安徽省黄山市2019-2020学年高三上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
2019-2020学年安徽省黄山市高二(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•）C . 5_6)v2B_3 72 V3A .C .——D .——3366x 26. （ 5分）双曲线一y 2 1的离心率是（)14A.-B .2C .匕1 D .-2327. （ 5分）已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40% ,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1 , 2, 3, 4表示命中，5, 6, 7, 8, 9, 0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下 20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A . 0.35B . 0.25C . 0.20D . 0.152 2& ( 5分)点P(m,3)与圆(x 2) (y 1)3的位置关系为( )1.(5分) 若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是B . ( P) qC . ( p) q(P)(q)2. (5分) 在直角坐标系中，直线 x . 3y 3 0的倾斜角是（3.(5分) 直线l 过点P （1,3），且与x 、y 轴正半轴围成的三角形的面积等于 6的直线方程是A . 3x y 6 0B . x 3y 10 0C . 3x y 0D . x 3y 84. （ 5分）已知I , m 表示两条不同的直线,表示平面，则下列说法正确的是 （ A.若 I , m ，贝U l mC .若 I //m , m ，贝U l //B. 若 I m , m ，则 I D .若 I// ,，则 I //m5. （5分）在正四面体SABC 中, D 为SC 的中点，则异面直线SA 与BD 所成角的余弦值是9. （5分）已知直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球0的表面上，若AB 1 , AC 1 ,AB AC , AA2 则球0的体积为（)64A .B . 3C. D.-3332 10. （5分）椭圆mx2ny 1与直线y 1x交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为—, 则m的值为（）2nA .B.2^2 C . 9J D . 2 3 2322711. （5分）已知抛物线2C:y8x的焦点为F , 准线为i, P是1上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FPuuu4FQ，则|QF | ()A . 7B. 3 C . §D . 22212. （5分）如图所示正方体ABCD ABQD I，设M是底面正方形ABCD内的一个动点, 且满足直线C1D与直线C1M所成的角等于30，则以下说法正确的是（）B .点M的轨迹是椭圆的一部分C .点M的轨迹是双曲线的一部分D .点M的轨迹是抛物线的一部分二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. ________________________________________ （5分）分别写有数字1 , 2, 3, 4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是.2 214. ________________________________________ （5分）双曲线—y 1的渐近线方程是 .9 42 215. （5分）过点（3,1）作圆（x 2）（y 2）4的弦，其中最短的弦长为 ________A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上 D .与m的值有关16. (5分)已知一个圆锥的底面半径为1，高为2,在其中有一个高为h的内接圆柱，当高h变化时，圆柱侧面积的最大值为______ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)217. ( 10 分)已知实数p:x 4x 12, 0，q: (x m)(x m 1), 0(I)若m 2，那么p是q的什么条件；(n)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.2 218. (12 分)已知点M(3,1)，圆0「(x 1) (y 2) 4 .(1)若直线ax y 4 0与圆Q相交于A , B两点，且弦AB的长为2 3，求a的值；(2)求过点M的圆O的切线方程.19. (12 分)如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AA AB 1 , AD 2 , E 为BC 的中点,M , N分别为棱DD! , AD的中点.(1)求证：平面CMN //平面ADE ；(2)求直线CN和平面AAQQ所成角的正弦值.20. (12分)已知平面内一动点P(x , y)(x…0)到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1,(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线I与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A , B，求OAB面积的最小值.121. ( 12分)如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD//BC，且BC AD 1 ,2BC DC , BAD 60 ,平面PAD 底面ABCD , E为AD的中点，PAD为等边三角形，M是棱PC上的一点，设电k(M与C不重合).MC(1 )若PA//平面BME，求k的值；（2）当k 3时，求二面角M BE C 的大小.（1）求椭圆的标准方程； …luir uiur （2 ）若 AF 1 F 1B ,① 当 2时，求直线I 的方程；uuur uuir② 证明 込1 L5BJ 是定值，并求出此定值.x22. （12分）椭圆—a2古1（a b 0）的左、右焦点分别为F i （ 1,0），F 2（1,0），过点 F i 的线I 与椭圆交于点A ，B ，ABF 2的周长为4.2 .26,2019-2020学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中, 一项是符合题目要求的•）1. （ 5分）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是（【解答】 解：Q 命题p 是假命题，命题q 是真命题，“p q ”是假命题，即A 错误;是真命题，即B 错误;是假命题，即C 错误;故选：D .设此直线的倾斜角为 ，则tan又0, 故选：C .3. （5分）直线l 过点P （1,3），且与x 、y 轴正半轴围成的三角形的面积等于 【解答】解：设所求的直线方程为： -Q 过点P （1,3）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于1 3 1 a b，解得 a 2, b 6 . 1ab 6 2只有 B . ( P) qC . ( p) q(P)( q)“（p)(q ） ”是真命题，故D 正确; 2. （ 5分）在直角坐标系中，直线 x 3y0的倾斜角是（【解答】解：直C . 5_63，~6，6的直线方程是A . 3x y 6 0B . x 3y 100 C . 3x y 0x 3y 8故所求的直线方程为：3x y 6 0 .故选：A.6,【解答】 解：对于A ，由线面垂直的定义可知 A 正确; 对于B ，若I ，则结论错误; 对于C ,若I，则结论错误；对于D ，若I// , m，则I 与m 可能平行，可能异面，故 D 错误.故选：A .5. （5分）在正四面体SABC 中，D 为SC 的中点，则异面直线ur uirSAgBD ur pun I SA|| BD |异面直线SA 与BD 所成角的余弦值是彳A .仝2故选：D . 6. （ 5分）双曲线1的离心率是（x 124. （ 5分）已知I , m 表示两条不同的直线, 表示平面，则下列说法正确的是 （A .若 I , m ，贝U I mB .若 I m , m ，则 I C. 若 I //m , m，贝U I //D.若 I// , m ，则 I //mSA 与BD 所成角的余弦值是（ A .—B . C.—336【解答】 解: 如图， 设正四面体的棱长为ur2,则 |SA| 2 uuu urn UJU ur 1 uui1 BD BS SDSB -SC ,ASBASC -,nr urn nr SAgBD SAg( ur 1 mu SB — SC)2ur uir SAgS B1 ur uui SAgS Cur uuu cos SA, BD 1 2,3C .uuu _ 口,| BD |3，且 2。
安徽省黄山市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷(理科)A卷
安徽省黄山市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）如图，阴影部分表示的集合是（）A . B∩[∁U （A∪C）]B . （A∪B）∪（B∪C）C . （A∪C）∩（∁UB）D . [∁U （A∩C）]∪B2. （2分）(2017·宁波模拟) 已知复数z满足z（1﹣i）=2i，其中i为虚数单位，则|z|=（）A . 1B .C . 2D . 43. （2分） R上的奇函数满足，当时，，则（）A .B . 2C .D .4. （2分）用符号语言表示下列语句，正确的个数是（）⑴点A在平面α内，但不在平面β内：A⊂α，A⊄β.⑵直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A∉α，a⊄α.⑶平面α与平面β相交于直线l ，且l经过点P：α∩β=l ，P∈l.⑷直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：P∈l ，l∩α=M.A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2016高一下·衡水期末) 已知，记数列{an}的前n项和为Sn ，则使Sn＞0的n的最小值为（）A . 10B . 11C . 12D . 136. （2分） (2018高一下·淮南期末) 设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）A .B .C .D .7. （2分）设O为坐标原点，点A(1, 1)，若点满足，则取得最大值时，点B的个数是（）A . 无数个B . 1个C . 2个D . 3个8. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（）A .B .C .D .9. （2分）曲线与直线围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .10. （2分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°则此球的表面积等于（）A .B . 20πC . 8πD .11. （2分） (2016高二下·绵阳期中) 若方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则的取值范围是（）A . [﹣2，1）B . （﹣2，1）C . （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D . （﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）12. （2分）对于函数，下列说法正确的是（）A . 该函数的值域是B . 当且仅当时，C . 当且仅当时，该函数取最大值1D . 该函数是以为最小正周期的周期函数二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 现有如下假设：所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险.下列结论可以从上述假设中推出来的是________．（填写所有正确结论的编号）①所有纺织工都投了健康保险②有些女工投了健康保险③有些女工没有投健康保险④工会的部分成员没有投健康保险14. （1分）下列命题：①函数的单调减区间为；②函数图象的一个对称中心为；③函数y=cosx的图象可由函数的图象向右平移个单位得到；④若方程在区间上有两个不同的实数解x1 ， x2 ，则．其中正确命题的序号为________．15. （1分） (2019高一上·如皋月考) 已知函数的定义域是，且，，如果对于，都有，则不等式的解集为________．16. （1分） (2016高三上·商州期中) 已知函数f（x）=lnx﹣3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是________三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2018高三上·昭通期末) 数列的前n项和为Sn ，且Sn=n2+1(I)求的通项公式；(II)设，求数列的前n项和18. （10分） (2016高二下·河北期末) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin （A+ ）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S= c2 ，求sinC的值．19. （10分） (2016高二上·中江期中) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面AEC．（2）求异面直线BC1与AC所成的角．20. （10分） (2019高二下·东莞期中) 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的值域．21. （15分） (2016高二上·德州期中) 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= ，H是BC的中点．（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：AB⊥平面BCF；（3）求五面体ABCDEF的体积．22. （10分） (2016高一下·衡阳期末) 已知函数f（x）=cos2ωx﹣sin2ωx+2 cosωx•sinωx，其中ω＞0，若f（x）相邻两条对称轴间的距离不小于（1）求ω的取值范围及函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a= ，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求sinB•sinC 的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
