1.3 第1课时 二次根式的乘除法
教学案例——二次根式的乘除法(第1课时)
教学案例——二次根式的乘除法（第1课时）【教学背景】1教学内容华东师大版《义务教育课程标准实验教科书数学》九年级上册第22章。
2学情与教材分析本节主要内容是二次根式的乘法运算和二次根式的化简，通过本节学习应使学生掌握根式的乘法运算法则和化简二次根式的常用方法.建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。
探究二次根式的乘法法则，教材从具体例子出发，由特殊到一般、由具体到抽象地归纳给出二次根式的运算法则.通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而得出二次根式的乘法法则.“探究”栏目中的两个问题是两个不同层次的探究活动.首先是让学生通过计算发现规律，然后是让学生对发现的规律进行类比，得出乘法法则的具体内容。
将二次根式的乘法法则反过来，就得到积的算术平方根的性质.利用这条性质可以对二次根式进行化简.通过学习，应该使学生对化简二次根式的基本要求有所认识，即在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来。
3教学目标，重、难点教学目标：知识技能：3.1掌握二次根式乘法法则，能熟练地应用它进行二次根式乘法运算。
3.2会逆用二次根式乘法法则，熟练地将二次根式化简。
数学思考：体验二次根式乘除法法则的应用过程，培养逆向思维。
解决问题：引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题。
情感态度：通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的。
师生行为：老师点评（纠正学生练习中的错误）设计意图：设情境，鼓励学生观察，猜想，归纳，总结，使学生明确该部分的计算规则为本节课要讲授的知识奠定基础。
1.2参考上面的结果，用“>、<或＝”填空。
师生行为：让3、4个同学总结规律。
老师点评：①被开方数都是正数；②两个二次根式的乘等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数。
二次根式知识结构图
乘法法则 a b .......... .......( a0 除法法则
ab b 0)
二次根式的乘除 a a
最简二次根 式
b b .......... .......( a0 b 0)
二 次 根 式 的 乘 除
方法：1、分解 质因数或因式 2、分母中不含 二次根式
被开方数相同的二次根式加 减时，把系数相加减，根指 二次根式的加 数与被开方数保持不变。
本章知识结构图二次根式的性质二次根式二次根式二次根式的定义确定被开方数中字母的取值范围二次根式的性质代数式11根据二次根式有意义的条件列出不等式或不等式组22解不等式不等式组求出字母的取值范围11必须含有22被开方数是非负数方数非负实数表示为一个平它可以将一个它本身算数平方根的平方式是表示一个非负数的是一个非负数040030201222?????????????aaaaaaaaaaaaaa代数式中不含等符号只能含有运算符号二次根式的乘除二次根式的乘除二次根式的乘除二次根式乘除逆运算最简二次根式式00
第十六章 《二次根式》
教材解说
实验中学数学组
教材地位和作用
二次根式属于“数与代数”领域 的内容，它是在学生学习了平方根、 立方根等内容的基础上进行的，是 对七年级上册“实数、整式、分式” 内容的延伸和补充。同时也是以后 学习“解直角三角形”、“一元二 次方程”和“二次函数”等内容的 重要基础.
数学思考
1 3 的结果是 2 B.2到3之间 C.3到4之间
（株洲） D.4到5之间
2、当实数X满足什么条件时，
x 1 有意义？ x 1
3、计算
1 27 18 12 3
的结果是
。（临沂）
不到之处
敬请批评指正
二次根式的乘除法(3)教师集体备课教案
八年级数学教师集体备课教案 年级 八年级 科目 数学 主备人 备课组长签字 包学科领导签字 课题 16.2二次根式的乘除法 课时 第1课时 二次根式的乘法 备课日期 学习目标 1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
教学重点难点
重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
教 学 流 程
（一）复习回顾 1、计算：
（1）4×9=______ 94=_______ （2）16 ×25 =_______ 2516=_______ （3）100 ×36 =_______ 36100=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）4×9_____94
（2）16×25____2516 （3） 100×36__36100 （二）提出问题 1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的乘法法则进行计算？ 3、积的算术平方根有什么性质？ 4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 （三）自主学习 自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目： 1、用计算器填空：
（1）2×3____6 （2）5×6____30
（3）2×5____10 （4）4×5____20 2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？ 能用数学表达式表示发现的规律吗？ 3、二次根式的乘法法则是：
二次备课 教 学 流 程 （四）合作交流 1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算： （1）9×27 （2）25×32 （3）a5·ab51 （4）5·a3·b31 2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题： （1）用式子表示积的算术平方根的性质： 。 （2）化简： ①54 ②2212ba ③4925 ④64100 （五）展示反馈 展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把
16.2 二次根式的乘除 (教学课件)- 初中数学人教版八年级下册
算术平方根的概念
如果x²=a(x≥0), 那 么 x称 为a 的算术平方根。 用 √a(a≥0) 表示.
