专题一圆周运动绳杆模型
圆周运动绳杆模型
圆周运动绳杆模型1圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型:一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动。
小球能到达最高点（刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力).类此模型:竖直平面内的内轨道(2）轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 。
（杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力。
） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0〈v <gr 时，杆对小球的支持力 于小球的重力；③当v ＝gr时,杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr 时,杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道。
1、圆周运动中绳模型的应用【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2)在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑,到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。
求在圆形轨道最高点B【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1）最高点水不流出的最小速率。
（2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用 【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆,一端拴一质量m=0。
4 kg 的小球,使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动,求：（1)小球通过最高点时的最小速度；（2）若小球以速度v 1=3。
0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何?【训练3】如图所示,长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力,则（ )2vR A 。
圆周运动绳杆模型
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，
FN 为支持力，沿半径背
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高 点前小球已经脱离
由上述三式知 a0＝4g
设小球受盒子右侧面的作用力为 F，受上侧面的作用力为
FN，根据牛顿运动定律知
在水平方向上 F＝ma0 即 F＝4mg
在竖直方向上 FN＋mg＝0 即 FN＝－mg
因为 F 为正值、FN 为负值，由牛顿第三定律知小球对盒子
的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为 4mg 和 mg.
【答案】 (1)2π
R g
(2)小球对盒子的右侧面和下侧面有
作用力，大小分别为 4mg 和 mg
在判断盒子对小球的作用力的大小和方向 时，可以首先做出假设，然后应用牛顿第二定律列式求解，最后 根据结果的符号判断力的真实方向．
在 2012 年第 30 届伦敦奥运会体操男团中国 队卫晟冠军．如右图张成龙在单杆比赛中正完成一个单臂回环动 作，且恰好静止在最高点．设张成龙的重心离杠 1.60 米，体重 大约 56 公斤．忽略摩擦力，认为张成龙做的是圆周运动，试求：
答案：(1)8 m/s (2)560 N 2800 N
了圆轨道
离圆心
(2)当 0<v< gr时，－FN 支＋mg＝mvr2，FN 背向 圆心，随 v 的增大而减 小
(3)当 v＝ gr时，FN＝0 (4)当 v> gr时， FN 拉＋mg＝mvr2，FN 指
圆周运动绳杆模型
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动， 该类运动常有临界问题， 并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
解析：根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为 v，最 高点最小速度为零，由最低点到最高点 1 2 则 mgh＝ mv ，h＝2l， 2 所以 v＝ 2gh＝2 gl＝8 m/s.
(2)在最高点张成龙处于静止状态，故对杠的压力等于重力 FN＝mg＝560 N，在最低点做圆周运动．设杠对张成龙的作用力 v2 v2 为 FN′，则 FN′－mg＝m l ，故 FN′＝mg＋m l ＝560 N＋ 82 56× N＝2800 N，由牛顿第三定律，张成龙对杆的作用力大 1.6 小为 2800 N.
由上述三式知 a0＝4g 设小球受盒子右侧面的作用力为 F，受上侧面的作用力为 FN，根据牛顿运动定律知 在水平方向上 F＝ma0 即 F＝4mg 即 FN＝－mg
在竖直方向上 FN＋mg＝0
因为 F 为正值、FN 为负值，由牛顿第三定律知小球对盒子 的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为 4mg 和 mg.
【小球对盒子的右侧面和下侧面有
作用力，大小分别为 4mg 和 mg
在判断盒子对小球的作用力的大小和方向 时，可以首先做出假设，然后应用牛顿第二定律列式求解，最后 根据结果的符号判断力的真实方向．
在 2012 年第 30 届伦敦奥运会体操男团中国 队卫晟冠军． 如右图张成龙在单杆比赛中正完成一个单臂回环动 作，且恰好静止在最高点．设张成龙的重心离杠 1.60 米，体重 大约 56 公斤．忽略摩擦力，认为张成龙做的是圆周运动，试求： (1)张成龙在最低点应以多大的速度才能达到如图效果； (2)张成龙在最高、最低点时对杠的作用力．
圆周运动中的绳杆模型
当环对小球的弹力向下时：
解得小球的速率
21
例6、如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距 球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面 内转动。在转动的过程中，忽略空气的阻力。若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用 力，则下列说法正确的是（ ）
A．数据a与小球的质量无关 B．数据b与小球的质量无关 C．比值 只与小球的质量有关，
与圆周轨道半径无关 D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量
和圆周轨道半径
.
