竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型

竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.(1)最低点运动学方程：F T1－mg ＝m v 1 2L ，所以F T1＝mg ＋m v 1 2L(2)最高点运动学方程：F T2＋mg ＝m v 2 2L ，所以F T2＝m v 2 2L－mg (3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由F T2＋mg ＝mv 2 2L可知，当F T2＝0时，v 2最小，最小速度为v 2＝gL . 讨论：当v 2＝gL 时，拉力或压力为零.当v 2>gL 时，小球受向下的拉力或压力.当v 2<gL 时，小球不能到达最高点.【例1】如图所示，一质量为m ＝0.5 kg 的小球，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。

g 取10 m/s 2，求：(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？(2)当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力多大？(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的速度不能超过多大？【例2】如图甲所示，轻绳一端固定在O 点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动。

改变小球通过最高点时的速度大小v ，测得相应的轻绳弹力大小F ，得到F ­v 2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b )，斜率为k 。

不计空气阻力，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )A ．该小球的质量为bgB ．小球运动的轨道半径为b kgC ．图线与横轴的交点表示小球通过最高点时所受的合外力为零D ．当v 2＝a 时，小球通过最高点时的向心加速度为g【例3】如图所示，游乐场翻滚过山车上的乘客常常会在高空倒悬时吓得魂飞魄散．设想如下数据，轨道最高处离地面32m ，最低处几乎贴地，圆环直径15m ，过山车经过最高点时的速度约18m /s.在这样的情况下能否保证乘客的安全呢？(g 取10m /s 2)【例4】如图所示，在质量为M的物体内有光滑的圆形轨道，有一质量为m的小球在竖直平面内沿圆轨道做圆周运动，A与C两点分别是轨道的最高点和最低点，B、D两点与圆心O在同一水平面上.在小球运动过程中，物体M静止于地面，则关于物体M对地面的压力F N和地面对物体M的摩擦力方向，下列说法正确的是()A.小球运动到A点时，F N＞Mg，摩擦力方向向左B.小球运动到B点时，F N＝Mg，摩擦力方向向右C.小球运动到C点时，F N＜(M＋m)g，地面对M无摩擦D.小球运动到D点时，F N＝(M＋m)g，摩擦力方向向右随堂练习1.如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是()A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为0D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力2.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)()A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N3.如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是()A.小球对圆环的压力大小等于mgB.重力mg充当小球做圆周运动的向心力C.小球的速度大小等于零D.小球的向心加速度一定大于g4.一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小.课后作业1.秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千()A.在下摆过程中B.在上摆过程中C.摆到最高点时D.摆到最低点时2.如图所示，一质量为M的人站在台秤上，一根长为R的悬线一端系一个质量为m的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法正确的是()A．小球运动到最高点时，小球的速度为零B．当小球运动到最高点时，台秤的示数最小，且为MgC．小球在a、b、c三个位置时，台秤的示数相同D．小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于超重状态3.在游乐园乘坐如图所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法正确的是()A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去B.人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mgC.人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等D.人在最低点时对座位的压力大于mg4.如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体受重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为()A．0B．gR C．2gR D．3gR5.如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放一小球C，A、B、C的质量均为m。

现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环之间的摩擦阻力)，则瞬时速度v必须满足()A．最小值4gr B．最大值6grC．最小值3gr D．最大值7gr6.如图所示，长度均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、B 两点，A 、B 两点间的距离也为L 。

重力加速度大小为g 。

今使小球在竖直面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点的速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点的速率为2v 时，每根绳的拉力大小为( )A.3mgB.433mg C ．3mg D ．23mg 7.在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m 1＝0.1 kg ，内部盛水质量m 2＝0.4 kg ，拉碗的绳子长l ＝0.5 m ，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v 1＝9 m/s ，g ＝10 m/s 2，求碗在最高点时绳的拉力大小及水对碗的压力大小.8.如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R 的圆轨道。

表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。

已知人和摩托车的总质量为m ，人以v 1＝2gR 的速度过轨道最高点B ，并以v 2＝3v 1的速度过最低点A 。

求在A 、B 两点轨道对摩托车的压力大小相差多少？9.某人将一个蒸笼屉握在手中，并在内侧边缘放置一个装有水的杯子，抡起手臂让蒸笼屉连同水杯在竖直面内一起转动起来，水却没有洒出来。

