向心力习题课 绳杆模型

=—5牛
A
由题意，OB杆对B球作用力方向向上
VA=4
据牛12三/5/20律19 B球对OB杆作用力向下，大小为5N
8．如图所示，长为2L的轻杆，两端各固定一小球，A球质量
为m1，B球质量m2。过杆的中点O有一水平光滑固定轴，杆
可绕轴在竖直平面内转动。当转动到竖直位置且A球在上端、
B球在下端时杆的角速度为ω ，此时杆对转轴的作用力为零，
则A、B小球的质量之比为
（D ）
A． 1：1
B. (L 2 2g) : (L 2 2g) C. (L 2 g) : (L 2 g) D. (L 2 g) : (L 2 g)
A O B
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例3 如图6-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆
弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，
： mg
FN 2
解
mv l
2 2
先求出杆的弹力为0的速率v0
mg=mv02/l
v02=gl=5
v0=2.25 m/s
(1) v1=1m/s< v0 球应受到内壁向上的支持 力N1,受力如图示:
mg

FN 1

mv
2 1
l
得: FN1 =1.6 N
(2) v2=4m/s > v0 球应受到外壁向下的支持力N2
A球在最低点时的速度大小为4m/s，求此时B球对杆的作用力
解 ∵AB在同一个物体上同一时刻ω相同
在B通过最高点时
B
VB
ω=
VA rA

4 0.8
5(rad / s)
B
o
A
研B最高点，据牛二律
r;FB= mω2rB
∴FB= mω2rB — mg
= 1×52×0.2 —1×10
②当0 v rg 时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N
随v的增大而减小；
③当v rg 时，N＝0；
④当v rg ，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增大
质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的
内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临
界速度为v，当小球以2v的速度经过最高点
时，对轨道的压力是 （ ）
竖直平面内的圆周运动 1.轻绳模型 ：
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
mg

m 2 R
v临界

Rg
归纳：
（1）小球能过最高点的临界条件（受力）：绳子和 轨道对小球刚好没有力的作用：
mg

m
2
R
v临界

Rg
（2）小球能过最高点条件（运动）：v rg
DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自
A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运
动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终
通过最高点D，则小球在通过D点后（
）A
A．会落到水平面AE上
B．一定会再次落到圆轨道上
C．可能会落到水平面AE上
D．可能会再次落到圆轨道上
二、在水平面内作圆周运动的临界问题
如图所示:
mg

FN 2

mv
2 2
l
得 FN2 =4.4 N
由牛顿第三定律,球对管壁的作用力分别为:(1) 对内壁1.6N向下的压力;(2)对外壁4.4N向上的 压力。
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FN1 m A
mg O
m A
mg FN2O
例3：轻杆长L=1m,其两端各连接质量为1kg的小球，杆可绕距B端
0.2m处的轴o在竖直面内自由转动，轻杆由水平静止转至竖直方向，
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动
2.轻杆模型 ：
能过最高点的临界条件 （运动）：
v临界＝0
归纳：杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力 ①能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg；
在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时， 物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。 这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力 是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些 接触力，如静摩擦力、绳的拉力，接触面的支持力 等）。
例4 如图细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在 水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg 的物体，M与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大 静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速 度ω在什么范围m会处于静止状态？ （g＝10m／s2）
圆周运动基本问题：受力
运动
分析解决圆周运动动力学问题的基本步骤
1.明确研究对象 2.分析运动：确定圆周运动所在的平面，明
确圆周运动的轨迹、半径、圆心位置及运 动量。写出运动需要的向心力。
3.分析受力，沿半径方向各个力的合力提供 向心力。
4.据牛顿第二定律列方程F供=F需，并求解。
圆周运动中的临界问题
A．0
B．mg
C．3mg
D．5mg
C
例2、长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量 为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心 在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速 率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细杆OA受到 （B ）
A、6.0N的拉力 C、24N的拉力
B、6.0N的压力 D、24N的压力
练习:用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环(管径远小 于R)竖直放置,一小球(可看作质点,直径略小于管径)质 量为m=0.2kg在环内做圆周运动,求:小球通过最高点A 时,下列两种情况下球对管壁的作用力。 取g=10m/s2 (1)A的速率为1.0m/s (2)A的速率为4.0m/s
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M r
o
m
[解析] 要使m静止，m′也应与平面相对静止，而 m′与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，m′有向着圆心运动的 趋势，水平面对m′的静摩擦力的方向背离圆心，
大小等于最大静摩擦力2 N.
此时，对m′运用牛顿第二定律，
有T－fmax＝m′ωr ，且T＝mg 解得ω1＝2.9 rad/s.
一、竖直平面内圆周运动的临界问题
对于物体在竖直面内做的圆周运动 是一种典型的变速曲线运动，该类运 动常有临界问题，题中常出现“最 大”“最小”“刚好”等词语，常分 析两种模型——轻绳模型和轻杆模型， 分析比较如下：
常见 类型
轻绳模型
轻杆模型
在最高点时，没有物体支
特点 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力