高一 集合讲义(2讲)经典
必修一专题复习高一数学(讲义2)求函数的定义域
必修一专题复习高一数学（讲义2）复习范围：必修1 第一章——第三章第一章 集合与函数的概念（2）求函数的定义域知识点1：函数定义域 常见函数定义域的求法例1函数y ＝log 2（x －12－x的定义域为________．变式1：求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1x ＋2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋13－x .知识点2：复合函数的定义域口诀：f 后整体范围一致；定义域为自变量x 的取值范围。
例2、设函数)(x f 的定义域是[0，2]，求 ①|)12(|-x f ；②)1()1(-++x f x f 的定义域.知识点：不等式0>a（1）a x a a x <<-⇔<； （1）a x a a x <<-⇔<2；（2）a x a x a x >-<⇔>或； （2）a x a x a x >-<⇔>或2；（3）a b x a a b x <+<-⇔<+； （3）a b x a a b x <+<-⇔<+2)(；（4）a b x a b x a b x >+-<+⇔>+或；（4）a b x a b x a b x >+-<+⇔>+或2)(；变式1：设函数()f x 的定义域为[]1,1-，则函数1()2x g x f f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域是_____________.例3、已知函数)12(+=x f y 的定义域是[0，1]，求函数)(x f y =的定义域。
例4、已知(1)y f x =+的定义域为 []23-，，求函数(21)y f x =-的定义域。
变式1：已知函数(1)f x +的定义域为122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求2()f x 的定义域变式2：已知函数(21)f x -的定义域为[)01，，求(13)f x -的定义域.变式3：已知函数f (2x －1)的定义域为[1，4]，则函数f (2x )的定义域为____________．变式4：若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1)。
高中数学 集合的表示讲义
第2讲：集合的表示【知识梳理】一、集合的表示【考点解读】考点一：用列举法表示集合例1．用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于12的非负偶数组成的集合A ；(2)小于9的质数组成的集合B ；(3)方程2230x x --=的实数根组成的集合C ； (4)方程组42x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集D .变式训练1：用列举法表示下列集合：(1)方程22x x =的所有实数解组成的集合；(2)直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合；(3)由所有正整数构成的集合．考点二：用描述法表示集合文字描述；式子描述例2．用描述法表示下列集合：(1)不等式231x -<的解组成的集合A ；(2)被3除余1的正整数的集合B ；(3){2,4,6,8,10}C =；(4)平面直角坐标系中第一象限内的点组成的集合D .变式训练1：用描述法表示下列集合：(1)比1大又比11小的实数组成的集合；(2)不等式342x x +≥的所有解；(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．考点三：集合的表示综合例3．下列命题中正确的（ ）①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{|45}x x <<可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上语句都不对变式训练1：方程组149x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ）A ．()2,1-B ．()1,2-C ．(){}1,2-D ．(){}2,1-变式训练2：下列集合恰有2个元素的集合是（ ）A ．2{0}x x -=B ．2{|}x y x x =-C ．2{|0}y y y -=D ．2{|}y y x x =-变式训练3：已知集合{}21,1,3A a a a =+--，若1A ∈，则实数a 的值为__________.考点四：元素个数相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）例4．设集合{123}{45}}{|A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6变式训练1：已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式训练2：设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6变式训练3：集合{}2*70,A xx x x =-<∈N ∣，则*8{,}B y y A y =∈∈N ∣中元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点五：元素个数（求参） 相同元素根据互异性，只能计算一个（主要考查互异性）例5．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1}变式训练1：已知集合{}2310A x ax x =-+=中有且只有一个元素，则实数a 的取值集合是（ ）A ．9{0,}4B ．1{0,}3C ．{0}D ．9{}4变式训练2：式子22a b a a b a++________.变式训练3：已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围考点六：集合新定义例6．给定集合A ，若对于任意a 、b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合{}4,2,0,2,4A =--为闭集合； ②集合{}3,A n n k k Z ==∈为闭集合；③若集合1A 、2A 为闭集合，则12A A 为闭集合． 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3变式训练1：已知集合A 中的元素均为整数，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S =，由S 中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．变式训练2：已知集合{|31,},{|32,},{|63,}A x x n n B x x n n M x x n n ==+∈==+∈==+∈Z Z Z ．(1)若m M ∈，则是否存在,a A b B ∈∈，使m a b =+成立？(2)对于任意,a A b B ∈∈，是否一定存在m M ∈，使a b m +=？证明你的结论．【课堂检测】1、若用列举法表示集合27{(,)|}2y x A x y x y -=⎧=⎨+=⎩，则下列表示正确的是（ ）A ．{1,3}x y =-=B ．{(-1,3)}C ．{3,-1}D ．{-1,3}2、已知集合{}1,2,3,4,5A =，(){},|,,B x y x A y A x y A =∈∈+∈，则集合B 中所含元素的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．103、已知集合{}2,2A =-，{}|,,B m m x y x A y A ==+∈∈，则集合B 等于（ ）A ．{}4,4-B ．{}4,0,4-C ．{}4,0-D ．{}04、已知{}232,2a a ∈++，则实数a 的值为（ ）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或05、下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则a -∉N ；③集合2{|210}x x x ∈-+=R 含有两个元素；④集合6{|}x Q N x ∈∈是有限集．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．06、若集合{}210x ax x -+=中只有一个元素，则实数a 的值为（ ）A ．14B ．0C ．4D ．0或147、设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的,a b P ∈，都有,,,a ab a b ab P b +-∈(除数0b ≠)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是一个数域，有下列说法正确的是（ ）A ．数域必含有0,1两个数；B ．整数集是数域；C ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；D ．数域必为无限集．8、设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a b P ∈、，都有+a b 、-a b 、ab 、a P b ∈（除数0b ≠）则称数集P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集{,}F a a b Q =+∈也是数域．下列命题是真命题的是（ ）A ．整数集是数域B ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域C ．数域必为无限集D ．存在无穷多个数域9、用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）30的正因数组成的集合．（3）由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．10、已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.11、已知集合{}2|210A x R ax x =∈++=，其中a R ∈.（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.。
2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义(精品)
2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义知识点总结及例题讲解一、集合的含义1.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a∉A.3.常见的数集及表示符号【例1】①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.]判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．[解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．【例2】①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1B．2 C．3D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.]判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2．集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 0,1,2 [∵63－x ∈N ， ∴3－x ＝1或2或3或6，即x ＝2或1或0或－3.又x ∈N ，故x ＝0或1或2.即集合A 中的元素为0,1,2.][1．若集合A 中含有两个元素a ，b ，则a ，b 满足什么关系？提示：a ≠b .2．若1∈A ，则元素1与集合A 中的元素a ，b 存在怎样的关系？提示：a ＝1或b ＝1.【例3】 已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值．[思路点拨] A 中含有两个元素：1和a 2―――→a ∈Aa ＝1或a 2＝a ―――→求a 的值检验集合中元素的互异性 [解] 由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，(1)若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.(2)若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．