如图所示，已知蒸笼屉的半径为15 cm ，人手臂的长度为60 cm ，杯子的质量m 1＝0.3 kg ，杯中水的质量m 2＝0.2 kg ，转动时可认为圆心在人的肩膀处，不考虑水杯的大小，g 取10 m/s 2。

(1)若要保证在最高点水不流出来，求水杯通过最高点的最小速率v 0；(2)若在最高点水杯的速率为v 1＝4 m/s ，求此时水对杯底的压力。

竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型参考答案【例1】【答案】 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 2 m/s【解析】 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg ＋F 1＝mv 2R①由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F 1不可能取负值，亦即F 1≥0①联立①①得v ≥gR代入数值得v ≥2 m/s所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s 。

(2)mg ＋F 2＝m v 22R，代入数据解得F 2＝15 N 。

(3)由分析可知，小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得F 3－mg ＝mv 23R① 将F 3＝45 N 代入①得v 3＝4 2 m/s即小球的速度不能超过4 2 m/s【例2】【答案】 B【解析】 设小球运动的轨道半径为l ，小球在最高点时受到拉力F 和重力mg ，根据牛顿第二定律可知F ＋mg ＝m v 2l ，解得F ＝m v 2l －mg ，结合图象可知：mg ＝b ，即m ＝b g ，斜率m l＝k ，解得：l ＝m k ＝b kg，A 错误，B 正确；图线与横轴的交点表示小球通过最高点时所受的拉力为零，所受的合外力等于重力，C 错误；当v 2＝a 时，F ＝b ＝mg ，小球通过最高点时受到的合外力为2mg ，向心加速度为2g ，D 错误。

【解析】小球在A 点时，系统在水平方向不受力的作用，所以地面对M 没有摩擦力的作用，A 项错误；小球在B 点时，需要的向心力向右，所以M 对小球有向右的支持力的作用，对M 受力分析可知，由于小球对M 有向左的压力的作用，地面要对M 有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，M 受力平衡，所以物体M 对地面的压力F N ＝Mg ，B 项正确；小球在C 点时，小球的向心力向上，所以物体M 对小球的支持力要大于小球的重力，故M 受到的小球的压力大于mg ，那么M 对地面的压力就要大于(M ＋m )g ，系统在水平方向上不受力，则地面对M 没有摩擦力，C 项错误；小球在D 点和B 点的受力类似，M 对小球的弹力向左，则小球对M 的弹力向右，则M 受到地面的摩擦力方向向左，在竖直方向上，根据平衡条件知，F N ＝Mg ，D 项错误.随堂练习1.【答案】 D【解析】 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A 错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B 错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，mg ＝mv 2l，v ＝gl ，C 错误；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，绳子的拉力一定大于小球的重力，故D 正确.2.【答案】 B【解析】 “水流星”在最高点的临界速度v ＝gL ＝4 m/s ，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.3.【答案】 B【解析】 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A 错误；此时小球只受重力作用，即重力mg 充当小球做圆周运动的向心力，满足mg ＝m v 2R＝ma n ，即v ＝gR ，a n ＝g ，选项B 正确，C 、D 错误. 4.【答案】 (1)2.24 m/s (2)4 N【解析】 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.此时有：mg ＝m v 0 2l，则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈2.24 m/s. (2)此时桶底对水有一向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有：F N ＋mg ＝m v 2l， 代入数据可得：F N ＝4 N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小：F N ′＝4 N.课后作业1.【答案】 D【解析】 当秋千摆到最低点时速度最大，由F －mg ＝m v 2l知，吊绳中拉力F 最大，吊绳最容易断裂，选项D 正确.2.【答案】 C【解析】 小球恰好能通过圆轨道最高点，由mg ＝m v 2R，得v ＝gR ，A 项错误；当小球恰通过圆轨道最高点b 时，悬线拉力为0，此时对人受力分析，得出台秤对人的支持力F ＝Mg ，在a 、c 两处时小球受重力和水平指向圆心的拉力，台秤对人的支持力也为F ＝Mg ，即台秤的示数也为Mg ，故C 项正确；小球在a 、c 连线以上(不包括b 点)时，人受到悬线斜向上的拉力，人对台秤的压力小于Mg ，在a 、c 连线以下时，人受到悬线斜向下的拉力，人对台秤的压力大于Mg ，人处于平衡态，没有超、失重现象，B 、D 两项错误。