范数概念
范数的名词解释
范数的名词解释范数是线性代数中一个重要的概念，它可以衡量向量空间中向量的大小。
在数学上，范数是一种从向量到实数的函数，它满足一定的性质。
范数不仅在线性代数中有重要应用，也在其他学科中被广泛使用，如函数空间、统计学、机器学习等。
一、范数的定义范数是向量空间中度量向量大小的一种方式。
对于一个实数域上的向量空间V，范数可以定义为一个从V到实数集上的非负实值函数，记作||·||，满足以下性质：1. 非负性：对于任意向量x∈V，有||x||≥0，且当且仅当x=0时，等号成立。
2. 齐次性：对于任意向量x∈V和任意实数α，有||αx||=|α|·||x||。
3. 三角不等式：对于任意向量x、y∈V，有||x+y||≤||x||+||y||。
二、范数的类型根据范数函数的定义方式，范数可以分为不同的类型。
常见的范数有：1. L1范数（曼哈顿范数）：L1范数定义为||x||1=∑|xi|，表示向量x中每个元素绝对值之和。
L1范数在稀疏表示、压缩感知等领域有广泛应用。
2. L2范数（欧几里德范数）：L2范数定义为||x||2=√(∑|xi|^2)，表示向量x中每个元素的平方和的平方根。
L2范数也称为欧几里德范数，是我们常用的向量长度度量方式。
3. 无穷范数：无穷范数定义为||x||∞=max(|xi|)，表示向量x中绝对值最大的元素。
无穷范数在机器学习中的正则化和特征选择中使用广泛。
三、范数的应用范数作为度量向量大小的一种方式，在实际应用中有很多重要的用途。
1. 正规化：范数可以作为正则化项用于优化问题，如Lasso回归中使用L1范数作为正则化项，使得模型获得稀疏解。
2. 特征选择：范数可以用于特征选择，通过限制特征向量的范数大小，保留重要的特征，去除冗余信息。
3. 函数空间：范数在函数空间中也有广泛应用，例如L2范数用于定义函数空间上的内积。
4. 最优化问题：范数在最优化问题中起到了重要的作用，如L1范数最小化问题可以得到稀疏解。
逼近理论中的欧几里得范数与无穷范数
逼近理论中的欧几里得范数与无穷范数在数学中，逼近理论是研究如何利用有限的信息来近似无限维度的事物的一门学科。
其中，范数是逼近理论中一个非常重要的概念。
范数是定义在向量空间上的一种函数，用于将向量的长度或大小表示为一个实数的方法。
在逼近理论中，欧几里得范数与无穷范数是最常用的两种范数。
欧几里得范数，也称为L2范数，定义为向量每个元素的平方和的平方根，即∥x∥2 = (Σxi²)¹/²。
这个范数衡量了向量的大小，并且在空间中呈现出圆形。
在二维平面上，这个圆形是一个圆，在三维空间中，则是一个球体。
无穷范数，也称为L∞范数，定义为向量每个元素的绝对值中的最大值，即∥x∥∞= max|xi|。
这个范数衡量了向量元素的最大值，并且在空间中呈现出正方形。
在二维平面上，这个正方形是一个正方形，在三维空间中，则是一个立方体。
欧几里得范数与无穷范数在逼近理论中有着不同的应用。
对于欧几里得范数，一个很有用的性质是它对分布在球体的向量的逼近效果很好。
具体而言，在任意向量空间中，对于任意一点p和半径r，存在一个单位球体使得所有距离p不超过r的点都在这个球体中。
因此，如果我们想要将一个向量逼近时，可以考虑在这个单位球体中进行。
而对于无穷范数，它对分布在正方形的向量的逼近效果很好。
具体而言，在任意向量空间中，存在一个最小的矩形并，使得所有的向量都在这个矩形并内。
因此，如果我们想要将一个向量逼近时，可以考虑在这个矩形并中进行。
除此之外，在实际应用中，两个范数有时候也可以结合起来使用。
例如，在信号处理中，人们常用的是L1范数和L2范数的结合，即L1-L2混合范数。
这个范数定义为∥x∥1,2 = Σ|xi| +β(Σxi²)¹/²，其中β是一个参数，用来平衡L1和L2的贡献。
这个范数可以综合L1范数和L2范数的优点，用于处理带有稀疏性和平滑性的信号。
总之，在逼近理论中，欧几里得范数和无穷范数是最为常用的两种范数，在实际问题中它们也有着不同的应用。
范数的特征
范数的特征范数是数学中一种重要的概念，它可以分析和衡量向量空间的范围和形状，广泛应用于几何、概率论、信号处理等领域。
范数不仅是一种数学概念，也是分析程序设计模型和改善程序设计性能的重要工具。
在计算机科学领域，范数有多个用途，如：计算矩阵的行列式；拟合多变量函数；估算程序的复杂性；检测算法的稳健性等。
一般而言，范数是一类特殊的函数，其目标是以一种更加有效的方式衡量和表示向量空间的大小。
它也可以被理解为一种规范，用于衡量两个向量间的距离。
实际上，范数是一种数学工具，它可以用来比较、衡量或求解某类空间中的元素。
范数的应用有很多种，最常用的是欧几里得范数（Euclidean norm）和曼哈顿范数（Manhattan norm），它们也被称为L1和L2范数，其中L1范数用于衡量向量空间中向量的距离，而L2范数则可以用于求解函数最小值问题。
而除此之外，还有布斯基范数（Busemann norm）、向量范数（ vector norm）等等，它们都可以用于度量向量空间的大小和度量向量的距离。
范数的特性主要有三个：（1）非负性：任何一个向量的范数都非负。
（2）绝对值：范数是没有正负之分，所有数值都取绝对值。
（3）对称性：范数具有可交换性，无论哪个范数，经过交换增加或减少，最终的结果是一样的。
另外，范数还具有完备性，代表向量空间中任意两个点之间的距离可以用范数来衡量，这也是范数在几何中的重要应用之一。
