近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编坐标系与参数方程解析版大题版()
【高三】2021年全国高考理科数学坐标系与参数方程试题汇编
【高三】2021年全国高考理科数学坐标系与参数方程试题汇编来2022 18年度高考数学试题的分类与编纂：坐标系和参数方程一、1.（2022年普通高校统一招生考试安徽数学（科学）试题（纯词版）在极坐标系下，垂直于极轴的圆的两个切线方程为（）a．b．c、 d。
【答案】b2、头衔2．（2021年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知圆的极坐标方程为,圆心为c,点p的极坐标为,则cp=______.[答]3．（2021年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________[答]4．（2021年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,)到直线ρsinθ=2的距离等于_________.[答：]15．（2021年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于两点,则[答]6．（2021年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯word版））(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.[答]7．（2021年高考陕西卷（理））c.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为______.[答]8．（2021年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线的极坐标方程为__________[答]9．（2021年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系中,若右顶点，然后是常数____【答案】310.（2022年高考湖北卷（理））在直角坐标系中，椭圆的参数方程在极坐标系中（与直角坐标系长度单位相同，原点为极点，轴的正半轴为极轴），直线和圆的极坐标方程分别为，如果直线穿过椭圆的焦点并与圆相切，则椭圆的偏心率为____【答案】三、回答问题11．（2021年普通高等学校招生统一考试新课标ⅱ卷数学（理）（纯word版含答案））选修4―4;坐标系与参数方程已知的运动点位于曲线上，相应的参数为和的中点(ⅰ)求的轨迹的参数方程;（二）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断轨迹是否穿过坐标原点【答案】12.（2022年高校统一招生考试辽宁数学（科学）试题（word版）选修课4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为.（i）求交点的极坐标；(ii)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为，找到【答案】13.（2022年普通高校统一招生考试福建数学（科学）试题（纯词版））坐标系及参数方程：在平面直角坐标系中，坐标系以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴。
高考试题分类汇编数学理科之专题坐标系与参数方程
2
合，所以 b=1.
0， 1），（ 0， b），因为这两点重
（ II） C1， C2的普通方程分别为
x2
y2
x2 1和
y2
1.
9
当
时，射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x
2 ，与 C2 交点 B1 的横坐标为
4
2
3 10
x
.
10
当
时，射线 l 与 C1，C2 的两个交点 A2，B2 分别与 A1，B1 关于 x 轴对称，因此，
） =0（ ρ 0）表示的图形是 ( )
A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线
D．一条直线和一条射线
4．（ 2010 湖南理 3）极坐标方程
x 1 t,
cos 和参数方程
（ t 为参数）所表示的图
y 2 3t
形分别是 ( )A．圆、直线 B． 直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线
5．（2010 上海理 16）直线 l 的参数方程是
xoy 中，以原点为
极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
x 3 cos 设点 A，B 分别在曲线 C1 : y 4 sin
(为
参数）和曲线 C2 : 1 上，则 AB 的最小值为
【答案】 3
x 3 cos 【解析】：由 y 4 sin 得圆心为 C1 (3, 4), r1 1 ，由
1 得圆心为 C2 (0,0), r1 1，由
5. (2011 年高考湖北卷理科 14) 如图，直角坐标系 x Oy 所在的平面为 ，直角坐标系 x 'oy' Oy
(其中 y '轴与 y 轴重合 )所在平面为 ， xox ' 45
(Ⅰ )已知平面内有一点 P (2 2, 2) ，则点 P ' 在平面 内的射影 P 的坐标为
高考理科数学试题分类汇编_参数方程与极坐标_含答案(最新编写)
点. 若 D AOB 是等边三角形，则 a 的值为 ___________.
解： 3 圆的方程为 x2 + ( y - 2)2 = 4 ，直线为 y = a .
因为 D AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为
骣???桫a3 ,a÷÷÷，代入圆的方程可得 a = 3.
6. (2014 广东 )（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
y 4t
x 4 cos
，（ 为常数） .
y 4sin
（ I）求直线 l 和圆 C 的普通方程；
（ II）若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围 .
