复变函数与积分变换2009 —2010 学年第二 学期
复变函数及积分变换第二章
x
arg z在负实 轴上不连续.
若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点
arctan( y / x),
arg z arctan( y / x) π,
arctan( y / x), arctan( y / x),
x0 0
lim
z z0
arg
z
lim
( x, y)( x0
,
y0
)
arctan(
) ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连 内每一点都连续，那么称函
数f(z)在区域D内连续.
定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、 商（要求分母不为零）在点z0处连续.
(1)多项式 w a0 zn a1zn1 an1z an 在整个复平
面上连续；
(2)任何一个有理分式函数
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存
在，试求出极限值：
(1) f (z)
z Re(z) ; z
(2) f (z)
Re( z
z
2
2
)
.
解： (1)方法一
因为
f (z)
z
Re(z) z
z
所以 0，取 ，当0 z 时，总有
f (z) 0 f (z) z
根据极限定义 lim f (z) 0 z0
解：dw lim f (z Δz) f (z) lim (z Δz)n zn
dz Δz0
Δz
Δz 0
Δz
Δlizm0(Cn1 zn1 Cn2 zn2Δz
C n1 n
zΔz
n2
Cnn Δz n1 )
Cn1zn1 nzn1,
复变函数与积分变换课件fb1-2最终版.ppt
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28
x x0 y y0
根据定理可知, lim f (z) 不存在. z0
作业: P55：12：1），13：2），15
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24
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27
例4 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
的点 w a ib.
y
A
B z1 2 3i
C
o
x
z2 1 2i
C A
v
w2 1 2i
o
u
B w1 2 3i
z1 w1, z2 w2 , ABC ABC.
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5
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
w z21
o
不存在.
证:
令 z x iy, 则 f (z) x ,
x2 y2
u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim
x0
x0
ykx
ykx
x
x2
y2
lim
x0
x x2 (kx)2
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lim
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
复变-积分变换课件第一章 第3节 二元实函数与复变函数
Re( z ) 当 z 0 时的极限 例2 证明函数 f ( z ) z 不存在.
证
令 z x iy, 则 f ( z )
u( x , y )
x , 2 2 x y
x , v ( x , y ) 0, 2 2 x y
当 z 沿直线 y kx 趋于零时, x x lim u( x , y ) lim 2 lim 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x y x ( kx ) y kx y kx
例3 证：argz在原点及负实轴上不连续
y
证
t 0 t R t 0 t R
对z0=0,
o
lim arg( it ) / 2
x
lim arg( it ) / 2
arg z 不存在，故在z=0不连续 极限 lim z0
例3 证：argz在原点及负实轴上不连续
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] AB; f (z) A (3) lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似.
z z0
说明 该定理将求复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
x x0 y y0
lim u( x , y ) u0 ,
x x0 y y0
lim v ( x , y ) v0 .
的极限问题, 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题.
{z x iy | 2 y xy c2 }
复变函数与积分变换-第2章
Δx → 0 +
k 1+ k 2
⎛ ∂u ⎜ ⇒ ⎜ ∂x ⎜ ∂v ⎜ ⎝ ∂x f ( z ) 在 z0 点解析
因此, f(z)处处不解析.
★ 回头看: f ( z ) = z = x + iy 在复平面处处解析.
f ( z ) = z = x − iy 在复平面处处不解析.
★ 再看看C-R方程: 设解析函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ),
( f ( z ) ± g ( z ))′ = f ′( z ) ± g ′( z ), (cf ( z ))′ = cf ′( z ), ( f ( z ) g ( z ))′ = f ′( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′( z ),
f ( z ) ′ f ′( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′( z ) ( ) = , g ( z) ≠ 0 2 g ( z) ( g ( z ))
称 f ′( z0 )Δz 为 f ( z ) 在 z0 的微分, 记为 df . 也称 f ( z ) 在 z0 可微, 即 df = f ′( z0 )Δz = f ′( z0 )dz.
f ( z ) 在 z0 连续
f ( z ) 在 z0 可导
f ( z ) 在 z0 可微
例 2.1.1 证明 f ( z ) = z 处处连续但处处不可微. 证明
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), u ( x, y ), v( x, y ) ∈ R
★ 思考: f ( z ) = z = x + iy 在复平面处处解析.
f ( z ) = z = x − iy 在复平面处处不解析.
