高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型

（一）函数的单调性

1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,

当x 1

当x 1 f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间．

2．函数单调性的判断方法：

（1）从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，则此函数是减函数。

（2）一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ．如果对于属于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，且21x x <，则021<-x x

（1）()()则0-21

0f x f x x x x x -⇔>≠-)(x f 即在区间A 上是增函数； （2）()()则21x f x f >()()()121212

0f x f x x x x x -⇔<≠-)(x f 即在区间A 上是减函数． 如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(x f y =的单调区间．

单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数

（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈

若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增，

若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减．

（同增异减）

3．常见结论

若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；

若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数

)

(1x f 在其定义域内为减函数．

【题型一、单调性的判断】

例、写出下列函数的单调区间

（1）,b kx y += （2）x k y =

， （3）c bx ax y ++=2．

如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上， 它是增函数还是减函数？

【题型二、用定义法证明单调性】

例、定义法证明函数y=2x+3在),(+∞-∞的单调性.

例、判断函数f （x ）＝x x 1+在（0,1）上的单调性．

【变式训练1】证明函数1

2)(++=

x x x f 在),1(+∞-上是增函数．

【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。 【题型三、单调性的运用】

例、已知2

()(34)21f x k k x k =-+++-在R 上是增函数,则k 的取值范围 ．

例、函数2)1(2)(2

+-+=x a x x f 在(,4]-∞上是减函数,则求a 的取值范围 ．

【变式训练2】已知函数[]2

()22,5,5f x x ax x =++∈-上是单调函数，a 的取值范围是 ．

【变式训练3】函数f （x ）是R 上的减函数,求f （a 2－a ＋1）与f （34

）的大小关系 ．

【题型四、抽象函数的单调性及其应用】

例、已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是 ．

例、设f （x ）定义在R +上，对于任意a 、b ∈R +，有f （ab ）＝f （a ）＋f （b ）

求证：（1）f （1）＝0；

（2）f （ 1x

）＝－f （x ）； （3）若x ∈（1，+∞）时，f （x ）＜0，则f （x ）在（1，+∞）上是减函数．

【题型五、复合函数的单调性】

例、求函数32)(2-+=x x x f 的单调递减区间。

求f(x)=542--x x 的单调区间

课后作业：

一、选择题

1、函数f (x )＝|x |和g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( )

A ．(－∞，0]，(－∞，1]

B ．(－∞，0]，[1，＋∞)

C ．[0，＋∞)，(－∞，1]

D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)

2、当1||≤x 时，函数12++=a ax y 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．31-≥a

B ．1-≤a

C ．311--<

D ．3

11--≤≤a 3、若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ）

A. 必是增函数

B. 必是减函数

C. 是增函数或是减函数

D. 无法确定增减性 二、填空题

4、函数32)(2+-=mx x x f ,当 ),2[+∞-∈x 时,是增函数,当]2,(--∞ 时是减函数,则f(1)=_____________

5、已知 )(x f 在定义域内是减函数，且 0)(>x f ，在其定义域内判断下列函数的单调性：

①a x f y +=)( ( a 为常数)是___________； ② )(x f a y -=( a 为常数)是___________； ③)

(1x f y = 是____________； ④|)(|2x f y = 是__________． 6、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．

7、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的递减区间是________．

三、解答题

8、讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

9、设f(x)是定义在(0,+∞）上的增函数，f(2)=1 ，且 f(xy)=f(x)+f(y)，求满足不等式f(x)+f(x-3)≤2 的x 的取值范围.