江苏省南通市如东县中考数学一模试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1． －4的相反数是A ．－4B ．－14C ．4D ．142． 下列计算，正确的是A ．a 3＋2a ＝3a4B ．a 4÷a ＝a 3C ．a 2·a 3＝a 6D ．(－a 2)3＝a 63． 2017年南通地区生产总值约为7700亿元，将7700亿用科学记数法表示为A ．7.7×108B ．7.7×109C ．7.7×1010D ．7.7×10114． 下列水平放置的几何体中，左视图是圆的是5． 如图，BC ∥DE ，若∠A ＝35°，∠E ＝60°，则∠C等于A ．60° B ．35° C ．25°D ．20°6． 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝112x +与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，则tan ∠ABO 的值为A ．12B CD ．27． 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为A ．2B ．6C ．D ．38． 若关于x 的不等式组27412x x x k ++⎧⎨-⎩＞，＜的解集为x ＜3，则k 的取值范围为A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ≥1D ．k ≤19． 端午节前夕举行了南通濠河国际龙舟邀请赛，在500米直道竞速赛道上，甲、乙两队所划行的路程y（单位：米）与时间t （单位：分）之间的函数关系式如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①甲队比乙队提前0.5分到达终点 ②当划行1分钟时，甲队比乙队落后50米 ③当划行53分钟时，甲队追上乙队B ．圆柱A ． 三棱柱C ．D ．圆锥（第6题）y /500（第9题） 5（第5题）EDC B A④当甲队追上乙队时，两队划行的路程都是300米 其中错误的是 A ．① B ．② C ．③D ．④10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 为半圆AB 的中点，CD 交AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，则BE 的长为A ．4.25B ．307C ．D ．4.8二、填空题（本大题共8小题．每小题3分，共计24分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答．题卡相应的位置．．．．．．．上） 11．若∠α＝35°，则∠α的补角为 ▲ 度． 12．因式分解2a 3b －8ab 3＝ ▲ ． 13．函数y ＝1-x x中，自变量x 的取值范围是 ▲ ． 14．已知□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△OAB 是等边三角形，若AB ＝3，则□ABCD 的面积为 ▲ ．15．已知一组数据3，4，6，x ，9的平均数是6，那么这组数据的方差等于 ▲ ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的中点，点E 是线段BC 上的一个动点，若AC ＝6，BC ＝8，则DE 长度的取值范围是 ▲ ．17．如图，点A （1，n ）和点B 都在反比例函数xk y =（x ＞0）的图像上，若∠OAB =k的值是 ▲ ．18．已知x ＝－m 和x ＝m －4时，多项式ax 2＋bx ＋4a ＋1的值都相等，且m ≠2．若当－1＜x ＜2时，存在x 的值，使多项式ax 2＋bx ＋4a ＋1的值为3，则a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共计96分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明） 19．（本小题满分10分）（第10题）（第16题）A（1）计算201(π3)2|2sin 602-⎛⎫--++︒ ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2211()2x x x x -－－＋1÷11x -，其中x ＝－1．20．（本小题满分8分）如图，一枚运载火箭从地面A 处发射．当火箭到达B 点时，从位于地面D 处的雷达站测得BD 的距离是4 km ，仰角为30°；当火箭到达C 点时，测得仰角为45°，这时，C 点距离雷达站D 有多远（结果保留根号）？21．（本小题满分9分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组，A ：0.5≤x ＜1，B ：1≤x ＜1.5，C ：1.5≤x ＜2，D ：2≤x ＜2.5，E ：2.5≤x ＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）学生会随机调查了 ▲ 名学生； （2）补全频数分布直方图；（3）若全校有900名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人？22．（本小题满分8分）（第20题）（第21题）时间/小时D EA BC40% 20%在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片．随机抽出一张卡片后不放回，再随机抽出一张卡片，求两次抽到的数字之和为奇数的概率．23．（本小题满分8分）打折前，买20件A商品和30件B商品要用2200元，买50件A商品和10件B商品要用2900元．若打折后，买40件A商品和40件B商品用了3240元，比不打折少花多少钱？24．（本小题满分8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BE＝3，CE＝25．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．（1）如图1，求证EB＝GD；（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝BE的长．（第24题）图2图1（第25题）26．（本小题满分10分）已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0．