2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2-4-2抛物线的几何性质作业苏教版选修1-1
2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质作业 苏教版选修2-1
2.3.2 双曲线的几何性质[基础达标]1.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .答案：y ＝±34x2.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________．解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则b a＝2，即b ＝2a ，又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 23.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程是________．解析：由题意得2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又因为a ＝2，所以b ＝2c －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4＋b 2＝4＋(2c －2)2，即c 2－42c ＋8＝0，所以c ＝22，b ＝2，所求的双曲线的标准方程是y 24－x 24＝1.答案：y 24－x 24＝14.设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．解析：渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±32)2，解得a ＝±2，由题意知a >0，∴a ＝2.答案：25.已知双曲线C 经过点(1，1)，它的一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线C 的标准方程是________．解析：设双曲线的方程为y 2－3x 2＝λ(λ≠0)，将点(1，1)代入可得λ＝－2，故双曲线C 的标准方程是x 223－y 22＝1.答案：x 223－y 22＝16.已知双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：由题意求出双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，不妨设直线BF 斜率为43，可求出直线BF 的方程为4x －3y －20＝0①，将①式代入双曲线方程解得y B ＝－3215，则S △AFB ＝12AF ·|y B |＝12(c －a )·3215＝3215.答案：32157.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．解析：双曲线的渐近线方程为bx ＋ay ＝0和bx －ay ＝0，圆心为(3，0)，半径r ＝2.由圆心到直线的距离为r ＝|3b |a 2＋b2＝2，所以4a 2＝5b 2，又双曲线的右焦点为圆C 的圆心，所以c ＝3，即9＝a 2＋b 2，a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为x 25－y 24＝1.答案：x 25－y 24＝18.如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________．解析：(1)由题意可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52. (2)设sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝c b 2＋c 2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc 4a 2·bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.答案：(1)1＋52 (2)2＋529.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，试求该双曲线的离心率．解：由△ABF 2是正三角形，则在Rt △AF 1F 2中，有∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝12AF 2，又AF 2－AF 1＝2a ，∴AF 2＝4a ，AF 1＝2a ，又F 1F 2＝2c ，又在Rt △AF 1F 2中有AF 21＋F 1F 22＝AF 22，即4a 2＋4c 2＝16a 2，∴e ＝ 3.10.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过(a ，0)、(0，b )两点，且点(1，0)到直线l 的距离与点(－1，0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解：直线l 过(a ，0)、(0，b )两点，得到直线方程为bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1，0)到直线l 的距离为d 1＝（a －1）ba 2＋b2， 同理得到点(－1，0)到直线l 的距离为d 2＝（a ＋1）b a 2＋b 2，由s ≥45c 得到2ab c ≥45c ①.将b 2＝c 2－a 2代入①式的平方，整理得4c 4－25a 2c 2＋25a 4≤0，两边同除以a 4后令c 2a2＝x ，得到4x 2－25x ＋25≤0，解得54≤x ≤5，又e ＝c a ＝x ，故52≤e ≤ 5.[能力提升]1.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故AB ＝2b2a，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.答案： 32.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝________．解析：C 2的一条渐近线为y ＝2x ，设渐近线与椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的交点分别为C (x 1，2x 1)，D (x 2，2x 2)，则OC 2＝x 21＋4x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32，即x 21＝a 245，又由C (x 1，2x 1)在C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以有145＋4a245b2＝1，①又由椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点可得a 2－b 2＝5，②由①②可得b 2＝12.答案：123.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点M (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点N (3，m )在双曲线上，求证：NF 1→·NF 2→＝0； (3)求△F 1NF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，故可设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， ∵过点M (4，－10)，∴16－10＝λ，∴λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，a ＝b ＝6，∴c ＝2 3. ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴NF 1→＝(－23－3，－m )，NF 2→＝(23－3，－m )． ∴NF 1→·NF 2→＝[(－23－3)·(23－3)]＋m 2＝－3＋m 2.∵点N (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3. ∴NF 1→·NF 2→＝0.(3)∵△F 1NF 2的底F 1F 2＝43，高h ＝|m |＝3，∴△F 1NF 2的面积S ＝6.4.P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1.由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b 24.① 设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.。
2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质讲义苏教版选修2_1
2.4.2 抛物线的几何性质学习目标核心素养1.掌握抛物线的简单几何性质．(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)3.直线与抛物线的公共点问题．(易错点)1.借助抛物线的几何性质，培养数学运算素养．2.通过直线与抛物线的位置关系，提升逻辑推理素养.1．抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2性质准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径．1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( ) A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6yC [由题意知抛物线方程为x 2＝±2py ，且p2＝3，即p ＝6，因此抛物线方程为x 2＝±12y .]2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4 B [|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]3．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．4 [易知线段AB 为抛物线的通径，所以AB ＝4.]4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.2 [F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1. ∴AF ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.]依据性质求抛物线标准方程【例1】 (1)已知双曲线C 1：a 2－b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．(2)已知抛物线的焦点F 在x 轴正半轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若△OAB 的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．