复变函数与积分变换课后习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()R e in=，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈C ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈C ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z=12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案
z
0
i
(2)、|z-1|=|z|．表示直线 z=
1 ． 2
11.设 是圆周 {z : z c r}, r 0, a c re . 令
za L z : Im 0 , b
其中 b ei .求出 L 在 a 切于圆周 的关于 的充 分必要条件. 解：如图所示． (3)、1<|z+i|<2 解： 表示以-i 为圆心， 以 1 和 2 为半径的周圆所组成 的圆环域。
复变函数与积分变换课后答案（北京邮电大学出版社）
复变函数与积分变换 （修订版）
主编：马柏林 （复旦大学出版社）
——课后习题答案
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复变函数与积分变换课后答案（北京邮电大学出版社）
习题一
1. 用复数的代数形式 a+ib 表示下列复数
1 8 0i 1 8
eiπ / 4 ;
①解 e
1 i 1 i 1 i 2 2 2
4、证明：当且仅当 z z 时，z 才是实数．
3
1 1 3 1 8
3 1 3
2
2
3
3
3
证明：若 z z ，设 z x iy ，
3 3 2 2
z2 cos π i sin π 1
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复变函数与积分变换课后答案（北京邮电大学出版社）
5 5 1 3 z3 cos π i sin π i 3 3 2 2
是 α-β=90° ． 12.指出下列各式中点 z 所确定的平面图形，并作出 草图.
⑶ 3 3i 的平方根．
复变函数与积分变换课后习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈C ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈C ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换
(1 + i )i = e i Ln(1+ i ) =
π
=
− − 2 kπ e 4 (cos ln
π
2 + i sin ln 2 )
- 11 -
第三节
初等函数
必须指出： 在 必须指出： ( 2.3.10) 中如果 b 为正整数 n 或分数
第 二 章
为一个多值函数， 个单值分支， 幂函数 w = z 为一个多值函数，它有 n 个单值分支， 由于对数函数Ln z 的每个分支
- 12 -
1 n
α + 2kπ < Arg z ≤ α + (2k + 2)π (α ∈ [−π , π )), 外复平面上是解析的， 因此， 在除原点和幅角为 α 外复平面上是解析的， 因此，幂
f ( z ) = e x , 其中 x = Re z 。 (3) 当Im z = 0 时，
z 指数函数。 则称 f (z ) 为指数函数。 记作 exp z , 简记为 e 。
f ( z ) = e x (cos y + i sin y ) 满足定义中的 显然， 显然，函数
三个条件， 三个条件， 因此
-5-
第三节
初等函数
给出的函数（ 主值。 给出的函数（记为 ln z ）为函数Ln z 的主值。那么
ln z = ln | z | + i arg z
第 二 章
( 2.3.5)
就是一个单值函数， 就是一个单值函数，它实际上是当 − π < argz ≤ π 时的
z = e 的反函数。 如果我们用 的反函数。
2 思考题：对于复对数函数而言， 思考题：对于复对数函数而言，公式Ln z = 2 Ln z 是否成立。 是否成立。
复变函数与积分变换2-3
10
如果将Lnz ln z iArgz中Argz 取主值arg z, 那末 Lnz 为一单值函数，记为ln z，称为Lnz 的主值.
27
例9 求 f (z) sin 5z 的周期.
解 因为 sin( z 2) sin z,
所以 sin( 5z 2) sin 5z,
又因为
sin(5z
2)
sin 5
z
2 5
所以
sin 5
z
2 5
sin 5z,
故 f (z) sin 5z 的周期是 2 . 5
28
2. 双曲函数的定义
i
arctan
3 2
2k .
(k 0, 1, 2,)
14
(2)Ln(3 3i)
ln 3 3i iArg(3 3i)
ln 2 3 iarctan 3 2k
3
ln 2
3
i
2k
6
.
(k 0, 1, 2,)
(3)Ln(3) ln 3 iArg(3)
ln 3 (2k 1)i. (k 0, 1, 2,)
2
2
2
2
2sin
2
sin
2
i
cos
2
7
2sin
2
cos
π
2
i
sin
π
2
因为 0 2π, sin 0,
2
上式就是复数 ei ei 的三角表示式.