1．思考辨析(1)接近于0的数可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()[答案](1)×(2)√(3)×2．已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉AC[∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]3．下列各组对象不能构成一个集合的是()A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C.3的近似值的全体D．某校身高超过170厘米的同学的全体C[A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.]4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.二、集合的表示方法1．集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．2．区间的概念设a，b是两个实数，且a＜b：(1)集合{x|a≤x≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间；(2)集合{x|a＜x＜b}可简写为(a，b)，并称为开区间；(3)集合{x|a≤x＜b}可简写为[a，b)，集合{x|a＜x≤b}可简写为(a，b]，并都称为半开半闭区间；(4)用“＋∞”表示正无穷大，用“－∞”表示负无穷大，实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)；(5)满足不等式x≥a，x＞a和x≤b，x＜b的实数x的集合用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．【例1】() A．1B．2C．3D．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合；③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解． (1)B [集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选B.](2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用大括号括起来.1．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a |∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B .[解] 对任意a ∈A ，有|a |∈B ，因为集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A ，知0,1,2,3∈B .又因为B 中只有4个元素，所以B ＝{0,1,2,3}．【例2】(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．[解](1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A＝{2，－2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.2．用描述法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．[解](1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．角度一【例3】若集合A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝()A. －4B. 0C. 4D. 0或－4A [依题意，得关于x 的方程ax 2＋ax －1＝0只有一个实根，所以⎩⎨⎧a ≠0，Δ＝0，即⎩⎨⎧ a ≠0，a 2＋4a ＝0，解得a ＝－4，选A.]在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.3．若集合A ＝{x |ax 2＋ax ＋1＝0，x ∈R }不含有任何元素，则实数a 的取值范围是________．[0,4) [当a ＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，当a ≠0时，一元二次方程ax 2＋ax ＋1＝0无实数解，则需Δ＝a 2－4a ＜0，即a (a －4)＜0，依题意，得⎩⎨⎧ a >0，a －4<0，或⎩⎨⎧a <0，a －4>0，解得0<a <4，综上，得0≤a <4.] 角度二 对参数分类讨论问题【例4】 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }．(1)若A 中有且只有一个元素，求a 的取值集合．(2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．[解] (1)由题意知，A 中有且只有一个元素，即对应方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根．当a ＝0时，对应方程为一次方程，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，符合题意； 当a ≠0时，对应方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个相等实根，即Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，符合题意．综上所述，a 的取值集合为{0,1}．(2)由题意知，A 中至多有一个元素，即对应方程ax 2＋2x ＋1＝0无根或只有一根，由(1)知，当a ＝0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意；当Δ＝4－4a ＜0，即a ＞1时，对应方程ax 2＋2x ＋1＝0无实根，即A 中无元素，符合题意．综上所述，a 的取值范围为{a |a ＝0或a ≥1}．识别集合含义的两个步骤(1)一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集. (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).提醒：一般地，集合{x |f (x )＝0}表示方程f (x )＝0的解集；,{x |f (x )＞0}表示不等式f (x )＞0的解集；,{x |y ＝f (x )}表示y ＝f (x )中x 的取值的集合；,{y |y ＝f (x )}表示y ＝f (x )中y 的取值的集合.4．若A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }＝∅，求a 的取值范围．[解] 因为A ＝∅，则集合A 无元素，即关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0无实数解，所以a ≠0，且Δ＜0，即⎩⎨⎧ a ≠0，4－4a ＜0，解得a ＞1，所以a 的取值范围为{a |a ＞1}．1．∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合．2．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．3．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．4．关于无穷大的两点说明(1)∞是一个符号，而不是一个数；(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．1．下列说法正确的是()A．0∈∅B．∅＝{0}C．∅中元素的个数为0 D．∅没有子集C[空集是不含任何元素的集合，故∅中元素的个数为0.]2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3C．5 D．9C[x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合D[集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.] 4．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________；(3){x|x>－1且x≠2}＝________.[答案](1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∪(2，＋∞)三、集合的基本关系1.维恩图一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．维恩图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念思考：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C.①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A B，B C，则A C.③若A⊆B，A≠B，则A B.a 的值．[解] A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}．(1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意．(2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ， ∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a ＝1，即a ＝1.综上，a ＝0或a ＝1.集合A 的子集可分三类：∅、A 本身、A 的非空真子集，解题中易忽略∅.1．已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围．[解] (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意．(2)当a <1时，要使A ⊇B ，需⎩⎨⎧ a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在．综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．【例(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．[解] (1)∅，{a }，{b }，{c }，{d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }．(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有2n 个子集，2n －1个真子集．如∅，有一个子集，0个真子集．为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.2．适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15B．16C．31D．32A[这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]【例3】①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1 B．2C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．(1)B[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.](2)[解]①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A 与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的方法(1)用定义判断.,首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；,若既有A ⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断.,对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是()B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的维恩图如选项B所示．]1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n －1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．