2019-2020学年安徽省芜湖市高三(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合2|01x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则(A B =I )A ．[2-，2)B ．(1-，1]C ．(1,1)-D ．(1,2)-2．（5分）已知复数z 满足1(z i i =+为虚数单位），则||z 等于( ) A ．12B ．1C ．2D ．23．（5分）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =，则( ) A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-4．（5分）《周髀算经》中记录了一种“盖天天地模型”如图所示，“天之中央亦高四旁六万里．四旁犹四极也，地穹隆而高，如盖笠．故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里．”意思为“天的中央亦高出四周六万里．四旁就是四极，随地穹隆而天也高凸，如盖笠．所以日光向外照射的最大直径是八十一万里，周长是二百四十三万里．”将地球看成球体，以此数据可估算地球半径大约为( )A ．164万里B ．140万里C ．104万里D ．78万里5．（5分）已知抛物线方程为22x y =，则其准线方程为( ) A ．1y =-B ．1x =-C ．12x =-D ．12y =-6．（5分）若(24)n x -展开式中第3项二项式系数和第5项二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为( ) A ．62B ．72-C ．82D ．92-7．（5分）若191log 25a =，3log 4b =，151()3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．（5分）已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．（5分）某校高三年级有男生410人，学号为001，002，⋯，410；女生290人，学号为411，412，⋯，700对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030)；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是( ) A ．15B ．310C ．710D ．4510．（5分）已知函数()|cos2|cos ||f x x x =+，[x π∈-，]π，则下列说法错误的为( ) A ．()f x 有2个零点B ．()f x 最小值为2C ．()f x 在区间(0,)4π单调递减D ．()f x 的图象关于y 轴对称11．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的一个截面经过顶点A ，C 及棱11A D 上一点K ，且将正方体分成体积之比为13:41的两部分，则11D KKA 的值为( )A ．1B 2C ．12 D ．1312．（5分）若点(0,)A t 与曲线y lnx =上点B 距离最小值为23t 为( ) A ．23ln +B ．32ln +C ．1332ln +D ．1222ln +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知()()()1,,3,2,,a m b a b b m ==-+⊥=r rr r r 若则14．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，*13()n n n a a n N +=∈g ，那么数列{}n a 的前9项和n S = ． 15．（5分）已知正四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 边长为2，E 为PB 中点，90AEC ∠=︒，则球O 表面积为 ．16．（5分）设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左，右焦点，过2F 的直线交双曲线左，右两支于点M ，N ，连接1MF ，1NF ，若110MF NF =u u u u r u u u u r g ，且11||||MF NF =u u u u r u u u u r，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 中点，2PD CD DE =．（1）求证：ED BP ⊥；（2）若BD 与平面PBC 所成的角为30︒，求二面角C PB D --的大小．18．（12分）已知函数1()sin cos()64f x x x π=--．（1）求函数()f x 的周期；（2）若(0,)4πα∈，2()5f α=，求sin 2α．19．（12分）已知定点(1,0)M -，圆22:(1)16N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最大值．20．（12分）小明和父母都喜爱《中国好声音》这栏节目，2019年10月7日晚在鸟巢进行中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为1，2，3，4，某网站为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测．现用1a ，2a ，3a ，4a 表示某网友对实际名次为1，2，3，4的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列，1234|1||2||3||4|X a a a a =-+-+-+-是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述．（1）求X 的分布列及数学期望；（2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是4X <，计算出现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立）． 21．（12分）已知函数()2(1)x f x a x a =->． （1）当a e =时，求证：()22f x lnx x -+>；（2）讨论函数()f x 的零点个数．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (sin 2x y θθθθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线1l ，2l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，2()3R πθρ=∈，设直线1l ，2l 与曲线C 的交点分别为M ，N （除极点外），求OMN ∆的面积． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|4|2|1|f x x x =---的最大值为m ． （1）解不等式()1f x >；（2）若a ，b ，c 均为正数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++…．2019-2020学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合2|01x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则(A B =I )A ．[2-，2)B ．(1-，1]C ．(1,1)-D ．(1,2)-【解答】解：Q 集合2|0{|21}1x A x x x x +⎧⎫=<=-<<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，{|11}(1,1)A B x x ∴=-<<=-I ．故选：C ．2．（5分）已知复数z 满足1(z i i =+为虚数单位），则||z 等于( ) A ．12B ．1C ．2 D【解答】解：1z i =+Q ，||z ∴=故选：D ．3．（5分）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =，则( ) A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【解答】解：因为46a =，36S =， 所以1136336a d a d +=⎧⎨+=⎩，解可得，10a =，2d =， 故22n a n =-，2222n n s n n n -=⨯=-． 故选：C ．4．（5分）《周髀算经》中记录了一种“盖天天地模型”如图所示，“天之中央亦高四旁六万里．四旁犹四极也，地穹隆而高，如盖笠．故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里．”意思为“天的中央亦高出四周六万里．四旁就是四极，随地穹隆而天也高凸，如盖笠．所以日光向外照射的最大直径是八十一万里，周长是二百四十三万里．”将地球看成球体，以此数据可估算地球半径大约为( )A ．164万里B ．140万里C ．104万里D ．78万里【解答】解：设地球的半径为R 万里，如图所示： 由题意可得，日光照射到地球所形成的截面圆的半径为812万里， 则22281(6)()2R R =-+，解得8127314016R ⨯=+≈（万里）， 故选：B ．5．（5分）已知抛物线方程为22x y =，则其准线方程为( ) A ．1y =-B ．1x =-C ．12x =-D ．12y =-【解答】解：抛物线22x y =的准线方程为：12y =-，故选：D ．6．（5分）若(24)n x -展开式中第3项二项式系数和第5项二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为( ) A ．62B ．72-C ．82D ．92-【解答】解：(24)n x -展开式中第3项二项式系数和第5项二项式系数相等，所以24nn C C =，所以6n =，令1x =，则66(24)2-=， 故选：A ．7．（5分）若191log 25a =，3log 4b =，151()3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>【解答】解：13391log log 5log 4125a b ==>=>，151()13c =<，则a b c >>． 故选：D ．8．（5分）已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数的导数()22sin f x x x '=-， 则()f x '为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，设()()22sin g x f x x x ='=-，则()22cos 0g x x '=-…，即()g x 为增函数，排除D 故选：C ．9．（5分）某校高三年级有男生410人，学号为001，002，⋯，410；女生290人，学号为411，412，⋯，700对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030)；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是( ) A ．15B ．310C ．710D ．45【解答】解：由题意得，抽样间隔为7007010=， 且第1组抽到的号码为030，第2组抽到号码为100，第3组抽到号码为170，第4组抽到号码为240，第5组抽到号码为310，第6组抽到号码为380，都为男生， 从第7组开始抽到的都为女生，有4人． 所以在抽取的10人中，男生6人，女生4人．从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率3364331010415P =--=ðð痧．故选：D ．10．（5分）已知函数()|cos2|cos ||f x x x =+，[x π∈-，]π，则下列说法错误的为( ) A ．()f x 有2个零点B ．()f x最小值为 C ．()f x 在区间(0,)4π单调递减D ．()f x 的图象关于y 轴对称 【解答】解：由[x π∈-，]π关于原点对称，且()|cos2()|cos |||cos2|cos ||()f x x x x x f x -=-+-=+=，即有()f x 为偶函数，即()f x 的图象关于y 轴对称，故D 正确； 由对称性可知只需考虑[0x ∈，]π， 当[0x ∈，]4π时，2[0x ∈，]2π，cos20x …，2219()cos2cos 2cos cos 12(cos )48f x x x x x x =+=+-=+-，令cos 1)t x t =，则2192()48y t =+-在[0，1]递增，则()f x 在[0x ∈，]4π递减，故C 正确； 当[4x π∈，]2π时，2[2x π∈，]π，cos20x „，2219()cos2cos 2cos cos 12(cos )48f x x x x x x =-+=-++=--+，令cos (0t x t=剟，则2192()48y t =--+在[0，1]4递增，1[4递减，则()f x 在[4x π∈，1 arccos]4递增，在1[arccos4x∈，]2π递减；[2xπ∈，3]4π时，2[xπ∈，3]2π，cos20x„，2219()cos2cos2cos cos12(cos)48f x x x x x x=-+=-++=--+，令2cos(0)t x t=-剟，则2192()48y t=--+在2[-，0]递增，则()f x在[2xπ∈，3]4π递减，3[4xπ∈，]π时，32[2xπ∈，2]π，cos20x…，2219()cos2cos2cos cos12(cos)48f x x x x x x=+=+-=+-，令2cos(1)t x t=--剟，则2192()48y t=+-在[1-，2]-递减，则()f x在3[4xπ∈，]π递增，综上可得，()f x在34xπ=处取得最小值，且为2-，故B正确；又()f x在[0，]2π时()0f x>，()f x在(2π，3)4π递减，在3[4π，]π递增，3()04fπ<，()0fπ=，可得()f x在[0，]π有两个零点，则()f x在[π-，]π有4个零点，故A错误，故选：A．