高中数学必修5课件：解三角形

sin B sin A cos B sinB cos A sin （A B）
B A B或B （A B） （舍去）
即A与B满足的关系为A 2B
本题启示
典 型 例 题
7 例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c ， 2 且 tan A tan B 3 tan A tan B 3，又ABC的面积为 SABC 3 3 ，求a b的值 2
解得 sin CAB
sin PAB
6 122 16
答：AB方向的方位角的正弦值为
6 122 。 16
本章知识框架图
正弦定理 解 三 角 形 余弦定理 应 用 举 例
课堂小结
1、正弦定理、余弦定理的简单应用； 2、利用正、余弦定理、三角形面积公式解
三角形问题；
3、解三角形的实际应用问题
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变 式 训 练
在ABC中，已知（a b c)(a b c) 3ab, 且2cos A sin B sin C, 试确定ABC的形状
变 式 训 练
在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c， tan C 3 7 （）求 1 cos C 5 （2）若CA CB ，且a b 9，求c 2
a : b : c sin A : sin B : sin C
余弦定理
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c a b 2ab cos C
2 2 2
推论 b2 c2 a 2 cos A 2bc a 2 c2 b2 cos B 2ac a 2 b2 c2 cos C 2ab
典型例题
例 在ABC中，a2 （ b b c），求A与B满足的关系
本题启示：由正弦定理、余弦定理进行边角转化
一般的，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式， 要多考虑用余弦定理；反之，若是遇到的式子含角的正弦和 边的一次式，则大多用正弦定理.
角称为该直线的方位角。方位角的取值范围为0°～360°
Q
P C
105o
v
B
45
o
10 4v
A
BC AB 解：由正弦定理得， sin CAB sin ACB
vt 4vt sin CAB sin120 o
61 3 cos CAB 8 8 sin PAB sin （CAB 45o） sin CAB cos 45 o cos CAB sin 45 o
得 tan （A B） tan A tan B 3， C 60o 1 tan A tan B
SABC
1 3 3 ab sin C ， ab 6 2 2
由余弦定理得：c2 a2 b2 2ab cos C
2 c2 （a b） 2ab 2ab cos C
C
方 向 角 方 位 角
A
B
图2
方向角和方位角的区别
北
南偏东45
o
西
东
45o
南
方向角
一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南
方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指 锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度.
方位角和方向角的区别
北
方位角120o
西
120o
东
南
方位角
从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平
三角形面积公式
1 s ab sin C 2 1 bc sin A 2 1 ac sin B 2
解决已知两边及其夹角求三角形面积
课 堂 练 习
（1）在ABC中，已知a 4，b 4 2，B 45o，求A （2）在ABC中，已知三边长AB=7，BC=5，AC=6，求 cos B
本章知识框架图
正弦定理 解 三 角 形 余弦定理
典型例题
例 在ABC中，a2 （ b b c），求A与B满足的关系
解
答
例 在ABC中，a2 （ b b c），求A与B满足的关系
解：由已知a 2 （ b b c） a 2 b2 bc，移项得：b2 a 2 bc
7 例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c ， 2 且 tan A tan B 3 tan A tan B 3，又ABC的面积为 SABC 3 3 ，求a b的值 2
解：由已知tan A tan B 3(tan A tan B 1)
由余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA，移项： 2bccosA=b2 a2 c2
2bccosA=-bc+c2， 2b cos A b c
由正弦定理：2 2RsinB cos A 2R sin B 2R sin C
2sinB cos A sin B sin C sin B sin （A B） sin B sin A cos B sin B cos A
代入计算得：a b
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本章知识框架图
正弦定理 解 三 角 形 余弦定理 应 用 举 例
求解三角形应用题的一般步骤：
1、分析题意，弄清已知和所求；
2、根据提意，画出示意图； 3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； 4、正确运用正、余弦定理。
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应用举例
某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后 立即测出该渔船在方向角为北偏东45o，距离10海里的C处， 渔船沿着方位角为105o的方向以v海里 / 小时的速度向小岛靠拢， 我海军艇舰立即以4v海里 / 小时的速度前去营救。设艇舰在B处 与渔船相遇，求AB方向的方位角的正弦值
必修5 解三角形复习 课件
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C ( R为三角形外接圆半径）
a a 2 R sin A (sin A 2 R ) b ) b 2 R sin B (sin B 2R c c 2 R sin C (sin C 2 R )