1．下列集合中，结果是空集的是()A．{x∈R|x2－1＝0}B．{x|x＞6或x＜1}C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}D[A.{x∈R|x2－1＝0}＝{1，－1}，B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，C．{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}，D．{x|x＞6且x＜1}＝∅，故选D.]2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为()A．P⊆T B．P∈TC．P＝T D．P TA[集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，T＝{－1,0,1}，∴P⊆T，故选A.]3．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是()B[由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1,0,1}，∴N M，故选B.]4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围________．[4，＋∞)[∵集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，∴a≥4.∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．]四、交集和并集1．交集2．并集思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？提示：(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用维恩图表示如图所示．(2)不等于．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．3．并集与交集的运算性质【例1】B等于() A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选A.(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故选D.]1．求集合交集的运算的方法(1)定义法，(2)数形结合法．2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝() A．{0,2}B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]2．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1D[因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]【例22＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0}B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]求集合并集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.3．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________.{0,1,2,3,4,5} [A ∪B ＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．][1．设A ，B 是两个集合，若A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，则集合A 与B 具有什么关系？提示：A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .2．若A ∩B ＝A ∪B ，则集合A ，B 间存在怎样的关系？提示：若A ∩B ＝A ∪B ，则集合A ＝B .【例3】 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路点拨] A ∪B ＝A ――――→等价转化B ⊆A ――→分B ＝∅和B ≠∅建立k 的不等关系――→求交集得k 的范围[解] (1)当B ＝∅，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A .(2)当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ，只需⎩⎨⎧ －3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合(1)(2)可知k ≤52.1．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围．[解] 由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎨⎧ －3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．[解] 由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3. 所以k 的值为3.1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合．(2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地，当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B ＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．1．思考辨析(1)集合A ∪B 中的元素个数就是集合A 和集合B 中的所有元素的个数和．( )(2)当集合A 与集合B 没有公共元素时，集合A 与集合B 就没有交集.( ) (3)若A ∪B ＝A ∪C ，则B ＝C .( ) (4)A ∩B ⊆A ∪B . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知集合M ＝{－1,0,1}，P ＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{0,1}B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}D[由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P ＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝() A．{1}B．{2}C．{－1,2}D．{1,2,3}B[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{2}．] 4．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.[解](1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b ＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．五、补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集一定是实数集R吗？提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2．补集【例1】(1)U，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．]求集合的补集的方法(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁A B等于()A．{2,4}B．{0,1,3,5}C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁U A＝______.(1)C(2){x|0<x<2，或x≥6}[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{2,4}，所以∁A B＝{1,3,5,6}．故选C.(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁U A＝{x|0<x<2，或x≥6}．]【例R∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.[解]把集合A，B在数轴上表示如下：由图知∁R B＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因为∁R A＝{x|x<3，或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.[解]法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．由图可知A ＝{1,3,9}，B ＝{2,3,5,8}．法二(定义法)：(∁U B )∩A ＝{1,9}，(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,7}，∴∁U B ＝{1,4,6,7,9}． 又U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∴B ＝{2,3,5,8}．∵(∁U B )∩A ＝{1,9}，A ∩B ＝{3}， ∴A ＝{1,3,9}.[1．若A ，B 是全集U 的子集，且(∁U A )∩B ＝∅，则集合A ，B 存在怎样的关系？提示：B ⊆A .2．若A ，B 是全集U 的子集，且(∁U A )∪B ＝U ，则集合A ，B 存在怎样的关系？提示：A ⊆B .【例3】 设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2<x <4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 法一：由A 求∁U A ―――――→结合数轴∁U A ∩B ＝∅建立m 的不等关系法二：(∁U A )∩B ＝∅――――→等价转化B ⊆A[解] 法一(直接法)：由A ＝{x |x ＋m ≥0}＝{x |x ≥－m }，得∁U A ＝{x |x <－m }． 因为B ＝{x |－2<x <4}，(∁U A )∩B ＝∅，所以－m ≤－2，即m ≥2， 所以m 的取值范围是{m |m ≥2}．法二(集合间的关系)：由(∁U A)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴：得－m≤－2，即m≥2.由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.1．思考辨析(1)全集一定含有任何元素．()(2)集合∁R A＝∁Q A.()(3)一个集合的补集一定含有元素．()[答案](1)×(2)×(3)×2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}D[∵∁U A＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁U A)∪B＝{0,2,4}．]3．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S )∪T 等于( ) A ．{x |－2<x ≤1} B ．{x |x ≤－4} C ．{x |x ≤1}D ．{x |x ≥1}C [因为S ＝{x |x >－2}， 所以∁R S ＝{x |x ≤－2}． 而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．]4．已知全集U ＝{2,0,3－a 2}，U 的子集P ＝{2，a 2－a －2}，∁U P ＝{－1}，求实数a 的值．[解] 由已知，得－1∈U ，且－1∉P ，因此⎩⎨⎧3－a 2＝－1，a 2－a －2＝0，解得a ＝2.当a ＝2时，U ＝{2,0，－1}， P ＝{2,0}，∁U P ＝{－1}，满足题意． 因此实数a 的值为2.近2年高考真题1.(2019全国Ⅰ理)已知集合，则=A ．B ．C ．D ．2.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)3.(2019全国Ⅲ理)已知集合，则A ．B ．C ．D ．4.（2019江苏）已知集合，，则 .5.