本文就范数的一般特征及其计算中的常用的四个概念进行了简单的介绍。
范数正在被越来越多的领域所采用，它可以作为一种辅助工具来分析、比较和衡量几何和空间的概念。
另外，它在优化程序设计和改善程序设计性能中也有着重要的作用。
得益于范数的应用，计算机科学将能够迈出更大的步伐，为人们提供更加高效、更加可靠的计算服务。
范数
3.3 范数3.3.1 向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。
绝对值是一种度量形式的定义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。
任何对象的范数值都是一个非负实数。
使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。
向量范数是度量向量长度的一种定义形式。
范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。
同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。
定义3.1对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为，若满足下面三个性质：（1），有，当且仅当时，（非负性）（2），，有（齐次性）（3.37）（3），，有（三角不等式）那么称该实数为向量的范数。
几个常用向量范数向量的范数定义为其中，经常使用的是三种向量范数。
或写成例3.5 计算向量的三种范数。
向量范数的等价性有限维线性空间中任意向量范数的定义都是等价的。
若是上两种不同的范数定义，则必存在,使均有或（证明略）向量的极限有了向量范数的定义，也就有了度量向量距离的标准，即可定义向量的极限和收敛概念了。
设为上向量序列，若存在向量使，则称向量列是收敛的（是某种向量范数），称为该向量序列的极限。
由向量范数的等价知，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关。
向量序列，收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即存在。
若，则就是向量序列的极限。
例3.6 求向量序列极限向量。
解：算出每个向量分量的极限后得在计算方法中，计算的向量序列都是数据序列，当小于给定精度时，取为极限向量。
3.3.2 矩阵范数矩阵范数定义定义3.2 如果矩阵的某个非负实函数，记作，满足条件：（1）当且仅当时，（非负性）（2）（齐次性）（3）对于任意两个阶数相同的矩阵有（三角不等式性）（4）矩阵为同阶矩阵（相容性）则称为矩阵范数。
矩阵的算子范数常用的矩阵范数是矩阵的算子范数，可用向量范数定义：设，记方阵的范数为，那么或（3.38）称为矩阵的算子范数或从属范数。
1范数和无穷范数的关系
1范数和无穷范数的关系
1范数和无穷范数是线性代数中两个重要的概念，它们用于衡量向量的不同方面。
虽然它们有着不同的定义和应用，但它们之间存在一些联系和关系。
首先，我们来定义1范数和无穷范数。
1范数，也称为L1范数，是指向量中各个元素的绝对值之和。
例如，对于一个二维向量(x, y)，它的1范数为|x|+|y|。
无穷范数，也称为L∞范数，是指向量中各个元素绝对值的最大值。
对于二维向量(x,y)，它的无穷范数为max(|x|,|y|)。
其次，1范数和无穷范数在几何意义上也有一定的联系。
对于一个二维向量(x,y)，它的1范数可以理解为从原点出发，分别在x轴和y轴上移动|x|和|y|的距离，最终到达向量所在的位置。
而无穷范数可以理解为从原点出发，在x轴和y轴上选择具有最大绝对值的坐标，移动至该坐标的距离，最终到达向量所在的位置。
这样来看，无穷范数是1范数的一种特殊情况，即当向量中某个元素的绝对值最大时。
此外，1范数和无穷范数在解决优化问题时也有着不同的应用。
1范数在一些问题中能够得到稀疏解，即一些元素的值为0，而其他元素具有较大的非零值。
这种性质使得1范数在压缩感知、特征选择等领域有着广泛的应用。
而无穷范数则能够得到最大化的元素值，因此在某些问题中可以用来求解约束最优化问题。
综上所述，1范数和无穷范数是线性代数中的重要概念，它们在衡量向量的不同方面有着不同的应用。
尽管它们有着不同的定义和性质，但它们之间也存在一定的联系和关系。
了解和理解1范数和无穷范数的关系，有助于我们更好地应用它们解决实际问题。
内积与范数
范数：用于度量“量”大小的概念1. 引言实数的绝对值：a 是数轴上的点a 到原点0的距离；复数的模：a bi +=是平面上的点()b a ,到原点()0,0的距离；还有其他刻画复数大小的方法（准则）：如 １）b a +； ２）{}max ,a b2. 向量的范数：p-范数11npp k pk xx =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ （1）示例：1211234515,2345,5x x x x ∞⎛⎫⎧=+-+++= ⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪=⇒==⎨ ⎪⎪= ⎪⎪⎩ ⎪⎝⎭3. 矩阵（算子）的范数01max max x x AxA Axx≠=== （2）矩阵的谱半径:设M 是n 阶矩阵，称()()()(){}12max ,,,n M M M M ρλλλ=L （3）为该矩阵的谱半径。