(1)x 2＝16y (2)y 2＝42x [(1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ca＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)不妨设抛物线的方程为y 2＝2px ，如图所示，AB 是抛物线的通径，∴AB ＝2p ，又OF ＝12p ，∴S △OAB ＝12·AB ·OF ＝12·2p ·12p ＝12p 2＝4，故p ＝2 2. ∴所求抛物线方程为y 2＝42x .]利用抛物线几何性质可以解决的问题1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题． 2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． 3．范围：解决与抛物线有关的最值问题． 4．焦点：解决焦点弦问题．1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋16y 2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________．x 2＝12y 或x 2＝－12y [椭圆的方程可化为x 216＋y 29＝1，其短轴在y 轴上，∴抛物线的对称轴为y 轴，设抛物线的标准方程为x 2＝2py 或x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .]与抛物线有关的最值问题【例2[思路探究] 本题的解法有两种：法一，设P (t ，－t 2)为抛物线上一点，点P 到直线的距离为d ＝|4t －3t 2－8|5，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x ＋3y ＋m ＝0与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线相切，求出m 的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．[解] 法一：设P (t ，－t 2)为抛物线上的点， 它到直线4x ＋3y －8＝0的距离 d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43.∴当t＝23时，d 有最小值43.法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43.∴最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.抛物线中最值的求解策略1．可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围． 2．当条件中有关于抛物线上的点P 到焦点F 的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P 到F 的距离与点P 到准线距离的转化．2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．2 [因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标F (1，0)，准线方程为x ＝－1，所以设P 到准线的距离为PB ，则PB ＝PF ，P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离为PA ，所以PA ＋PB ＝PA ＋PF ≥FD ，其中FD 为焦点到直线4x －3y ＋6＝0的距离，所以FD ＝|4－0＋6|32＋42＝105＝2，所以距离之和最小值是2.]直线和抛物线的位置关系[1．直线与抛物线有哪几种位置关系？ [提示] 相离，相切，相交 2．如何认识抛物线的焦点弦？[提示] 如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)AB ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2(焦点弦长与中点关系)；(3)AB ＝x 1＋x 2＋p ；(4)若直线AB 的倾斜角为α，则AB ＝2psin 2α；如当α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2；(6)1AF ＋1BF ＝2p.【例3】 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB ＝52p ，求AB 所在的直线方程．[思路探究] 求AB 所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k ，利用直线AB 过焦点F ，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p 求解．[解] 由题意可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 到抛物线准线的距离分别为d A ，d B . 由抛物线的定义，知AF ＝d A ＝x 1＋p 2，BF ＝d B ＝x 2＋p2，于是AB ＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，∴x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2＝p 2时，AB ＝2p <52p ，故直线AB 与x 轴不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，∴x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，即p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2.故直线AB 的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.1．直线与抛物线交点问题的解题思路判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．2．抛物线的弦长求解思路当直线的斜率k 存在且k ≠0时，弦长公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|；当直线的斜率k ＝0时，只有抛物线的对称轴是y 轴时弦长存在，弦长公式为|AB |＝|x 1－x 2|；当直线的斜率k 不存在时，只有抛物线的对称轴是x 轴时弦长存在，弦长公式为|AB |＝|y 1－y 2|.3．斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[解] 由题意知抛物线焦点为F (1,0)，k AB ＝1，所以AB 的方程为y ＝x －1，代入y 2＝4x 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，Δ＝32＞0，∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，AB ＝AF ＋FB ＝x 1＋x 2＋2＝8，∴线段AB 的长为8.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称．( )(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A.12B.14C.16D.18A [线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB的距离为1－12＝12.]3．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________． (4,2) [由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2y 2＝4x得x 2－8x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，故线段AB 的中点坐标为(4,2)．]4．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，求b 的值．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24.∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b . ∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b ＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4.。
2018-2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2求曲线的方程作业苏教版选修2-
课时作业在学生用书中，此内客单独成丘@262求曲线的方程［基础达标］1. _________ 已知椭圆的焦点是F i、F2, P是椭圆的一个动点，如果M是线段F i P的中点，则动点M 的轨迹是 ____ .解析：由图知PF + PF2= 2a.连结MO贝y F i M^ M@= a( a>F i C) •故M的轨迹是以F i、O为焦点的椭圆.答案：椭圆2. 已知动点M到A(2 , 0)的距离等于它到直线x=- i的距离的2倍，则点M的轨迹方程为________ •____________解析：设M(x, y)，由题意，得(x —2) 2+ y2= 2| x+ i|.化简，得—3x2—i2x + y2= 0.答案：y2= 3x2+ i2x3. 已知动抛物线以y轴为准线，且过点(i , 0)，则抛物线焦点的轨迹方程为_______________ •解析：设焦点坐标为(x, y)，因动抛物线以y轴为准线，且过点(i , 0)，根据抛物线的定义得：(x—i) 2+ y2= i(x>0)，即(x —i)2+ y2= i(x> 0) •■ 2 2答案：(x—i) + y = i(x>0)4. 设圆C与圆x2+ (y —3)2= i外切，与直线y= 0相切，则C的圆心轨迹为____________ •解析：设圆C的半径为r,则圆心C到直线y= 0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0 , 3)的距离为r + i,也就是说，圆心C到点(0 , 3)的距离比到直线y = 0的距离大i, 故点C到点(0 , 3)的距离和它到直线y =—i的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线.答案：抛物线5. 设动点P在直线x = i 上, O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△ OPQ则动点Q的轨迹是 _______ •解析：设Qx, y), F(1 , y o)，由OQ O R= 0 知y o y = —x.① 又由OQ= OP 得寸x2+ y2= 1 + y2，即x2+ y2= i + y0.② 由①②消去y°,得点Q的轨迹方程为y = i或y =—i.故动点Q的轨迹是两条平行线.答案：两条平行线6. 