（2019浙江）已知全集，集合，，则}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，MN }{43x x -<<}42{x x -<<-}{22x x -<<}{23x x <<2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，A B ={}1,0,1-{}0,1{}1,1-{}0,1,2{1,0,1,6}A =-{|0,}B x x x =>∈R A B ={}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-U ABðA ．B ．C ．D ．6.(2019天津理1)设集合，则A. B. C. D.答案解析1.解析：依题意可得， 所以 故选C ．2.解析：由，，则.故选A.3.解析 因为，，所以．故选A ．4.解析 因为，， 所以.5.解析：，.故选A ．6.解析 设集合，， 则.又， 所以.故选D.{}1-{}0,1?{}1,2,3-{}1,0,1,3-{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …()A C B ={}2{}2,3{}1,2,3-{}1,2,3,42426023{|}{|}{} |M x x N x x x x x =-=--=-＜＜，＜＜＜，2|}2{M N x x =-I ＜＜．{}2560(,2)(3,)A x x x =-+>=-∞+∞{}10(,1)A x x =-<=-∞(,1)A B =-∞{}1,0,1,2A =-2{|1}{|11}B x x x x ==-剟?{}1,0,1AB =-{}1,0,1,6A =-{}|0,B x x x =>∈R {}{}{}1,0,1,6|0,1,6AB x x x =->∈=R {1,3}U A =-ð{1}U A B =-ð{}1,1,2,3,5A =-{}13C x x =∈<R …{}1,2A C ={}2,3,4B ={}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B ==1．(2018北京)已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则AB =A ．{0，1}B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}2．(2018全国卷Ⅰ)已知集合2{20}=-->A x x x ，则A =R ð A ．{12}-<<x x B ．{12}-≤≤x x C ．{|1}{|2}<->x x x xD ．{|1}{|2}-≤≥x x x x3．(2018全国卷Ⅲ)已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}4．(2018天津)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ð A ．{01}x x <≤ B ．{01}x x << C ．{12}x x <≤ D ．{02}x x << 5．(2018浙江)已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，则 A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}答案解析1．A 【解析】{|||2}(2,2)A x x =<=-，{2,0,1,2}B =-，∴{0,1}AB =，故选A ．2．B 【解析】因为2{20}=-->A x x x ，所以2{|20}=--R ≤A x x x ð{|12}=-≤≤x x ，故选B ．3．C 【解析】由题意知，{|10}A x x =-≥，则{1,2}AB =．故选C ．4．B 【解析】因为{1}B x x =≥，所以{|1}R B x x =<ð，因为{02}A x x =<<，=U A ð所以()=R I A B ð{|01}x x <<，故选B ．5．C 【解析】因为{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以{2，4，5}．故选C ．高考模拟题1、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）设全集{}55U x x =-<<，集合{}2450A x x x =--<，集合{}B 24x x =-<<，则(A B)UC ⋃=（ ） A.B.C.D.2、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合（ ）A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}- 3、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））若集合=<-=<<-=B A x x B x x A 求},09|{},25|{2（ ）A ．}23|{<<-x xB ．}25|{<<-x xC ．}33|{<<-x xD ．}35|{<<-x x4、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））己知集合A ＝ ，则（ ）A.x|x<2或x ≥6}B.x|x ≤2或x ≥6C.x|x<2或x ≥10}D.x|x ≤2或x ≥105、（揭阳市2019届高三第二次模拟）已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y ==，则MN =（ ）A ．1|12N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭B ．1|12N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭C ．{}|01N x x =≤<D ．1|12N x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭6、（深圳市2019届高三第二次（4月）调研）已知集合2{|0},{|40},M x x N x x =>=-≥则M N =U ( ).=U A ðA. (,2](0,)-∞-+∞UB. (,2][2,)-∞-+∞UC. [3,)+∞D. (0,)+∞7、（雷州市2019届高三上学期期末）设集合}2|{≤=x x A ，}0)3(|{>-=x x x B ，则=B AA ．}2|{≤x xB ．}3|{<x xC ．}32|{<<x xD ．}32|{<≤x x8、（茂名市2019届高三上期末）已知集合A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛x ｜x 2一7x+10≤0｝，则A ∩B ＝（ ）A 、{1，3｝B 、｛3，5}C 、{5，7｝D 、{1，7｝9、（清远市2019届高三上期末）设集合{}20≤≤∈=x R x M ，{}0)1)(3(<+-∈=x x Z x N ，则=N MA ． []2,0B ． ()3,1-C ． {}1D ． {}2,1,010、（广州市天河区2019高考二模）已知全集U ＝R ，M ＝{x |x ＜﹣1}，N ＝{x |x （x +2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{x |﹣1≤x ＜0}B ．{x |﹣1＜x ＜0}C ．{x |﹣2＜x ＜﹣1}D ．{x |x ＜﹣1}答案1、A2、D3、A4、D5、A6、A7、B8、B9、D 10、A。
高一集合讲义
集合（一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算。
一、集合的含义与表示1、集合与元素的概念集合是一个不定义的原始概念,某些指定．．的对象．．集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母A 、B 、C 表示；集合中的每一个对象都叫做这个集合的元素,通常用小写字母 c b a 、、表示.2．集合中的元素的特征(1)确定性：按照明确的标准判断一个元素是否是在该集合里，不能模棱两可；(2)互异性：集合中没有两个元素是一样的；(3)无序性:集合中的元素无先后顺序，如{}{}c a b c b a ,,,,与是同一集合.3、元素与集合的关系元素与集合是属于和不属于的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈，若a 不是集合A 的元素，记作A a ∉．4、数学中一些常用的数集及其记法（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（自然数集），记做：N（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记做：+*N 或N（3）全体整数组成的集合称为整数集，记做：Z（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记做：Q（5）全体实数组成的集合称为实数集，记做：R5、集合的表示方法（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号{ }括起来表示集合的方法叫列举法;（2）描述法：用集合所有元素的共同特征表示集合的方法称为描述法;（3）图示法：用一条封闭的曲线所围成的图形的内部表示一个集合，另外还可以利用数轴、平面直角坐标系等表示集合.考点1：集合的基本概念例1. 下列哪些能构成集合;①我们班的高个子;②中国的所有大河;③某个村子里的年青人;④所有小正数组成的集合;⑤一切很大的数 ;⑥聪明的人;⑦小于10的正偶数.例2、以下四个对象①某中学的大胖子；②你所在班中身高超过1.8米的同学；③2008北京奥运会的比赛项目；④1,3,5能构成集合的有考点2：集合的表示方法例3、下列四个集合各自的含义分别是什么：① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y x A 1 ② ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y B 1 ③ ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x C 1,例4、用适当的方法表示下列对象构成的集合（1）方程0322=--x x 的解集；（2）小于10的所有正奇数；（3）不等式823>+x 的解集；（4）直角坐标系中一、三象限内的点；（5）方程0112=-+-y x 的解.考点3：集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性例5、（1）下列命题中 ①集合{}5,4,3,2,1和{}1,2,3,4,5表示同一个集合 ②41,46,23,21,5,0这些数组成的集合有五个元素 ③方程0)3)(2)(12(2=-++-x x x x 的解集中含有4个元素④方程0122=+-x x 的解集为{}1,1 正确的有(2) 由4,2,2a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）A 、1B 、-2C 、6D 、2(3) 集合{}2,1,12--x x 中的x 不能取得值是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5（4）若{}1,3,132+-∈-m m m ，则m=________________（5）若集合{}c b a M ,,=中元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形（6）已知集合{}3,2,1,0,1,2--=A ，对任意的=∈∈B B a A a 则有,,(7)含有三个实数的集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可表示为{}200820082,0,,b ab a a ++求考点4：元素与集合的关系例6、用∉∈,填空 （1）集合{}5,4,3,2,1=A 那么 ①0 A ; ②1 A ; ③3 A ; ④-5 A ; ⑤5 A ; ⑥2 A ;(2)①6 N; ②23 Q; ③0 N; ④0 *N ;⑤0.5 Z考点5;集合与方程、不等式的联系例7、已知集合{}R a x ax x ∈=++,0122（1）若集合A 中只有一个元素，求a 的取值范围（2）若集合A 中至多有一个元素，求a 的取值范围（1）若集合A 中至少有一个元素，求a 的取值范围二、集合间的基本关系1．子集（1）子集：若集合A 中任意．．一个元素都是集合B 的元素，就说集合A 包含于．．．集合B （或集合B 包含．．集合A ），记作B A ⊆,集合A 叫做集合B 的子集. （2）空集：我们把不含有任何元素的集合叫空集，记做：Φ,规定空集是任何集合的子．．．．．．．．．．．集．.．（3）子集的性质：①反身性：任何一个集合都是它自身的子集，即A A ⊆;②传递性:若A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
