竖直面内的圆周运动
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
动能定理和竖直面内的圆周运动
动能定理与竖直面内的圆周运动在高中物理中，竖直面内的圆周运动问题较为常见。
相关内容是学生普遍感觉比较难以理解、难以处理的。
竖直面内的圆周运动（不含带电粒子在匀强磁场中的运动问题）运动过程看似复杂，运动速度大小和方向随时随刻在发生变化，但是在高中物理中通常只研究两个特殊位置——最高点和最低点．．．．．．．。
对于最高点的考查，我们暂且把竖直面内的圆周运动归纳为两类模型——有支撑模型和无支撑模型。
有支撑（球与轻杆连接、球在圆形管道内运动等） 无支撑（球与轻绳连接、球在圆形轨道内运动等）模型图过最高点的临界条件恰好能通过最高点时，小球只受重力作用，即重力充当向心力：Rvm mg 20=解得：所以临界条件为：gR v ≥注：、“安全通过最高点”等。
【例1】如图是某游乐园过山车轨道的一部分，其中圆形轨道的半径为R ，其中B 点为圆形轨道的最高点，那么其通过B 点的速度不得少于多少？（已知重力加速度为g ）【解】假设过山车恰好能通过B 点，且过山车的质量为m.那么：解得：而对于最低点．．．的考查，一般将弹力与速度结合考查，分为两种情况： 情况一：已知弹力求速度。
情况二：已知速度求弹力。
【例2】如图所示，半径为R 的半圆形轨道竖直放置，左右两端高度相同，质量为m 的小球从端点A 由静止开始运动，通过最低点B 时对轨道压力为2mg ，求小球经过B 点时速度的大小。
【解】对于最低点受力分析结合牛顿第二定律得：代入数据解得：那么，我们有没有办法知道竖直面内最高点或最低点中其中一个点的运动或受力情况，求另外一个点运动或受B A轻杆 轻绳C≥v gRv =0Rvm mg 2=gRv =0R v m mg F B N 2-=gRv B =力情况呢？下面我们就来看这样的一个例子：【例3】如图所示，半径为R 的光滑圆形过得竖直放置，小球m 在圆形轨道内侧做圆周运动，对于圆形轨道，小球通过最高点是恰好对轨道没有相互作用力，不考虑空气阻力的影响，则小球通过最低点时对轨道的作用力是多少？【分析】本题中小球从最高点运动到最低点的过程中，由于忽略空气阻力的影响，则小球除最高点外受到了竖直向下的重力、轨道对它的随时与轨道切向方向垂直支持力的作用，所以小球从最高点到最低的过程中，只有重力做功，因此我们就知道该过程中的总功就等于重力所做的功，所以本题可以通过动能定理求出到达最低点的速度，然后再根据圆周运动与牛顿运动定律求出作用力。
高中物理：物体在竖直面内的圆周运动
1、轻绳或细杆作用下物体在竖直面内的圆周运动（1）轻杆作用下的运动如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A时，若杆与小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力提供：得=，由此可得小球在最高点时有以下几种情况：当=0时，杆对球的支持力F N = mg，此为过最高点的临界条件。
②当=时，，=0③当0＜＜时，m g＞＞0且仍为支持力，越大越小④当＞时，＞0，且为指向圆心的拉力，越大越大（2）细绳约束或圆轨道约束下的运动：如图所示为没有支撑的小球（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。
①当，即当==时，为小球恰好过最高点的临界速度。
②当＜，即＞=时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球能过最高点③当＞，即＜=时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。
竖直面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，而是变速圆周运动，此时由物体受到的合力沿半径方向的分力来提供向心力，一般只研究最高点和最低点，此情况下，经常出现临界状态，应注意：（1）绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零（2）杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零例1、一根绳子系着一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水并不流出来，如图所示，为什么呢？解析：对杯中水，当=时，即=时，杯中水恰不流出，若转速增大，＜时，＞时，杯中水还有远离圆心的趋势，水当然不会流出，此时杯底对水有压力，即N+=，N=－；而如果＞，＜时，水会流出。
例2、如图所示，轻杆OA长l=0.5m，在A端固定一小球，小球质量m=0.5kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为=0.4m/s，求在此位置时杆对小球的作用力。
（g取10 m／s 2）解法一：先判断小球在最高位置时，杆对小球有无作用力，若有作用力，判断作用力方向如何小球所需向心力==0.5×=0.16 N小球受重力=0.5×10=5 N重力大于所需向心力，所以杆对小球有竖直向上的作用力F，为支持力以竖直向下为正方向，对小球有－F=解得：F= 4.84 N解法二：设杆对小球有作用力F，并设它的方向竖直向下，对小球则有－F=F=－=－4.84 N“－”表示F方向与假设的方向相反，支持力方向向上。
高中物理必修二 第二章 专题强化5 竖直面内的圆周运动
6.在游乐园乘坐如图所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内 沿圆周轨道运动，已知重力加速度为g，下列说法正确的是 A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉
住，若没有保险带，人一定会掉下去 B.人在最高点时对座位仍会产生压力，但压力一定
小于mg C.人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
√D.人在最低点时对座位的压力大于mg
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
过山车上人经过最高点及最低点时，受力如图，
在最高点，由 mg＋FN＝mvR12，可得：FN＝m(vR12－g)
①
在最低点，由 FN′－mg＝mvR22，可得：FN′＝m(vR22＋g)
②
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
当 v1≥ gR时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位 有压力，大小因 v1 而定，A、B 错误. 最高点、最低点两处向心力大小不相等，向心加速度大小也不相等 (变速率)，C错误. 由②式知，在最低点FN′＞mg，根据牛顿第三定律知，D正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
导学探究