解： (1)直线 l 的普通方程为 2x－ y－ 2a＝ 0， 圆 C 的普通方程为 x2＋ y2＝ 16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点，
4 (2014 上海 )已知曲线 C 的极坐标方程为 p(3cos 4 sin ) 1，则 C 与极轴的交点到极
点的距离是
。
1 【答案】 3
【解析】
1
1
ρ(3cosθ- 4sin θ) = 1∴ 3x - 4y = 1交于点 ( ,0).所以，是
3
3
C. (2014 陕西 （) 坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中， 点 (2, ) 到直线 sin( 6
4
2
2
∴ 垂直 AB的中垂线方程是 y -1= 1 ( x - 1)即 4y - 3= 2x 22
所以 ,所求直线的极坐标方程 是 2ρcosθ- 4ρsin θ+ 3= 0
4（2014 福建）（本小题满分 7 分）选修 4— 4：极坐标与参数方程
x a 2t
已知直线 l 的参数方程为
全国各地高考模拟数学试题汇编坐标系与参数方程及答案
坐标系与参数方程1．以双曲线C ：13122=-y x 的左焦点为极点，x 轴正方向为极轴方向（长度单位不变）建立极坐标系，则双曲线C 的一条倾斜角为锐角的渐近线的极坐标方程是 ．2.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1314x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），试判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由．3.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线)0(sin 2cos :2>=a a C θθρ，过点)2,4(--P 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 222224（t 为参数），l 与C 分别交于N M ,，（1）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； （2）若||PM 、||MN 、||PN 成等比数列，求a 的值.4. 已知直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C 的参数方程为2cos ,(sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数)．(1)在极坐标系下,若曲线犆与射线14θ=和射线14θ=-分别交于A,B 两点,求ΔAOB 的面积; (2)在直角坐标系下,给出直线l的参数方程为22(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),求曲线C 与直线l 的交点坐标．5.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数).（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l 和曲线C 相交于,A B两点，且AB =l 的斜率.6.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．7.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：2sin()4t πρθ+=（其中t 为常数）. （1）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离. 8.9.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4 cos θ 与直线l ：θ＝π4 （ρ∈R ）交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的方程为221x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为(2cos sin )6ρθθ-=。
专题21 极坐标与参数方程【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
当 时，可设直线
由直线 与 交 两点，可得 ，解得 ，所以 或
又 ，且 ，所以 或
综上可知 的取值范围为
(2)法一：记 ，设 ，连结 ，则有
所以 ，所以 即 即 ①
此外点 必须在圆 ： 内
所以 ②
所以 ，即
所以 中点 的轨迹方程为
所以 中点 的轨迹方程的参数方程为 ，( 为参数，且 )
(1)求 和 的直角坐标方程；
(2)求 上的点到 距离的最小值．
【答案】解：(1)因为 ，且 ，
所以 的直角坐标方程为 ． 的直角坐标方程为 ．
(2)由(1)可设 的参数方程为 ( 为参数， )．
上的点到 的距离为 ．
当 时， 取得最小值7，故 上的点到 距离的最小值为 ．
【题目栏目】选修部分\坐标系与参数方程\圆锥曲线的参数方程及其应用
两式相加得曲线 方程为 ，
得 ，平方得 ，
曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 直角坐标方程为 ，
联立 方程 ，
整理得 ，解得 或 (舍去)，
， 公共点的直角坐标为 ．
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题．
解析：【小问1详解】
因为l： ，所以 ，
又因为 ，所以化简为 ，
整理得l的直角坐标方程：
【小问2详解】
联立l与C的方程，即将 ， 代入
中，可得 ，
所以 ，
化简为 ，
要使l与C有公共点，则 有解，
令 ，则 ，令 ， ，
对称轴为 ，开口向上，
所以 ，
，
所以
m的取值范围为 ．
十年高考数学试题汇编：坐标系与参数方程(2009-2018)
高考试题汇编：坐标系与参数方程1.（2009年全国卷理科23题文科23题）已知曲线⎩⎨⎧+=+-=t y t x C sin 3cos 4:1（t 为参数），⎩⎨⎧==θθsin 3cos 82y x C （θ为参数），（1）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为2π=t ，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线⎩⎨⎧+-=+=ty tx C 223:3（t 为参数）距离的最小值.解：（1）曲线1C 的普通方程为1)3()4(22=-++y x ，表示以点)3,4(-为圆心，半径1=r 的圆；曲线2C 的普通方程为196422=+y x ，表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆；（2）点P 的坐标为)4,4(-，设点Q 的坐标为)sin 3,cos 8(θθ，所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++-θθsin 232,cos 42，直线3C 的普通方程为072=--y x ， 所以点M 到直线3C 的距离为57sin 34cos 42---+-=θθd()558585sin 513=≥++-=ϕθ，当且仅当1)sin(=+ϕθ时，取最小值558.小结：本题主要考查（1）参数方程与普通方程的互化； （2）动点到直线距离的最值问题； 2.（2010年全国卷理科23题文科23题）已知直线⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1:1t y t x C （t 为参数），圆⎩⎨⎧==θθsin cos :2y x C （θ为参数），（1）当3πα=时，求1C 和2C 的交点坐标；（2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ,P 为OA 的中点.当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解：（1）当3πα=时，则直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x C 23211:1，其普通方程为033=--y x ，圆2C 的普通方程为122=+y x ，联立得1)1(322=-+x x ，解得⎩⎨⎧==0111y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==232122y x ，所以1C 和2C 的交点坐标为)0,1(，)23,21(-.（2）设垂足A 点坐标为()ααsin ,cos 1t t +，则()ααsin ,cos 1t t +=，直线1C 的方向向量为)sin ,(cos αα， 所以0sin cos cos 22=++αααt t ，则αcos -=t ， 所以A 点坐标为()αααsin cos ,cos 12--，则P 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--42sin ,42cos 1αα， 所以P 点轨迹的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=42sin 42cos 1ααy x （α为参数）， P 点轨迹的普通方程为161)41(22=+-y x ，表示以⎪⎭⎫⎝⎛0,41为圆心，半径为41的圆.小结：本题主要考查 （1）求曲线交点坐标； （2）求动点的轨迹方程；3.（2011年全国卷理科23题文科23题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x （α为参数）.M 是1C 上的动点，P 点满足2=，P 点的轨迹为曲线2C . （1）求2C 的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .4.