记()1212,,,T T n T n A ββαααβ⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M ， 那么，{}{}()1211111211112max ,,,max max ,,,n k n p p x kTA A Ax A A A A αααβββρ∞=⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎪=⎪⎩L L （3）4. 矩阵的条件数：用于刻画矩阵“病态”程度的概念()1cond A A A -=⨯5.利用范数定义点之间的距离(),,,n n x R y R d x y y x∈∈⇒=-向量的内积、范数及n 维空间距离的度量令P是一数域，P n是P上的向量空间，如果函数()ϕx y P P P n n ，:⨯→有如下性质：１、共轭对称性：∀∈x y P n ，，()()ϕϕy x x y ，，=； ２、非负性：∀∈x P n ，()ϕx x ，≥0，()ϕx x x ，=⇔=00；３、线性性：∀∈x y z P n ，，，∀∈a b P ，，()()()ϕϕϕax by z a x z b y z +=+，，，；则称()ϕx y ，是P n 上的一个向量内积（inner product ），向量空间P n 上的向量内积通常用符号()x y ，表示，定义了内积的向量空间P n称为内积空间（inner product space ）。
关于范数的总结范文
关于范数的总结范文
一、范数的定义
范数（Norm）是对向量空间中的向量长度或矩阵列之间的距离的度量。
范数具有很好的抽象性，可以用来衡量向量与向量、矩阵与矩阵之间的距
离（不同定义的范数衡量的是不同的距离），是向量空间、矩阵理论以及
机器学习和深度学习等各个领域都很重要的概念。
范数，由曼哈顿距离和欧氏距离得名，有着自然的几何解释：向量或
矩阵表示为一个点，范数则表示为该点到原点的距离。
向量空间中的范数
不仅代表着向量的长度，还可以用来衡量向量之间的距离，从而被广泛应
用于不同的领域，其中有几种范数的定义比较重要，如曼哈顿距离、欧式
距离、切比雪夫距离和闵式距离等。
二、范数的分类
1）一阶范数：一阶范数是指向量中元素绝对值之和，或者是矩阵每
一列元素绝对值之和，也就是模，常用的一阶范数有曼哈顿距离L1、欧
氏距离L2和切比雪夫距离L∞。
2）二阶范数：二阶范数是指向量每个元素的绝对值平方和，或者是
矩阵每一列元素的绝对值平方和，也叫做F范数或Frobenius范数。
它表
示的是一个矩阵中向量的总范数，常用于评估数据的分布特征。
泛函分析的基本概念与空间性质
泛函分析的基本概念与空间性质泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的空间以及这些函数构成的空间的性质。
本文将介绍泛函分析的基本概念和一些常见的空间性质。
一、泛函分析的基本概念1. 线性空间：线性空间是指具有加法和数乘两种运算，并满足一些基本性质的集合。
在泛函分析中，函数的集合常常构成一个线性空间。
2. 泛函：泛函是定义在线性空间上的一个实值函数，即将线性空间中的元素映射到实数域上。
泛函可以将一个函数映射到一个实数，或者将一个向量映射到一个实数等。
3. 范数：范数是泛函分析中用来度量向量“大小”的一种方法。
在线性空间中，范数需要满足非负性、同一性、齐次性以及三角不等式等性质。
范数可以衡量向量的长度或大小。
4. 完备性：在泛函分析中，完备性是指一个空间中的柯西序列收敛到空间中的一个元素。
完备性是保证泛函分析中许多重要定理成立的基础。
二、常见的空间性质1. 紧性：紧性是指空间中的任意序列都有收敛子序列的性质。
在泛函分析中，紧性是一个非常重要的性质，它与完备性和有界性等概念密切相关。
2. 可分性：可分性是指一个空间中存在一个可数集合，该集合在空间中稠密。
可分性是泛函分析中的一个重要性质，它保证了许多关键定理的存在性和可推广性。
3. 连续性：连续性是指泛函在某个点上的微小变化引起其函数值的微小变化。
在泛函分析中，连续性是一个重要的性质，它与极限、收敛等概念密切相关。
4. 可逆性：可逆性是指一个泛函在某个空间中的函数上有左逆元素。
可逆性是泛函分析中的一个重要概念，它在解决方程组和优化问题等方面具有重要应用。
此外，泛函分析还涉及到拓扑结构、对偶空间、复数域上的泛函分析等内容，这些内容超出了本文的范围。
三、结论泛函分析的基本概念和空间性质是该学科的重要基础。
通过对线性空间、泛函、范数、完备性等概念的理解，我们可以更好地研究函数的性质、解决问题以及推导出更一般化的结论。
了解常见的空间性质，如紧性、可分性、连续性和可逆性等，可以帮助我们更深入地理解泛函分析，并应用于实际问题中。
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一、范数的定义
若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：
1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；
2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║；