（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设x2＋mx＋m－2＝0的两个实数根为x1，x2，若y＝x12＋x22＋4x1x2，求出y与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若－1≤m≤2时，求y的取值范围．27．（本小题满分13分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（第27题）备用图图128．（本小题满分14分）定义：形如y ＝G （G 为用自变量表示的代数式）的函数叫做绝对值函数． 例如，函数y ＝1x -，y ＝6x，y ＝223x x -++都是绝对值函数． 绝对值函数本质是分段函数，例如，可以将y ＝x 写成分段函数的形式：(0)(0)x x y x x ⎧=⎨-⎩≥，＜．探索并解决下列问题：（1）将函数y ＝1x -写成分段函数的形式；（2）如图1，函数y ＝1x -的图象与x 轴交于点A （1，0），与函数6y x=的图象交于B ，C 两点，过点B 作x 轴的平行线分别交函数6y x=，y ＝1x -的图象于D ，E 两点．求证△ABE ∽△CDE ； （3）已知函数y ＝223x x -++的图象与y 轴交于F 点，与x 轴交于M ，N 两点（点M 在点N 的左边），点P 在函数y ＝223x x -++的图象上（点P 与点F 不重合），PH ⊥x 轴，垂足为H ． 若△PMH 与△MOF 相似，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．说明：本评分标准每题给出了典型解法供参考，如果考生的解法与本解答不同．．．．，参照本评分标准的精神给．．．．．．．．．．．分．． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）图1备用图（第28题）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．145 12．2ab(a＋2b) (a－2b) 13．x≥0且x≠114．15．5.2 16．3≤DE≤5 17．2 18．81＜a＜2三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（本小题满分10分）（1）解：原式＝4122-+-分＝5；--------------------------------------------------------- 5分（2）解：原式＝11()(1)1xxx x+---g＝21xx+．----------------------------------------------------- 8分当x＝－1时，原式＝2(1)121-+=--．--------------------------------- 10分20．（本小题满分8分）解：在Rt△ABD中，cos∠BDA＝ADBD，∴AD＝4=km）；------------- 4分在Rt△ACD中，cos∠CDA＝ADCD，∴CD km）．∴C点距离雷达站D是． --------------------------------------- 8分21．（本小题满分9分）解：（1）50；-------------------------------------------------------------- 2分（2）图略；------------------------------------------------------------- 6分（3）900×8%＝72（人），答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有72人．-- 9分22．（本小题满分8分）解：画出树形图如下（表格参照给分）：---- 5分第一次第二次12 3 421 3 431 2 441 2 3由图可以看出，可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等．其中两次抽到的数字之和为奇数的结果有8种， ------------------------------ 6分 所以P (两次抽到的数字之和为奇数)＝812＝23． ------------------------------ 8分23．（本小题满分8分）解：设A 商品和B 商品打折前的单价分别为每件x 元和y 元． ----------------------- 1分根据题意，得2030220050102900x y x y +=⎧⎨+=⎩，， ----------------------------------------- 4分解得5040x y =⎧⎨=⎩； ---------------------------------------------------------- 6分40x ＋40y －3240＝360（元）． -------------------------------------------- 7分 答：打折后，买40件A 商品和40件B 商品用了3240元，比不打折少花360元． ------ 8分24．（本小题满分8分）解：（1）连接OC ．∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴CO CD ⊥于点E ． ------- 1分 又∵AD ⊥CD ，∴AD ∥CO ．∴∠DAC ＝∠ACO ． -------- 2分∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO ． -------------------- 3分 ∴∠DAC ＝∠CAO ，即AC 平分∠DAB ． -------------- 4分（2）设⊙O 半径为r ．∵在Rt △OEC 中，OE 2＋EC 2＝OC 2，∴r 2＋27＝(r ＋3)2，解得r =3， ------------- 5分 ∴60COE ∠=o ． ------------------------------------------------------ 6分 ∴ S 阴影＝S △COE －S 扇形COBD32π． ------------------------------------ 8分 25．