11．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D-的一个截面经过顶点A，C及棱11A D上一点K，且将正方体分成体积之比为13:41的两部分，则11D KKA的值为()A．1B2C．12D．13【解答】解：过K作//KE AC，交11C D于点E，连结CE，设正方体棱长为a ，设111D K KA λ=，则111aD K DE λ==+， Q 正方体1111ABCD A B C D -的一个截面经过顶点A ，C 及棱11A D 上一点K ， 且将正方体分成体积之比为13:41的两部分，∴1222231111113[()()]32122121341KED ACD a a V a a a a λλ-=⨯++=+++g ，解得2λ=． ∴1112D K KA =． 故选：C ．12．（5分）若点(0,)A t 与曲线y lnx =上点B 距离最小值为23t 为( ) A ．23ln +B ．32ln +C ．1332ln +D ．1222ln +【解答】解：设点B 坐标为0(x ，0)lnx ，其中00x >，Q 1y x'=，∴过点B 的切线斜率为01x ，Q 当直线AB 与过点B 的切线垂直时，点A 与点B 间的距离最小，∴此时000lnx tx x -=-，∴200lnx t x -=-，点A 与点B 22240000()23x lnx t x x +-+= 即4200120x x +-=，解得：203x =，又00x >Q ，∴03x = ∴200133332t lnx x ln =+==+，故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知()()()1,,3,2,,a m b a b b m ==-+⊥=r rr r r 若则 8【解答】解：(4,2)a b m +=-rr ； Q ()a b b +⊥rr r ；∴()122(2)0a b b m +=--=r rr g ； 8m ∴=．故答案为：8．14．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，*13()n n n a a n N +=∈g ，那么数列{}n a 的前9项和n S = 241 ．【解答】解：11a =，*13()n n n a a n N +=∈g ， 可得123a a =，即23a =， 又1123n n n a a +++=， 相除可得23n na a +=， 则数列的奇数项和偶数项，均为公比为3的等比数列， 可得数列{}n a 的前9项和为4(133)(392781)++⋯+++++51312024113-=+=-． 故答案为：241．15．（5分）已知正四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 边长为2，E 为PB 中点，90AEC ∠=︒，则球O 表面积为323π． 【解答】解：如图，设ABCD 的中心为G ，连接PG ，则PG ⊥底面ABCD ，Q 底面ABCD 边长为2，AC ∴=又90AEC ∠=︒，AEC ∴∆为等腰直角三角形，得EG ，则PB =PG ∴设正四棱锥P ABCD -的外接球的外接球的球心为O ，半径为R ，则222)R R =-+，解得R =∴球O 表面积为23243ππ⨯=． 故答案为：323π． 16．（5分）设1F ，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左，右焦点，过2F 的直线交双曲线左，右两支于点M ，N ，连接1MF ，1NF ，若110MF NF =u u u u r u u u u r g ，且11||||MF NF =u u u u r u u u u r，则双曲线的离心【解答】解：若110MF NF =u u u u r u u u u r g ，且11||||MF NF =u u u u r u u u u r，可得1MNF ∆为等腰直角三角形，设11||||MF NF m ==，则||MN =， 由12||||2MF MF a -=，21||||2NF NF a -=， 两式相加可得22||||||4NF MF MN a -==，即有m =，在直角三角形12HF F 中可得22244(22)c a a a =++-，化为223c a =，即ce a=三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 中点，2PD CD DE ==．（1）求证：ED BP ⊥；（2）若BD 与平面PBC 所成的角为30︒，求二面角C PB D --的大小．【解答】解：（1）证明：面PCD ⊥面ABCD ，BC CD ⊥，面PCD ⋂面ABCD CD =， 所以BC ⊥面PCD ，BC DE ∴⊥，又PD CD =Q ，E 为PC 中点，ED PC ∴⊥，BC PC C =I ，ED ∴⊥面PBC ，故ED BP ⊥．（2）解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，由（1）可知，BD 在平面PBC 的射影为EB ，即30DBE ∠=︒， 不妨设2CD =，由2PD CDDE ==得2ED =， ∴22BD =，故2BC =，(0D ，0，0)，(0P ，0，2)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)∴(2,2,2)PB =-u u u r ，(0,2,2)PC =-u u u r ，(2,2,0)DB =u u u r，设平面PBC 与平面PBD 的法向量分别为1111(,,)n x y z =u u r 和2222(,,)n x y z =u u r， 则1(0,1,1)n =u u r由2222222222222(,,)(2,2,2)2220(,,)(2,2,0)220n PB x y z x y z n DB x y z x y ⎧=-=+-=⎪⎨==+=⎪⎩u u r u u u r g g u u r u u u rg g ， 令21y =，则21x =-，20z =，∴1(1,1,0)n =-u u r∴121cos ,2n n 〈〉=u u r u u r ，∴二面角C PB D --的大小60︒．18．（12分）已知函数1()sin cos()64f x x x π=--．（1）求函数()f x 的周期；（2）若(0,)4πα∈，2()5f α=，求sin 2α．【解答】解：（1）21311311()sin (cos cossin sin )cos sin 2cos2sin(2)66424426f x x x x x x x x x x πππ=+-+--=-，所以函数()f x 周期为T π=． （2）12()sin(2)265f παα=-=，所以4sin(2)65πα-=因为(0,)4πα∈， 得2(,)663πππα-∈-， 所以3cos(2)65πα-=，可得431sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 666666552ππππππαααα=-+=-+-=+⨯=． 19．（12分）已知定点(1,0)M -，圆22:(1)16N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可得||||||||4||2MP NP PQ NP MN +=+=>=， 所以动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C 的方程为：22143x y +=；（2）由题意可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得22221(34)690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩g ，所以2212(1)||34t DE t +==+， 同理21212(1)||34t AB l t +=+与2l的距离为d =所以四边形ABDE面积为24S =，(1)u u =…得224241313u S u u u==++， 当且仅当1u =，即0t =时，ABDE S 面积取最大值为6．20．（12分）小明和父母都喜爱《中国好声音》这栏节目，2019年10月7日晚在鸟巢进行中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为1，2，3，4，某网站为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测．现用1a ，2a ，3a ，4a 表示某网友对实际名次为1，2，3，4的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列，1234|1||2||3||4|X a a a a =-+-+-+-是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述．（1）求X 的分布列及数学期望；（2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是4X <，计算出现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立）． 【解答】解：（1）X 的可能取值集合为{0，2，4，6，8}．分可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X 的值，在等可能的假定下，得故137940246852424242424EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）首先131(4)(0)(2)24246P X P X P X <==+==+=，将三人评分后都有4X <的概率记作p ，由上述结果的独立性得3116216p ==． 21．（12分）已知函数()2(1)x f x a x a =->． （1）当a e =时，求证：()22f x lnx x -+>； （2）讨论函数()f x 的零点个数．【解答】（1）解法1：令()()222x g x f x lnx x e lnx =-+-=--，则1()(0)x g x e x x'=->，g 'Q （1）10e =->，11()0e g e e e '=-<，1(1)()0g g e''<g∴存在01(,1)x e∈，使0()0g x '=因为()g x '在(0,)+∞为增函数，所有函数()g x 在0(0,)x 上为单减函数， 在0(x ，)+∞上为单增函数，所以0000001()()220(1)x g x g x e lnx x x x =--=+->≠… 即得证．解法2:（放缩法）由重要不等式可得，1x e x >+，1x lnx >+， 易得2x e lnx >+，故得证．（2）解：当2x a x =，两边取对数得22xlna ln x ln lnx ==+， 令()2h x xlna lnx ln =--， 1()h x lna x'=-，令1()0h x lna x'=-=得1x lna=，1111()()2()()2e h lna ln ln ln ln lna lna lna lna=--=-， 当1()0h lna >时，即12e lna >得2e a e >时，1()()0h x h lna >…，函数()f x 无零点；当1()0h lna =时，即12e lna =得2e a e =时，1()0h lna=，函数()f x 有1个零点；当1()0h lna <时，即12e lna <得21e a e <<时，1()0h lna <，1()02h lna >，函数()f x 有1个零点，1()0h lna <，2()0h lna >，函数()f x 有1个零点． 故函数有2个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos (sin 2x y θθθθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线1l ，2l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，2()3R πθρ=∈，设直线1l ，2l 与曲线C 的交点分别为M ，N （除极点外），求OMN ∆的面积．【解答】解：（1）由参数方程cos sin 2x y θθθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得普通方程22(2)4x y +-=，所以极坐标方程：2222cos sin 4sin 0ρθρθρθ+-=，则4sin ρθ=． （2）直线1:()6l R πθρ=∈与曲线C 的交点为O ，M ，得1||4sin26OM πρ===又直线22:()3l R πθρ=∈与曲线C 的交点为O ，N，得22||4sin 3ON πρ===且2MON π∠=，所以11||||222OMN S OM ON ∆==⨯⨯g [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|4|2|1|f x x x =---的最大值为m ． （1）解不等式()1f x >；（2）若a ，b ，c 均为正数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++…．【解答】解：（1）2,(1)()|4|2|1|36,(14)2,(4)x x f x x x x x x x +⎧⎪=---=-+<<⎨⎪--⎩„…，()1f x >Q ，∴211x x +>⎧⎨⎩„或36114x x -+>⎧⎨<<⎩或214x x -->⎧⎨⎩…， 513x ∴-<<，∴不等式的解集为5(1,)3-．（2）由（1）知()f x 的最大值3m =．a Q ，b ，c 均为正数，∴22a c a c +…，22b a b a +…，22c b c b+…， 又3a b c m ++==，∴222222a b c a b c a b c c a b+++++++…．∴2223b c a a b c ++…，当且仅当1a b c ===时取等号． ∴2223b c a a b c++…．。