2024年高一数学《集合》标准课件
2024年高一数学《集合》标准课件一、教学内容本节课选自人教版高一数学教材第一章《集合与函数的概念》第一节《集合的概念及其表示方法》。
具体内容包括集合的定义、集合的性质、集合的表示方法以及集合的运算。
二、教学目标1. 理解集合的定义，掌握集合的性质，能够运用集合的表示方法表示实际问题中的集合。
2. 学会使用集合的运算，解决实际问题，提高数学抽象能力。
3. 能够运用集合的知识，进行逻辑推理，培养严谨的数学思维。
三、教学难点与重点教学难点：集合的运算、集合的性质。
教学重点：集合的定义、集合的表示方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、练习本、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入通过举例生活中的集合现象，如水果店的水果种类、学生班级的成员等，让学生对集合有直观的认识。
2. 教学内容讲解（1）集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。
（2）集合的性质：无序性、互异性、确定性。
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。
（4）集合的运算：交集、并集、补集、差集。
3. 例题讲解（1）求两个集合的交集、并集、补集、差集。
（2）用集合表示方法解决实际问题。
4. 随堂练习（1）判断下列各组对象是否构成集合，若构成，说明理由。
① 某班全体学生中喜欢数学的学生；② 某商店所有商品中价格低于100元的商品。
六、板书设计1. 集合的定义、性质、表示方法。
2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集。
3. 例题解答过程。
七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）略。
（2）略。
（3）略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对集合的定义、表示方法和运算掌握程度，调整教学策略。
2. 拓展延伸：研究集合的更多性质，如集合的势、集合的包含关系等。
结合实际生活，让学生发现更多集合的应用场景。
重点和难点解析1. 集合的定义及其性质2. 集合的表示方法3. 集合的运算4. 例题讲解与随堂练习5. 作业设计6. 课后反思与拓展延伸一、集合的定义及其性质集合的定义是集合论的基础，性质则揭示了集合的本质特点。
必修一_第一章_集合(集合讲义_做的很细_适合初学者)
聚集之羊若含玉创作1.1 聚集的寄义与暗示21.11 聚集的寄义21.2 子集、全集、补集91.3 交集、并集13第一章聚集空集一、知识梳理1．聚集的寄义：一些元素组成的组成一个聚集(set).注意：（1）聚集是数学中原始的、不界说的概念，只作描写.（2）聚集是一个“整体.（3）组成聚集的对象必须是“确定的”且“不合”的2．聚集中的元素：聚集中的每一个对象称为该聚集的元素（element）.简称元.聚集一般用大写拉丁字母暗示，如聚集A,元素一般用小写拉丁字母暗示.如a,b,c……等.思考:组成聚集的元素是不是只能是数或点？【答】3．聚集中元素的特性：（1）确定性.设A 是一个给定的聚集，x是某一元素，则x 是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性.对于一个给定的聚集，它的任何两个元素都是不合的.（3）无序性.聚集与其中元素的分列次序无关.4．经常使用数集及其记法：一般地，自然数集记作____________正整数集记作__________或___________整数集记作________有理数记作_______实数集记作________5．元素与聚集的关系：如果a是聚集A的元素，就记作__________ 读作“___________________”；如果a不是聚集A的元素，就记作______或______读作“_______________”；6．聚集的分类：按它的元素个数若干来分：（i） _________________叫做有限集；（ii）________________________叫做无限集；（iii）_______________叫做空集，记为_____________二、例题讲授1、运用聚集中元素的特性来解决问题例1．下列研究的对象可否组成聚集（1）世界上最高的山峰（2）高一数学教材中的难题（3）中国国旗的颜色（4）book中的字母（5）立方等于自己的实数（6）不等式2x-8<13的正整数解【解】点评:断定一组对象可否组成聚集症结是可否找到一个明白的尺度，依照这个确定的尺度，它要么是这个聚集的元素，要么不是这个聚集的元素，即元素确定性.例2：聚集M中的元素为1，x，x2-x，求x的规模？剖析：依据聚集中的元素互异性可知：聚集里的元素各不相同，联列不等式组.点评: 元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点.例3：三个元素的聚集1，a0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．剖析：三个元素的聚集也可暗示别的一种形式，说明这两个聚集相同，而该题目从特殊元素0入手，可以省去繁琐的讨论．点评:从特殊元素入手，灵巧运用聚集的三个特征．2、运用元素与聚集的关系来解决一些问题例4：聚集A中的元素由∈Z,b∈Z)组成，断定下列元素与聚集A的关系？（1）0 （2（3剖析：先把x写成a，b是否为整数.点评:要断定某个元素是否是某个聚集的元素，就是看这个元素是否知足该聚集的特性或具体表达形式.例5：不包含-1，0，1的实数集A知足条件a∈AA，如果2∈A,求A中的元素？剖析：该题的聚集所知足的特征是由抽象的语句给出的，把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素，但该题要循环代入，求出其余的元素，同学们可能想不到.三、巩固演习1．下列研究的对象可否组成聚集①某校个子较高的同学；②倒数等于自己的实数③所有的无理数④讲台上的一盒白粉笔⑤中国的直辖市⑥中国的大城市2．下列写法正确的是___________________②当n∈N时，由所有(-1)n的数值组成的聚集为无限集④-1∈Z ⑤由book中的字母组成的聚集与元素k，o，b组成的聚集是同一个聚集把正确的序号填在横线上31_______N -3_________N 0__________N1_______Z -3_________Q 0__________Z0_______N*________R_______Qcos300_______Z4． 由实数-x ，|x|x的个数是_________________个一、知识梳理1. 聚集的经常使用暗示办法： （1）列举法将聚集的元素一一列举出来，并____________________暗示聚集的办法叫列举法. 注意：①元素与元素之间必须用“，”离隔； ②聚集的元素必须是明白的； ③各元素的出现无顺序；④聚集里的元素不克不及重复； ⑤聚集里的元素可以暗示任何事物. （2）描写法聚集的暗示 描写法列举法将聚集的所有元素都具有性质（）暗示出来，写成_________的形式,称之为描写法.注意：①写清楚该聚集中元素知足性质；②不克不及出现未被说明的字母；③多层描写时，应当准确使用“或”，“且”；④所有描写的内容都要写在聚集的括号内；⑤用于描写的语句力图简明，准确.思考:还有其它暗示聚集的办法吗？【答】文字描写法：是一种特殊的描写法，如：{正整数}，{三角形}图示法（Venn图）：用平面上关闭曲线的内部代聚集. 2. 聚集相等如果两个聚集A，B所含的元素完全相同，___________________________________ 则称这两个聚集相等，记为：_____________二、例题讲授1、用聚集的两种经常使用办法具体地暗示合例1．用列举法暗示下列聚集：（1）中国国旗的颜色的聚集；（2）单词mathematics中的字母的聚集；（3）自然数中不大于10的质数的聚集；（4聚集；（5聚集.（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }剖析：先求出聚集的元素，再用列举法暗示.点评:（1）用列举法暗示聚集的步调为：①求出聚集中的元素②把这些元素写在花括号内（2）用列举法暗示聚集的优点是元素一目了然；缺点是不容易看出元素所具有的属性.例2．用描写法暗示下列聚集：（1（2x的聚集；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的聚集；（4）抛物线y=-x2+3x-6（5剖析：用描写法暗示来聚集，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.点评: 用描写法暗示集应时，注意确定和简化聚集的元素所具有的配合特性例3．已知，试用列举法暗示聚集A．剖析：用列举法暗示的聚集，要认清聚集的实质，聚集中的元素毕竟知足哪些条件．点评:本题实际上是要求知足6被3-a整除的整数a则聚集A={-3，0，1，2，4，5，6，9}.2、有关聚集相等方面的问题例4．已知聚集P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．剖析：含字母的两个聚集相等，其实不料味着顺次对应相等，要分类讨论，同时也要斟酌聚集中的元素的互异性和无序性.例5．已知聚集有唯一元素，用列举法暗示a 的值组成的聚集A.点拔：本题聚集有唯一元素，同学们习惯上将分式方0，事实上当而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论.三、巩固演习1.用列举法暗示下列聚集： (1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不大于15的正约数} (3) {x|x 为不大于10的正偶数}(4){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z} 2. 用描写法暗示下列聚集： (1) 奇数的聚集； (2)正偶数的聚集；(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的 聚集； .3. 下列聚集暗示法正确的是 (1) {1，2，2}； (2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4){2，4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}. 4、聚集A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}，这三个聚集的关系？ 5、已知，试用列举法暗示聚集A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：如果聚集A 的任意一个元素都是聚集B 的元素（ ），则称聚集 A 为聚集B 的子集（subset ）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可暗示为：__________________.注意：（1）A 是B 的子集的寄义：任意x ∈A ，能推出x ∈B ；（2）不克不及懂得为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的聚集.2．子集的性质： ① 思考 【答】 _________ 3．真子集的概念及记法：相等 集 合 的 关 系包含 全集子集 真子集补集并且A≠B，这时聚集 A称为聚集B的真子集（proper set）,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：非空聚集的真子集符号暗示为___________________②真子集具备传递性符号暗示为___________________5．全集的概念：如果聚集U包含我们所要研究的各个聚集，这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____6．补集的概念：设____________，由U中不属于A的所有元素组成的聚集称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________”7二、例题讲授1、写出一个聚集的子集、真子集及其个数公式例1．写出聚集{a，b}的所有子集及其真子集；写出聚集{a，b，c}的所有子集及其真子集；剖析：按子集的元素的若干分离写出所有子集，这样才干达到不重复，无遗漏，点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．①一个聚集里有n个元素，那么它有2n个子集；②一个聚集里有n个元素，那么它有2n-1个真子集；③一个聚集里有n个元素，那么它有2n-2个非空真子集．