在平面直角坐标系中，A为平面内一个动点，B(2 , 0)，若OA- B A= | 6»甲O为坐标原点)，则动点A的轨迹是__________ •解析：设A(x, y)，则OA= (x, y), B A= (x —2, y)，因为6A B A= | O B，所以x(x—2)2 2 2+ y = 2，即(x—i) + y = 3，所以动点A的轨迹是圆.答案：圆7. 长度为i的线段AB在x轴上运动，点P(0 , i)与点A连结成直线PA点Q i , 2)与点B连结成直线QB则直线PA与QB交点的轨迹方程为______________ •解析：如图所示，设直线 PA 与QB 的交点为Mx , y ) • 再设 A (a , 0)( a z 0)，贝U B (a + 1, 0) •由截距式得直线 PA 的方程为X + y = 1，即x + ay = a . a 1 3即 2x + ay - 2a - 2= 0.X + ay = a故点M 的坐标是方程组£ 的解，2x + ay - 2a - 2 = 0 消去参数a 得(2 - x ) y = 2, 故点M 的轨迹方程为(2 -x )y = 2. 答案：(2 - x ) y = 28. 曲线C 是平面内与两个定点 F( - 1, 0)和F 2(1 , 0)的距离的积等于常数 a 2( a > 1)的点 的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③ 若点P 在曲线C 上，则△ F 1PB 的面积不大于歹2. 其中，所有正确结论的序号是 __________ •解析：设曲线 C 上任一点 P (x ,y),由 PF PF = a 2,可得 7 (x + 1) 2+ y 2 • (x -1) 2 + y 2 =a 2(a > 1)，将原点(0 , 0)代入等式不成立，故①不正确.•••点Rx , y )在曲线C 上，点P 关于原点的对称点 P' ( -x ,- y )，将P'代入曲线 C 一 … 1 1 2的方程等式成立，故②正确.设/ FPF = 0，贝U S A RPF = §PF - PR sin 0 =歹sin 0 1 2W j a ，故③正确.答案：②③9. △ ABC 勺顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ,边BC 上的高的长是b ,边BC 沿一 条定直线移动，求△ ABC 外心的轨迹方程.:B VC *解：如图所示，以 BC 所在的定直线为x 轴，以过A 点与x 轴垂直的直线为y 轴，建立 直角坐标系，则 A 点的坐标为(0 , b ).设厶ABC 的外心为Mx , y ),作MN L BC 于N,贝U MN 是 BC 的垂直平分线. BC= 2a ,— BN= a , MN= | y |. 又 皿是厶ABC 的外心，••• MA= MB 而 MA= ,x 2+( y - b ) 2,由两点式得直线QB 的方程为 y - 2= 0— 2= x - 1a +1 — 1，MB= - MN+ BN= - a2+ y2,• 一x2+( y - b) 2= ’ a2+ y2.化简，得所求轨迹方程为x2- 2by+ b2- a2= 0.解：设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点 Q 的坐标为(x o ，y o )，因为点P 是线段QN 勺中点, 所以N 点的坐标为(2x -X o , 2y — y o ).又点N 在直线x + y = 2上，所以2x — x o + 2y — y o = 2, 即 X o + y o = 2x + 2y — 2.①2y — 2y ok QN = 2x — 2xo = 1，即 x o — y o = x — y .②1 1由①②，得 x o = 2(3X + y — 2), y o = ^(x + 3y — 2). 又因为点Q 在双曲线上，1 2 1 2 所以 4(3X + y — 2) — 4(x + 3y — 2) = 1.1 2 1 2 1化简，得(x — 2 — (y —2 = 2 所以线段QN 的中点P 的轨迹方程为 1 2 1 2 1(x — 2) — (y — 2)= 2.［能力提升］1.设向量i ,j 为平面直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量， 若向量a = (x + 3) i + yj , b = (x — 3)i + yj ，且| a | — | b | = 2，则满足上述条件的点P (x , y )的轨迹方程是解析：因为| a | — | b | = 2,所以”F (x + 3) + y — '.」(x — 3) + y = 2,其几何意义是动点 Rx,' y )到定点(一3, 0) , (3 , 0)的距离之差为2，由双曲线定义可 知点Rx , y )的轨迹是以点(一3, o)和(3 , o)为焦点，且2a = 2的双曲线的一支，由c = 3,a = 1，解得b =c — a = 8,2故点F (x , y )的轨迹方程是x 2— y = 1( x >o)或(x > 1).2答案：x 2— y = 1(x >o )或(x > 1)82.如图，半径为 其中RP 为圆C 在x 轴上方的一条切线，当圆心解析：设圆心 C 的坐标为(x o , y o )( x o M 0)，则点Q P 的坐标分别为(2x o , 0)、(x o , y o3^Co ^#o + 1 + 1)，得PQ 的中点M 的坐标为(三2，竺厂)，因为OQR 为平行四边形，PQ 的中点M 也是OR10.如图，从双曲线 的中点P 的轨迹方程. x 2 - y =i 上一点 Q 引直线x + y = 2的垂线，垂足为 N,求线段QN又 QNL l ,个交点，OQR 为平行四边形, C 运动时，则点 R 的轨迹方程为 _________ .xX o = T 即3, [yo = y— 1x = 3x 0 的中点，所以可得R 点坐标为(3 X 0, y o + 1),令R 点坐标为(x , y )，则 y = y o + 1 2 22 2 ^x 2 ^x 2 又x o + y o = 1,代入得—+ (y — 1) = 1,故点R 的轨迹方程为—+ (y — 1) = 1(x 丰0, x 丰2). 2“宀 x 2答案：9 + (y — 1) = 1(x 丰0, X M 2) 3.已知动点 A B 分别在x 轴、y 轴上，且满足 AB= 2，点P 在线段AB 上，且AP= tPB (t 是不为零的常数)•设点P 的轨迹方程为C (1) 求点P 的轨迹方程C; (2) 若t = 2，点M N 是C 上关于原点对称的两个动点 (M N 不在坐标轴上)，点Q 坐标 3 为(㊁,3)，求△ QM 的面积S 的最大值. 解：(1)设 A (a , 0) , B (0 , b ), P (x , 因为云P=tPB ,即(x — a , y ) = t ( — x , a=(1+t ) ，则](1 +1)[b=— , , 2 2 2 2 1 I t 2 2因为 AB= 2, a + b = 4，即(1 +1) x + (-j ) y = 4,2 2xy4+4f =1.2 2(1 + t ) ( 1 + t )、 9x 2 9 2(2) t =2 时，轨迹方程 C 为 ~4- + 1^y = 1,设 Mx 1, y",x — a — tx 所以iy = t (b — y ) 所以点P 的轨迹方程为:则 N ( — x i , —yd , MN= 2=j x i + y i ,y ), b — y ),xy ,由题意知t >0, 3y i — 3x i2设直线MN 的方程为：y =y ：x (x i *0)，点Q 到直线MN 的距离为：d =2 2，xiyj xi + y i32yi — 3xiH 22\ x i + y i所以 &MNQ =2#X 2+ y i x 3 =蓉—3X 1 ,2 2 29x 1 9y 1 2 9y 1又〒 + 7= 1，所以 9x 1+ -= 4.4 16 4 所以出 MN = 4 — 9X 1 y 1, 2 2十9X 1 9y 1 3X 1而 1 = + — > — 2 - 4 16 2 所以一9x i y i W 4,当且仅当 3y 1 9x 1 y 14 =— 4 ， 3x 1 3y 12 =— 4，1即x i = —尹时，取等号. 所以& MNC 的面积最大值为2 2.4.(创新题)已知点 M 4 , 0) , N (1 , 0)，若动点P 满足MN- M P= 6|PN. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；d o d n⑵设过点N的直线l交轨迹C于A, B两点，若—可w S•辰—-r，求直线I的斜率7 5的取值范围.解：⑴设动点P(x, y),则M P= (x—4, y), M N= ( —3, 0) , PN= (1 —x,—y).由已知得一3( x—4) = 6 (1—x) 2+(—y) 2,2 2化简得3x2+ 4y2= 12, 即x + 刍=1.2 2所以点P的轨迹C的方程为x+ y= 1.4 3(2)由题意知，直线I的斜率必存在，不妨设过N的直线I的方程为y= k(x—1), 设A, B两点的坐标分别为A(X1, y1) , 0X2, y2).y=k(x—1)由x2 y2_+ 乙=1 4十3 1(■8 k2! x1+ x2= 3 + 4k2, 因为N在椭圆内，所以△ >0.所以<_24k—12x1x2=芥盲.因为NB= (x1—1)( X2 —1) + yy2=(1 + k)( X1—1)( X2—1)2=(1 + k )[ X1X2—(X1 + X2) + 1]2 2 22 4k —12—8k +3 + 4k=(1+ k)3T4T—9 (1 + k )= 23 + 4k .18 —9 (1 + k2) 12 2所以—7w3+厂消去y 得(4 k2+ 3)x2—8k2x+ 4k2—12= 0.所以一3 w k w — 1 或 1 w k w 3.。
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程作业 苏教版选修1-1