3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。
那么║·║称为X上的一个范数。
（注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到
║x║≥0，即║x║≥0在定义中不是必要的。
）
如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。
注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。
1. 利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。
但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。
2. 如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量d(x,y)=║x-y║的)度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(Banach)空间。
3. 利用内积<·,·>可以诱导出范数：║x║=<x,x>^{1/2}。
反过来，范数不一定可以由内积来诱导。
当范数满足平行四边形公式
║x+y║^2+║x-y║^2=2(║x║^2+║y║^2)时，这个范数一定可以由内积来诱导。
完备的内积空间称为希尔伯特(Hilbert)空间。
4. 如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数(seminorm或者叫准范数)，相应的线性空间称为赋准范线性空间。
完备的赋准范线性空间称为Fréchet 空间。
对于X上的两种范数║x║α,║x║β，若存在正常数C满足
║x║β≤C║x║α
那么称║x║β弱于║x║α。
如果║x║β弱于║x║α且║x║α弱于║x║β，那么称这两种范数等价。
可以证明，有限维空间上的范数都等价，无限维空间上至少有阿列夫(实数集的基数)种不等价的范数。
二、算子范数
如果X和Y是巴拿赫空间，T是X->Y的线性算子，那么可以按下述方式定义║T║：║T║ = sup{║Tx║：║x║<=1}
根据定义容易证明║Tx║ <= ║T║║x║。
对于多个空间之间的复合算子，也有║XY║ <= ║X║║Y║。
如果一个线性算子T的范数满足║T║ < +∞，那么称T是有界线性算子，否则称T 是无界线性算子。
比如，在常用的范数下，积分算子是有界的，微分算子是无界的。
容易证明，有限维空间的所有线性算子都有界。
三、有限维空间的范数
基本性质
有限维空间上的范数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理：
性质1：对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素(在这组基下)的坐标
的连续函数。
性质2(Minkowski定理)：有限维线性空间的所有范数都等价。
性质3(Cauchy收敛原理)：实数域(或复数域)上的有限维线性空间(按任何范数)必定完备。
性质4：有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。
常用范数
这里以C^n空间为例，R^n空间类似。
最常用的范数就是p-范数。
若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么
║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}
可以验证p-范数确实满足范数的定义。
其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：
1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2
∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
其中2-范数就是通常意义下的距离。
对于这些范数有以下不等式：║x║∞ ≤ ║x║2 ≤ ║x║1 ≤ n^{1/2}║x║2 ≤ n║x║∞
另外，若p和q是赫德尔(Hölder)共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔不等式：
|<x,y>| = ||x^H*y| <= ║x║p║y║q
当p=q=2时就是柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式。
四、矩阵范数
一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。
所以矩阵范数通常也称为相容范数。
如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。
对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。
注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。
引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。
