值范围。

变式：设a 0且a 1，函数f （x ）

定义域为集合D ，当m,n

X 2 X 1 (2) f X0 X 1 ；

X 2 X 1(3) f X In J

1 X

①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称; ______ ②求出f x，与f X 进行比较；

③作结论：若f X f X，贝y f X是偶函数；若f X f X，贝y f X是奇函数.否则非奇非偶。

(B)借助函数的图象判定

(C)多个函数加减的奇偶性

f (X)g(x)f(x) g(x)

奇奇奇

偶偶偶

奇偶非奇非偶

偶奇非奇非偶

(D)多个函数乘除的奇偶性“同偶异奇

f(x)g(x)f(x)?g(x)或( g(x) 0 )

g(x)奇奇偶

偶偶偶

奇:偶奇

偶奇奇

任何一个函数定义域关于原点对称的函数，总可以拆分成一个奇函数与一个偶函数的和。

f X

例: f X ------------

2

变式：判断下列各函数的奇偶性:

X

为偶函数;

f X f

X

2

f X 为

奇函

数。

2

例1.判断下列函数的奇偶性•

(i) f X 1 X 1 X ; (2) f X 1 X2\ X2 1 ; (3) f (X)丄x2「厂

变式：设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x) f(x) f ( x)在R上一定是( ) A •奇函数B •偶函数 C •既是奇函数又是偶函数 D •非奇非偶函数。

例2.已知函数f (x)，当x 0时，fx x2 2x 1 、x 3，根据条件写出f (x)的完整表达式

①若f(x)为R上的偶函数；②若f (x)为R上的奇函数。

变式：已知函数y f (x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f (x) 2x，试求函数y f (x) 的表达式.

变式：已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x ( ,0)时，f(x) x x4，试求函数y f(x)的

表达式.

例3.已知函数fx ax2 bx 3a b为偶函数，其定义域为 a 1,2a，求a,b的值。

变式：已知函数f(x) (m 1)x2 (m 2)x (m27m 12)为偶函数，则m的值是(

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

_2 _

变式：已知二次函数fx x ax 4，若fx1是偶函数，则实数a的值为( )

A. —1

B.1

C. — 2

D.2

例4.已知函数f (x)的定义域为1,1，且同时满足下列条件：试求a的取值范围。

(1)f (x)是奇函数；(2) f (x)在定义域上单调递减；(3)f(1 a) f(1 a2) 0,

变式：已知f(x)是定义在R上的偶函数，在［0,)上为减函数，若f(、.a2a 2) f (2a 1)，求实数a的取值范围。

例5,知gx是奇函数，f(x) log2( x2 1 x) g(x) 2x且f(3) 58，则f3=—。

变式：已知f(x) ax7 bx5 cx3 dx 5，其中a,b,c,d 为常数，若f(7) 7，则f(7) _____ 。例6.已知函数f (x)的定义域是x 0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x, X2) f(x,) f(X2)，且当x 1 时f(x) 0, f (2) 1.

(1)求证：f (x)是偶函数；(2)f (x)在(0,)上是增函数；(3)解不等式f(2x2 1) 2 .