2.4.1 抛物线的标准方程[基础达标]1．已知抛物线的准线方程是x ＝－7，则抛物线的标准方程是________．解析：由题意，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，准线方程是x ＝－p 2，则－p2＝－7，解得p ＝14，故所求抛物线的标准方程为y 2＝28x .答案：y 2＝28x2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________．解析：抛物线的准线为x ＝－p2，将圆的方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1⇒p ＝2.答案：23．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析：∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，即p ＝8， ∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .故填y 2＝16x .答案：y 2＝16x4．抛物线x 2＝4ay (a ≠0)的准线方程为________． 解析：∵抛物线的焦点在y 轴上，∴准线方程为y ＝－4a4，即y ＝－a .答案：y ＝－a5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若AF ＝3，则BF ＝________.解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，焦点为F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由抛物线的定义可知AF ＝x 1＋1＝3，所以x 1＝2，所以y 1＝±22，由抛物线关于x 轴对称，假设A (2,22)．由A ，F ，B 三点共线可知直线AB 的方程为y －0＝22(x －1)，代入抛物线方程消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，求得x ＝2或12，所以x 2＝12，故BF ＝32.答案：326．已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：过A ，B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线．所以MN ＝AD ＋BC2.由抛物线的定义知AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝3，所以MN ＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14，所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54，故填54.答案：547．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程． 解：设P (x ，y )，则有x －2＋y 2＝|x |＋1，两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0， x <0.故点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．8．(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P (4,2)，求抛物线的方程；(2)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m,4)到其焦点的距离为174，求p 与m 的值．解：(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴， ∴抛物线的方程为标准方程． 又∵点P (4,2)在第一象限，∴抛物线的方程设为y 2＝2px ，x 2＝2py (p >0)．当抛物线为y 2＝2px 时，则有22＝2p ×4，故2p ＝1，y 2＝x ；当抛物线为x 2＝2py 时，则有42＝2p ×2，故2p ＝8，x 2＝8y .综上，所求的抛物线的方程为y 2＝x 或x 2＝8y .(2)由抛物线方程得其准线方程y ＝－p2，根据抛物线定义，点A (m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4＋p 2＝174，解得p ＝12；∴抛物线方程为：x 2＝y ，将A (m ，4)代入抛物线方程，解得m ＝±2.[能力提升]1．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3.答案： 32．若双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．解析：把双曲线x 23－16y 2p 2＝1化为标准形式x 23－y 2p 216＝1，故c 2＝3＋p 216，c ＝ 3＋p 216＝48＋p 24，左焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫－48＋p 24，0，由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－48＋p 24，又抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，所以－48＋p 24＝－p 2，解得，p ＝4或p ＝－4(舍去)．故p ＝4.答案：43．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程． 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4cx ，∵抛物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，∴6＝4c ·32.∴c ＝1， 故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6， ∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a2＝1. ∴a 2＝14或a 2＝9(舍去)．∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1.4．设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，BD ＝2p ，圆F 的半径FA ＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝FA ＝2p .因为△ABD 的面积为42，所以12BD ·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.由抛物线定义知AD ＝FA ＝12AB ，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝ 2py 得x 2－233px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m 、n 距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.本文档仅供文库使用。
20182019学年高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的几何性质讲义含解析苏教版选修2120
2．3.2 双曲线的几何性质双曲线的简单几何性质歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够坐在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点．问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？提示：坐标轴；原点．问题2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗？提示：有一个交点．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)图形性质焦点 (±c,0) (0，±c)焦距 2c范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R顶点 (±a,0) (0，±a)对称性关于x轴、y轴、坐标原点对称轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±x y＝±x等轴双曲线观察所给两个双曲线方程．(1)－＝1；(2)x2－y2＝9.问题1：两个双曲线方程有何共同特点？提示：所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等．问题2：两个双曲线的离心率是多少？提示：.问题3：两双曲线的渐近线方程是什么？提示：渐近线方程y＝±x.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．1．离心率e反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大．2．双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线没有交点．渐近线方程用a，b表示时，受焦点所在坐标轴的影响．双曲线的几何性质[例1] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[思路点拨] 先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，但要注意焦点在哪条坐标轴上．[精解详析] 由9y2－4x2＝－36得－＝1，∴a2＝9，b2＝4.c2＝a2＋b2＝13.∴c＝.∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝4，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝±x.[一点通] 求解双曲线的几何性质问题时，首先将方程化为标准方程，分清焦点所在的轴，写出a与b的值，进而求出c，即可求得双曲线的性质．1．(湖北高考改编)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1，下列说法正确的个数为________．①实轴长相等；②虚轴长相等；③离心率相等；④焦距相等．解析：双曲线C1和C2的实轴长分别是2sin θ和2cos θ，虚轴长分别为2cos θ和2sin θ，则焦距都等于2，相等，离心率不相等，只有④正确．答案：12．(福建高考改编)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．解析：双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，∴顶点到渐近线的距离为＝.答案：3．求双曲线16x2－9y2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．解：把方程化为－＝1，∴a＝4，b＝3，c＝5.∴实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，焦点坐标(0，－5)，(0,5)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.根据几何性质求双曲线的标准方程[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．[思路点拨] 分析双曲线的几何性质，求出a，b，c的值，再确定(讨论)焦点位置，写出双曲线的标准方程．[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．由题知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3，得b＝.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，得b＝2.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入，得k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.[一点通]由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为：(1)判断：利用条件判断焦点的位置；(2)设：设出双曲线的标准方程；(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程；(4)求：解参数方程，进而得标准方程．