练4、如图所示，质量为M＝1kg的薄壁细圆管竖直放置在固定的底座上，圆管内部光
滑，圆半径比细管的内径大得多．已知圆的半径R＝0.4m，一质量m＝0.5kg的小球，
二、杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周
运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度为v2时，
杆的受力与速度的关系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度为v1时，
杆的受力与速度的关系怎样？
A
杆球模型：
B
F3 v2
mg F2
o
F1
v1 A mg
最低点： 最高点：
F1
A．2m/s C．4m/s
B．3m/s D．5m/s
例2、如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝
0.4m，最低点处有一小球（半径比r小的多），现给小球一水平向右的初
速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应满足（g＝10m/s2）（ ） ①v0≥0 ②v0≥4m/s ③v0≥2 m/s ④v0≤2 m/s
圆周运动的绳杆模型
圆周运动绳杆模型讲解学习
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，
FN 为支持力，沿半径背
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高 点前小球已经脱离
(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的12做匀速圆周运动， 则当盒子运动到如图所示(球心与 O 点位于同一水平面上)时，小 球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
【思维启迪】 mg＝mR(2Tπ0)2→周期 T0→T′＝T20→F′向＝ mR(T2′π )2→盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力
【尝试解答】 (1)设盒子的运动周期为 T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力
提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg＝mR(2Tπ0)2
解之得 T0＝2π
R g
(2)设此时盒子的运动周期为 T，则小球的向心加速度为 a0 ＝4Tπ22R
由第(1)问知 T0＝2π Rg且 T＝T20
一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型 1．模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
圆周运动——绳球杆球模型.
当v=v0，小球刚好能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度 必须满足：v gr
问题2：杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小 球在竖直平面内做圆周运动。 试分析： B （1）当小球在最低点A的速度 为v2时，杆的受力与速度的关 系怎样？ （2）当小球在最高点B的速度 为v1时，杆的受力与速度的关 系怎样？
A
问题2：杆球模型： B
F2
F3
v2
mg
o
v1
F1
A mg
v1 最低点：F1 mg m L 2 v2 最高点：F2 mg m 拉力 L 2 v2 mg - F3 m 支持力 L 思考:最高点的最小速度是多少?
2
最小速度v=0，此时mg=F3
问题2：杆球模型： 2 v2 F3 最高点：F2 mg m 拉力 B v2 L 2 v2 mg mg - F3 m 支持力 F2 L o 思考:在最高点时，何时杆表现为 F1 拉力？何时表现为支持力？试求 其临界速度。 v1 A mg 临界速度：F 0, v0 gL 当v<v0，杆对球有向上的支持力； 当v>v0，杆对球有向下的拉力。
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放 置的管型轨道，其半径为R， 管内有一质量为m的小球有做 圆周运动，小球的直径刚好略 小于管的内径。问： （1）小球运动到最高点时，速度与受力的关系 如何？ （2）小球运动到最低点时，速度与受力的关系 又是如何？
F3
V2
G F2
;
2 v1 最低点：F 1 mg m R
绳模型和杆模型
（二）轻杆模型 A）特点： 小球在竖直平面内做圆周运动时，物体能被支持 B）临界条件 （1）能否到达最高点的临界条件: V=0
(2)拉力还是支持力的临界条件： C）讨论： F
1）当 V＞ rg 时，杆对小 球施加拉力，且速度越大， 拉力越大（此时杆子相当于 绳子） 2）当 0＜V＜ rg 时，杆对球施加支 持力，速度越大，支持里越小
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不 得小于 gr v gr 即：
V rg
K
E G
例1．如图所示，质量为m的小球置于正方
体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径。 某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的 匀速圆周运动，已知重力加速度为g，问： 图5－7－6
要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，
则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
[思路点拨] 解答本题时应注意： 1小球在最高点的合力等于向心力。 2通过最高点的临界
[解析 ] 设此时盒子的运动周期为 T 0，因为在最高点时
盒子与小球之间恰好无作用力，因此小球仅受重力作用。 根据牛顿第二定律得
4 2 mg m 2 r T0
，
得
T0 2
r g
1）质量为m的小球在竖直平面内的圆轨道的内则运动， 经过最高点而不脱离轨道的临界速度为V，当小球以2V 的速度经过最高点时，对轨道的压力是多大？ 解析: v m 由临界速度得：mg= r ， 当小球的速度为2v时，