所以 Arg(ei ei ) π 2kπ,
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上海应用技术学院2009 —2010 学年第二 学期 《复变函数与积分变换》期（末）（A ）试卷解答
课程代码: B2220081 学分: 2 考试时间: 100 分钟 课程序号: 2732 2733 2734 2735
班级： 学号： 姓名:
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一.填空题15分 1．已知i
i
z -=
13则.__223_
___,23)Re(=-=z z 2．复数i z 31+=的指数形式是32π
e ，幅角主值z arg =__3
__π。
3．方程i e z
+=1的解是i k )24
(
2ln ππ
++_______。
4． 0=z
是z e z
1
1
是本性奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点） 。
5．函数21
-z 在10-=z 处的泰勒展开n
n z ∑∞=+-0
)31(31____________。
6．设0>>a b ，⎩⎨⎧>≤≤=b t b t a t f 0
1)(则[]._____)(1
)(sb sa e e s t f L ---=
二．选择题 15分
1函数z z z f Re )(=，下面结论正确的是（ D ） A ．在复平面处处可导
B ．仅在0=z 解析
C ．在0=z 不可导
题 号 一 二 三 四 五 总 分 应得分 15 15 56 7 7 100 实得分
D ．0=z 是奇点.
2．设C 为自原点到i +1的直线段，则积分dz z C
⎰
)Re(= （D ）
A ．i +2
B 。
i +1
C 。
i +21。
D 。
2
1i
+. 3． a z =是)(z f 的可去奇点，则[]=a z f s ),(Re （ A ） A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．0=z 是)
1)(1(1
)(2
+-=
z e z z f z 的几级极点（ B ） （A ） 1 （B ）2 （C ）3 （D ）
4
5．函数z z z f ππcos sin )(=
,则=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+21),(Re k z f s （k 为整数）（ A ）
（A ）
π
1
- （B ）
π
1
（C ）π （D ） π-
三.计算题56分
1.已知,iy x z +=求2
z e 的模,幅角,实部，虚部。
xyi
y x
z e e 222
2+-=)2sin 2(cos 2
2
xy i xy e y x
+=-
模2
2y x e
-幅角xy 2
实部xy e y x 2cos 2
2-= 虚部. xy e
y x
2sin 2
2
-=
2.求1
+i i。
i
i i e i
ln )1(1
++===++i
k i e
)22
)(1(ππ
)22
(ππ
k ie
+-=
3.设ξξξξξd z z g ⎰
=-+-=2
21
2)( 求).(),1(),1(),(πg g g z g '
ξξξξξd z z g ⎰=-+-=2
21
2)(=)12(22+-z z i π,2<z ,
0)(=z g 2>z
=)1(g i π4 =')1(g i π6 .0)(=πg
4. 求 ⎰-⋅c z dz z ze 2
)1(π 其中c 为不过π1
的闭曲线。
c 不含π1
,0)
1(2
=-⋅⎰c z dz z ze π. c 含π1,=-⋅⎰
c z dz z ze 2)1(π)1(211
1
2
ππ
πππe e i +)1(21
1
ππππe e i += 5．叙述柯西-古萨基本定理的内容。
在单连通区域D 内解析，)(z f C 为D 内任意一条封闭曲线，则 ⎰=C
dz z f 0)(.
6. 已知,)1(2y x u -=证明其为调和函数,并求函数v ,使iv u z f +=)(为解析函数. 证明 因为000=+=+yy xx u u ，所以y x u )1(2-=为调和函数
y v y 2=,)(2x y v ϕ+=.
)1(2)(--='=x x v x ϕ,C x x x ++-=2)(2
ϕ
2y v =C x x ++-22
7. 求函数3
)
(1
)(i z z z f +=
在10<+<i z 内的罗朗展开. 因为 =z
1
=+--=-+)
1(1
1i
i z i i z i n
n i i
z i ∑∞
=+0
)(
所以3)(1
)(i z z z f +=
n
n n i i z i 1
)(3
0-∞
=∑+=。
10<+<i z
8．用留数计算
dz z z z ⎰=1
2
1sin )!31(1sin
3122 +-=--z z z z z ，[]!
31
0),(Re -=z f s i i dz z z z ππ316121sin 1
2-=-=⎰=。
四 积分变换7分 .设)
4)(2()(++=
s s s s F ,求[])(1
s F L -
2
1
42)4)(2()(+-
+=++=
s s s s s s F [])(1s F L -)2
1()42(
11+-+=--s L s L t t e e 242---=
五.证明题7分
1.设iv u z f +=)(在区域D 内解析,（1）求)(z f i (用v u ,表示)，（2）证明)(z f i 也在区域D 内解析。
证明 iu v z f i -=)(。
因为iv u z f +=)(在区域D 内解析，所以
x y y x v u v u -==,， y x u v )(-=，x y u v )(--=，所以iu v z f i -=)(满足C-R 方程
)(z f i 也在区域D 内解析。