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高三(上)10月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A.(2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, −1)D.(−∞, −1]【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，M⊆N，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论【解答】∵集合M＝{x|−1<x<2}，N＝{x|x<a}，M⊆N，∴a≥2，实数a的取值范围是[2, +∞)2. 在复平面内与复数z=5i1+2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为（）A.1+2i B.1−2i C.−2+i D.2+i【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．【解答】复数z=5i1+2i =5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5(i+2)5=2+i所对应的点(2, 1)关于虚轴对称的点为A(−2, 1)，∴A对应的复数为−2+i．3. 条件p:|x+1|>2，条件q:13−x>1，则￢p是￢q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先求出当命题为真时x 的范围，再根据补集思想求出命题为假时的x 的范围，然后根据题意观察两个集合之间的关系由小范围推大范围是充分不必要条件，即可得到答案． 【解答】由题意得：条件p:|x +1|>2，即p:x >1或x <−3． 所以￢p:−3≤x ≤1．由题意得：条件q:13−x >1，即q:2<x <3． 所以￢q:x ≥3或x ≤2．所以￢p 是￢q 的充分不必要条件．4. 函数f(x)=√(log 2x)2−1的定义域为( )A.(0, 12)B.(2, +∞)C.(0, 12)∪(2, +∞)D.(0, 12]∪[2, +∞)【答案】 C【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则(log 2x)2−1>0(x >0)， 即log 2x >1或log 2x <−1， 解得x >2或0<x <12，即函数的定义域为(0, 12)∪(2, +∞)， 故选C.5. 设f(x)＝lg(21−x +a)是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数是（ ） A.(−∞, +∞)上的减函数 B.(−∞, +∞)上的增函数 C.(−1, 1)上的减函数 D.(−1, 1)上的增函数 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 复合函数的单调性 【解析】由f(0)＝0，求得a 的值，可得f(x)＝lg(1+x1−x )，由此求得函数f(x)的定义域．再根据f(x)＝lg(−1−2x−1)，以及t ＝−1−2x−1在(−1, 1)上是增函数，可得结论． 【解答】由于f(x)＝lg(21−x+a)是奇函数，且在x＝0处有意义，故有f(0)＝0，即lg(2+a)＝0，解得a＝−1．故f(x)＝lg(21−x −1)＝lg(1+x1−x)．令1+x1−x>0，求得−1<x<1，故函数f(x)的定义域为(−1, 1)．再根据f(x)＝lg(1+x1−x )＝lg(−1−2x−1)，函数t＝−1−2x−1在(−1, 1)上是增函数，可得函数f(x)在(−1, 1)上是增函数，6. 函数y＝cos(sin|x|)的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】作函数y＝cos(sin|x|)的图象，从而确定答案．【解答】作函数y＝cos(sin|x|)的图象如下，7. 定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得的图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①f(x)＝(x−1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)＝2x−1−1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称；③f(x)=xx+1，T：将函数f(x)的图象关于点(−1, 1)对称．④f(x)=sin(x+π3)，T：将函数f(x)的图象关于点(−1, 0)对称．其中T是f(x)的同值变换的有（）A.①②B.①③④C.①④②D.①③【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据同值变换的定义，先求出对应的函数解析式，求出相应的值域，结合值域关系进行判断即可． 【解答】①f(x)＝(x −1)2的值域为[0, +∞)，T ：将函数f(x)的图象关于y 轴对称得到f(x)＝(−x −1)2＝(x +1)2的值域为[0, +∞)，值域相同是同值变换．②f(x)＝2x−1−1>0−1＝−1，值域为(−1, +∞)，将函数f(x)的图象关于x 轴对称得到−y ＝2x−1−1，即y ＝−2x−1+1<1，两个函数的值域不相同，不是同值变换． ③f(x)=xx+1=x+1−1x+1=1−1x+1，函数关于(−1, 1)对称，函数值域为{y|y ≠1}，将函数f(x)的图象关于点(−1, 1)对称后函数是自身，满足值域相同，是同值变换 ④f(x)=sin(x +π3)的值域为[−1, 1]，则f(x)的图象关于点(−1, 0)对称后的值域仍然为[−1, 1]，则两个函数的值域相同，是同值变换． 故T 是f(x)的同值变换的有①③④，8. 如图所示的程序框图中，若f(x)＝x 2−x +1，g(x)＝x +4，且ℎ(x)≥m 恒成立，则m 的最大值是（ ）A.4B.3C.1D.0 【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：ℎ(x)={x 2−x +1x 2−x +1≥x +4x +4x 2−x +1≤x +4的值，数形结合求出ℎ(x)的最小值，可得答案． 【解答】由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：ℎ(x)={x 2−x +1x 2−x +1≥x +4x +4x 2−x +1≤x +4的值， 在同一坐标系，画出f(x)＝x 2−x +1，g(x)＝x +4的图象如下图所示：由图可知：当x ＝−1时，ℎ(x)取最小值3， 又∵ ℎ(x)≥m 恒成立， ∴ m 的最大值是3，9. 二次函数f(x)＝x 2+bx +c(b, c ∈R)，若c <0，且函数f(x)在[−1, 1]上有两个零点，求b +2c 的取值范围（ ） A.(−2, 2) B.(−2, 1) C.[−2, 1) D.(−1, 1) 【答案】 C【考点】二次函数的性质 函数零点的判定定理 二次函数的图象 【解析】由题意函数f(x)与x 轴有两个交点，则f(−1)≥0，f(1)≥0进而求解． 【解答】由题意f(x)与x 轴有2个交点，且f(x)min <0，函数f(x)在[−1, 1]上有两个零点，则{f(−1)=1−b +c ≥0f(1)=1+b +c ≥0 即{b ≤1+cb ≥−1−c ∵ c <0，∴ b +2c ≤1+c +2c ＝1+3c <1， b +2c ≥−1−c +2c ＝−1+c ，若b +2c ＝−2，则b ＝−2−2c 即{−2−2c ≤1+c −2−2c ≥−1−c 解得{c ≥−1c ≤−1 ∴ c ＝−1满足题意，10. 设函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2 ，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ） A.(16, 32) B.(18, 34) C.(17, 35) D.(6, 7) 【答案】 B【考点】分段函数的应用 【解析】不妨设a <b <c ，利用f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象可得a ，b ，c 的范围，即可1求出 【解答】互不相等的实数a ，b ，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，可得a ∈(−∞, 0)，b ∈(0, 1)，c ∈(4, 5)， 则0<2a <1，0<2b <1，16<2c <32，2a+2b+2c∈(18, 34)11. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，记a＝−log23⋅f(log132)，b＝f(1)，c＝4f(0.52)，则（）A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c 【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】设g(x)=f(x)x ，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，可得g(x)在(0, +∞)上单调递增，分别化简a，b，c，即可得出结论．【解答】设g(x)=f(x)x ，∵对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递增，∵a＝−log23⋅f(log132)＝g(log132)，b＝f(1)＝g(1)，c＝4f(0.52)＝g(0.52)，log132<0<0.52<1，∴c<a<b．故选：C．12. 函数f(x)＝−x3+a+1，x∈[1e, e]与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A.[e, e3−3]B.[1, e2−4]C.[1, e3−3]D.[0, e3−4]【答案】D【考点】函数与方程的综合运用【解析】先求出函数g(x)关于x轴对称的函数，转化为f(x)与对称函数有交点，利用构造函数法，结合导数研究函数的最值即可．【解答】g(x)＝3lnx的图象关于x轴对称的函数解析式为−y＝3lnx，即y＝−3lnx，若f(x)与g(x)＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则等价为f(x)与y＝−3lnx在x∈[1e, e]上有交点，即−x3+a+1＝−3lnx，即a＝x3−3lnx−1，x∈[1e, e]有解即可，设ℎ(x)＝x3−3lnx−1，x∈[1e, e]，则ℎ′(x)＝3x2−3x =3(x3−1)x，当ℎ′(x)>0得1<x≤e，此时函数ℎ(x)为增函数，当ℎ′(x)<0得1e ≤x <1，此时函数ℎ(x)为减函数，即当x ＝1时，函数ℎ(x)取得极小值同时也是最小值ℎ(1)＝1−3ln1−1＝0， 当x =1e 时，ℎ(1e )＝(1e )3−3ln 1e −1＝(1e )3+2， 当x ＝e 时，ℎ(e)＝e 3−3lne −1＝e 3−4， 则ℎ(e)>ℎ(1e )，即ℎ(x)的取值范围是[0, e 3−4]， 则实数a 的取值范围是[0, e 3−4]， 故选：D ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.已知命题p:∃x ∈R ，x 2+2ax +a ≤0，则命题p 的否定是________． 【答案】∀x ∈R ，x 2+2ax +a >0 【考点】 命题的否定 【解析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，写出命题的否定． 【解答】命题p:∃x ∈R ，x 2+2ax +a ≤0，则命题p 的否定是：∀x ∈R ，x 2+2ax +a >0，若函数f(x)＝log a (x +ax −4)的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(0, 1)∪(1, 4] 【考点】函数的值域及其求法 【解析】问题转化为x +ax −4可以取所有正数，a >0且a ≠1，由分类讨论和基本不等式可得． 【解答】∵ 函数f(x)＝log a (x +ax −4)的值域为R ， ∴ x +ax −4>0，a >0且a ≠1， 当a >0时，x +ax −4≥2√a −4，故只需2√a −4≤0即可， 解不等式可得a ≤4，综上可得a 的取值范围为：0<a ≤4且a ≠1．若直线y ＝kx +b 是曲线y ＝lnx +2的切线，也是曲线y ＝ln(x +1)的切线，则b ＝________． 【答案】 1−ln2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 【解答】设y ＝kx +b 与y ＝lnx +2和y ＝ln(x +1)的切点分别为(x 1, kx 1+b)、(x 2, kx 2+b)； 由导数的几何意义可得k =1x 1=1x2+1，得x 1＝x 2+1再由切点也在各自的曲线上，可得{kx 1+b =lnx 1+2kx 2+b =ln(x 2+1) 联立上述式子解得{k =2x 1=12x 2=−12；从而kx 1+b ＝lnx 1+2得出b ＝1−ln2．若△ABC 的内角A ，B 满足sinB sinA=2cos(A +B)，则当B 取最大值时，角C 大小为________． 【答案】2π3【考点】同角三角函数间的基本关系 基本不等式及其应用 【解析】已知等式变形后，利用同角三角函数间基本关系化简，利用基本不等式求出tanB 的最大值，进而求出B 的最大值，即可求出C 的度数． 【解答】已知等式变形得：sinB ＝2sinAcos(A +B)， ∴ sinB ＝2sinAcosAcosB −2sin 2AsinB ， ∴ tanB =2sinAcosA 1+2sin 2A=2tanA1+3tan 2A ，∵sinB sinA=2cos(A +B)=−2cosC >0，∴ C 为钝角，A 与B 为锐角，tanA >0， ∴ tanB =21tanA+3tanA ≤√33，当且仅当tanA=√33，即A =π6时取等号， ∴ (tanB)max =√33，即B 的最大值为π6，则C =2π3．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，满足cosAcosB +ab =2c b求角B的大小；（2）若a＝1，b2＝ac，求△ABC的面积．【答案】（1）根据题意，△ABC中，有cosAcosB +ab=2cb，则有cosAsinB+cosBsinAcosBsinA=2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB =2sinCsinB，又由sin(A+B)＝sinC≠0，则cosB=12，又由B∈(0, π)，则B=π3；（2）根据题意，△ABC中有b2＝ac，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3=a2+c2−ac，故ac＝a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，故△ABC为正三角形，故SΛABC=√34．