（2012年全国卷理科23题文科23题）已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针排列，点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π.（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PD PC PB PA +++的取值范围.解：（1）点A 的直角坐标为)3,1(，点B 的极坐标为)65,2(π，点B 的直角坐标为)1,3(-，点C 的极坐标为)34,2(π，点C 的直角坐标为)3,1(--，点D 的极坐标为)611,2(π，点D 的直角坐标为)1,3(-， （2）设P 点坐标为)sin 3,cos 2(ϕϕ， 则=+++2222PD PC PB PA2222)1sin 3()3cos 2()3sin 3()1cos 2(-+++-+-ϕϕϕϕ 2222)1sin 3()3cos 2()3sin 3()1cos 2(++-+++++ϕϕϕϕ[]52,32sin 20322∈+=ϕ2222PD PC PB PA +++的取值范围为[]52,32.小结：本题主要考查 （1）极坐标的几何意义；（2）利用参数方程设动点的坐标，求最值；5.（2013年全国1卷理科23题文科23题）已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=.（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0≥ρ，πθ20<≤）. 解（1）曲线1C 的普通方程为25)5()4(22=-+-y x ， 即01610822=+--+y x y x ，曲线1C 的极坐标方程为016sin 10cos 82=+--θρθρρ； （2）联立得016sin 202sin 8sin 422=+--θθθ， 则0142sin 212sin 2cos =-⎪⎭⎫⎝⎛-=-+-πθθθ， 所以4πθ=或2πθ=，故1C 与2C 交点的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π，)2,2(π.方法二：曲线1C 的普通方程为01610822=+--+y x y x ， 曲线2C 的普通方程为0222=-+y y x ，联立解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==2y x ，故1C 与2C 交点的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π，)2,2(π.小结：本题主要考查（1）曲线参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转化；（2）已知极坐标方程，求区间交点坐标； 6.（2013年全国2卷理科23题文科23题）已知动点P ，Q 都在曲线⎩⎨⎧==ty tx C sin 2cos 2:（t 为参数），对应参数分别为α=t 与α2=t （πα20<<），M 为PQ 的中点. （1）求M 的轨迹参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.解：（1）点P 的坐标为()ααsin 2,cos 2，点Q 的坐标为()αα2sin 2,2cos 2，点M 的坐标为()αααα2sin sin ,2cos cos ++，所以M 的轨迹参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=αααα2sin sin 2cos cos y x （α为参数，πα20<<）.（2）将M 到坐标原点的距离()αααααcos 22)2sin (sin 2cos cos 22+=+++=d ，（πα20<<）因为当πα=时，0=d ，所以M 的轨迹过坐标原点. 小结：本题考查（1）动点轨迹的参数方程； （2）判断曲线是否过定点； 7.（2013年江苏卷21题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty t x 21（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x （θ为参数）.试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们公共点的坐标. 解：直线l 的普通方程为022=--y x ， 曲线C 的普通方程为x y 22=，联立解得⎪⎩⎪⎨⎧-==121y x 或⎩⎨⎧==22y x ，公共点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-1,21，)2,2(. 小结：本题主要考查（1）参数方程与普通方程的互化； （2）求曲线的交点坐标；8.（2014年全国1卷理科23题文科23题）已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为 30的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.9.（2014年全国1卷理科23题文科23题）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为θρcos 2=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ. （1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线23:+=x y l 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：（1）半圆C 的直角坐标方程为0222=-+x y x ，（0≥y ）， 即1)1(22=+-y x ，（0≥y ），半圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数，[]πα,0∈），（2）设点D 的坐标为)sin ,cos 1(αα+，（[]πα,0∈）， 则直线CD 与直线l 平行，故αααtan 31cos 10sin ==-+-，所以3πα=，D 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,23.小结：本题主要考查（1）曲线参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转化；（2）确定切点坐标；10.（2015年全国1卷理科23题文科23题）在平面直角坐标系xOy 中，直线2:1-=x C ，圆222)2()1(:-+-y x C1=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为4πθ=（R ∈ρ），设2C 与3C 的交点为M ，N ，求MN C 2∆的面积.解：（1）直线1C 的极坐标方程为2cos -=θρ， 圆2C 的极坐标方程为04sin 4cos 22=+--θρθρρ， （2）将4πθ=代入04sin 4cos 22=+--θρθρρ，得04232=+-ρρ，解得221=ρ，22=ρ，故221=-ρρ， 即2=MN .由于2C 的半径为1，所以MN C 2∆为等腰直角三角形，MN C 2∆的面积为21.小结：本题主要考查（1）极坐标方程和直角坐标方程的互化； （2）求三角形的面积；11.（2015年全国2卷理科23题文科23题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线⎩⎨⎧==ααsin cos :1t y t x C （t 为参数，0≠t ），其中πα<≤0.在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρsin 2:2=C ，θρcos 32:3=C . （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于A ，1C 与3C 相交于B ，求AB 的最大值. 解：（1）曲线2C 的直角坐标方程为0222=-+y y x ， 曲线3C 的直角坐标方程为03222=-+x y x ，联立解得⎩⎨⎧==00y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2323y x ，所以2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,23. （2）曲线1C 的极坐标方程为αθ=（0≠ρ），其中πα<≤0， 因此A 的极经为αρsin 2=A ，B 的极经为αρcos 32=B ，4)3sin(4cos 32sin 2≤-=-=-=παααρρB A AB ，当65πα=时，AB 取最大值4. 小结：本题主要考查 （1）求曲线的交点坐标； （2）求线段的最值；12.（2015年陕西卷理科23题文科23题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=23213t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙O 的极坐标方程为θρsin 32=. （1）写出⊙O 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.解：（1）⊙O 的直角坐标方程为03222=-+y y x ，3)3(22=-+y x 圆心为)3,0(（2）设P 点坐标为)23,213(t t +，P 到圆心C 的距离1212323213222≥+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t d ， 当0=t 时，P 到圆心C 的距离取最小值12. 小结：本题主要考查（1）极坐标方程与直角坐标方程的互化； （2）求线段的最值；13.（2015年湖南卷理科16题文科16题）已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x l 213235:（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MB MA ⋅的值.