中考数学实数经典例题及习题

经典例题

类型一．有关概念的识别

例1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）

A、1

B、2

C、3

D、4

解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C

举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）

A、的平方根是±3

B、1的立方根是±1

C、=±1

D、是5的平方根的相反数

【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）

A、1

B、1.4

C、

D、

【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．

【变式3】

【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴

类型二．计算类型题

例2．设，则下列结论正确的是（）

A. B. C. D.

解析：（估算）因为，所以选B

举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3）___________，___________，___________.

【答案】1）；.2）-3. 3），，

【变式2】求下列各式中的

（1）（2）（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

类型三．数形结合

例3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______

解析：在数轴上找到A、B两点，

举一反三：

【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是

（）．A．－1 B．1－C．2－D．－2

【答案】选C

[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

化简

【答案】：

类型四．实数绝对值的应用

例4．化简下列各式：

(1) |-1.4|(2) |π-3.142| (3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3) (5) |x2+6x+10|

分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

解：(1) ∵=1.414…＜1.4∴|-1.4|=1.4-

(2) ∵π=3.14159…＜3.142 ∴|π-3.142|=3.142-π(3) ∵＜, ∴|-|=-

(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0, ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)| =|2x-3| =

(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0∴|x2+6x+10|= x2+6x+10

举一反三：

【变式1】化简：

【答案】=+-=

类型五．实数非负性的应用

例5．已知：=0，求实数a, b的值。

分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a, b的值。

图1

图2

解：由题意得 由(2)得 a 2=49 ∴a=±7 由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。 ∴只取a=7 把

a=7代入(1)得b=3a=21 ∴a=7, b=21为所求。 举一反三：

【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z 3的值。

解：∵(x-6)2+

+|y+2z|=0 且(x-6)2≥0,

≥0, |y+2z|≥0,

几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。∴ 解这个方程组得

∴(x-y)3-z 3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 【变式2】已知

那么a+b-c 的值为___________ 【答案】初中阶段的三个非负数：

，

a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2

类型六．实数应用题

例6．有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm 。

解：设新正方形边长为xcm ，根据题意得 x 2=112+13×8∴x 2=225∴x=±15∵边长为正， ∴x=-15不合题意舍去， ∴只取x=15(cm) 答：新的正方形边长应取15cm 。 举一反三：

【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a ，宽为b 的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？

（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm 时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm 2，求中间小正方形的边长. 解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：，所以面积为=

大正方形的面积=，一个长方形的面积=

。

所以，

答：中间的小正方形的面积，发现的规律是：（或

）

(2) 大正方形的边长：

，

小正方形的边长：

，即 ，

又 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm 2 所以有，

化简得：

将

代入，得：

cm 答：中间小正方形的边长2.5 cm 。

类型七．易错题

例7．判断下列说法是否正确： （1）

的算术平方根是-3； （2）

的平方根是±15.