【考点】解三角形【解析】（1）根据题意，由正弦定理可得cosAsinB+cosBsinAcosBsinA =2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB=2sinCsinB，进而可得cosB的值，分析可得B的值；（2）根据题意，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3= a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，据此分析可得答案．【解答】（1）根据题意，△ABC中，有cosAcosB +ab=2cb，则有cosAsinB+cosBsinAcosBsinA=2sinCsinB，变形可得sin(A+B)cosBsinB =2sinCsinB，又由sin(A+B)＝sinC≠0，则cosB=12，又由B∈(0, π)，则B=π3；（2）根据题意，△ABC中有b2＝ac，由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac⋅cosB=a2+c2−2ac⋅cosπ3=a2+c2−ac，故ac＝a2+c2−ac，变形可得(a−c)2＝0，得a＝c＝1，故△ABC为正三角形，故SΛABC=√34．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n an，求{b n}的前n项和T n．【答案】∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2，∴S3−S2＝a4−2a2，即a3＝a4−2a2，∴q2−q−2＝0，解得q＝2或q＝−1（舍去）．又a1+a2＝2a2−2，∴a2＝a1+2，∴a1q＝a1+2，代入q＝2，解得a1＝2，∴a n=2×2n−1=2n．∵b n=na n =n2n，∴{b n}的前n项和：T n=12+222+323+⋯+n2n，①1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1，②①-②，得：1 2T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12=1−12n−n2n+1，∴T n＝2−n+22n．【考点】数列的求和【解析】（1）先求出a3＝a4−2a2，从而q2−q−2＝0，解得q＝2，再由a2＝a1+2，得a1＝2，从而求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n=n an =n2，利用错位相减法能求出{b n}的前n项和．【解答】∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>0，S2＝2a2−2，S3＝a4−2，∴S3−S2＝a4−2a2，即a3＝a4−2a2，∴q2−q−2＝0，解得q＝2或q＝−1（舍去）．又a1+a2＝2a2−2，∴a2＝a1+2，∴a1q＝a1+2，代入q＝2，解得a1＝2，∴a n=2×2n−1=2n．∵b n=na n =n2n，∴{b n}的前n项和：T n=12+222+323+⋯+n2n，①1 2T n=122+223+324+⋯+n2n+1，②①-②，得：1 2T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n )1−12=1−12n −n2n+1，∴ T n ＝2−n+22n．如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD // BC ，AD ＝3BC ＝6，PB =6√2，点M 在线段AD 上，且MD ＝4，AD ⊥AB ，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）当四棱锥P −ABCD 的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【答案】由AD ＝6，DM ＝4，可得AM ＝2，得四边形ABCM 是矩形，∴ CM ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM ， 又，PM ，AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴ 平面PCM ⊥平面PAD ． 四棱锥P −ABCD 的体积为：V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值． 由条件可得PA 2+AB 2＝PB 2＝72， ∴ 72≥2PA ⋅AB ，即PA ⋅AB ≤36，当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则P(6, 0, 0)，C(0, 6, 2)，D(0, 0, 6)，M(0, 0, 2)， PC →=(−6,6,2)，PD →=(−6,0,6)，PM →=(−6,0,2)， 设平面PCD 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，由n 1→⋅PC →=0，n 1→⋅PD →=0， 可得{−6x 1+6y 1+2z 1=0−6x 1+6z 1=0 ，令y 1＝2，得n 1→=(3,2,3)， 同理可得平面PCM 的一个法向量为n 2→=(1,0,3)， 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=√10⋅√22=6√5555．由于平面PCM 与平面PCD 所成角为锐二面角， ∴ 平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6√5555．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出CM ⊥AD ，PA ⊥CM ，从而CM ⊥平面PAD ，由此能证明平面PCM ⊥平面PAD ．（2）四棱锥P −ABCD 的体积为V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值．推导出当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ．利用向量法能求出平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值． 【解答】由AD ＝6，DM ＝4，可得AM ＝2，得四边形ABCM 是矩形，∴ CM ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥CM ， 又，PM ，AD ⊂平面PAD ，∴ CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴ 平面PCM ⊥平面PAD ． 四棱锥P −ABCD 的体积为：V =13⋅12⋅(AD +BC)⋅AB ⋅PA =43⋅AB ⋅PA ，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只需AB ⋅PA 取得最大值． 由条件可得PA 2+AB 2＝PB 2＝72， ∴ 72≥2PA ⋅AB ，即PA ⋅AB ≤36，当且仅当PA ＝AB ＝6时，PA ⋅AB 取得最大值36．分别以AP ，AB ，AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ． 则P(6, 0, 0)，C(0, 6, 2)，D(0, 0, 6)，M(0, 0, 2)， PC →=(−6,6,2)，PD →=(−6,0,6)，PM →=(−6,0,2)， 设平面PCD 的一个法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)，由n 1→⋅PC →=0，n 1→⋅PD →=0， 可得{−6x 1+6y 1+2z 1=0−6x 1+6z 1=0 ，令y 1＝2，得n 1→=(3,2,3)， 同理可得平面PCM 的一个法向量为n 2→=(1,0,3)， 设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=√10⋅√22=6√5555．由于平面PCM 与平面PCD 所成角为锐二面角， ∴ 平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值为6√5555．已知函数f(x)＝x2+bsinx−2，(b∈R)，F(x)＝f(x)+2，且对于任意实数x，恒有F(x−5)＝F(5−x)．（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知函数g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0, 1)上单调，求实数a的取值范围；（3）函数ℎ(x)=ln(1+x2)−12f(x)−k有几个零点？【答案】由题设得：F(x)＝x2+bsinx，∵F(x−5)＝F(5−x)，∴F(−x)＝F(x)∴x2−bsinx＝x2+bsinx，∴bsinx＝0对于任意实数x都成立，∴b＝0∴f(x)＝x2−2．由g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx＝x2+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+ax(x>0)g(x)在(0, 1)上恒单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0, 1)上恒成立．∴a≥−(2x2+2x)或a≤−(2x2+2x)在(0, 1)上恒成立．设u(x)＝−(2x2+2x)，x∈(0, 1)，易知：u(x)∈(−4, 0)，∴a≥0或a≤−4．令y=ln(1+x2)−12f(x)，y′=2x1+x2−x=−x(x+1)(x−1)1+x2，令y′＝0⇒x＝0或x＝1或x＝−1，列表如下：∴当k>ln2+12时，无零点；当k<1或k=ln2+12时，有两个零点；当k＝1时，有三个零点；1利用导数研究函数的极值【解析】（1）先表示出汗水F(x)的表达式，再根据F(x−5)＝F(5−x)求出b的值，进而可确定函数f(x)的解析式．（2）将（1）中求出的函数f(x)的解析式代入函数g(x)然后求导，将问题转化为g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．（3）对函数ℎ(x)进行求导，然后根据导函数的正负和原函数的单调性的关系判断函数的单调性，进而确定零点．【解答】由题设得：F(x)＝x2+bsinx，∵F(x−5)＝F(5−x)，∴F(−x)＝F(x)∴x2−bsinx＝x2+bsinx，∴bsinx＝0对于任意实数x都成立，∴b＝0∴f(x)＝x2−2．由g(x)＝f(x)+2(x+1)+alnx＝x2+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+ax(x>0)g(x)在(0, 1)上恒单调，只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0, 1)上恒成立．即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0, 1)上恒成立．∴a≥−(2x2+2x)或a≤−(2x2+2x)在(0, 1)上恒成立．设u(x)＝−(2x2+2x)，x∈(0, 1)，易知：u(x)∈(−4, 0)，∴a≥0或a≤−4．令y=ln(1+x2)−12f(x)，y′=2x1+x2−x=−x(x+1)(x−1)1+x2，令y′＝0⇒x＝0或x＝1或x＝−1，列表如下：∴当k>ln2+12时，无零点；当k<1或k=ln2+12时，有两个零点；当k＝1时，有三个零点；当1<k<ln2+12时，有四个零点．已知函数f(x)＝(a+2)lnx+ax−x2．（1）讨论f(x)的单调性；32定义域为(0, +∞)， f ′(x)=a+2x+a −2x =−(x+1)(2x−a−2)x，当a ≤−2时，f ′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上单调递减， 当a >−2时，由f ′(x)>0，得0<x <a+22，f(x)在(0,a+22)上单调递增，由f ′(x)<0，得x >a+22，f(x)在(a+22,+∞)上单调递减，综上，当a ≤−2时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)； 当a >−2时，f(x)的单调递减区间是(a+22,+∞)，单调递增区间是(0,a+22)．易知a >0， ①当0<a ≤2时，a+22≥a ，由（1）知，f(x)在(0, a)上单调递减，此时，f(x)在(0, a)上不存在最大值． ②当a >2时，f(x)在(0,a+22)上单调递增，在(a+22,a)上单调递减， 则f(x)max =f(a+22)=(a +2)lna+22+a(a+2)2−(a+22)2=(a +2)lna+22+a 2−44，故p(a)=(a +2)ln a+22+a 2−44(a >2)，设g(x)=(x +2)lnx+22+x 2−44(x >2)，则g ′(x)=1+lnx+22+x2，∵ x >2，∴ g ′(x)>0，∴ g(x)在(2, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(2)＝4ln2，即p(a)>4ln2．① ∵ 32a 2+a −4=12(3a −4)(a +2)，且a >2， ∴ 要证p(a)<32a 2+a −4，只需证ln a+22+a−24<3a−42，即证lna+22−5a−64<0，设ℎ(x)=lnx+22−5x−64(x >2)，则ℎ(x)=1x+2−54<0，则ℎ(x)在(2, +∞)上单调递减， 从而ℎ(x)<ℎ(2)＝ln2−1<0，即lna+22−5a−64<0，则p(a)<32a 2+a −4，②由①②可知，4ln2<p(a)<32a 2+a −4．【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）分类讨论，利用导数求函数的单调区间即可，注意函数的定义域为(0, +∞)；（2）从（1）中结论可知，当0<a ≤2时，f(x)在(0, a)上单调递减，不存在最大值；当a >2时，f(x)max =f(a+22)，再构造函数，结合导数，利用分析法证明即可．