（本小题满分8分）解：（1）∵四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，∴AB ＝AD ，AG ＝AE ，∠BAD ＝∠GAE ＝90°． ------- 1分∴∠BAE ＝∠DAG ． ----------------------------- 2分∵AB ＝AD ，AG ＝AE ，∠BAE ＝∠DAG ，∴△ABG ≌△CBE （SAS ）． --------------------- 3分 ∴EB ＝GD ； ---------------------------------- 4分（2）作AH ⊥DG 于H .∵四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，（第24题）（第25题）∴AD ＝AB ＝5，AE ＝AG ＝．∴EG ＝6，AH ＝GH ＝3． ---------------------------------------------- 6分 ∴DH． ---------------------------------------------- 7分 ∴BE ＝DG ＝DH ＋GH ＝7． ---------------------------------------------- 8分（其它解法参照给分）26．（本小题满分10分）解：（1）∵△＝224(2)(2)4m m m --=-+＞0，∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． ------------------- 4分 （2）∵12122x x m x x m +=-=-， ，∴y ＝x 12＋x 22＋4x 1x 221212=()2x x x x ++2()2(2)m m =-+-224m m =+-．----------------------------------------------------- 7分 （3）∵2224(1)5y m m m =+-=+-，∴顶点（－1，－5）．又∵－2≤m ≤1，∴当x ＝－1时，y 最小值＝－5； 当x ＝1时，y 最小值＝－1．∴－5≤m ≤－1 ------------------------------------------------------- 10分27．（本小题满分13分）解：（1）∵t ＝2，∴CF ＝2厘米，AE ＝2a 厘米， ∴EC ＝(4－2a ) 厘米．∵△ECF ∽△BCA ．∴EC CFCB AC=． ---------------- 2分 ∴42264a -=．∴12a =．---------------------- 4分 （2）由题意，AE ＝12t 厘米，CD ＝3厘米，CF ＝t 厘米．∵EG ∥CD ，∴△AEG ∽△ACD ．∴EG AE CD AC =，1234tEG =． --------------- 5分 ∵以点E 、F 、D 、G 为顶点的四边形是平行四边形，∴EG ＝DF ．当0≤t ＜3时，338t t =-，2411t =． ------------------------------------------- 7分当3＜t ≤6时，338t t =-，245t =．（第27题）综上2411t =或245------------------------------------------------------------ 9分 （3）由题意，AE ＝2t 厘米，CF ＝t 厘米，由△AEG ∽△ACD 可得：AG ＝52t，DF ＝3－t 厘米，DG ＝5－52t （厘米）．若∠GFD ＝90°，则EG ＝CF ，32t ＝t ．∴t ＝0，舍去． --------------------------- 11分若∠FGD ＝90°，则△ACD ∽△FGD ．∴AD FD CD GD =，535352t t -=-．∴t ＝3219． --------- 13分 综上：t ＝3219，△DFG 是直角三角形．28．（本小题满分14分）解：（1）1()11()x x y x x x -⎧=-=⎨-+⎩≥1，＜1． --------------------------------------------- 3分（2）∵函数y ＝1x -与函数6y x=的图象交于B ，C ， 过点B 作x 轴的平行线分别交函数6y x=，y ＝1x -的图象于D ，E 两点．∴根据条件得各点坐标为：B （3，2），C （－2，3），E （－1，2），D （－3，2）． -------------------- 4分∴BE ＝3－(－1)＝4，DE ＝－1－(－3)＝2，AE=CE=∴在△AEB 和△CED 中，∠AEB ＝∠CED ，2BE AEDE CE==；∴△PMB ∽△PNA ． --------- 8分 （3）P 的坐标为（6，21），（103，139），（83，119）． --------------------- 14分图1解法参考：当x ＝0时，y ＝223x x -++＝3，∴F （0，3）． 当y ＝0时，223x x -++＝0，∴1213x x =-=，，∴M （－1，0），N （3，0）． 由题意222223123233233x x x y x x x x x x x x ⎧-+-⎪=-++=-++⎨⎪-+⎩（＜），（-1≤≤），（＞）．设P 的横坐标为x ，当x ＜－1时，由题意P （x ，223x x --），若△PMH ∽△FMO ， 3PH FO MH MO==， 22331x x x --=--． ∴1210x x =-=（舍去），（舍去）． 若△PMH ∽△MFO ，13PH MO MH FO ==， 223113x x x --=--． ∴12813x x =-=（舍去），（舍去）． 当－1＜x ＜3时，由题意P （x ，223x x -++），若△PMH ∽△MFO ，13PH MO MH FO ==， 223113x x x -++=+． ∴12813x x =-=（舍去），．∴P 的坐标为（83，119）． 若△PMH ∽△MFO ，3PH MO MH FO==， 22331x x x -++=+． ∴1210x x =-=（舍去），（舍去）． 当x ＞3时，由题意P （x ，223x x --）， 若△PMH ∽△FMO ， 3PH FO MH MO==， 22331x x x --=+． ∴1216x x =-=（舍去），．∴P 的坐标为（6，21）． 若△PMH ∽△MF ，13PH MO MH FO ==，223113x x x --=+． ∴121013x x =-=（舍去），．∴P 的坐标为（103，139）． 综上：P 的坐标为（6，21），（103，139），（83，119。