2.下列运算正确的是(A
A.(√2)²=2
C.(-√-2)²=2
)
B.(一 √2)²=-2
D.-√(-2)²=2
3. 计算：
(1) √4× √25=10 , √4×25= 10 ;
(2) √16× √9= 12 , √ 16×9= 12 思考：√4× √36 与 √4×36 的结果相● 同吗?你发现了什么?
二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
√a·Jb.√c……√n=Jabc…n(a≥0,b≥0,c≥0……n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法 则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式),被 开方数的积作为被开方数，即
化简二次根式的步骤：
(1) √4× √9= √4×9;
(2) √16× √25= √16×25;
(3) √25× √36= √25×36.
思考你发现了什么规律?你能用字母表示你所发现的规律吗?
猜测：Ja. √b= √a ·b(a≥0,b≥0). ·. 你能证明
这
个猜测吗?
求证：√a · √b= √a·b(a≥0,b≥0).
商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商. 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例3 把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) √3.5;
解：原
解：原式
最简二次根式应满足如下特点： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
最新人教版数学八年级下 册16.2 二次根式的乘除 课件
11. 能使 (3 − )(�� + 1)= 3 − · + 1成立的所有整数a的和 5
是ห้องสมุดไป่ตู้
.
12. 若 80· 2的值是一个整数,则正整数a的最小值是
10
.
13. 计算或化简:
(1) -
6
5
×
20
=
3
-2 ;
(2) 5 21×2 3= 30 ;
(3) 32 2 3 = 4bc (a>0,b>0,c>0);
(4) 92 + 364 = -3a + (a<0).
14. 计算:
(1) 2 14×(-3 2);
(3) 72 × −2
(1) -12
(2) 84
(3) -5
(4) 2
1
6
(2) 2 6 × 42 × 21;
×
5
12
6;
(4)
2
2
3
×
3
4
× 30.
15. 已知一个长方形花坛与一个圆形花坛的面积相等,长方形花坛的长为
3a
3
(3) 9 =
(a≥0).
5. 使等式
3
+
32 =-m
+ 3成立的条件是
-3≤m≤0
.
6. 计算:
(1) 18 × 125;
(3) -
152
−
(1) 15
(2) 72 a
(3) -2
(4)
132 ;
(2) 3×4 9×2 6(a>0);
(4)
5
3
×
二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法导学案
方法总结:二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即
0,0,0)k a b k a b k ⋅⋅=⋅⋅
⋅⋅
≥≥
≥（
例2 计算:
.⎛ ⎝
(n b mn =例3 比较大小(一题多解):
33与；
(2)--
方法总结: 比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
1. ( ) D.2
2.下面计算结果正确的是 ( ) A.==C. = D.=
3.=_________. 探究点2：积的算术平方根的性质 一般的()0,0≥≥=
⋅b a ab b a ()______0,0_a b =吵
要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
例4 (教材P7例2变式题)化简：
内容
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即
)0
,0≥
b
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.即
)
b?