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为0222=-+x y x ，（2）设直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数分别为为1t ，2t ，联立得0)235(2)213()235(22=+-+++t t t ， 即018352=++t t ，则1821=t t ，所以1821==⋅t t MB MA . 小结：本题主要考查（1）极坐标方程与直角坐标方程的互化； （2）直线参数方程中参数的几何意义及其应用；14.（2016年全国1卷理科23题文科23题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ta y ta x sin 1cos （t 为参数，0>a ），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C .（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （2）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .解：（1）曲线1C 是圆，其圆心为)1,0(，半径为a ，曲线1C 的普通方程为222)1(a y x =-+，即012222=-+-+a y y x ， 曲线1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ，（2）曲线2C 和直线3C 都过原点O ，则原点O 在曲线1C 上，将)0,0(O 代入曲线1C 的普通方程为222)1(a y x =-+，得12=a ，所以1=a . 小结：本题主要考查（1）对于参数方程的理解，可以识别，转化； （2）对于极坐标方程的理解，会简单运用； 15.（2016年全国2卷理科23题文科23题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为25)6(22=++y x . （1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （t 为参数），l 与C 相交于A ，B 两点，10=AB ，求l 的斜率.解：（1）圆C 的方程为0111222=+++x y x ， 圆C 的极坐标方程为011cos 122=++θρρ， （2）设A ，B 两点对应的参数方程为1t ，2t ， 联立得011cos 12)sin ()cos (22=+++αααt t t ，化简得011cos 122=++αt t ，则αcos 1221-=+t t ，1121=t t ， 所以1044cos 1444)(22122121=-=-+=-=αt t t t t t AB ， 解得83cos 2=α，85sin 2=α，315tan ±=α， 所以l 的斜率为315或315-.方法二：直线l 的极坐标方程为αθ=，设A ，B 两点对应的极经分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入圆C 的极坐标方程得011cos 122=++αρρ，则αρρc os 1221-=+，1121=ρρ，所以1044cos 1444)(22122121=-=-+=-=αρρρρρρAB ，解得83cos 2=α，85sin 2=α，315tan ±=α，所以l 的斜率为315或315-. 小结：本题主要考查（1）直角坐标方程和极坐标方程的互化； （2）参数方程和极坐标方程下的弦长公式； 16.（2016年全国3卷理科23题文科23题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x （α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.解：（1）曲线1C 的普通方程为1322=+y x ，曲线2C 的普通方程为04=-+y x ， （2）设点P 的坐标为()ααsin ,cos 3，点P 到直线2C 的距离22224)3sin(224sin cos 3=≥-+=-+=παααd ，当13sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，即ππαk 26+=（Z k ∈）时，PQ 取最小值2，此时点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,23. 小结：本题主要考查（1）参数方程与普通方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化； （2）动点到动点距离的最值；17.（2017年全国1卷理科22题文科22题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty ta x 14（t 为参数）.（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .解：（1）曲线C 的普通方程为1922=+y x ，若1-=a ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty tx 141，直线l 的普通方程为034=-+y x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1903422y x y x ，解得⎩⎨⎧==03y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=25242521y x ，从而C 与l 的交点坐标为)0,3(，)2524,2521(-.（2）直线l 的普通方程为044=--+a y x ， 故C 上的点)sin ,cos 3(θθ到l 的距离为174)sin(5174sin 4cos 3--+=--+=a a d ϕθθθ，当4-≥a 时，d 的最大值为17179=+a ，所以8=a ， 当4-<a 时，d 的最大值为17171=+-a ，所以16-=a ， 综上所述，8=a 或16-=a . 小结：本题主要考查 （1）求曲线交点的坐标；（2）曲线上动点到直线距离的最值问题，分类讨论；18.（2017年全国2卷理科22题文科22题）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程4cos =θρ.（1）M 为1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛3,2π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.解：（1）设P 点极坐标为),(θρ，其中⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππθ，0>ρ，则M 点极坐标为),(θρM ，则4cos =θρM ，θρcos 4=M ， 所以16cos 4===⋅ρθρρM OP OM ，即θρc o s 4=，θρρcos 42=， 则点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为0422=-+x y x ， 即4)2(22=+-y x .方法二：曲线1C 的直角坐标方程为4=x ， 设P 点坐标为),(y x ，M 点坐标为),4(M y ，因为点P 在线段OM 上，所以04=-y xy M ，则x yy M 4=，所以1616162222=++=⋅y x xy OP OM ，则x y x 422=+，即4)2(22=+-y x .（2）设B 点坐标为),(θρ，则θρcos 4=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=∠=∆θπθ3sin cos 4221sin 21AOB OB OA S OABθθθθθ2sin )2cos 1(3)sin 21cos 23(cos 4-+=-= 2323sin 23+≤⎪⎭⎫⎝⎛-+=θπ当且仅当1)23sin(=-θπ，即12πθ-=时，OAB ∆面积取最大值23+. 小结：本题主要考查 （1）求动点轨迹的方程；（2）三角形面积最值问题（极坐标条件下三角形面积的表示）； 19.（2017年全国3卷理科22题文科22题）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=kty tx 2（t 为参数），直线2l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k my m x 2（m 为参数）.设1l 与2l 的交点P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：02)sin (cos =-+θθρ，M 为3l 与C 的交点，求M 的极经.解：（1）直线1l 的普通方程为02=--k y kx ，直线2l 的普通方程为02=+-ky x ，设P 点坐标为),(y x ，则⎩⎨⎧=+-=--0202ky x k y kx ，（12≠k ）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=141)1(2222k ky k k x ，消参得C 的普通方程为422=-y x （0≠y ）（2）C 的极坐标方程为4)sin (cos 222=-θθρ（0>ρ， ()()πππθ2,,0 ∈）， 联立⎩⎨⎧=-+=-02)sin (cos 4)sin (cos 222θθρθθρ，得)sin (cos 2sin cos θθθθ+=-，故31tan -=θ，从而101sin 2=θ，109cos 2=θ，所以5=ρ， 所以M 的极经为5. 20.（2017年江苏卷21题）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=28ty tx （t 为参数），曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==sy s x 2222（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为082=+-y x ，设点)22,2(2s s P ， 则点P 到直线l 的距离为5545454)2(25824222=≥+-=+-=s s s d ，当且仅当2=s ，即)4,4(P 时，d 取最小值554. 