4．(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率为，则C的方程是________．解析：由题意可知c＝3，a＝2，b＝＝＝，故双曲线的方程为－＝1.答案：－＝15．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是______________．解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，则双曲线的标准方程是－＝1.答案：－＝16．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M(3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程．解：①若焦点在x轴上，则双曲线方程为－＝1.∵M(3,4)在双曲线上，∴－＝1.又∵b＝2a，∴9×4－16＝4a2，解得a2＝5，b2＝20，∴双曲线方程为－＝1.②若焦点在y轴上，则双曲线方程为－＝1.∵M(3,4)在双曲线上，∴－＝1，又∵b＝2a，∴16×4－9＝4a2，解得a2＝，b2＝55，∴双曲线方程为－＝1.综上可知，双曲线方程为－＝1或－＝1.求双曲线的离心率及其范围[例3] (1)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率，对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有≥tan 60°.[精解详析] (1)由题意2c＝AB＝BC，∴AC＝2×2c×sin 60°＝2 c，由双曲线的定义，有2a＝AC－BC＝2 c－2c ?a＝(－1)c，∴e＝＝＝.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k＝，直线的斜率为k＝tan 60°＝，故有≥，所以e＝＝≥＝2，所以所求离心率的取值范围是e≥2.[答案] (1) (2)e≥2[一点通]1．求双曲线离心率的常见方法：(1)依据条件求出a，c，利用e＝；(2)利用e＝；(3)依据条件，建立关于a，b，c的齐次关系式，消去b，转化为离心率e的方程求解．2．求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a、b、c的不等关系．7．(湖南高考)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．解析：如图，由已知可得，PF1＝2ccos 30°＝c，PF2＝2csin 30°＝c，由双曲线的定义，可得c－c＝2a，则e＝＝＝＋1.答案：＋18．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且PF1＝2PF2，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：如图，设PF2＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，当P在右顶点处θ＝π，e＝＝＝.∵－1≤cos θ<1，又∵e>1，∴e∈(1,3]．答案：(1,3]1．双曲线离心率及其范围的求法．(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法．(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法．在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式Δ>0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a，，|a|等非负性．2．求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，还可以将方程设为－＝λ(λ≠0)避免焦点的讨论．[对应课时跟踪训练(十一)]1．(陕西高考)双曲线－＝1的离心率为.则m＝________.解析：∵a＝4，b＝，∴c2＝16＋m，e＝＝＝，∴m＝9.答案：92．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．解析：根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为e＝，所以结果为2或.答案：2或3．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．解析：由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为：－y2＝λ(λ<0)，∴－＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.故双曲线方程为－＝1.答案：－＝14．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________．解析：∵e2＝＝＝1＋＝，∴＝，∴＝，∴y＝±x.答案：y＝±x5．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率e的取值范围是________．解析：依题意得由此解得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即c≤2a，e ＝≤2.又e>1，∴离心率e的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]6．根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点，且一条渐近线方程为4x＋3y＝0.(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，∴可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．∵双曲线经过点，∴×－＝λ.即λ＝1.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，∵PF1⊥PF2，且OP＝6，∴2c＝F1F2＝2OP＝12，∴c＝6.又P与两顶点连线夹角为，∴a＝|OP|·tan＝2 ，∴b2＝c2－a2＝24.故所求双曲线的标准方程为－＝1.7．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，∴＝2c，∴b2＝2ac.由a2＋b2＝c2，得c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0.即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．所以所求双曲线的离心率为1＋.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)∵离心率e＝，∴设所求双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，知λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6，即－＝1.(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，∴m2＝3.由双曲线x2－y2＝6知，F1(2 ，0)，F2(－2 ，0)，∴·＝(2 －3，－m)·(－2 －3，－m)＝9－(2 )2＋m2＝0.∴⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝×2c×|m|＝c|m|＝2 ×＝6.。
苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.1含答案
§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹 是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________． 答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什 么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解 因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支． 引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解 动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟 紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解 因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三 圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了 圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析 由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． 答案 ③解析 椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意 椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12， 故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线． 故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________． 答案 直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案 椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。
圆锥曲线(2018-2)
(3)已知双曲线xa22－by22＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 作圆 x2＋y2＝a2 的
切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，
且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±3x
B．y＝±2 2x
C．y＝±( 3＋1)x D．y＝±( 3－1)x
热点二 圆锥曲线的几何性质
直
相切
只有一个交点且 0
线 与
椭圆 两个交点 0
圆
锥
交于两点 0
曲 线
相交
双曲线 交于一点（直线与渐近线平行）
的
位
交于两点 0
置 关 系
抛物线 交于一点(直线平行于抛物线的对称轴)
相离
无公共点 0
热点三 直线与圆锥曲线
例 3. 椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.