0,0
⋅⋅⋅=
a b c n abc
()
=
m a n b mn
A ．x ≥6
B ．x ≥0
C ．0≤x ≤6
D ．x 为一切实数 2.下列运算正确的是 （ ）
A.=
532=-=
(2)(4)8-⨯-=
5315==⨯= 3.计算：
(1) ⨯______
；(2) ⨯_______
;(3)_____. =
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
12（）--。
人教版八年级数学下册第十六章 导学案 第1课时 二次根式的乘法
第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法学习目标：1.理解二次根式的乘法法则；2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.重点：理解二次根式的乘法法则：()0,0≥≥=⋅b a ab b a .难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质解题.一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子2有意义的条件是_________.一、要点探究探究点1：二次根式的乘法算一算 计算下列各式，并观察三组式子的结果：_____;94____;_______94)1(=⨯=⨯=⨯ _____;2516____;_______2516)2(=⨯=⨯=⨯ ._____3625____;_______3625)3(=⨯=⨯=⨯思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测)0,0______(≥≥=⋅b a b a ，你能证明这个猜测吗？要点归纳：二次根式的乘法法则：一般地，对于二次根式的乘法是)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a一般地，二次根式相乘，_________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例1计算：(1)(2)(3)0,k a b k a b ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥（例2 计算: 37； 1(2)427-3.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭n b =归纳总结：二次根式的乘法法则的推广：①多个二次根式相乘时此法则也适用，即000)k a b k a b k ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥，，（②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即()00a n b mn a b =≥≥，例3 比较大小(一题多解):(2)--方法总结: 比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.1. ()A B .4C D .22.下面计算结果正确的是 ()A.=B. =C. =D.=3.=_________.探究点2：积的算术平方根的性质一般的()0,0≥≥=⋅b a ab b a ______0,0_a b 要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例4 化简：（1（2()00a b ，≥≥ ．1()()200x y ,()≥≥方法总结: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.例5 计算：1(⨯2()⨯ 3(⨯化简二次根式的步骤：1. 把被开方数分解因式(或因数) ；2. 把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；3. 如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a2= | a | 把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.1. 计算：2.，求出它的面积.a b a b0,0多个二次根式相乘时此法则也适用，即(0,⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥a b c n abc n a()=m a n b mn2.下列运算正确的是（）A.=B532-=C(2)(4)8=-⨯-=D5315==⨯= 3.计算：(1)⨯______ ；(2)⨯_______ ;(3)_____.=4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：12（）--8,12b，求250a,332b，求参考答案自主学习一、知识链接1.一般地，我们把形如)0a ≥的式子叫作二次根式.2. a ≥0 课堂探究一、要点探究证明：根据积的乘方法则，有222.ab =⋅= ∴b a ⋅就是 ab 的算术平方根.又∵ab 表示 ab 的算术平方根， )0,0(≥≥=⋅∴b a ab b a要点归纳：二次根式的乘法法则：一般地，二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.例1： 解：(1)(2) 3.===探究点2：积的算术平方根的性质当堂检测。
第1课时 二次根式的乘法
16.2二次根式的运算16.2.1二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简.【过程与方法】由具体数据发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)并运用它进行计算；利用逆向思维，得出ab＝a·b(a≥0，b≥0)并运用它进行解题和化简.【情感态度】通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.【教学重点】a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)及它们的运用.【教学难点】发现规律，推导a·b＝ab(a≥0，b≥0).教学过程一、复习提问，导入新课1.对于二次根式a中的被开方数a，我们有什么规定？2.当a≥0 时，(a)2等于多少？3.当a≥0 时，a2等于多少？【教学说明】通过对二次根式的性质的复习，为本节课的学习奠定知识基础.二、合作探究，获取新知1.请同学们完成下列各题.(1)4×9＝________，4×9＝________；(2)16×25＝______，16×25＝______；(3)100×36＝______，100×36＝______.参考上面的结果，用“＞、＜或＝”填空.4×9________4×9；16×25________16×25；100×36________100×36.【教学说明】这些计算比较简单，可以让学生自主完成，然后引导学生进行总结.2.利用计算器计算填空(1)2×3________6，(2)2×5________10，(3)5×6________30，(4)4×5________20，(5)7×10________70.【教学说明】使用计算器进行计算，对上面探究的规律进行验证，使它更具有说服力.3.