定义域为(0, +∞)， f ′(x)=a+2x+a −2x =−(x+1)(2x−a−2)x，当a ≤−2时，f ′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上单调递减， 当a >−2时，由f ′(x)>0，得0<x <a+22，f(x)在(0,a+22)上单调递增，由f ′(x)<0，得x >a+22，f(x)在(a+22,+∞)上单调递减，综上，当a ≤−2时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)； 当a >−2时，f(x)的单调递减区间是(a+22,+∞)，单调递增区间是(0,a+22)．易知a >0， ①当0<a ≤2时，a+22≥a ，由（1）知，f(x)在(0, a)上单调递减，此时，f(x)在(0, a)上不存在最大值． ②当a >2时，f(x)在(0,a+22)上单调递增，在(a+22,a)上单调递减， 则f(x)max =f(a+22)=(a +2)lna+22+a(a+2)2−(a+22)2=(a +2)lna+22+a 2−44，故p(a)=(a +2)ln a+22+a 2−44(a >2)，设g(x)=(x +2)lnx+22+x 2−44(x >2)，则g ′(x)=1+lnx+22+x2，∵ x >2，∴ g ′(x)>0，∴ g(x)在(2, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(2)＝4ln2，即p(a)>4ln2．① ∵ 32a 2+a −4=12(3a −4)(a +2)，且a >2， ∴ 要证p(a)<32a 2+a −4，只需证ln a+22+a−24<3a−42，即证lna+22−5a−64<0，设ℎ(x)=lnx+22−5x−64(x >2)，则ℎ(x)=1x+2−54<0，则ℎ(x)在(2, +∞)上单调递减， 从而ℎ(x)<ℎ(2)＝ln2−1<0，即lna+22−5a−64<0，则p(a)<32a 2+a −4，②由①②可知，4ln2<p(a)<32a 2+a −4．请在第22、23、二题中任选一题作答，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)，直线l 的参数方程为{x =t y =−1+2√2t （t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点． (1)求圆心的极坐标；【答案】解：(1)由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)， 化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2−2x +2y =0，即(x −1)2+(y +1)2=2．∴ 圆心坐标为(1, −1)， ∴ 圆心极坐标为(√2,7π4)；(2)由直线l 的参数方程{x =ty =−1+2√2t（t 为参数），把t =x 代入y =−1+2√2t 可得直线l 的普通方程：2√2x −y −1=0， ∴ 圆心到直线l 的距离d =|2√2+1−1|3=2√23， ∴ |AB|=2√r 2−d 2=2√2−89=2√103，点P 直线AB 距离的最大值为r +d =√2+2√23=5√23，S max =12×2√103×5√23=10√59． 【考点】直线的参数方程参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 点到直线的距离公式 【解析】（1）由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)，化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入即可得出． （2）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2√r 2−d 2，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【解答】解：(1)由圆C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4)， 化为ρ2=2√2(√22ρcosθ−√22ρsinθ)，把{x =ρcosθy =ρsinθ代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2−2x +2y =0，即(x −1)2+(y +1)2=2．∴ 圆心坐标为(1, −1)， ∴ 圆心极坐标为(√2,7π4)；x =t把t =x 代入y =−1+2√2t 可得直线l 的普通方程：2√2x −y −1=0， ∴ 圆心到直线l 的距离d =|2√2+1−1|3=2√23，∴ |AB|=2√r 2−d 2=2√2−89=2√103，点P 直线AB 距离的最大值为r +d =√2+2√23=5√23，S max =12×2√103×5√23=10√59． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝m −|x −1|−2|x +1|． （1）当m ＝5时，求不等式f(x)>2的解集；（2）若二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2， 即m ≥4． 【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数的单调性和不等式的特点即可确定不等式的解集；（2）首先求得二次函数的最小值和f(x)的最大值，据此得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果． 【解答】当m ＝5时，f(x)={3x +6,x <−1−x +2,−1≤x ≤14−3x,x >1，由f(x)>2结合函数的单调性易得不等式解集为 (−43,0)； 由二次函数的解析式可得该函数在对称轴x ＝−1处取得最小值2， 而 f(x)={3x +1+m,x <−1−x −3+m,−1≤x ≤1−3x +m −1,x >1在x ＝−1处取得最大值m −2，所以要使二次函数y ＝x 2+2x +3与函数y ＝f(x)的图象恒有公共点，只需m −2≥2，。
安徽省黄山市2019-2020学年高一数学上学期期末质量检测试题[带答案]
![安徽省黄山市2019-2020学年高一数学上学期期末质量检测试题[带答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/965dbe9879563c1ec4da717d.png)
安徽省黄山市2019-2020学年高一数学上学期期末质量检测试题 本试卷分第I 卷(选择题60分)和第II 卷(非选择题90分)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题 满分60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合A ＝{x|x>－1}，B ＝{x|x ≥1}，则A ∩R ðB ＝A.(－1，＋∞)B.(－∞，1)C.(－1，1)D.∅2.函数f(x)21x -A.{x|x ≥0}B.{x|x ≤0}C.{x|x>0}D.{x|x<0}3.tan225°＋sin30°＝ A.36 B.32 C.53634.已知OA u u u r ＝(－1，2)，OB uuu r ＝(3，m)，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m ＝ A.1 B.2 C.32D.4 5.已知函数f(x)＝1(1)3(1)x x x x +<⎧⎨-+≥⎩，则f[f(0)]＝ A.1 B.2 C.3 D.66.已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a7.新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为可1v u r ＝8kmn/h ，水流的速度的大小为2v u u r ＝4km/h ，设1v u r 和2v u u r 的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点B 在A 的正北方向，游船正好抵达B 处时，cos θ＝ 33 C.12 D.－128.将函数f(x)＝sin(2x －6π)的图象向右平移6π个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是A.g(x)为奇函数B.直线x ＝2π是g(x)的图像的一条对称轴C.g(x)的最小正周期为2πD.g(3π)＝－12 9.函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，|φ|<π，ω>0)的部分图象如图所示，则A.y ＝2sin(x ＋6π)B.y ＝2sin(2x －3π)C.y ＝2sin(2x －6π) D.y ＝2sin(x ＋3π) 10.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用…等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元。
2019-2020学年安徽省芜湖市高三(上)期末数学试卷(理科)附答案解析
2019-2020学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，2）B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，2）2．（5分）已知复数z满足z＝1+i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．B．1C．2D．3．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，已知a4＝6，S3＝6，则（）A．a n＝4n﹣10B．a n＝3n﹣6C．S n＝n2﹣n D．S n＝2n2﹣4n 4．（5分）《周髀算经》中记录了一种“盖天天地模型”如图所示，“天之中央亦高四旁六万里．四旁犹四极也，地穹隆而高，如盖笠．故日光外所照径八十一万里，周二百四十三万里．”意思为“天的中央亦高出四周六万里．四旁就是四极，随地穹隆而天也高凸，如盖笠．所以日光向外照射的最大直径是八十一万里，周长是二百四十三万里．”将地球看成球体，以此数据可估算地球半径大约为（）A．164万里B．140万里C．104万里D．78万里5．（5分）已知抛物线方程为x2＝2y，则其准线方程为（）A．y＝﹣1B．x＝﹣1C．D．6．（5分）若（2x﹣4）n展开式中第3项二项式系数和第5项二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为（）A．26B．﹣27C．28D．﹣297．（5分）若，b＝log34，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c8．（5分）已知函数f（x）＝x2+2cos x，f'（x）是f（x）的导函数，则函数y＝f'（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）某校高三年级有男生410人，学号为001，002，…，410；女生290人，学号为411，412，…，700对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030）；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝|cos2x|+cos|x|，x∈[﹣π，π]，则下列说法错误的为（）A．f（x）有2个零点B．f（x）最小值为C．f（x）在区间单调递减D．f（x）的图象关于y轴对称11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个截面经过顶点A，C及棱A1D1上一点K，且将正方体分成体积之比为13：41的两部分，则的值为（）A．1B．C．D．12．（5分）若点A（0，t）与曲线y＝lnx上点B距离最小值为，则实数t为（）A．ln2+3B．ln3+2C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝14．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，（n∈N*），那么数列{a n}的前9项和S n ＝．15．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD边长为2，E为PB中点，∠AEC＝90°，则球O表面积为．16．（5分）设F1，F2为双曲线（a＞0，b＞0）左，右焦点，过F2的直线交双曲线左，右两支于点M，N，连接MF1，NF1，若，且，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC中点，．（1）求证：ED⊥BP；（2）若BD与平面PBC所成的角为30°，求二面角C﹣PB﹣D的大小．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的周期；（2）若，，求sin2α．19．（12分）已知定点M（﹣1，0），圆N：（x﹣1）2+y2＝16，点Q为圆N上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点M与N作平行直线l1和l2，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值．20．（12分）小明和父母都喜爱《中国好声音》这栏节目，2019年10月7日晚在鸟巢进行中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为1，2，3，4，某网站为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测．现用a1，a2，a3，a4表示某网友对实际名次为1，2，3，4的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列，X＝|a1﹣1|+|a2﹣2|+|a3﹣3|+|a4﹣4|是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述．（1）求X的分布列及数学期望；（2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是X＜4，计算出现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立）．21．（12分）已知函数f（x）＝a x﹣2x（a＞1）．（1）当a＝e时，求证：f（x）﹣lnx+2x＞2；（2）讨论函数f（x）的零点个数．