《无理数指数幂及其运算性质》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
2024-2025学年第一学期高一数学同步课件4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
∴a2＋a－2＝47.
③由于
a
3 2
－
a
3
－
2
＝
(a
1 2
)3
－
(a
1
－
2
)3
，
所
以
有
a32－a－32 a12－a－12
＝
（a12－a－12）（a12－a＋a－a21－1＋a21·a－12）＝a＋a－1＋1＝8.
第14页
(2)若
1
－
10x＝3 8，10y＝
4
27，则
1 102x－y＝____3____．
(1)0.02713－61412＋25634＋(2
2
2)3－3－1＋π0；
【解析】 (1)原式＝(0.33)13－52212＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－31＋
1＝64175.
(2)(a－2b－3)(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； 【解析】 (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－31
课内导航
1 课时学案 2 课后巩固
第1页
4．1.2 无理数指数幂及其 运算性质
第2页
要点 1 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 aα(a>0，α为无理数)是一个确定的_实__数__．整数指数
幂的运算性质同样适用于实数指数幂． 要点 2 实数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)； (2)(ar)s＝_a_r_s _ (a>0，r，s∈R)； (3)(ab)r＝_a_rb_r_ (a>0，b>0，r∈R)．
【解析】 (1)a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝23.
4.1.2 指数-无理数指数幂及其运算(第二课时)高一数学 同步精讲课件(人教A版必修一)原创精品
2 2
答案：x=- 2
1 2+2
=( )
9
练一练
解下列方程：
22
2+2
答案：x=- 2
+3×2
2
-1=0
5 解条件求值问题
例4.已知方程x2-8x+4=0的两根为x1,x2(x1<x2).
(1)求1 −2 -2 −2 的值；
1
−2
1
−2
(2)求1 -2 的值.
答案： (1)2 3;
6 3
2
7
(a>0,b>0)
3 无理数指数幂的运算
例2.计算：
3 3 − 3
[( ) ] 9
2
答案：2
1
4
4
×(-6 2 )0 + 8 × 2 -
2 2
(− )3
3
练一练
计算：
2
25
8
-[( ) 2 ] 6
9
27
答案：
2
-(
1
1
3
+1)0 +( )−2
4
4 解含幂的方程
例3.解下列方程：
-1= -1=-3
3
3
3
方法总结：先将方程化归为同构方程，再利用根与系
数的关系对原目标式进行化简.
3.设x∈R，[x]表示x不超过x的最大整数，若存在实数t，使
得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值
归
谬
思
想
是
.
由[t]=1得 1≤t<2,
由[t2]=2得 2≤t2<3,
高中数学/人教A版/必修一
2020学年新教材高中数学4.1指数4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学案新人教A版必修第一册
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(教师独具内容)课程标准：1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.理解指数幂的运算性质.3.能进行指数幂(实数幂)的运算．教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算． 教学难点：无理数指数幂的意义的理解．【知识导学】知识点一 无理数指数幂(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．(2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点二 实数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝□01a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝□02a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝□03a r b r (a >0，b >0，r ∈R )． 【新知拓展】对于实数a ＞0，r ，s 有a r÷a s＝ar －s成立．这是因为a r÷a s＝a r as ＝a r ·a －s ＝a r －s.教材中没有给出此性质，但是它可以由已有公式推导出来．(1)在进行幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质在系数、同底数幂间进行运算，达到化简和求值的目的．(2)化简指数幂的几个常用技巧如下： ①⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a bp (ab ≠0)； ②a ＝(a 1m)m，anm＝(a 1m)n(a 使式子有意义)；1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)α，β是实数，当a >0时，(a α)β＝(a β)α.( )(2)当a >0，b >0时，(a 12 ＋b －12 )(a 12 －b －12 )＝a －b －1.( ) (3)当a >0时，(a －a －1)2＝(a ＋a －1)2－2.( ) (4)[(3)－2] 12 ＝ 3.( ) (5)(3－2) 12 ×(3)－2＝19.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)化简：(3－3)3＝________.(2)已知5α＝3,5β＝2，则 ①5α＋β＝________； ②5α－β＝________；③5－3α＝________；④5α2＝________.答案 (1)127 (2)①6 ②32 ③127④3题型一 利用指数幂的运算性质化简与求值金版点睛指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.题型二条件求值问题金版点睛解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中a>0，b>0)：1.3a ·6－a 等于( ) A.－－a B ．－a C.－a D.a答案 A解析 3a ·6－a ＝a 13 ·(－a ) 16 ＝－(－a ) 13 ·(－a ) 16 ＝－(－a ) 12 ＝－－a .2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －14的值是( ) A.23 B.32 C.481 D ．－814 答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－14 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1＝32.答案 A解析 原式＝[2×(－3)÷4]×a －3－1＋4·b －23＋1＋53 ＝－32a 0b 2＝－32b 2.4.化简(3＋2)2018·(3－2)2019＝________.答案3－ 2解析 (3＋2)2018·(3－2)2019＝[(3＋2)(3－2)]2018·(3－2)＝12018·(3－2)＝3－2.。
2019_2020学年新教材高中数学4.1指数4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学案新人教A版必修第一册
