单调有界数列极限存在准则
单调有界收敛准则
单调有界收敛准则概念介绍单调有界收敛准则是数学中序列收敛的一种方法。
序列是一组按照一定规则排列的数列，而收敛则是指一个序列的极限存在且有限。
单调有界收敛准则就是指一个序列是单调递增的且上界存在，那么这个序列就收敛。
定义设a n是一个序列，如果它是单调递增的，并且存在一个数b，使得a n<b（n=0，1，2…），则a n收敛，且极限为$\\mbox{sup}$a n。
同样地，如果一个序列是单调递减的，并且存在c，使得a n>c（n=0，1，2…），则a n收敛，且极限为$\\mbox{inf}$a n。
证明设a n是一个单调递增的序列，$b=\\mbox{sup}$a n，我们需要证明它是收敛的。
根据确界的定义，b是a n的上确界，即对于任意的$\\varepsilon>0$，存在一个n0，使得$a_{n_0}>b-\\varepsilon$。
因为a n是单调递增的，所以当n>n0时，有$a_n\\ge a_{n_0}>b-\\varepsilon$。
同时，由于b是a n的上确界，所以对于任意的n，都有$a_n \\le b$。
综上所述，对于任意的$\\varepsilon>0$，都存在一个n0，使得当n>n0时，$|a_n - b|<\\varepsilon$，故a n收敛，且极限为$\\mbox{sup}$a n。
同样地，若a n是单调递减的，并且存在$c=\\mbox{inf}$a n，则我们同样可以证明a n收敛，且极限为$\\mbox{inf}$a n。
应用范围单调有界收敛准则是判断序列收敛的一种简单有效的方法，常用于初等数学证明和分析中。
除此之外，该准则在实际中的应用也十分广泛，比如许多优化算法中都涉及到序列的收敛性。
唯一的不足是，它只适用于单调有界的序列，如果序列不单调或者无界，就无法使用该准则进行判断。
在这种情况下，我们需要使用其他的方法，如夹逼定理或柯西收敛准则等。
1-7存在准则两个重要极限
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1 1 ) 1.
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
7、 lim(1 x )2x _________. x x
8、 lim(1 1 ) x _________.
x
x
二、求下列各极限:
1、 lim 1 cos 2x x0 x sin x
2、 lim(tan x)tan 2x x 4
3、 lim( x a ) x x x a
4、 lim( n2 1)n n n 1
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
2、 lim sin 2x __________. x0 sin 3x
3、 lim arc cot x __________.
高数1 极限存在准则与两个重要极限
假设 xn xn1 ,
则 x n 1 a x n a x n 1 x n
即 xn单增.
x n 1 从而 1, xn
又 x n a x n 1 ,
2 则 xn a xn1 .
2 a x n 1 a x n a x n 1 1 a 1 xn xn xn a xn xn
即 A g( x) A .
2 0, 当 0 x x0 2时, 有 h( x ) A ,
即 A h( x ) A .
取 min{ 1 , 2 , 0 }. 当 0 x x0 时,
有 A g ( x ) f ( x ) h( x ) A ,
x 2 sin 1 cos x 2 Solution. x x x x 2 sin 2 sin 1 cos x 2 2 2 lim lim lim x x x 2 x 0 x 0 x 0
1 cos x lim x x 0 x x 2 sin 2 sin 2 2 2 lim x x 2 x 0
即 f ( x) A .
lim f ( x ) A.
x x0
x0 ,
x0 ,
x 注意：极限过程为“ x x0 ” (或 x x , x , x 等).
如果数列 xn , yn , zn满足 准则I’： (1) yn xn zn ( n 1, 2,)
1
四. 第二重要极限
1 x lim (1 ) e x x
下面分三步进行讨论.
(1)设x依次按自然数n变化，则函数为 1 n xn f ( n) (1 ) n n 1 n( n 1) 1 n( n 1) ( n n 1) 1 xn 1 2 n 1! n 2! n! n n
极限存在准则 重要极限
2.单调有界准则 单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 ≤ x 2 ⋯ ≤ x n ≤ x n + 1 ≤ ⋯ , 单调增加 x1 ≥ x 2 ⋯ ≥ x n ≥ x n + 1 ≥ ⋯ , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限
单调数列
几何解释: 几何解释
x1 x 2 x 3x n x n + 1
A
M
x
6
例2
证明数列 xn = 3 + 3 + ⋯ + 3 ( n重根
∴ {xn } 是单调递增的 ;
式)的极限存在 . 证 显然 x n + 1 > x n ,
∴ {xn } 是有界的 ;
又 ∵ x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k< 3 + 3 < 3,
2 2
, .
的 快
24
β ( 3) 如果 lim k = C (C ≠ 0, k > 0), 就说β是α的k阶的 α
无穷小.