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为，，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为M，N（除极点外），求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣4|﹣2|x﹣1|的最大值为m．（1）解不等式f（x）＞1；（2）若a，b，c均为正数，且满足a+b+c＝m，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}＝（﹣1，1）．故选：C．2．【解答】解：∵z＝1+i，∴|z|＝．故选：D．3．【解答】解：因为a4＝6，S3＝6，所以，解可得，a1＝0，d＝2，故a n＝2n﹣2，s n＝＝n2﹣n．故选：C．4．【解答】解：设地球的半径为R万里，如图所示：由题意可得，日光照射到地球所形成的截面圆的半径为万里，则R2＝（R﹣6）2+（）2，解得R＝3+≈140（万里），故选：B．5．【解答】解：抛物线x2＝2y的准线方程为：y＝﹣，故选：D．6．【解答】解：（2x﹣4）n展开式中第3项二项式系数和第5项二项式系数相等，所以，所以n＝6，令x＝1，则（2﹣4）6＝26，故选：A．7．【解答】解：＝log35＞b＝log34＞1，＜1，则a＞b＞c．故选：D．8．【解答】解：函数的导数f′（x）＝2x﹣2sin x，则f′（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，设g（x）＝f′（x）＝2x﹣2sin x，则g′（x）＝2﹣2cos x≥0，即g（x）为增函数，排除D故选：C．9．【解答】解：由题意得，抽样间隔为＝70，且第1组抽到的号码为030，第2组抽到号码为100，第3组抽到号码为170，第4组抽到号码为240，第5组抽到号码为310，第6组抽到号码为380，都为男生，从第7组开始抽到的都为女生，有4人．所以在抽取的10人中，男生6人，女生4人．从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率P＝1﹣﹣＝．故选：D．10．【解答】解：由x∈[﹣π，π]关于原点对称，且f（﹣x）＝|cos2（﹣x）|+cos|﹣x|＝|cos2x|+cos|x|＝f（x），即有f（x）为偶函数，即f（x）的图象关于y轴对称，故D正确；由对称性可知只需考虑x∈[0，π]，当x∈[0，]时，2x∈[0，]，cos2x≥0，f（x）＝cos2x+cos x＝2cos2x+cos x﹣1＝2（cos x+）2﹣，令t＝cos x（≤t≤1），则y＝2（t+）2﹣在[0，1]递增，则f（x）在x∈[0，]递减，故C正确；当x∈[，]时，2x∈[，π]，cos2x≤0，f（x）＝﹣cos2x+cos x＝﹣2cos2x+cos x+1＝﹣2（cos x﹣）2+，令t＝cos x（0≤t≤），则y＝﹣2（t﹣）2+在[0，]递增，[，]递减，则f（x）在x∈[，arccos]递增，在x∈[arccos，]递减；x∈[，]时，2x∈[π，]，cos2x≤0，f（x）＝﹣cos2x+cos x＝﹣2cos2x+cos x+1＝﹣2（cos x﹣）2+，令t＝cos x（﹣≤t≤0），则y＝﹣2（t﹣）2+在[﹣，0]递增，则f（x）在x∈[，]递减，x∈[，π]时，2x∈[，2π]，cos2x≥0，f（x）＝cos2x+cos x＝2cos2x+cos x﹣1＝2（cos x+）2﹣，令t＝cos x（﹣1≤t≤﹣），则y＝2（t+）2﹣在[﹣1，﹣]递减，则f（x）在x∈[，π]递增，综上可得，f（x）在x＝处取得最小值，且为﹣，故B正确；又f（x）在[0，]时f（x）＞0，f（x）在（，）递减，在[，π]递增，f（）＜0，f（π）＝0，可得f（x）在[0，π]有两个零点，则f（x）在[﹣π，π]有4个零点，故A错误，故选：A．11．【解答】解：过K作KE∥AC，交C1D1于点E，连结CE，设正方体棱长为a，设＝，则D1K＝D1E＝，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个截面经过顶点A，C及棱A1D1上一点K，且将正方体分成体积之比为13：41的两部分，∴＝[++]＝，解得λ＝2．∴＝．故选：C．12．【解答】解：设点B坐标为（x0，lnx0），其中x0＞0，∵，∴过点B的切线斜率为，∵当直线AB与过点B的切线垂直时，点A与点B间的距离最小，∴此时，∴，点A与点B间的距离最小值，即，解得：x，又∵x 0＞0，∴，∴，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：；∵；∴；∴m＝8．故答案为：8．14．【解答】解：a1＝1，（n∈N*），可得a1a2＝3，即a2＝3，又a n+1a n+2＝3n+1，相除可得＝3，则数列的奇数项和偶数项，均为公比为3的等比数列，可得数列{a n}的前9项和为（1+3+…+34）+（3+9+27+81）＝+120＝241．故答案为：241．15．【解答】解：如图，设ABCD的中心为G，连接PG，则PG⊥底面ABCD，∵底面ABCD边长为2，∴AC＝2，又∠AEC＝90°，∴△AEC为等腰直角三角形，得EG＝，则PB＝2，∴PG＝．设正四棱锥P﹣ABCD的外接球的外接球的球心为O，半径为R，则，解得R＝．∴球O表面积为．故答案为：．16．【解答】解：若，且，可得△MNF1为等腰直角三角形，设|MF1|＝|NF1|＝m，则|MN|＝m，由|MF1|﹣|MF2|＝2a，|NF2|﹣|NF1|＝2a，两式相加可得|NF2|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m＝2a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，即e＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．【解答】解：（1）证明：面PCD⊥面ABCD，BC⊥CD，面PCD∩面ABCD＝CD，所以BC⊥面PCD，∴BC⊥DE，又∵PD＝CD，E为PC中点，∴ED⊥PC，BC∩PC＝C，∴ED⊥面PBC，故ED⊥BP．（2）解：以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，由（1）可知，BD在平面PBC的射影为EB，即∠DBE＝30°，不妨设CD＝2，由得，∴，故BC＝2，D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，2，0）∴，，，设平面PBC与平面PBD的法向量分别为和，则由，令y2＝1，则x2＝﹣1，z2＝0，∴∴，∴二面角C﹣PB﹣D的大小60°．18．【解答】解：（1）＝＝，所以函数f（x）周期为T＝π．（2），所以因为，得，所以，可得＝．19．【解答】解：（1）由题意可得|MP|+|NP|＝|PQ|+|NP|＝4＞|MN|＝2，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：；（2）由题意可设l2的方程为x＝ty+1，联立方程得，设D（x1，y1），E（x2，y2），则由根与系数关系有，所以，同理l1与l2的距离为，所以四边形ABDE面积为，令（u≥1）得，当且仅当u＝1，即t＝0时，S ABDE面积取最大值为6．20．【解答】解：（1）X的可能取值集合为{0，2，4，6，8}．分可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X的值，在等可能的假定下，得X02468P故；（2）首先，将三人评分后都有X＜4的概率记作p，由上述结果的独立性得．21．【解答】（1）解法1：令g（x）＝f（x）﹣lnx+2x﹣2＝e x﹣lnx﹣2，则（x ＞0），∵g'（1）＝e﹣1＞0，，∴存在，使g'（x0）＝0因为g'（x）在（0，+∞）为增函数，所有函数g（x）在（0，x0）上为单减函数，在（x0，+∞）上为单增函数，所以（x0≠1）即得证．解法2：（放缩法）由重要不等式可得，e x＞x+1，x＞lnx+1，易得e x＞lnx+2，故得证．（2）解：当a x＝2x，两边取对数得xlna＝ln2x＝ln2+lnx，令h（x）＝xlna﹣lnx﹣ln2，，令得，，当时，即得时，，函数f（x）无零点；当时，即得时，，函数f（x）有1个零点；当时，即得时，，，函数f（x）有1个零点，，，函数f（x）有1个零点．故函数有2个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由参数方程，得普通方程x2+（y﹣2）2＝4，所以极坐标方程：ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣4ρsinθ＝0，则ρ＝4sinθ．（2）直线与曲线C的交点为O，M，得又直线与曲线C的交点为O，N，得且，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣4|﹣2|x﹣1|＝，∵f（x）＞1，∴或或，∴﹣1＜x＜，∴不等式的解集为．（2）由（1）知f（x）的最大值m＝3．∵a，b，c均为正数，∴，，，又a+b+c＝m＝3，∴．∴，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．∴．。
安徽省黄山市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
安徽省黄山市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“已知为实数，若，则”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 42. （2分）(2018·广安模拟) 若双曲线的一条渐近线为，则实数（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·南充月考) 已知＝(2，－3,1)，则下列向量中与平行的是（）A . (1,1,1)B . (－4,6，－2)C . (2，－3,5)D . (－2，－3,5)4. （2分） (2017高二上·集宁月考) 设椭圆 = 的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的方程为（）A .B .C .D .5. （2分）“函数在区间上存在零点”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高二上·驻马店期末) 若A（6，﹣1，4），B（1，﹣2，1），C（4，2，3），则△ABC的形状是（）A . 不等边锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等边三角形7. （2分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A . 命题p∨q是假命题B . 命题p∧q是真命题C . 命题p∧（￢q）是真命题D . 命题p∨（￢q）是假命题8. （2分）双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A . 1+2B . 3+2C . 4﹣2D . 5﹣29. （2分） (2016高二上·水富期中) 在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，则点P 到平面ABC的距离为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 设抛物线C：y2=4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C 的焦点的距离是（）A . 4B . 5C . 6D . 711. （2分）正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·重庆期中) 已知f（x）= ，则下列结论正确的是（）A . f（x）为偶函数B . f（x）为增函数C . f（x）为周期函数D . f（x）值域为（﹣1，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知向量，，且，则的值为________．14. （1分） (2017高二下·南通期中) 已知命题p：∃x∈[0，1]，a≤ex ，命题q：∀x∈R，x2+x+a＞0，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________．15. （1分） (2016高二下·衡水期中) 已知点Q（﹣2 ，0）及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是________．16. （1分） (2018高二下·南宁月考) 已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点，连接，若则的离心率 ________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2017高二下·临淄期末) 函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a （x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分） (2016高二上·友谊期中) 根据下列条件，求曲线的标准方程（1） a=2，一个焦点为（4，0）的双曲线的标准方程（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上的抛物线的标准方程．19. （5分）如图2，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CC1=AB=AC=2，∠BAC=90°，D为BC的中点．（Ⅰ）如图1给出了该三棱柱三视图中的正视图，请据此在框内对应位置画出它的侧视图；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）（文科做）若点P是线段A1C上的动点，求三棱锥P﹣AB1D的体积．（理科做）求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值．20. （10分）(2016·上饶模拟) 已知直线l：y=﹣x+1与椭圆C： =1（a＞b＞0））相交于不同的两点A、B，且线段AB的中点P的坐标为（，）（1）求椭圆C离心率；（2）设O为坐标原点，且2|OP|=|AB|，求椭圆C的方程．21. （15分） (2016高二上·湖州期末) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=AC=1，AA1=2，且P，Q，M分别是BB1 ， CC1 ， B1C1的中点，AB⊥AQ．（1）求证：AB⊥AC；（2）求证：AQ∥平面A1PM；（3）求AQ与平面BCC1B1所成角的大小．22. （10分） (2018高二上·长安期末) 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，（）两点，且 .（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