小结：本题主要考查曲线上的点到直线距离的最值问题. 21.（2018年全国1卷理科22题文科22题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2+=x k y .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为03cos 22=-+θρρ.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.解：（1）2C 的直角坐标方程为03222=-++x y x ，即()4122=++y x . （2）22.（2018年全国2卷理科22题文科22题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 2y x （θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 1t y t x （t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()2,1，求l 的斜率.解：（1）C 的普通方程为116422=+y x ，l 的普通方程为0sin cos 2cos sin =-+-ααααy x .（2）C ：016422=-+y x ，联立得016)sin 2()cos 1(422=-+++ααt t ，化简得08)sin 4cos 8()sin cos 4(222=-+++t t αααα， 设曲线C 截直线l 所得线段的中点所对应的参数为t ，则0=t ， 即0)sin cos 4sin 4cos 8(2122=++-=ααααt ，所以2tan -=α，l 的斜率为2-. 方法二：设曲线C 截直线l 所得线段端点为),(11y x A ，),(22y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1164116422222121y x y x ，作差得016))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ， 则l 的斜率()()24421641621212121-=⨯⨯-=++-=--=y y x x x x y y k .小结：本题主要考查（1）参数方程与普通方程的互化；（2）直线的参数方程，及其相关参数的几何意义；（3）点差法：已知相交弦中点坐标，求相交弦所在直线的斜率； 23.（2018年全国3卷理科22题文科22题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数），过点()2,0-且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点. （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解：（1）⊙O 的的普通方程为122=+y x ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-==ααsin 2cos t y t x （t 为参数），联立得1)sin 2(cos 222=+-+ααt t ，化简得01sin 222=+-αt t ，04sin 82>-=∆α，即21sin 2>α，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈43,4ππα. 方法二：直线l 的普通方程为0cos 2cos sin =--αααy x ， ⊙O 的圆心坐标为)0,0(O ，则O 到直线l 的距离1cos 2cos sin cos 222=<=+-=r d αααα， 即22cos <α，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,4ππα. （2）设直线l 上点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，由（1）知01sin 222=+-αt t ，则αsin 2221=+t t ，121=t t ， 所以AB 中点P 对应的参数为αsin 2221=+=t t t ， 因此P 的轨迹的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-===ααααα2cos 2222sin 2222sin 2cos sin 22y x （α为参数，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,4ππα） 小结：本题主要考查（1）直线的参数方程，以及直线参数方程中t 和α的几何意义；（2）求动点轨迹的参数方程，要注意参数的取值范围；。
5年全国卷高考数学真题与优质模拟题(理科)汇编——专题11
专题11.1 坐标系与参数方程A 组 5年高考真题1．（2020全国Ⅰ文理21）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2．（2020全国Ⅱ文理21）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．3．（2020全国Ⅲ文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点．（1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．4．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=5．（2019全国II 文理22）在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P ． （1）当时，求及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．6．(2019全国III 文理22）如图，在极坐标系Ox 中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M 上，且P 的极坐标．000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3θπ0ρ(2,0)A )4B π)4C 3π(2,)D πAB BC CD (1,0)(1,)2π(1,)π1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P ||OP7．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．8．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．9．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l ，求a ．11．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．12．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．13．（2016全国I 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=． （I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．14．（2016全国II 文理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，AB l 的斜率．15．（2016全国III 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．专题11.1 坐标系与参数方程A 组 5年高考真题1．（2020全国Ⅰ文理21）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 【解析】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），两式平方相加得221x y +=，∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），∴0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sinx t t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），两式相加得曲线1C 方程为1x y +=，得1y x =-，平方得21,01,01y x x x y =-+≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C 方程1,41630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -+=12=136=（舍去），11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44．2．（2020全国Ⅱ文理21）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=，由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =， ∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 3．（2020全国Ⅲ文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点．（1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A ． 令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．4．