(3)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点 A(－4,0)和 C(4,0)，顶点 B
在椭圆2x52 ＋y92＝1
上，则sin
A＋sin sin B
C＝________.
解析
热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝
例 2(4) 如图，过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线 交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|＝2|BF|， 且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3x
抛物线的标准方程与几何性质解题方略 (1)求抛物线的标准方程的方法及流程 ①方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，
高中数学第二章圆锥曲线与方程2
法二：设动点 M(x，y)， 则点 M 的轨迹是集合：P＝{M||MA|＝|MN|}， 即： （x－3）2＋y2＝|x＋3|， 化简得：y2＝12x. ∴点 M 的轨迹方程为 y2＝12x.
1．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，
则点P的坐标为( C )
A．(8，8)
B．(8，－8)
∵p2＝4，∴p＝8， ∴抛物线方程为 y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时， 设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)， ∵－ p2＝－2，∴p＝4， ∴抛物线方程为 x2＝－8y， 综上，所求抛物线方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
【点评】 避免讨论，如焦点在x轴 上 的 抛 物 线 标 准 方 程 可 设 为 y2 ＝ 2mx(m≠0) ， 焦 点 在 y 轴 上 的 抛 物 线 标准方程可设为x2＝2my(m≠0)．
F (0, -
p )
2
p y=
2
抛物线的标准方程
怎样把抛物线的位置特 想 征（标准位置）和方程特征
一
想 （标准方程）统一起来？
？
抛物线的标准方程
标准方程为
左右型
y2 =+ 2px
抛
(p>0)
物
线
方
程
标准方程为
上下型
x2 =+ 2py
(p>0)
开口向右: y2 =2px(x≥ 0) 开口向左: y2 = -2p8y.
【变式练习】
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程.
(1)焦点是（0，-3）；
x2=-12y
(2)准线是 x 1 .
2
y2=2x
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.
20182019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程263曲线的交点作业苏教版选修21
宝宝宝宝嘻嘻嘻曲线的交点[ 基础达标 ]1. 若直线 l 过点 (3 ， 0) 且与双曲线 4x 2－9y 2＝ 36 只有一个公共点，则这样的直线共有 ________条．2分析：有两条与渐近线平行的直线： y ＝± 3( x － 3) ，此外，还有一条切线 x ＝3.答案： 32. 抛物线 y 2＝ 2px 与直线 ax ＋ y － 4＝ 0 的一个交点为 (1 ，2) ，则抛物线的焦点到该直线的距离是 ________．分析：由交点坐标为 (1 ，2) ，求得 a 、p 的值，利用点到直线距离求得焦点到该直线的2 5距离为5.25 答案：3. 曲线 x 2＋ y 2＝ 9 与曲线 x 2＝ 8y 的交点坐标是 ________．x 2＋ y 2＝ 9 y ＝ 1 分析：由，得，x 2 ＝ 8yx ＝±2 2∴交点为 ( ±2 2， 1) ． 答案： ( ±2 2， 1)4. 过点 (0 ， 1) 且与抛物线 y 2＝ x 只有一个公共点的直线有 ________条．分析：一条与抛物线的对称轴平行，两条相切，共 3 条．答案： 35. 已知直线 x － y － 1＝ 0 与抛物线 y ＝ ax 2 相切，则 a ＝ ________．x －y － 1＝ 02－x ＋ 1＝ 0.分析：由， 消去 y 得方程 axy ＝ax 21令 ＝ 1－ 4a ＝0，得 a ＝ 4.1答案： 4x 2 y 26.若直线 y ＝ kx ＋1 与椭圆 5 ＋ m ＝ 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是 ________．分析：由于直线过定点 (0 ，1) 恒在椭圆上或在椭圆内，因此 1≤ 1. 又 m ≠5，因此 m ≥1m且 m ≠5.答案： m ≥1且 m ≠57.过抛物线 2＝ 4x 的焦点作直线交抛物线于 1122) 两点，若 AB ＝10，那yA ( x ，y ) ，B ( x ，y 么 x 1＋ x 2＝ ________．分析：由于 p ＝2， AB ＝ x 1＋x 2＋ p ＝ 10，因此 x 1＋ x 2＝8. 答案： 88. 抛物线 y ＝ 4x 2 上一点到直线 y ＝ 4x －5 的距离最短，则该点坐标为 ________． 分析：由于 y ＝4 x 2 与 y ＝ 4 － 5 不订交，设与 y ＝ 4 x － 5 平行的直线方程为 ＝ 4 x ＋ .xy m2y ＝ 4x2则 ? 4x － 4x － m ＝0. ①1设此直线与抛物线相切，则有 ＝ 0， 即 ＝ 16＋ 16m ＝ 0，∴ m ＝－ 1.1 将 m ＝－ 1 代入①式， x ＝ 2， y ＝ 1，1 所求点的坐标为， 1 .1答案： 2， 19.如图，斜率为 1 的直线 l 过椭圆 x2＋y 2＝ 1 的右焦点，交椭圆于 A 、B 两点，求弦 AB 的4长．2＝ 4， 2＝ 1， 2解：设 、两点的坐标分别为( 1， y 1)、 (2， 2) ，由椭圆方程知aA BA xB xybc＝3，因此 ( 3， 0) ，直线l 的方程为 y ＝ － 3. 将其代入 x2＋ 4 2＝4，化简整理，得 5x 2Fxy8 38－8 3x ＋8＝ 0. 因此 x 1＋ x 2＝ 5 ， x 1x 2 ＝5.因此 AB ＝ 1＋k 2| x 1－ x 2|＝ 1＋k 2· （ x 1＋ x 2） 2－ 4x 1x 2（ 8 3） 2－4×5×8 8＝ 2× 5＝ 5. 10. 已知抛物线 C ：y ＝2x 2，直线 y ＝kx ＋ 2 交 C 于 A ，B 两点， M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 N .(1) 证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行；→ →(2) 能否存在实数 k 使 NA · NB ＝ 0？若存在，求 k 的值；若不存在，说明原因．解：(1) 证明：如下图，设22A( x ， 2x ) ，B( x ， 2x ) ，1122把 y ＝kx ＋ 2 代入 y ＝ 2x 2，得 2x 2－ kx － 2＝ 0， 由根与系数的关系得 x 1＋ 2＝ k，12＝－ 1，x x2x 1＋ x 2 kk k 2∴ x ＝ x ＝ 2＝4，∴ N 点的坐标为 ( 4， 8) ．NM设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为k 2ky － 8 ＝ m ( x － 4) ，k 222mk将 y ＝2x 代入上式得 2x － mx ＋ 4 － 8 ＝ 0.∵直线 l 与抛物线 C 相切，22mk k 22 22∴ ＝m － 8( 4 － 8 ) ＝ m － 2mk ＋ k ＝ ( m －k ) ＝ 0，∴ m ＝ k ，即 l ∥AB .故抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行．→ →(2) 假定存在实数 k ，使 NA · NB ＝ 0，则 NA ⊥ NB .1 又∵ M 是 AB 的中点，∴ MN ＝ 2AB .1 1由 (1) 知 y M ＝ 2( y 1＋ y 2) ＝ 2( kx 1＋ 2＋ kx 2＋ 2)1 1 k2 k 2＝ 2[ k ( x 1＋ x 2) ＋ 4] ＝2( 2 ＋ 4) ＝ 4 ＋2.∵ MN ⊥x 轴，k 2 k 2 k 2＋ 16∴ MN ＝| y M － y N | ＝ ＋2－ ＝.4 8 8又 AB ＝ 1＋ k 2· | x 1－ x 2|＝ 1＋k 2· （ x 1＋ x 2） 2－ 4x 1x 2＝1＋k 2·（ k） 2－4×（－ 1）2＝ 1 k 2＋ 1· k 2＋ 16. 2 ∴ k 2＋ 16 1 2 ＋1· 2＋16，8 ＝ k k4解得 k ＝± 2.→ →即存在 k ＝± 2，使 NA · NB ＝ 0.[ 能力提高 ]1. 直线 y ＝ x ＋ 1 被椭圆 x 2 y 2＋ ＝1 所截得的弦的中点坐标是 ________．