如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球在重 力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内 做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”. 1.分析求解小球通过最高点的最小速度. 答案 由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球 恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
2.(多选)如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周 运动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不 脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(重力加速度为g) A.小球对圆环的压力大小等于mg
竖直面内的圆周运动模型
竖直面内的圆周运动模型
圆周运动是一种常见的物理运动，也是许多物理运动中最重要的基础组成之一。
它出
现在自然界中的各个角落，给人们惊喜和鼓舞，引发科学家们深远的思考。
本文中，我们
将讨论竖直面内的圆周运动模型。
竖直面内的圆周运动是指空间坐标内的跟踪运动，它满足物体存在平方摩擦力（当它
的线速度与圆心的位置有关时）的要求。
在这种情况下，可以用以下方程来描述物体在竖直面上的圆周运动：
其中F是重力力，m是物体的质量，ω是角速度，θ是指定的时刻的角度，t是时间，a0是速度的初始值，∆t是时间间隔，R是圆的半径。
平方摩擦力的方程为：
其中μ是空气阻力系数，v是物体的速度，∆v是物体速度变化的量。
由于圆周运动中存在着速度，加速度和受力等变量，所以可以将其表示成动量方程：
根据以上方程，可以得出物体在竖直面内的圆周运动的具体运动轨迹，即：
从上面的计算公式可以看出，竖直面内的圆周运动模型是一个复杂的数学模型，其中
包括外力矩、时间等因素，它可以用来描述物体在单位机械作用下的数量运动规律，同时
还涉及到空气阻力和摩擦力等概念。
总而言之，竖直面内的圆周运动模型是一种综合的物理运动模型。
它可以满足大多数
物理实验的要求，并且可以用来更好地揭示物体在空间中的动态变化规律。
它也将为人类
在研究物理运动规律中提供更多新的思路。
竖直面内的圆周运动模型(解析版)--2024届新课标高中物理模型与方法
2024版新课标高中物理模型与方法竖直面内的圆周运动模型目录一．一般圆周运动的动力学分析二．竖直面内“绳、杆(单、双轨道)”模型对比分析三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论三.过拱凹形桥模型一．一般圆周运动的动力学分析如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有：Fτ=maτ，aτ改变速度v的大小F n=ma n，a n改变速度v的方向，a n=v2r作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
Fτ=maτ，aτ改变速度v的大小F n=ma n，a n改变速度v的方向，a n=v2ρ，ρ为曲率圆半径。
二．竖直面内“绳、杆(单、双轨道)”模型对比分析轻绳模型(没有支撑)轻杆模型(有支撑)常见类型过最高点的临界条件由mg=mv2r得v临=gr由小球能运动即可得v临=0对应最低点速度v低≥5gr对应最低点速度v低≥4gr绳不松不脱轨条件v低≥5gr或v低≤2gr不脱轨最低点弹力F低-mg=mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力F低-mg=mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力最高点弹力过最高点时，v≥gr，F N+mg=mv2r，绳、轨道对球产生弹力F N=mv2r-mg向下压力(1)当v=0时，F N=mg，F N为向上支持力(2)当0<v<gr时，-F N+mg=m v2r，F N向上支持力，随v的增大而减小(3)当v=gr时，F N=0(4)当v>gr时，F N+mg=m v2r，F N为向下压力并随v的增大而增大在最高点的F N 图线取竖直向下为正方向取竖直向下为正方向三．竖直面内圆周运动常见问题与二级结论【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A 和最低点记为C ，与原点等高的位置记为B 。
竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动一.竖直平面内的圆周运动属于圆周运动二.两种情况：1、没有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动①临界条件：小球到达最高点时绳的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球重力提供其圆周运动的向心力，即mg=mv02/R∴刚过最高点的临界速度（最小速度）v=②当v≥v0时小球通过最高点③当v＜v0时小球不能到达最高点。
2、有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动v=0弹力的大小b图中的弹力a图中的弹力速度范围课堂练习1、绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长=0.4m.求（1）桶在最高点水不流出的最小速率？（2）水在最高点速率=3m/s时水对桶底的压力？(g取10m/s2)2、细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力作业1.长度为0.5m的轻质细杆，A端有一质量为3kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s2，则此时轻杆OA将（）A．受到6.0N的拉力B．受到6.0N的压力C．受到24N的拉力D．受到54N的拉力2.一轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端以O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是()A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于0B、小球过最高点时的最小速度为√gRC、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反3.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度值为V，当小球以2V的速度经过最高点时，对轨道的压力值是（）（A）0 （B）mg (C)3mg (D)5mg4.一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？（g=10m/s2）5. 如图，质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度是v，当小球以3v 的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是多少？6.用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运动，求:小球通过最高点A时，下列两种情况下球对管壁的作用力. 取g=10m/s2(1) A的速率为1.0m/s (2) A的速率为4.0m/s。