2、断定元素与聚集之间、聚集与聚集之间的关系例2：以下各组是什么关系，用适当的符号暗示出来．（1）a与{a} 0 与（2{20（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R，A={x|x≤0，x∈R}，B={x|x>0 ，x∈R }；（5）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 }点评:①断定两个聚集的包含关系，主要是依据聚集的子集，真子集的概念，看两个聚集里的元素的关系，是包含，真包含，相等．②元素与聚集之间用_______________聚集与聚集之间用_______________3、运用子集的性质例3：设聚集A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若，求实数a 的取值规模．剖析：首先要弄清聚集A 中含有哪些元素，在由，可知，聚集B 按元素的若干分类讨论即可．点评:4、补集的求法例4：A ，U=R ，试求A②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，a 的取值规模．【解】①，x>2}② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，≤1}如图所示：-a ≤ 1即a ≥-1点评:求聚集的补集时通常借助于数轴，比较形象，直不雅．三、巩固演习1．断定下列暗示是否正确：∈{a，b}(3) {a，，a}(4) {-1，1} {-1，0，1}，1}2．指出下列各组中聚集A与B之间的关系．(1) A={-1，1}，B=Z；(2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正约数}；(3) A = N*，B=N(4) A ={x|x=1+a2,a∈N*}B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}3．（1）已知{1，2，2，3，4，5}，则这样的聚集M有若干个？（2）已知M={1，2，3，4，5，6，7,8，9}，聚集P知足：P，则这样的聚集P 有若干个？4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．{0} (2) {-1，1}与{1，-1}(3) {(a,b)} 与{(b,a)}{0，1三、若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则：6．设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知A={b，2}，求实数a，b的值．7．已知聚集a∈Z}，b∈Z}，≠{-⊂⊂≠c ∈Z}，试断定A 、B 、C 知足的关系8．已知聚集A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0}，求a ，b 的取值规模．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的界说：一般地，______________________________________________，称为A 与B 交集(intersection set)，记作____________读作“___________”. 交集的界说用符号语言暗示为：__________________________________交集的界说用图形语言暗示为：_________________________________注意：（1）交集（A ∩B ）实质上是A 与B 的公共元素所组成的聚集. 交集 界说 聚集的运算 运用 性质 并集 界说 聚集的运算 运用 性质（2）当聚集A与B没有公共元素时，不克不及说A与B没有交集，而是A∩2．交集的经常使用性质：（1） A∩A = A；（2） A（3） A∩B = B∩A；（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；（5） A∩， A∩3．聚集的交集与子集：思考:A∩B=A，可能成立吗？【答】_______________________________________________结论：A∩4．区间的暗示法：设a，b是两个实数，且a<b，我们划定：[a， b] = _____________________（a， b）= _____________________[a ，b）= _____________________（a ，b] = ______________________（a，+∞）=______________________（-∞，b）=______________________（-∞，+∞）=____________________其中 [a， b]，（a， b）分离叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值聚集又一种符号语言.（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号离隔.（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数. 5．并集的界说：一般地，_________________________________________________，称为聚集A与聚集B的并集(union set) 记作__________读作“___________”.交集的界说用符号语言暗示为：__________________________________交集的界说用图形语言暗示为：_________________________________注意：并集（A∪B）实质上是A与B的所有元素所组成的聚集，但是公共元素在同一个聚集中要注意元素的互异性.6．并集的经常使用性质：（1） A∪A = A；（2） A；（3） A∪B = B∪A；（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)；（5）∪B，∪B7．聚集的并集与子集：思考:A∪B=A，可能成立吗？A【答】________________________结论：A∪二、例题讲授1、求聚集的交、并、补集例1．（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；点评:不等式的聚集求交集时，运用数轴比较直不雅，形象.例2：已知数集A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．点评:在聚集的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证聚集的特性．例3：（1）设聚集A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设聚集A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2x∈R}，求A∩B；剖析：先求出两个聚集的元素，或者聚集中元素的规模，再进行交集运算．特别注意（1）、（2）两题的区别，这是同学们容易疏忽的地方．点评:求聚集的交集时，注意聚集的实质，是点集还时数集．是数集求元素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的聚集．变式训练:1、依据下面给出的A 、B，求A∪B①A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}；②A={y|y=x2-2x}，B={x||x|≤3}；③A={梯形}，B={平行四边形}．2．已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x，求：①(A∪B)∩P③ (A∩B)．点评:求不等式暗示的数集的并集时，运用数轴比较直不雅，能简化思维进程3、已知聚集A={y|y=x-1，x∈R}，B={(x,y)|y=x2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，剖析：首先弄清楚A，B，C三个聚集的元素毕竟是什么？然后再求出聚集的有关运算.点评:本题容易出现的错误是不斟酌各聚集的代表元，而解方程组．突破办法是：进行聚集运算时，应剖析聚集内的元素是数，照样点，或其它．2、运用并集的性质解题例4：已知聚集A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所知足的条件．剖析：由于A∪B=A，可知：，而A={1，-1}，从而顺利地求出实数a，b知足的值或规模．点评:应用性质：A∪是解题的症结，提防失落进空集这一陷阱之中．变式训练：1.若聚集P={1，2，4，m}，Q={2，m2}，知足P∪Q={1，2，4，m}，求实数m的值组成的聚集．2. 已知聚集A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x2-ax-1=0}，C={x|x2-mx+1=0}，且A∪B=AA∩C=C，求a，m的值或取规模.例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，（1）若A∪B=A∩B，求a的值；（2∩B，A∩a的值．总结：解决本题的症结是应用重要结论：A∪B=A∩⊂3、运用交集的性质解题例6：已知聚集A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q知足的条件．剖析：（1）由B={5}，知：方程x2+px+q=0有两个相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p，q的值．（2）由A∩B= B可知：，而A={2，5}从而顺利地求出实数p，q知足的条件．点评:应用性质：A∩B = 是解题的症结，提防失落进空集这一陷阱之中．变式训练：1.已知聚集A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，若A∩B =B，求实数m所组成的聚集M．2.已知聚集M={x|x≤-1}，N={x|x>a-2}，若M∩N a 知足的条件是什么？4、借助Venn图解决聚集的运算问题例7：已知全集20的质数}，M,N是U的两个子M∩，5}，，19}，17}，求M，N的值．剖析：用Venn图暗示聚集M，N，U，将相符条件的元素依次填入即可．5、交集并集性质的应用例8、已知聚集A={(x,y)|x2－y2－y=4}，B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}，C={(x,y)|x－2y=0}，D{(x,y)|x+y=0}.(1)断定B、C、D间的关系；(2)求A∩B.6、交集、并集在实际生活中的应用例9、某学校高一(5)班有学生50人，介入航模小且的有25人，介入电脑小组的有32人，求既介入航模小组，又介入电脑小组的人数的最大值和最小值.思维剖析：题目以应用为布景，解题症结是将文字转化为聚集语言，用聚集运算来解决错综庞杂的现实问题.7、数形联合思想与交集并集的应用例10、已知聚集A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，知足A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值.点评：此题应熟悉聚集的交与并的寄义，掌握在数轴上暗示聚集的交与并的办法.8、分类讨论思想与交集、并集的综合应用例11、已知聚集A={x|x2－4x+3=0}，B={x|x2－ax+a－1=0}，C={x|x2－mx+1=0}，且A∪B=A，A∩C=C，求a,m的值或取值规模.剖析：先求出聚集A，由A∪B=A，由A∩然后依据方程根的情况讨论.评注：本例考核A与B，A与C的关系和分类讨论的才能.三、巩固演习1.设A=(-1，3]，B=[2，4），求A∪B；2.已知A={y|y=x2-1}，B={y|x2=-y+2}求A∪B；3.写出阴影部分所暗示的聚集：4.聚集U={1，2，3，4，5，6}，B={1，4}A={2，3，5}5. 设聚集A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A∩B；6. 设聚集A={x|x≥0}，B={x|x≤0,x∈R}，求A∩B；7. 设聚集A={(x,y)|y=-4x+6，x∈R}，B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；8. 设聚集A={x||x=2k+1，k∈Z}，B={y|y=2k-1，k∈Z}，C={x|x=2k ，k∈Z}，求A∩B，B∩C．9、聚集A={x|x<－3，或x>3}，B={x|x<1，或x>4}，则A∩B=__________.10、聚集A={a2，a+1，－3}，B={a－3，2a－1，a2+1}，若A ∩B={－3},则a的值为___________.11、已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值.12、聚集{3，x，x2－2x}中，x应知足的条件是___________.13、设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.(1)若A∩B=B，求实数a的值.(2)若A∪B=B,求实数a的值.。