4 2y ＝ x ＋1分析：由 x 2 y 2，消去 y 得 3x 2＋ 4x － 2＝ 0，4＋ 2＝1因此 x 1＋x 2＝－ 4，因此弦的中点的横坐标为－ 2， 332 1代入 y ＝ x ＋ 1，得中点坐标是 ( － 3， 3) ．2 1 答案： ( －3， 3)2. y x 2x已知抛物线 ＝－＋ 3 上存在对于直线＋ ＝ 0对称的相异两点、 ，则 ＝yA BAB________．22分析：设 AB 的方程为 y ＝x ＋ b ，与 y ＝－ x ＋3 联立得： x ＋ x ＋ b － 3＝ 0，11∴ AB 的中点 C －2， b － 2 在 x ＋ y ＝0 上；1 1 即－ 2＋ b － 2＝ 0 解得 b ＝ 1 切合 ＞0， ∴弦长 AB ＝ 1＋ 1· 1－4×（－ 2）＝ 3 2. 答案： 32 23. yFAOB过抛物线 ＝ 2 (＞ 0) 的焦点作倾斜角为 θ 的直线交抛物线于、 两点．设△px pA B的面积为 S ( O 为原点 ) ，若 S 的最小值为 8，求此时的抛物线方程．3宝宝宝宝嘻嘻嘻解：如图，设 (1， 1)， (2， 2) ，直线 的方程为 x ＝ ＋p ，代入 y 2＝ 2 ，得 y 2－ 2 pmyA x yB x yAB my 2px 2，∴ y y2－p ＝ 01 ＝－ p .2又1 p y1 p · | y p y 1| ＋|p |yp 2△AOB＝ △OAF ＋ △ OBF ＝ · · |1|＋ ·2|＝ (| 2|)≥ ·2 12|＝.SS S 22 2 2 4 y 4y2p2p2当且仅当 | y 1| ＝ | y 2 | ＝ p 时等号建立．故 S min ＝ 2 . 由题意有 2 ＝ 8，∴ p ＝ 4. 故所求的抛物线方程为 y 2＝8x . 4．( 创新题 ) 已知抛物线 C ： y ＝－ x 2＋mx － 1，点 A (3 ， 0) 、 B (0 ， 3) ，求 C 与线段 AB 有两个不一样交点时 m 的取值范围．解：线段 AB ： x ＋ y － 3＝0(0 ≤ x ≤3) ．x ＋ y － 3＝ 0，由 y ＝－ x 2＋ mx －1. 消去 y ，得 x 2－( m ＋ 1) x ＋ 4＝ 0. 令 f( ) ＝ x 2－ ( ＋1) x ＋ 4，x m则方程 f ( x ) ＝ 0 在 [0 ， 3] 内有两个不一样实数根的充要条件是2＝（ m ＋ 1） －4×1×4＞ 0，m ＋ 10＜2＜3，f （ 0）＝ 4＞ 0，f （ 3）＝ 32－ 3（ m ＋ 1）＋ 4≥0，10解得 3＜ m ≤ 3 .10故所求 m 的取值范围为 { m |3 ＜ m ≤ 3 } ．4。
2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质作业 苏教版选修2-1
2.2.2 椭圆的几何性质[基础达标]1.椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．解析：把椭圆的方程化为标准形式y 21m＋x 21＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >1，故a 2＝1m ，b 2＝1，所以a ＝1m ，b＝1，21m ＝4，解得，m ＝14，符合题意． 答案：142.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是________．解析：由题意，知2a ＝12，c a ＝13，故a ＝6，c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故所求椭圆的方程为x 236＋y 232＝1.答案：x 236＋y 232＝13.已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0<e ≤32，则长轴的最大值是________． 解析：由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝a 2－1a 2，得0<a 2－1a 2≤34，解得1<a 2≤4.故1<a ≤2，2<2a ≤4.即长轴的最大值是4.答案：44.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0，∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：355.若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为________．解析：由已知得1－m 16＝19或1－16m ＝19，∴m ＝1289或18.答案：1289或186.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：结合图形(图略)，转化为c <b .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 7.设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率是________．解析：在Rt △PF 1F 2中，由正弦定理，得PF 1sin 15°＝PF 2sin 75°＝F 1F 2sin 90°＝2c ，∴PF 1＋PF 2sin 15°＋sin 75°＝2c . 由椭圆的定义，知PF 1＋PF 2＝2a .代入上式，有e ＝c a ＝1sin 75°＋sin 15°＝63.答案：638.在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B 、C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的率心率的取值范围是________．解析：由题意得，圆半径r ＝b 2a ，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos 0>cos A 2＝c r >cos π4，即22<c r <1，所以22<ac a 2－c 2<1，即22<e 1－e 2<1，解得e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫6－22，5－12. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫6－22，5－129.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，短轴的一个顶点B 与两个焦点F 1，F 2组成的三角形的周长为4＋23，且∠F 1BF 2＝2π3，求椭圆的标准方程．解：设长轴长为2a ，焦距为2c ，则在△F 2OB 中，由∠F 2BO ＝π3得：c ＝32a ，所以△F 2BF 1的周长为2a ＋2c ＝2a ＋3a ＝4＋23，∴a ＝2，c ＝3，∴b 2＝1；故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.10.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上， OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2，又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .[能力提升] 1.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 2(1，0)，故直线AB 的方程y ＝2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1y ＝2（x －1），消去y ，整理得3x 2－5x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两个实根，解得x 1＝0，x 2＝53，故A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，故S △OAB ＝S △OFA ＋S △OFB ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|＋43×1＝53.答案：532.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．解析：由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°， ∴∠PF 2x ＝60°.∴PF 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝3a －2c . ∵F 1F 2＝2c ，F 1F 2＝PF 2，∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝c a ＝34.答案：343.椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围．