诱导范数
把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数
║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ，
它自动满足对向量范数的相容性
║Ax║ ≤ ║A║║x║，
并且可以由此证明
║AB║ ≤ ║A║║B║。
注：
1.上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定理)，从而上面的连续函数可以取到最值。
2.显然，单位矩阵的算子范数为1。
常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是
1-范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值)
(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似)；
2-范数：║A║2 = A的最大奇异值= ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (谱范数,即A'A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵)；
∞-范数：║A║∞ =max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值)
(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似)；
其它的p-范数则没有很简单的表达式。
对于p-范数而言，可以证明║A║p=║A^H║q，其中p和q是共轭指标。
简单的情形可以直接验证：║A║1=║A^H║∞，║A║2=║A^H║2，一般情形则需要利用║A║p=max{y^H*A*x：║x║p=║y║q=1}。
非诱导范数
有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数)：
║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。
容易验证F-范数是相容的，但当min{m,n}>1时F-范数不能由向量范数诱导(||E11+E22||F=2>1)。
可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。
例如定义
║x║=║X║，其中X=[x,x,…,x]是由x作为列的矩阵。
由于向量的F-范数就是2-范数，所以F-范数和向量的2-范数相容。
另外还有以下结论：
║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及║AB║F <= ║A║2 ║B║F
矩阵的谱半径和范数
定义：A是n阶方阵，λi是其特征值，i=1,2,…,n。
则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为ρ(A)。
注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即A^H*A 最大特征值的算术平方根。
谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。
谱半径和范数的关系是以下几个结论：定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ(A)≤║A║。
因为任一特征对λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。
两边取范数并利用相容性即得结果。
定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║<ρ(A)+e。
定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。
利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：
推论1：矩阵序列I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。
推论2：级数I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。
酉不变范数
定义：如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立，那么这个范数称为酉不变范数。
容易验证，2-范数和F-范数是酉不变范数。
因为酉变换不改变矩阵的奇异值，所以由奇异值得到的范数是酉不变的，比如2-范数是最大奇异值，F-范数是所有奇异值组成
的向量的2-范数。
反过来可以证明，所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系：
定理(Von Neumann定理)：在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)之间存在一一对应关系。
也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。