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(教师独具内容)课程标准：1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.理解指数幂的运算性质.3.能进行指数幂(实数幂)的运算．教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算． 教学难点：无理数指数幂的意义的理解．【知识导学】知识点一 无理数指数幂(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．(2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点二 实数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝□01a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝□02a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝□03a r b r (a >0，b >0，r ∈R )． 【新知拓展】对于实数a ＞0，r ，s 有a r÷a s＝ar －s成立．这是因为a r÷a s＝a r as ＝a r ·a －s ＝a r －s.教材中没有给出此性质，但是它可以由已有公式推导出来．(1)在进行幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质在系数、同底数幂间进行运算，达到化简和求值的目的．(2)化简指数幂的几个常用技巧如下： ①⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a bp (ab ≠0)； ②a ＝(a 1m)m，anm＝(a 1m)n(a 使式子有意义)；1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β是实数，当a>0时，(aα)β＝(aβ)α.( )(2)当a>0，b>0时，(a 12＋b－12)(a12－b－12)＝a－b－1.( ) (3)当a>0时，(a－a－1)2＝(a＋a－1)2－2.( )(4)[(3)－2]12＝ 3.( )(5)(3－2)12×(3)－2＝19.( )答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)化简：(3－3)3＝________.(2)已知5α＝3,5β＝2，则①5α＋β＝________；②5α－β＝________；③5－3α＝________；④5α2＝________.答案(1)127(2)①6 ②32③127④ 3题型一利用指数幂的运算性质化简与求值金版点睛指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.题型二条件求值问题金版点睛解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中a>0，b>0)：1.3a·6－a等于( )A.－－a B．－a C.－a D.a答案 A解析3a·6－a＝a13·(－a)16＝－(－a)13·(－a)16＝－(－a)12＝－－a.2.⎝⎛⎭⎪⎫1681－14的值是( )A.23B.32C.481D．－814答案 B解析⎝⎛⎭⎪⎫1681－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫234－14＝⎝⎛⎭⎪⎫23－1＝32.答案 A解析原式＝[2×(－3)÷4]×a－3－1＋4·b－23＋1＋53＝－32a0b2＝－32b2.4.化简(3＋2)2018·(3－2)2019＝________.答案3－ 2解析(3＋2)2018·(3－2)2019＝[(3＋2)(3－2)]2018·(3－2)＝12018·(3－2)＝3－ 2.。
新人教A版必修一 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(20张)
m 2 .
【加练·固】
计算
5
a 6a 6 a.
【解析】原式=
5
a6 6
=a0=1.
类型二 指数运算在实际问题中的应用
【典例】某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次
(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经
过 世纪金榜导学号( )
A.12 h B.4 h
C.3 h
D.2 h
【思考】 (1)实数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质 相同吗? 提示:相同.
(2)指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的? 提示:
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)无理数指数幂有的不是实数. ( )
(2)指数幂ax(a>0)中的x只能是有理数. ( )
(3) (3 2 ) 2 9.
【解析】(1)原式= (3 2 2 3 )3 2 36 22 2 916.
(2)原式=
2
a6 3数指数幂在运算时有什么异同?
提示:运算性质是一样的;不同的是一个是进行无理数 指数运算,一个是进行有理数指数运算.
【类题·通】 关于无理数指数幂的运算
m
【解析】 ( n ) 3 n 3m 3.
m
答案: n 3m 3
类型一 无理数指数幂的运算 【典例】计算下列各式
2
（1）(3
23
2
2 )3
（2 . 2）a
6a a
3
.
【思维·引】(1)将 3 2 2 化为指数式,再用无理数指数 幂的运算性质运算. (2)利用无理数同底数幂的运算性质计算.
2
()
提示:(1)×.无理数指数幂对应一个确定的实数. (2)×.指数幂ax(a>0)中的x是任意实数. (3)√. (3 2 ) 2 3 2 2 32 9.
无理数指数幂及其运算性质-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件(人教A版2019必一)
人教A版2019必修第一册
第 4 章 指数函数与对数函数
4.1.2
无理数指数幂及其运算性质
目录
教学目标
1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.
2.理解指数幂的运算性质.
3.能进行指数幂(实数幂)的运算。
01
情景导入
情景导入
公元前5世纪，古希腊有一个数学学派名
叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕
1.414 2
1.414 3
9.738 461 907
1.414 21
1.414 22
1.414 213
1.414 213 5
1.414 213 56
1.414 213 562
…
9.738 508 928
9.738 516 765
9.738 517 705
9.738 517 736
…………
…
1.414 214
…………
…
概念讲解
由图表可以发现，当 2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近 2时，
，这个数就是
．也就是说，5 2 是一串逐渐增大的有
理数指数幂51.4，51.41，51.414，51.4142，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，
51.42，51.415，51.4143，…
的结果，它是一个
时意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，
那么它有什么运算性质呢？
02
无理数指数幂
概念讲解
目前我们将 ax (x＞０)中的指数x的取值范围从整数拓展到了
当指数x是
．
时，ax 的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那
么它有什么运算性质？
在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数. 类似地，也可以
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 (课件)-高一数学必修第一册同步高效课堂(人教A版2019)
5x的近似值 …
1.5 1.42 1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563 …
5y的近似值 …
学习新知
2的不足近似值x 1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562 …………
2 3
2
(1) 2 3 m 3 ;2 a 3 a 3 a
【解析】
23
3
(1)原式= 2 3 m 2 26 m3 64m3
2
(2)原式= a 3 3
a0
1.