（2）当V2=4m/s时，杆受到的力大小，是拉力还 是压力？
A
B
3)如图：在A与B点，杆对球 的力是（ AD ） A）A处可能为拉力，B处为拉力 B）A处可能为拉力，B处为压力 C）A处可能为支持力，B处为压力 D）A处可能为支持力，B处为拉力
圆周运动绳杆模型
悬索桥的吊索通过绳杆模型将主梁与主缆连接，使主梁能够 悬挂在主缆上并保持平衡。
卫星轨道的设计与运行
人造卫星轨道
人造卫星的轨道通过绳杆模型与地球 连接，通过地球引力与绳杆模型的拉 力平衡，使卫星能够绕地球做圆周运 动。
月球探测器轨道
月球探测器的轨道通过绳杆模型与月 球连接，通过月球引力与绳杆模型的 拉力平衡，使探测器能够绕月球做圆 周运动。
05
绳杆模型在现实生活中的应用
游乐场的旋转设施
旋转木马
绳杆模型在旋转木马中起到支撑和传动的作用，通过绳索与木马连接，实现木马 的旋转运动。
摩天轮
摩天轮的旋转臂通过绳索与座舱连接，使座舱在旋转臂上做圆周运动，同时绳索 也起到安全保护的作用。
桥梁的拉索设计
斜拉桥
斜拉桥的拉索通过绳杆模型将主梁与桥墩连接，使主梁能够 承受载荷并保持稳定。
双摆运动
总结词
双摆运动是指两个单摆同时进行摆动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合，适用于分析具有两个 固定圆心和摆长的双摆系统。
详细描述
双摆运动是两个单摆同时进行摆动的组合运动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合。在双摆运动 中，两个单摆的摆线长度和初始角度都可以不同，但它们都受到重力的作用。在摆动过程中，双摆系 统的角速度、角加速度、回复力、动能和势能等物理量都随时间变化。
运动。
向心力的方向始终指向圆心，与 速度方向垂直。
绳杆模型中的离心力分析
离心力：当物体做圆周运动时， 若没有向心力作用，物体将沿 切线方向飞出。
在圆周运动绳杆模型中，离心 力与向心力大小相等、方向相 反。
离心力的大小与物体的质量、 速度和圆周半径有关。
04
圆周运动绳杆模型的实例分析
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专题一：《圆周运动中的临界问题》
一.两种模型:
(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运
动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m r
v 2
，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）.
类此模型：竖直平面内的内轨道
(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；
②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力 于小球的重力；
③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 于零；
④当v >gr 时，杆对小球提供 力.
类此模型：竖直平面内的管轨道.
1、圆周运动中绳模型的应用
【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？
【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点 B 时恰好对轨道无压力。
求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：
(1)最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．
2、圆周运动中的杆模型的应用
【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：
(1)小球通过最高点时的最小速度；
(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？
v
R 【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）
A.小球到达最高点的速度必须大于gL
B .小球到达最高点的速度可能为0 C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力
【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。
若小球恰能在圆环轨道中完成圆周运动，则小球在通过最高点时
受到轨道给它的作用力为___________。
若小球通过圆环轨道 最高点时速度恰为gL ，则小球在通过最高点时受到轨道给
它的作用力为___________。
【训练5】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O 点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r ，图中P 、Q 两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( )
A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P 点的速度可以为零
B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P 点的速度可以为零
C.若连接体是轻质细绳时，小球在P 点受到细绳的拉力可能为零
D.若连接体是轻质细杆时，小球在P 点受到细杆的作用力为拉力，
在Q 点受到细杆的作用力为推力
二、水平面内的圆周运动临界问题
【例题3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长为L 的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物体可看作质点），物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v ＝
16gL 时，求绳对物体的拉力； ⑵当v ＝
32gL 时，求绳对物体的拉力。
O
L m
L m O θ。