第四章 第3-3讲竖直面内的圆周运动
【典例透析2】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一 端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直 平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉， 球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高 度为d，手与球之间的绳长为 3 d ,重力加速度为g。忽略手的运
4
动半径和空气阻力。求：
(1)绳断时球的速度大小v1; (2)绳能承受的最大拉力； (3)改变绳长（绳承受的最大拉力不变），保持手的位置不动， 使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球 抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
【解析】(1)设绳断后球做平抛运动时间为t1，
竖直方向：
1 4
d
1 2
第3-3讲 竖直面内的圆周运动
【考点解读】 1.竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。 2.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。 3.竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问 题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点速 度不为零。 4.一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低 点的两种情形。
【规范解答】已知a、b绳长均为1 m，即：
Am Bm 1 m，AO 1 AB 0.8 m 2
在△AOm中，cos AO 0.8 0.8
Am 1
sinθ=0.6，θ=37° 小球做圆周运动的轨道半径为
r Om Amsin 1 0.6 m 0.6 m
b绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力FTa的合 力F为向心力，其受力分析如图所示： 由牛顿第二定律得：F=mgtanθ=mrω2 解得直杆和球的角速度为
【解析】（1）物块做平抛运动，竖直方向有
H 1 gt2 2
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竖直面内的圆周运动
绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为m ，绳长为r ，过最高点时，小球的速度为v ， 总结：（1）当
，向心力由重力和绳的拉力共同提供，小球做圆周运动能过最高点。
（2）当
，绳的拉力为0.，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。
（3）当
，小球不能通过最高点，在到达最高点之前要脱离圆周。
注：小球在圆形轨道内侧运动过圆周最高点的情况与此相同。
杆模型：如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为m ，杆长为r ，过最高点时小球的速度为v ， （
1）当，mg=mv 2/r ，重力恰好提供向心力，这时杆和小球 (有、无)
（2）当
，重力和杆对小球的拉力F N 共同提供向心力，。
（3）当
，重力和杆对小球支持力F
N 共同提供向心力，。
1、用长为l 的细绳拴着质量为m A 小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B 小球在圆周最高点时绳子的拉力不可能为0
C 若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
gr
D 小球在圆周最低点时拉力一定大于重力
2、游乐场的翻滚过山车，人和车的总质量为5吨，轨道的半径为10m ，到达轨道最高点的速度至少为多少时，才能保证游客的安全。
3、质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经过最高点不脱离轨道的临界速度为v ，则当小球以2v 的速度经过最高点时，小球对轨道压力的大小为（ ） A 0 B mg C 3mg D 5mg
4、质量为m 的滑块滑到半径为R 的圆形轨道的顶端时速度为v ，求滑块在最高点时对轨道的压力为
5、细杆的一端与一小球相连，可绕O 点的水平轴自由转动，现在给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ） A a 处为拉力，b 处为拉力 B a 处为拉力，b 处为推力 C a 处为推力，b 处为拉力 D a 处为推力，b 处为推力
6、用长为L 的细绳将质量为m 的小球悬在O 点，使之在竖直平面内做圆周运动，小球通过最低点时的速度为v ，则小球在最低点时细绳的张力大小为
7、绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳长=40cm.求 （1）桶在最高点水不流出的最小速率？
（2）水在最高点速率=3m/s 时水对桶底的压力？(g 取10m/s 2) 8、如图质量为m=0.2kg 的小球固定在长为L=0.9m 的轻杆一端，杆可绕O 点的水平转轴在竖直平面内转动，g=10m/s 2，求： （1）小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为0？
（2）当小球在最高点的速度分别为6m/s 、1.5m/s 时，球对杆的作用力和方向。
9长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动，在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时
水平面内的圆周运动
例1，如图，已知绳长a＝0.2m，水平杆长b＝0.1m，小球质量m＝0.3kg，整个装置可绕竖直轴转动。
（1）要使绳子与竖直方向成450角，试求该装置必须以多大的角速度旋转？
（2）此时绳子对小球的拉力为多大？
例2，如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
例3，如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）
练习：
1，如图8所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。
物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。
求：
⑴当转盘角速度ω1＝μg
2r时，细绳的拉力T1。
⑵当转盘角速度ω2＝3μg
2r时，细绳的拉力T2。
2，如图9所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v＝1
6gL 时，求绳对物体的拉力；
⑵当v＝3
2gL 时，求绳对物体的拉力。
图
8
图9。