定义: 定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0. β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说β 与α是同阶的无穷小; α β 特殊地 如果 lim = 1, 则称β 与α是等价的无穷小; α 记作 α ~ β;
17
思考题
求极限
1 x x
x → +∞
lim (3
x
+9
1 x x
极限存在准则两个重要极限17无穷小的比较资料
e
(2) (1 )
(3)互倒
1
注意： lim1 x x e, x
lim
x0
1
1 x
x
e
练习 1
1. lim(1 tan x)5cot x ;
lim [1 ( x)]( x) e
x0
( x )0 1
解 lim(1 tan x)5cotx lim [(1 tan x)tan x ]5 e5
若
lim
k
C
0,则称 是关于 的k 阶无穷小;
若 lim
1,
则称是
的等价无穷小,记作 或
~ ~
定理2 设当x x0 时 , ( x) ~ ( x) , ( x) ~ ( x)
且 lim x x0
( (
x)存在(
x)
或)
tg2x ~ 2x.
sin x
x
lim lim
x x x x
Q x 时，sinx 是无穷小，而 x不是无穷. 小
正确的解法如下.
sin x lim
x x
lim sin( x) x x
1
例2
求 lim tan x0
x sin x3
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
上述两个准则称为夹逼准则.
注: 利用夹逼准则求极限关键是构造出数列
yn 和 zn 并且他们的极限是容易. 求出且相等。
lim
第一节数列极限存在准则-3分析
am
| .
故数列{an
}收敛. 11
例5(P38) 证明 : 任一无限十进小数 0. b1b2 bn 的n位不
足近似(n 1, 2, )所组成的数列
b1 10
,
b1 10
b2 102
,
, b1 10
b2 102
bn 10n
,
(2)
满足柯西条件(从而必收敛),其中bk为0,1, 2, , 9中的一个数, k 1, 2, .
由定理2.9 知 lim n 及 lim n 1 存在 . n n 1 n n
实际上
n
n1
lim 1, lim 1.
n n 1
n n
4
例1( P 35)
设an
1
1 2
1 3
2. 证明数列{an }收敛.
1 n
，n
1,
2,
, 其中实数
例 证
证明：若an 1
0＝
1 2
0，N
1
2
N
1 n
，则数列{an
}发散.
，m，2m N，有
| a2m am |
1 1 m1 m2
1 2m
11 2m 2m
1 2m
m
1 2m
1 2
0.
故数列{an }发散.
柯西收敛准则的等价叙述(补充):
数,其值用e= 2.7182818284……)来表示，即
lim(1 1 )n e.
n
n
9
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第六节 极限存在准则 两个重要极限 ㈠本课的基本要求了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
㈡本课的重点、难点重点是两个重要极限，难点是用两个重要极限求极限 ㈢教学内容本节介绍判定极限存在的两个准则，并利用它们求出微积分中两个重要极限：1sin lim=→xxx 及 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim一．夹逼准则准则Ⅰ 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足下列条件：⑴),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ，⑵a z a yn n nn ==∞→∞→lim lim ,，那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。
证 因a z a y n n →→,，所以根据数列极限的定义，∃>∀,0ε正整数1N ，当1N n >时，有ε<-a y n ；又∃正整数2N ，当2N n >时，有ε<-a z n 。
现在取},max{21N N N =，则当N n >时，有ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，即εε+<<-a y a n ，εε+<<-a z a n 同时成立。
又因n x 介于n y 和n z 之间，所以当N n >时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即ε<-a x n 成立，这就证明了a x n n =∞→lim 。
上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限： 准则Ⅰ’ 如果⑴当),(0r x U x∈（或M x >）时，)()()(x h x f x g ≤≤ ⑵A x h A x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(,)(lim lim )()(00，那么)(lim)(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。
准则Ⅰ及准则Ⅰ’称为夹逼准则。
准则不仅告诉我们怎样判定一个函数（数列）极限是否存在，同时也给了我们一种新的求极限的方法：即为了求得某一函数的极限，不直接求（比较困难）它的极限，而是把它夹在两个已知（易求的）有同一极限的函数之间，那么这个函数的极限必存在，且等于这个公共的极限。
单调有界准则求极限常用不等式
单调有界准则求极限常用不等式以单调有界准则求极限常用不等式为标题，本文将讨论几个常用的不等式，这些不等式在求极限时非常有用。
不等式的应用可以帮助我们更好地理解极限的性质和计算方法。
我们来介绍一下单调有界准则。