【全国百强校】福建省厦门第一中学人教版高一数学尖端培养计划班讲义(PDF版)：第4-6讲集合
第二讲集合1．集合的相关概念⑴集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．⑵元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示．⑶不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2.元素与集合间关系：属于∈；不属于∉如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈；知识点睛集合的含义及表示满分晋级集合2级函数3级函数及其表示函数4级函数的基本性质如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.3.集合表示法⑴列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{}”内的表示集合的方法．例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点}例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z 方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}【例1】下列命题：⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{}1,2,3与集合(){}3,2,1是同一个集合；⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．⑸方程2210x x -+=的解集是{}1,1.正确的个数是.【例2】用描述法及列举法表示下列集合⑴方程2260x x +-=的根；⑵不大于8且大于3的所有整数；⑶函数32y x =+与1y x=的交点组成的集合；⑷集合A 由所有这样的元素x 构成：x ∈N 且86x∈-N .例题精讲【例3】用“∈”或“∉”填空：⑴若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ；⑵0___∅，0___{0}．⑶0______N N ，N ，0*N⑷1______,π_______,2-Q Q Q ⑸2{}21,x x m m =-∈Z ，7{}23,,x x m n m n =+∈Z________{}|,,x x a a b =∈∈Q Q【例4】设{|,,}S x x m m n ==∈Z ⑴若a ∈Z ，则a 是否是集合S 的元素？⑵对于S 中任意两个元素1x 、2x ，则12x x +、12x x ⋅是否属于S ？⑶对于给定的整数n ，试求满足01m <+的S 中元素的个数．【例5】已知集合2{|210}A x ax x =∈++=R ，其中a ∈R⑴1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；⑵若A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合B ；⑶若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围．⑷当A 不为空集时，求A 中所有元素的和.1．子集：对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．2．真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ）．∅是任意非空集合的真子集．维恩图：我们常用平面内的封闭曲线的内部表示一个集合．这种表示法通常叫做维恩图．3．相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B．例题精讲知识点睛集合间的关系【例6】⑴求集合{}{}{1,2},1,2,3,1,2,3,4的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100} 的子集和真子集的个数．⑵求满足条件{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 的个数.⑶求集合{1,2,3,,100}M = 的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零）．【例7】⑴已知集合2{,,2},{,,}A a a d a d B a aq aq =++=，其中0a ≠，且A B =，则q 等于．⑵已知集合{}{}2260,,2,A x x ax a x B x x a x =+-∈=-<∈R R ≤，当B A 时，则实数a 的取值范围是.【例8】⑴设集合729A x x k ⎧==+⎨⎩或112,9x k k ⎫=+∈⎬⎭Z ，72,9B y y k k ⎧⎫==±+∈⎨⎬⎭⎩Z ，则A 与B 的关系是()A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．79A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ⑵已知集合16M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，123n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，，126p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N P ，，满足的关系是（）A ．M N P =B ．M N P =C ．M N PD ．N P M =⑶若{}(,)1A x y x y =+≤，{}22(,)1B x y x y =+≤，{}(,)1,1C x y x y =≤≤，求集合A ，B ，C 的关系．1.相关概念⑴并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B （读作“A 并B ”），即{|,A B x x A =∈ 或}x B ∈．⑵交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈ 且}x B ∈．⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈ 且}x A ∉．⑷差集：对于集合,A B ，有集合{}x x A x B ∈∉且，即A 中但不在B 中的元素的所组成的集合，称为A 与B 的差集，记作A B -或\A B .对称差集：对于集合,A B ，有集合{}A B A B x x A B x B A ∈∈ 或 ，即在A 、B 的所有元素中除去A 、B 公共部分的元素所组成的整体，记作A B △知识点睛集合的基本运算【例9】⑴已知全集{1,2,3,,10}U = ，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，{3,5,7,9}C =求：A B ，A B ，()U A B ，()U A B ，()A B C ⑵已知全集是R ，{|37},{|210}A x x B x x =<=<<≤，求()A B R ，()A B R⑶设全集{|20U x x =≤且x 为质数}．若()(){3,5},{7,19}U UA B A B == ，且{2,17}U U A B =，求集合,A B ．【例10】⑴已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．{|13}x x -≤≤⑵已知{(,)|,}U x y x y =∈R ，3(,)|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)|1B x y y x =≠+，则()U A B 等于（）A ．∅B ．{(2,3)}C ．(2,3)D ．{2,3}例题精讲对于集合M ，定义函数()1,1,M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合M ，N ，定义集合()(){}|1M N M N x f x f x ∆=⋅=-．已知{}2,4,6,8,10A =，{}1,2,4,8,16B =．⑴写出()1A f 和()10B f =的值，并用列举法写出集合A B ∆；⑵用()card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()card card X A X B ∆+∆的最小值；⑶有多少个有序集合对(),P Q ，满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？练习1.方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（）A ．()5,4B ．()5,4-C ．(){}5,4-D ．(){}5,4-．练习2.用适当的符号填空⑴{}()(){}|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤⑵{|2x x ≤，⑶{}31|,_______|0x x x x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R 实战演练华山论剑练习3.⑴已知全集{()|}U x y x y =∈∈,R ,R ，{(11)}P =,，表示U P ．⑵{}a b c ,,A {}a b c d e f ,,,,,，求满足条件的A 的个数．练习4.已知{|2820,,}A x x m n m n ==+∈Z ，{|1218,,}B x x m n m n ==+∈Z ，则A B 中最小的正整数是_________练习5.设集合{|(3)()0}A x x x a a =--=∈,R ，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．练习6.若集合2{|20}M x x x =-->，{|10}T x mx =+<，且T M ⊆．求实数m 的取值范围．。
1.3+集合的基本运算(共2课时)高一数学同步精品课件(人教A版2019必修第一册)
我们知道，实数有加、减、乘、除等运算.集合是否也有类似的运算呢?
并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 并集集 (union set), 记作AUB(读作“A 并B”), 即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
可用Venn 图表示.A∪B
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提示：有公共元素，组成的集合是{8}.
集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ 提示：集合C的所有元素既属于A，又属于B.
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探究二：
1 提出问题
在上述两个问题中，集合 C 是由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的.
交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 交集 (intersection set), 记 作A∩B(读作“A 交 B”), 即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}. 可用Venn 图表示A∩B
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4 新知探究 一
探究问题
二
三
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探究一：
1 提出问题
在前面两个问题中，集合 A,B 与集合C 之间都具有这样一种关系：集合C 是由所有属 于集合A 或属于集合B的元素组成的.
这样，在上述问题(1)(2)中，C=A∩B.
真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集， 记作A ⫋B(或B ⫌A).
空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Ø.规定：空集是任何集合 的子集.