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【解析】（1）因为，且，所以C 的直角坐标方程为．的直角坐标方程为．（2）由（1）可设C 的参数方程为（为参数，）．C 上的点到当时，取得最小值7，故C 上的点到5．（2019全国II 文理22）在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P ． （1）当时，求及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解析】（1）因为在C上，当时， 由已知得． 设为l 上除P 的任意一点．在中， 经检验，点在曲线上． 2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=221111t t --<≤+()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+221(1)4y x x +=≠-l 2110x +=cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩αππα-<<l π4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=2π3α=-π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭l 000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3θπ0ρ()00,M ρθ03θπ=04sin 3ρπ==||||cos23OP OA π==(,)Q ρθRt OPQ △cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭(2,)3P πcos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以，l 的极坐标方程为． （2）设，在中，即．． 因为P 在线段OM 上，且，故的取值范围是．所以，P 点轨迹的极坐标方程为 ．6．(2019全国III 文理22）如图，在极坐标系Ox 中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M 上，且P 的极坐标．【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为． （2）设，由题设及（1）知若，则； 若，则或； 若，则． cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(,)P ρθRt OAP △||||cos 4cos ,OP OA θθ== 4cos ρθ=AP OM ⊥θ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π(2,0)A )4B π)4C 3π(2,)D πAB BC CD (1,0)(1,)2π(1,)π1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P ||OP ,,AB BC CD 2cos ρθ=2sin ρθ=2cos ρθ=-1M π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭2M π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=⎪⎝⎭3M 3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(,)P ρθπ04θ2cos θ=π6θ=π3π44θ2sin θ=π3θ=2π3θ=3ππ4θ2cos θ-=5π6θ=综上，P 的极坐标为或或或． 7．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 8．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．π6⎫⎪⎭π3⎫⎪⎭2π3⎫⎪⎭5π6⎫⎪⎭【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ； 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ． 又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ． 9．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =l 与O 交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．(2)l 的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足2sin 10t α-+=． 于是A B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2,x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 10．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =．当4a -≥时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-． 综上，8a =或16a =-．11．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>． 由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>，因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．（2）设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-2|sin(2)|3πα=-2≤ 当12πα=-时，S取得最大值2+OAB ∆面积的最大值为212．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12，消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212． 设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240，所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240．（2）C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2，联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+，故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010，代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M13．（2016全国I 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=． （I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ． 【解析】(1)（均为参数），∴①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为． ∵，∴，即为的极坐标方程．(2)，两边同乘得，，即②：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为，①—②得：，即为，∴，∴．14．（2016全国II 文理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB l 的斜率．【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=22369014k k =+，整理得253k =，则k = 15．（2016全国III 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=．（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为31(,)22．。
十年高考真题分类汇编2010-2019数学专题18坐标系与参数方程Word版含解析