老师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.一般地，对二次根式的乘法规定为a·b＝ab(a≥0，b≥0)，反过来：ab＝a·b(a≥0，b≥0)【教学说明】教师在学生总结的基础上进行归纳，形成相应的知识点，并用含有字母的式子表示出来.三、示例讲解，掌握新知【例1】计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)9×27；(4)12× 6.【分析】直接利用a·b＝ab(a≥0，b≥0)计算即可.解：(1)5×7＝35(2)13×9＝13×9＝3(3)9×27＝9×27＝32×32＝93(4)12×6＝12×6＝3【例2】化简：(1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)9x2y2；(5)54.【分析】利用ab＝a·b(a≥0，b≥0)直接化简即可.解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12(2)16×81＝16×81＝4×9＝36(3)81×100＝81×100＝9×10＝90 (4)9x 2y 2＝32×x 2y 2＝32×x 2×y 2＝3xy (5)54＝9×6＝32×6＝36【教学说明】在讲解例题时，可以只讲解其中一个，然后让学生尝试仿照完成剩下的计算，教师及时发现学生存在的问题，予以纠正.这里要重点强调解题的格式和对法则的应用.四、练习反馈，巩固提高1.化简a －1a 的结果是 ( C )A.－aB.aC.－－aD.－a2.下列各等式成立的是 ( D )A.45×25＝8 5B.53×42＝205C.43×32＝7 5D.53×42＝2063.10144.自由落体的公式为S ＝12gt 2(g 为重力加速度，它的值为10 m/s 2)，若物体下落的高度为720 m ，则下落的时间是 12s .5.一个底面为30 cm ×30 cm 长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设：底面正方形铁桶的底面边长为x ，则x 2×10＝30×30×20，x 2＝30×30×2，x ＝30×30×2＝30 2.五、师生互动，课堂小结 本节课应掌握：(1)a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，ab ＝a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)及其运用.课后作业完成同步练习册中本课时的练习.。
数学浙教版八年级下册全册教案
第1章 二次根式1.1 二次根式【教学目标】知识与技能1．理解二次根式的概念。
2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。
过程与方法1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。
2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。
3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及语言表达能力。
情感态度与价值观1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。
3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑思维能力。
教学重难点重点：二次根式的概念和二次根式有意义的条件。
难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围。
【教学过程】知识回顾求一求：（1）3的平方根是_____；（2）3的算术平方根是_____；（3呢？归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________；②一个非负数a 的算术平方根可以表示为 。
情景导入根据图1.1-1的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空：2 cm a cm图1.1-1直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。
学生写出表示算术平方根的式子。
问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 学生通过观察，感知二次根式的特征，从而引出课题。
探究新知1.二次根式的概念引导学生概括二次根式的概念：像这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式。
2.深化二次根式的概念：① 提问：9-1呢？② 表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开 方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a 需满足什么条件？为什么？经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评。
③ 教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于0。
④ 巩固练习一： 下列式子，哪些是二次根式？3.讲解例题例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围：（1）1+a ； （2）a 43-； （3）x - .教师提问，学生回答，教师板书解题过程。
第1课时 二次根式的乘法
例2 化简：
16 81； 1
2 4a b
2 3
.
例3 计算：
1
14 7;
3 52 2
10；
1 3x xy . 3 3
例4 ：
比较大小： 4 3 和5 2
比较大小
2 3 _____ ＜ 3 2
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
例1 : 计算 1 、 3 5 1 2、 27 3
练习：计算
(1) 3 12; (2) x x ;
3
1 (3) 27 . 3
一般的：
a b ab
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0） ab a b
一般地,对于二次根式的乘法法则b≥0)
1.对于多个二次根式进行相乘的运算,则
x y z xyz ( x 0, y 0, z 0)
2.当二次根式前面有因数或因式时,则
a b c d ac bd (b 0, d 0)
a b ab (a≥0,b≥0)
＜ 2 6 - 3 3 _____
将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内.
2 1 (1).3 _______(2)a _________ 3 a
将根号外的因式移到根号内：
(1)
3 7
(2)
-5
1 5
1 (3) (1-x) x1
八年级 下册
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
二次根式的性质:
（1） a ≥0 (a≥0)
2
双重非负性
( 2) ( a ) a (a≥ 0)及其逆用