2019-2020年高三上学期期末考试数学试卷 含解析
2019-2020年高三上学期期末考试数学试卷 含解析考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.已知集合，，则 （ ）A ．B ．C ．D ．2.若复数，其中为虚数单位，则 = （ ）A ．1−B ．1+C ．−1+D ．−1−3. “一条直线与平面内无数条直线异面”是“这条直线与平面平行”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4. 二项式的展开式中常数项为 （ ）A ．B ．C ．D ．5.若向量(sin 2,cos ),(1,cos )a b ααα==,且，则的值是 （ ）A ．B ．C ．D ．26.点P 为直线上任一点，，则下列结论正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．以上都有可能7.设函数，若关于x 的方程恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．8.已知数列的首项，前n 项和为，且满足，则满足的n 的最大值是 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．119.在中，点A 在OM 上，点B 在ON 上，且，，若，则终点P 落在四边形ABNM 内（含边界）时，的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．10.点P 为棱长是2的正方体的内切球O 球面上的动点，点M 为的中点，若满足，则动点P 的轨迹的长度为 （ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形，各边的长度如图所示，则此几何体的体积是______，表面积是____________.12.袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字，随机摸出一个将其上的数字记为，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为，依次下去，第n 次随机摸出一个，将其上的数字记为记，则（1）随机变量的期望是_______；（2）当时的概率是_______。
安徽省黄山市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷(I)卷
安徽省黄山市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·喀什月考) 设函数的定义域为，值域为，则（）A . RB .C .D .2. （2分）下列函数中，与函数y=x﹣1相等的是（）A . y=B . y=C . y=t﹣1D . y=﹣3. （2分）(2018·南阳模拟) 已知平面截球的球面得圆，过圆心的平面与的夹角为，且平面截球的球面得圆，已知球的半径为5，圆的面积为，则圆的半径为（）A . 3B .C . 4D .4. （2分）若点P是函数图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一上·杭州期末) 函数y= 的定义域是（）A . [1，+∞）B . （1，+∞）C . （0，1]D . （，1]6. （2分） (2019高二上·兴宁期中) 如图，是一个几何体的三视图，主视图和侧视图是全等的半圆，俯视图是一个圆，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .7. （2分）已知是定义在R上的偶函数，它在上是减函数，若，则x的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一下·太康开学考) 方程log2x+x=3的解所在区间是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （3，+∞）D . [2，3）9. （2分） (2016高一下·霍邱期中) 下列命题正确的是（）A . 若x≥10，则x＞10B . 若x2≥25，则x≥5C . 若x＞y，则x2≥y2D . 若x2≥y2 ，则|x|≥|y|10. （2分）已知直线3x+4y﹣24=0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径为（）A . 3B . 4C . 5D . 611. （2分）若圆x2+y2﹣4x﹣2y+c=0与y轴相交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=90°，则c的值为（）A . 8B . 3C . ﹣3D . ﹣12. （2分） (2019高一上·哈密月考) 若函数在区间内递减，那么实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为________14. （1分）（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则________ .15. （1分） (2017高一下·盐城期末) 设a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是________．（填写所有正确命题的序号）①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥b，a⊂α，b⊥β，则α⊥β；③若α∥β，a⊥α，则a⊥β；④若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥β．16. （1分） (2016高一上·苏州期中) 已知函数f（x）=（）x的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣|x|），则关于h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）为偶函数；③h（x）的最小值为0；④h（x）在（0，1）上为减函数．其中正确命题的序号为：________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分）已知R为全集，A={x|log2（3﹣x）≤2}，B={x|x2≤5x﹣6}，（1）求A，B（2）求CR（A∩B）18. （15分）已知函数f（x）=a﹣．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．19. （5分）(2016·城中模拟) 如图1，平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠DAB=60°，M是BC的中点．将△ADM 沿DM折起，使面ADM⊥面MBCD，N是CD的中点，图2所示．（Ⅰ）求证：CM⊥平面ADM；（Ⅱ）若P是棱AB上的动点，当为何值时，二面角P﹣MC﹣B的大小为60°．20. （15分） (2016高二上·平罗期中) 已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．21. （10分） (2018高三上·重庆月考) 已知函数．（1）当（为自然常数）时，求函数的单调区间；（2）讨论的零点个数．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、第11 页共11 页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
安徽省黄山市2019-2020学年高三上学期期末数学试卷（理科）（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·重庆模拟) 若复数z满足(2+i)z＝3-i，则z的虚部为（）
A . 1
B . -1
C . i
D . -i
2. （2分）(2019·新疆模拟) 已知集合，集合，则（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2013项为，则=（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）下列可能是函数f（x）=sin（2x+ ）对称轴的是（）
A .
B .
C .
D . π
6. （2分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（）
A . i=i-1
B . i=i+1
C . i=i-2
D . i=i+2
7. （2分） (2016高一上·西城期末) 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，若，则 =（）
A .
B .
C . 2
D .
8. （2分）设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若，则展开式中x 的系数为（）
A . -150
B . 150
C . 300
D . -300
9. （2分） (2016高二上·绍兴期中) 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN．以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，⑤MN与 A1C1成30°．其中有可能成立的结论的个数为（）
A . 5
B . 4
C . 3
D . 2
10. （2分）设有序集合对满足：， .记，分别表示集合，中元素的个数，则符合条件，的集合的对数是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高一下·丰台期末) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是（）
A . 96
B . 128
C . 140
D . 152
12. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知函数f（x）=|sinx|（x∈[﹣π，π]），g（x）=x﹣2sinx（x∈[﹣π，π]），设方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0的实根的个数分别为m，n，t，则m+n+t=（）
A . 9
B . 13
C . 17
D . 21
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是________
14. （1分） (2017高一下·西城期末) 设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是________．
15. （1分）(2017·亳州模拟) 已知双曲线，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，则该双曲线的离心率为________．
16. （1分）(2017·商丘模拟) 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}满足xn+1=xn ﹣，设an=ln ，若a1= ，xn＞2，则数列{an}的通项公式an=________．
三、解答题 (共8题；共50分)
17. （5分） (2016高二上·商丘期中) 已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，且满足b+ccosA=c+acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，求△ABC的周长的最小值．
18. （5分）(2017·大连模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的
中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试
确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．
19. （5分）为了响应低碳环保的社会需求，某自行车租赁公司打算在A市设立自行车租赁点，租车的收费标准是每小时1元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为,，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为,，两人租车时间都不会超过三小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用不相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．
20. （10分）已知椭圆的离心率，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆与直线相交于不同的两点，且线段的中点不在圆
内，求实数的取值范围．
21. （5分） (2016高三上·辽宁期中) 已知函数f（x）= 在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅲ）求证：对一切x∈（0，+∞），都有3﹣（x+1）•f（x）＞﹣成立．
22. （5分） (2015高二下·广安期中) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，
= ，
= ．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．
23. （5分）(2017·成武模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0 ，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
24. （10分）(2016·桂林模拟) 已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共8题；共50分) 17-1、
18-1、
19-1、20-1、
20-2、
22-1、
23-1、24-1、
24-2、。