十年高考全国卷真题分类汇编2010—2019数学专题18坐标系与参数方程（含解析）1.(2018·北京·理T10)在极坐标系中,直线ρcos θ+ρsin θ=a(a>0)与圆ρ=2cos θ相切,则a=___________. 【答案】√2 +1【解析】由题意,可得直线的直角坐标方程为x+y=a(a>0),圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1. 由直线与圆相切,可知√1+1=1,即|1-a|=√2,解得a=1±√2.∵a>0,∴a=√2+1. 2.(2019·全国1·理T22文T22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =1-t 21+t 2,y =4t 1+t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3 ρsin θ+11=0. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【解析】(1)因为-1<1-t 21+t2≤1,且x2+(y 2)2=(1-t 21+t2)2+4t 2(1+t 2)2=1,所以C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x≠-1).l 的直角坐标方程为2x+√3y+11=0.(2)由(1)可设C 的参数方程为{x =cosα,y =2sinα(α为参数,-π<α<π). C 上的点到l的距离为√3sinα+11√7=4cos (α-π3)+11√7.当α=-2π时,4cos (α-π)+11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为√7.3.(2019·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,O 为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l 过点A(4,0)且与OM 垂直,垂足为P. (1)当θ0=π3时,求ρ0及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 【解析】(1)因为M(ρ0,θ0)在C 上,当θ0=π3时,ρ0=4sin π3=2√3.由已知得|OP|=|OA|cos π3=2.设Q(ρ,θ)为l 上除P 的任意一点.在Rt △OPQ 中,ρcos θ-π3=|OP|=2. 经检验,点P 2,π3在曲线ρcos θ-π3=2上. 所以,l 的极坐标方程为ρcos θ-π3=2.(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ.因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是π4,π2.所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈π4,π2.4.(2019·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(√2,π4),C(√2,3π4),D(2,π),弧AB⏜,BC⏜,CD⏜所在圆的圆心分别是(1,0),(1,π2),(1,π),曲线M1是弧AB⏜,曲线M2是弧BC⏜,曲线M3是弧CD⏜.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=√3【解析】(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ=2cos θ0≤θ≤,M2的极坐标方程为ρ=2sin θ≤θ≤,M3的极坐标方程为ρ=-2cos θ≤θ≤π.(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知若0≤θ≤,则2cos θ=,解得θ=;若≤θ≤,则2sin θ=,解得θ=或θ=;若≤θ≤π,则-2cos θ=,解得θ=.综上,P的极坐标为.5.(2018·全国1·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C 1是过点B(0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2,由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点.当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,所以√k +1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=-43时,l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点.当l 2与C 2只有一个公共点时,A 到l 2所在直线的距离为2,所以|k+2|√k +1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l 1与C 2没有公共点;当k=43时,l 2与C 2没有公共点. 综上,所求C 1的方程为y=-43|x|+2.6.(2018·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为=1.当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α, 当cos α=0时,l 的直角坐标方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0,①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0. 又由①得t 1+t 2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l 的斜率k=tan α=-2.7.(2018·全国3·文T 理22)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中,☉O 的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与☉O 交于A,B 两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【解析】(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=时,l与☉O交于两点.当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-,l与☉O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.综上,α的取值范围是.(2)l的参数方程为t为参数,<α<.设A,B,P对应的参数分别为t A,t B,t P,则t P=,且t A,t B满足t2-2tsin α+1=0.于是t A+t B=2sin α,t P=sin α.又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是α为参数,<α<.8.(2017·全国1·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=.当a≥-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.9.(2017·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最(2)设点A的极坐标为(2,π3大值.【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·=2≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.10.(2017·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)- √2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k 得x 2-y 2=4(y≠0).所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 联立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-,从而cos 2θ=,sin 2θ=. 代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5, 所以交点M 的极径为.11.(2017·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy 中,已知直 线l 的参数方程为(t 为参数),曲线C 的参数方程为(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】直线l 的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P 在曲线C 上,设P(2s 2,2s),从而点P 到直线l 的距离d=.当s=时,d min =.因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值.12.(2016·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a. 【解析】(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y-1)2=a 2,C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆. 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0. (2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.13.(2016·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|==.由|AB|=得cos2α=,tan α=±.所以l的斜率为或-.14.(2016·全国3·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=.当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.15.(2015·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4求△C2MN的面积.【解析】(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.16.(2015·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.故当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.17.(2015·陕西·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 【解析】(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,从而有x 2+y 2=2y,所以x 2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,点P 的直角坐标为(3,0).18.