应用新知
例 2 从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升，然后加满水，再倒出 1 升混合溶 液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与 总溶液的体积之比低于 10%.
2
4 2 (1)
2 1
32
2
; (2)
38 3 33 3
3
2 2
; (3) 2
【解析】(1)原式= 22 22 232 2 22 2232 2 25 32
(2)原式=
23
3
= 3
3
3 3 3
23
3 3
3
3
3 3
23 3 24
2
(3)原式=
2 2
2
2
5x的近似值 9.518 269 694 9.672 669 972 9 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 …………
【新教材精创】412无理数指数幂及其运算性质课件(2)-人教A版高中数学必修第一册(共18张PPT)
1
解:(1)将 2
-
1 2
5的两边平方,
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3. (2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9, 即a2+a-2=7. (3)设y=a2-a-2,两边平方,得
y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
所以 y=±3 5,即 a2-a-2=±3 5.
(3)2 3 a ÷4 6 a· b ·3 b3.
解：(1)原式＝(0.33)
1
3－
5 22
1 2
＋(44)
3 4
＋(2
3 2
)
2 3
－1＋1＝
3
0.3－5＋43＋2－1＋1＝64 7 .
2
3
15
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－1a－3－(－4)b－2－(－2)c－1 3
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6 3.
③
11
1
a 2 -b2
将②③代入①，得 1 1
a2 b2
12 - 2 92
＝ -6 3
＝－
3. 3
人教版必修上册
解:原式=
25 4
3
27 + 4
8
10620500-1=52
3 2
+
12-1=12.
题型分析 举一反三
题型一 指数幂的运算性质化简求值
例 1 化简求值
(1)0.027
1 3
－
614
1
3
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《无理数指数幂及其运算性质》教学设计
◆教学目标
1．通过类比无理数的形成过程，理解无理数指数幂的意义．
2．掌握无理数指数幂的运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．
◆教学重难点
◆
教学重点：实数指数幂的运算及其性质．
教学难点：对无理数指数幂的理解，用有理数指数幂逼近无理数指数幂．
◆课前准备
PPT课件，计算器，GGB课件．
◆教学过程
（一）新知探究
1．提出问题，引发思考
问题1：上节课我们将a x(a＞0)中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数．那么，当指数x是无理数时，a x还有没有意义？如果有意义，其意义是什么？说说你的理由．师生活动：学生分组讨论交流．
设计意图：明确本节课研究的重点，激发学生的探究欲望．
追问1：在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．请回忆初中时，是如何确定无理数√2的大小的？
师生活动：学生回答，教师进行补充讲解．
预设的答案：初中时，我们发现√2的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），都趋向于同一个确定的数，这个确定的数就是√2，以此来逐渐逼近√2的精确值．设计意图：类比无理数的发现和确定过程，为研究无理数指数幂提供方法上的支持．追问2：类似的，我们也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂．你能设计一个方案来解释无理数指数幂5√2的意义吗？
师生活动：学生讨论交流，然后提出方案，由教师进行补充和完善，最后予以实施．预设的答案：根据√2的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），利用计算工具计算相应的5x，5y的近似值，并填入表1．
是一个确定的实数．
追问3：通过表1可以看出，当√2的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近√2时，5x和5y都趋向于同一个数，这个数就是5√2．也就是说5√2是一串逐渐增大的有理数指数幂和另一串逐渐减小的有理数指数幂逐步逼近的结果，它是一个确定的实数．那么这个逐渐逼近的过程在数轴上是怎么体现的呢？请同学们将上表中不同的5x和5y的值画到数轴的对应位置上．师生活动：学生自行完成，等学生完成后，教师展示GGB动态演示．
预设的答案：教师展示GGB课件“4.1指数第二课时-数轴显示有理数指数幂逼近无理数指数幂”，并演示动画效果．教师可以将图象逐步放大，直观展示上述逼近过程．设计意图：用数轴表示数值，可以从宏观、整体上把握变化的趋势，定量地研究问题，从形的角度认识到5√2是一个确定的实数．利用GGB动画演示，加深学生对于无理数指数幂的理解，达到提升学生直观想象核心素养的目的．
追问4：参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如2√3，说明它也是一个确定的实数吗？
师生活动：学生自行完成．
设计意图：进一步通过以有理数逼近无理数的方法，学生体会其中蕴含的极限思想．
3
6 (2)；
()
366362
3
3
3
3
3
(2)222
22
-
-
-
===；
(
)3
333
33
2
22
2(2
)(2)e e e e
e
e b b
a b b
⎤÷
=÷⎥⎦
这些题目的求解过程与我们上节课的例4的求解有哪些异同？。