单调有界准则是极限存在的一个重要判定准则。
它表明，如果一个数列是单调递增（或递减）且有上（或下）界的，那么它一定收敛。
这一准则在数学分析中经常被使用。
接下来，我们将介绍一些常用的不等式。
这些不等式在证明极限存在性和计算极限值时非常有用。
1. 夹逼准则：夹逼准则也称为挤压准则。
它是极限计算中常用的方法之一。
夹逼准则的基本思想是，如果一个数列在某个点附近被两个收敛的数列“夹逼”住，那么这个数列也会收敛，并且极限值与两个“夹逼”数列的极限值相等。
2. 柯西收敛准则：柯西收敛准则是判断数列收敛性的重要准则之一。
柯西收敛准则的基本思想是，如果一个数列对于任意给定的正数，存在一个正整数N，使得对于任意的n，m > N，数列的前n项和前m项之差小于这个正数，那么这个数列就是收敛的。
3. 单调有界准则：前面已经提到过单调有界准则是极限存在的一个重要判定准则。
这个准则的应用非常广泛。
当我们需要证明一个数列的极限存在时，可以利用单调有界准则来进行判断。
如果数列是单调递增且有上界的，或者是单调递减且有下界的，那么这个数列一定收敛。
4. 均值不等式：均值不等式是一类重要的不等式，包括算术平均不等式、几何平均不等式、调和平均不等式等。
这些不等式在数学推导中经常被使用，它们可以帮助我们推导出更复杂的不等式或者证明一些数学定理。
除了以上介绍的几个常用的不等式，还有许多其他的不等式在数学分析中也有广泛的应用。
这些不等式的使用可以帮助我们更好地理解和计算极限。
在实际问题中，我们经常需要通过求极限来解决一些复杂的计算或分析问题，因此熟练掌握这些不等式的应用对于我们的学习和工作都是非常重要的。
总结起来，本文介绍了以单调有界准则求极限常用的不等式。
高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限
二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
数列的单调有界准则
文档标题：聊聊数列的单调有界准则——让你一看就懂！正文：嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊一个数学里的好玩东西——数列的单调有界准则。
别一听“准则”俩字就头大，其实这玩意儿挺简单的，我保证让你一看就懂！首先，咱们得知道啥是数列。
数列嘛，就是一串数字按顺序排排队，比如1, 2, 3, 4, 5这样。
那么，啥是单调有界呢？别急，听我慢慢道来。
单调，就是这串数字要么一直往上涨，要么一直往下跌。
往上涨的叫单调递增，往下跌的叫单调递减。
比如说，1, 2, 3, 4, 5就是单调递增的，5, 4, 3, 2, 1就是单调递减的。
有界呢，就是这串数字有上有下，不能没完没了地涨或者跌。
比如1, 2, 3, 4, 5，最小是1，最大是5，这就叫有界。
那么，单调有界准则到底是啥呢？简单来说，就是一个数列如果既单调又有界，那它肯定会有一个极限。
啥是极限？就是这串数字一直往上涨或者往下跌，最后会越来越接近一个固定的数字。
举个例子，咱们班小明身高每年都比去年高1厘米，这就是一个单调递增的数列。
但是，小明总不能一直长个儿吧，总有个头吧？这个“总有个头”就是有界。
所以，小明的身高数列就是一个单调有界的数列。
最后，小明的身高会越来越接近一个固定的数字，这个数字就是他的极限身高。
好了，咱们再来总结一下单调有界准则的三个要点：1. 数列要单调，要么一直往上涨，要么一直往下跌。
2. 数列要有界，不能没完没了地涨或者跌。
3. 满足以上两个条件，这个数列就一定会有一个极限。
说了这么多，小伙伴们是不是觉得单调有界准则也没那么难懂呢？其实，数学里的很多知识都挺有意思的，只要你用心去发现，就能找到其中的乐趣。
好啦，今天咱们就聊到这里，下次再给你们讲讲数学里的其他好玩事儿！别忘了，数学其实挺有趣的，一起加油吧！。
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与xn+1比较，导出单调增加
适当放大，导出有界性
极限存在
1 yn (1 ) n 1 单减 n
记号
1 n e lim(1 ) n n
1 1 1 n 1 1 例 xn 1 (1) 2 3 4 n
试证 { xn }
有极限 （不是单调数列，考虑子列）
Chap 2.3
数列极限存在 的判别准则
2.3.1 夹逼准则
若 N , 当 n N , yn xn z n , 且 lim yn
lim z n A
n
lim xn A
n
n
注意
例
A =0 的情况
求下列数列的极限
n
10n (1) xn ; (2) xn n!
习题2 13 (1) (2) (3)* 14 15
2.3.2 单调有界数列极限存在准则
若数列{ xn } 单调增加且有上界，则 { xn } 有极限
这个数列的极限是哪个数？就找
想一想
到了证明方法
{ xn } 单调减少有下界也必有极限 例 考察 xn 2 2 2
2 xn (n 2), 例 设 x1 1, xn1 xn 1
（n重根号） 证{ xn }有极限且求之 Nhomakorabea
一个重要数列极限
1 n xn (1 ) , n
证明 (典型方法)
1 n 1 1 1 1 2 3 1 n xn (1 ) 1 Cn Cn 2 Cn 3 Cn n n n n n n
1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) 2! n 3! n n n! n n n
1 1 1 考虑 xn 1 是否有极限 2 3 n
H.W
习题2 16（1）（2）
17 (1)(2)(4)
补充题 2*
本节要点
掌握夹逼准则 运用这一准则往往需要适当放大、缩小
了解单调有界判别准则并能适当应用这一准 则的习题有时偏难，需要证明单调和有界， 做一定数目的习题逐步熟悉过程才能掌握
1n 2 n 3n
( 3 ) xn
n
14 24 n 4
(4) xn
1 1 1 1 ( ) n n 1 n 2 n n
n 2 n
x n f n ( x) 例 x 0, f n ( x) 1 x ( ) , 求 lim n 2
H.W