(2015·湖南·理T16文T16)已知直线l:(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M 的直角坐标为(5, √3 ),直线l 与曲线C 的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值. 【解析】(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ. ①将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.② (2)将代入②,得t 2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t 1,t 2,则由参数t 的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t 1t 2|=18.19.(2014·全国1·理T23文T23)已知曲线C:=1,直线l:(t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =3sinθ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为d=√55|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA|=d sin30°=2√55|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22√55. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2√55.20.(2014·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2]. (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l:y=√3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 【解析】(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C 的参数方程为(t 为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C 是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线CD 与l 的斜率相同,tan t=,t=.故D 的直角坐标为,即.21.(2013·全国2·理T23文T23)已知动点P,Q 都在曲线 C:(t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程;(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 【解析】(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M 点到坐标原点的距离 d=(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.22.(2013·全国1·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C 1:x 2+y 2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得所以C1与C2交点的极坐标分别为.23.(2013·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.【解析】因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),.24.(2012·全国·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解析】(1)由已知可得A,B,C,D,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].25.(2011·全国·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.【解析】(1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以即从而C2的参数方程为(α为参数).(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.26.(2010·全国·理T23文T23)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【解析】(1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0),.(2)C1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0.A点坐标为(sin2α,-cos αsin α),因此当α变化时,P点轨迹的参数方程为(α为参数). P点轨迹的普通方程为+y2=.故P点轨迹是圆心为,半径为的圆.。
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2011
(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
2cos22sinxy
（为参数）
M是C1上的动点，P点满足2OPOM,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异
于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
解：
（I）设P(x,y),则由条件知M(2,2YX).由于M点在C1上，所以
sin22
2
,cos2
2
y
x
即 sin44cos4yx
从而2C的参数方程为4cos44sinxy（为参数）
（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin。
射线3与1C的交点A的极径为14sin3，
射线3与2C的交点B的极径为28sin3。
所以21||||23AB.
2012
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C的参数方程是sin3cos2yx（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2．正方形ABCD的顶点都在2C上，
且A、B、C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为)3,2(．
（Ⅰ）求点A、B、C、D的直角坐标；
（Ⅱ）设P为1C上任意一点，求2222||||||||PDPCPBPA的取值范围．
【解析】（1）点,,,ABCD的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636
点,,,ABCD的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)
（2）设00(,)Pxy；则002cos()3sinxy为参数
2222
22
4440tPAPBPCPDxy
2
5620sin[56,76]
（lfxlby）
2013
（23）(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinxtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将
45cos,55sinxtyt
消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将cos,sinxy代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ
2
－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C
1
的极坐标方程为
ρ
2
－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x
2＋y2
－2y＝0.
由
22
22
810160,20xyxyxyy
解得1,1xy或
0,2.xy
所以C1与C2交点的极坐标分别为π2,4，
π
2,
2
.
2014
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C：22149xy，直线l：222xtyt（t为参数）.
（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线，交l于点A，求||PA的最大值与最
小值.
【解析】.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为：2cos3sinxy （为参数），
直线l的普通方程为：260xy ………5分
（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为
5
4cos3sin65d
，
则025||5sin6sin305dPA，其中为锐角．且4tan3.
当sin1时，||PA取得最大值，最大值为2255；
当sin1时，||PA取得最小值，最小值为
25
5
. …………10分
2015
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系O中。直线1C:=2，圆2C：22121,以坐标原
点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I） 求1C，2C的极坐标方程；
（II） 若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N ,
求2CMN的面积