高一集合讲义
集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B……2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（（3（1（2a∈A4}5（1，5y3-x，x2（2）（3）韦恩（Venn）图示意6．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。
1．例题：例1．用列举法和描述法表示方程2230x x --=的解集。
答案：列举法：{1,3}-描述法：2{|23,}x x x x x R =--∈例2．下列各式中错误的是 （ ）（1）{奇数}={|21,}x x k k Z =-∈ （2）{|*,||5}{1,2,3,4}x x N x ∈<=（3）{(,x 答案：（4例3.答案：{|x 例4.答案：∅例5答案：a a 的取值范围．A是关于x 当a 1a ≤-．综上所得，实数a 的取值范围是{}01a a a =≤-或． 答案：{}01a a a =≤-或2．练习：（1）请学生各举一例有限集、无限集、空集。
（2）用列举法表示下列集合：① {|x x 是15的正约数} ②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③{(,)|2,24}x y x y x y +=-= ④ {|(1),}n x x n N =-∈*⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈答案：①{1,3,5,15}②{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}③82{(,)}33-④{1,1}-⑤{(2,5),(4,2)}（3①{答案：①1． A.{}1,2Ｃ.x ⎧⎨⎩２.将集合Ａ.{3,-Ｃ.{３.Ａ.１个４.方程组5x y -=⎩５.已知集合Ａ＝{}20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ６.(创新题)已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是( )Ａ.锐角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.等腰三角形六、课外作业：一、选择题1.下列元素与集合的关系中正确的是( ) A.N ∈21 B.2∈{x ∈R|x ≥3} C.|-3|∉N* D.-3.2∉Q2.(1)(2)集合(3)1,23(4)集合A.0 3.C.M={(x 4.已知x ∈A.{x |x 5.A.66.用符号“∈”或“∉”填空：0_______N ,5______N ,16______N .7.用列举法表示A={y |y =x 2+1,-2≤x ≤2,x ∈Z}为_______________.8.用描述法表示集合“方程x 2-2x +3=0的解集”为_____________.9.集合{x |x >3}与集合{t|t >3}是否表示同一集合？________10.已知集合P={x |2<x <a ,x ∈N},已知集合P 中恰有3个元素,则整数a =_________.三、解答题11.已知集合A={0,1,2},集合B={x |x =ab ,a ∈A ,b ∈A}.(1)用列举法写出集合B ；(2)判断集合B 的元素和集合A 的关系.12.13.((1)(2)1.1.11．选择题 1填空题解答题11.}4,2,1,0{=B 集合A 中的元素都在集合B 中。
高一同步学讲义-集合-函数
集合的含义与表示（一） 教学目标： （1） 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征； （2） 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系； （3） 掌握常用数集及其记法；
一 集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3. 练习1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1） 大于3小于11的偶数； （2） 我国的小河流； （3） 非负奇数；
（4） 方程210x的解； （5） 某校2007级新生； （6） 血压很高的人； （7） 著名的数学家； （8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9） 全班成绩好的学生。
4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：aA 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A 4A，等等。 6．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 ７．常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R； 二、例题讲解： 例1．用“∈”或“”符号填空： （1）8 N； （2）0 N； （3）-3 Z； （4）2 Q； （5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。 例2．已知集合P的元素为21,,31mmm, 若3∈P且-1P，求实数m的值。
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第一讲 集合一、集合：1、定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合与元素的关系：（1）如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。
3、常见集合：(1)非负整数集(或自然数集) ：N ；(2)正整数集合：*N 或+N ；(3)整数集合：Z ，(4)有理数集合：Q ；(5)实数集合：R . 注意：（1）自然数集N 含有0；（2）整数集Z 、有理数Q 、实数集R 内排除0的集合分别表示为： Z*或Z+、Q*或Q+、R*或R+。
4、集合三要素：确定性、互异性、无序性。
5、集合的分类：（1）有限集——含有有限个元素的集合。
（2）无限集——含有无限个元素的集合。
特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。
6、集合的表示方法：（1）列举法——把集合中的元素一一列举出来的方法。
如{x 1，x 2，…，x n }。
（2）描述法：{ x | p(x) }有时也可写成{ x ：p(x) }。
知识点二：集合之间的关系1、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。
记作：A ⊆B 或(B ⊇A).性质：①Φ⊆A （特别地Φ⊆Φ）； ②A ⊆A ； ③ 若A ⊆B,B ⊆C,则A ⊆C 。
2、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等 性质：A=B ⇔A ⊆B,B ⊆A3、真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集. 记作：A B ⇔A ⊆B ，A ≠B性质：①若A Φ≠,则有Φ⊂A 。
②如果A ⊂B,B ⊂C ，那么A ⊂C 。
③规定：空集合是任何集合的子集. 4.子集的性质①A 错误！未找到引用源。
A ，即任何一个集合都是它本身的子集②如果A 错误！未找到引用源。
B ，B 错误！未找到引用源。
A ，那么A 错误！未找到引用源。
B③如果A 错误！未找到引用源。
B ，B 错误！未找到引用源。
C ，那么A 错误！未找到引用源。
C④如果A ≠⊂B ，B ≠⊂C ，那么A ≠⊂C二 空集1.不含任何元素的集合叫做空集，记作错误！未找到引用源。
.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3.{0}、0、错误！未找到引用源。
与{错误！未找到引用源。
}之间的关系 0错误！未找到引用源。
{0}错误！未找到引用源。
0错误！未找到引用源。
{0} 错误！未找到引用源。
{0} 错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
三 有限集合的子集的个数1.n 个元素的集合有错误！未找到引用源。
个子集2.n 个元素的集合有错误！未找到引用源。
个真子集3.n 个元素的集合有错误！未找到引用源。
个非空子集4.n 个元素的集合有错误！未找到引用源。
个非空真子集知识点三：集合间的基本运算：1、并集：一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：A ∪B={x| x ∈A,或x ∈B}.性质：①A ∪A=A ②A ∪Φ=A ③A ∪B=B ∪A④A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ⑤A ∪B=B ⇔A ⊆B 2、交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：A ∩B={x| x ∈A,且x ∈B}.性质：①A ∩A=A ②A ∩Φ=Φ ③A ∩B=B ∩A④A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ⑤A ∩B=A ⇔A ⊆B 3、全集与补集：设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ⊆S ），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）。
如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。
记作：C S A={x| x ∈S,且x ∉A}性质：①C U U=Φ ②C U Φ=U ③C U (C U A)=A ④(C U A)∩A=Φ ⑤(C U A)∪A=U⑥C U (A ∩B)=(C U A )∪(C U B) ⑦C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B)说明：⑴“∈,∉”只能用在元素与集合之间。
“⊄⊇⊆⊃⊂,,,,”等只能用在集合与集合之间。
⑵一般地，若一个集合有n个元素，则它有2n个子集，2n-1个真子集。
例题分析1、集合{a，b，c }的真子集共有个（）A 7B 8C 9D 10（M∪N）=（）2、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则CUA . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4}3、集合{}|41,R x x k k Z==+∈，==+∈，{} |2,P x x k k ZQ x x k k Z==∈，{}|21,且,∈∈，则有（）a Pb QA、a b P+∈B、a b Q+∈C、a b R+∈D、a b+不属于P、Q、R中的任意一个4、设集合A={1,a,b},B={a,错误！未找到引用源。
,ab},且A=B，求实数a、b 的值.5、设全集U=R，集合错误！未找到引用源。
，或错误！未找到引用源。
，集合错误！未找到引用源。
，或错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
针对练习一、选择题1、下列四组对象，能构成集合的是（）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.下列命题中，正确的有（）①空集是任何集合的真子集②若A≠⊂B，B ≠⊂C，则A≠⊂C③任何一个集合均有两个或两个以上的真子集④如果凡不属于B 的元素也不属于A ，则A 错误！未找到引用源。
B （A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④ 3、若{1，2}⊆A ⊆{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 94、方程组 11x y x y +=-=- 的解集是 ( )A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)}D. {(x,y)|x=0或y=1}5、以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，Q ∉3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ⊂ ，{}2|20,x xx Z -=∈是空集中，错误的个数是（ ）A 4B 、3C 、2D 、16、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy ≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集D. 不在第二、第四象限内的点集7、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥B }{1a a ≤C }{1a a ≥D}{2a a ≤8、已知a 错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则 （ ） A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
二、填空题9、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 10、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ⊂A ，则a=__________11、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ⋂=____________. 12、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=∅，则实数m 的取值范围是 13、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.三、解答题14、已知集合M 错误！未找到引用源。
{错误！未找到引用源。
2，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
}，若2错误！未找到引用源。
，求x.15、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值三、布置作业1、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。
2、已知集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
等于（ ）A 、(0,1),(1,2)B 、{(0,1),(1,2)}C 、{y|y=1或y=2}D 、{y|y 错误！未找到引用源。
}3、若集合错误！未找到引用源。
{1,3,x},错误！未找到引用源。
{1,错误！未找到引用源。
},错误！未找到引用源。
{1,3,x}，则满足条件的实数x 有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个第二讲 集合的基本运算【知识回顾】1. 并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
例题（P 8-9例4、例5）说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。
2. 交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。
记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。
例题（P 9-10例6、例7）拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集3. 探索研究A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，A ∩A=A ，A ∩∅=∅,A ∩B=B ∩A A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪∅=A,A ∪B=B ∪A【拓展提高】A B A(B) A B B A B A A ∪B B A ?题型一 已知集合的交集、并集求参数问题例1 已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3AB =-，求实数a 的值练习1已知集合{}{},9,1,5,,1a 2,42a a B a A --=--=若{},9=⋂B A 求a 的值例2.已知{}{},51,32>-<=+≤≤=x x x B a x a x A 或若,φ=⋂B A 求a 的取值范围.练习2上题中若的取值范围求a R B A ,=⋃。