解：设点P 的坐标为(x ，y )，F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 在三角形PF 1F 2中，由余弦定理得：cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2，因为PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，故cos ∠F 1PF 2＝36－2PF 1·PF 2－202PF 1·PF 2＝162PF 1·PF 2－1≥162⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222－1＝－19，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号，即－19≤cos ∠F 1PF 2≤1.所以当－19≤cos ∠F 1PF 2<0时，∠F 1PF 2为钝角．令PF 1→·PF 2→＝0，因为PF 1→＝(－5－x ，－y )， PF 2→＝(5－x ，－y )，则x 2－5＋y 2＝0，y 2＝－x 2＋5，代入椭圆方程得：x 2＝95，x ＝±355，所以点P 的横坐标的取值范围是－355<x <355.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)、F 2(c ，0)．已知点(1，e )和⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .(ⅰ)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率；(ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值．解：(1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a.由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2a 2b2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1.又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2.因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1. (2)由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 1＋1＝my 1，得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0， 解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝（x 1＋1）2＋（y 1－0）2＝（my 1）2＋y 21＝2（m 2＋1）＋m m 2＋1m 2＋2.①同理，BF 2＝2（m 2＋1）－m m 2＋1m 2＋2.②(ⅰ)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m ＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m >0，故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22.(ⅱ)证明：因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1， 于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1， 故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22，从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)．同理，PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)．因此PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2·()22－AF 1＝22－2AF 1·BF 2AF 1＋BF 2.由①②得，AF 1＋BF 2＝22（m 2＋1）m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2，∴PF 1＋PF 2＝22－22＝322，∴PF 1＋PF 2是定值．。
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2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2-4-2抛物
线的几何性质作业苏教版选修1-1
[基础达标]
1．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的
方程为________．
解析：当m>0时，准线方程为x＝－＝－2，
∴m＝8，此时抛物线方程为y2＝8x；
当m<0时，准线方程为x＝－＝4，
∴m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.
答案：y2＝8x或y2＝－16x
2．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x
与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方
程为________．
解析：设抛物线方程为y2＝2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⇒y
－y＝2p(x1－x2)，
即·(y1＋y2)＝2p⇒2p＝1×4⇒p＝2.
故y2＝4x.
答案：y2＝4x
3．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物
线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||＝________.
解析：如图，过A作AD⊥x轴于D.
在Rt△AFD中，∠AFD＝60°.
令FD＝m，则FA＝2m.
AD＝m.
根据抛物线的定义可知．
p＋m＝2m.∴m＝p.
∴||＝＝ ＝p.
答案：p
4．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到
该抛物线焦点的距离为________．
解析：依题意，设点M(x，y)，其中x>0，则有，由此解得x＝1，
又该抛物线的准线方程为x＝－，结合抛物线的定义，点M到该抛物
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线的焦点的距离等于1＋＝.
答案：
3
2
5．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点
向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为
________．
解析：直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两
点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，联立方程组得，消元得
x2－10x＋9＝0，
解得，和，∴AP＝10，BQ＝2，PQ＝8，
∴梯形APQB的面积为48.
答案：48
6. 如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP＝1 m，水从喷头
P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，
P距抛物线对称轴1 m，则为使水不落到池外，水池直径最小为
________m.
解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－
2py(p>0)，则P(－1，－1)，代入抛物线方程得p＝，抛物线x2＝－
y，代入点(x，－2)，得x＝，即水池半径最小为r＝(1＋)m，水池直
径最小为2r＝(2＋2)m.
答案：2＋2
2
7．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，
l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求
此抛物线的标准方程．
解：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
∴A、B两点坐标为，，
∴AB＝2|p|.
∵△OAB的面积为4，
∴··2|p|＝4，∴p＝±2.
∴抛物线的标准方程为y2＝±4x.
8. 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直
线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明：设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y后，整理得