正弦定理、余弦定理专题复习

正弦定理、余弦定理专题复习

教师版在下面

考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．一、知识梳理：

1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

(1)S＝1

2a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝

1

2ab sin C＝________＝________；

(3)S＝1

2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

[常用结论]

1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．

2．内角和公式的变形

(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.

二、基础自测：

1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π

6，B＝π4，

a＝1，则b＝()

A．2B．1 C． 3 D．2

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .

3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()

A．无解B．两解

C．一解D．解的个数不确定

4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，

cos A＝2

3，则b＝()

A. 2

B. 3

C. 2

D. 3

5．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为________．

6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．三、典例讲解：

考点1.利用正余弦定理解三角形问题

例1：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

若a sin B cos C＋c sin B cos A＝1

2b，且a＞b，则B＝()

A.π

6 B.

π

3 C.

2π

3 D.

5π

6

规律方法：

练习1：(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.

①求A；

②若2a＋b＝2c，求sin C.

考点2 与三角形面积有关的问题

例2：(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

若b＝6，a＝2c，B＝π

3，则△ABC的面积为____________．

规律方法：

练习2 ：(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2b cos C＝2a＋c.

(1)求B；

(2)若b＝2，a＋c＝5，求△ABC的面积．

考点3 判断三角形的形状

例3设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定

规律方法：

练习3：(变条件1)本例中，若将条件变为2sin A cos B＝sin C，判断△ABC 的形状．

(变条件2)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状．

三、巩固提高：

1.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝2，则AC等于()

A. 1

B. 2

C. 2

D. 22

2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－1

4，则

b

c＝()

A．6B．5 C．4 D．3

3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积

4.（2020春•五华区校级月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（a+c）（sin A﹣sin C）＝（b+c）sin B．

（1）求A；

（2）若，求b+c的取值范围．

5.(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

已知b sin A＝a cos (B－π6).

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin (2A－B)的值．

正弦定理、余弦定理专题复习

考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．一、知识梳理：

1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

内容

a

sin A＝

b

sin B＝

c

sin C＝2R.

a2＝b2＋c2－2bc_cos_A；

b2＝c2＋a2－2ca_cos_B；

c2＝a2＋b2－2ab_cos_C

变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，

c＝2R sin C；

(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(3)

a＋b＋c

sin A＋sin B＋sin C

＝

a

sin A＝2R.

cos A＝

b2＋c2－a2

2bc；

cos B＝

c2＋a2－b2

2ac；

cos C＝

a2＋b2－c2

2ab

(1)S＝1

2a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝

1

2ab sin C＝

1

2ac_sin_B＝

1

2bc_sin_A；

(3)S＝1

2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

[常用结论]

1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．2．内角和公式的变形

(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.

二、基础自测：

1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π

6，B＝π4，

a＝1，则b＝()

A．2B．1 C． 3 D．2

D[由

a

sin A＝

b

sin B得b＝

a sin B

sin A＝

sin

π

4

sin

π

6

＝

2

2×2＝ 2.]

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .