最短路径原理
一次函数综合—线段和差、存在性问题
一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。
连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；（2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)A，(3,1)B 的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(0,0)B．4(0,)7C．5(0,)7D．4(0,)5的值最大 .【原理4】作法作图原理在直线l 上求一点P，使的值最大 .作B 关于l 的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B＇ .PB PA－PB PA－PB PA－★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)B-，在x轴上存在点P到A，B两点的A，点(2,1)距离之和最小，则P点的坐标是．★★☆练习2．如图，直线34120+-=与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限x y内作正方形ABCD．若点P为x轴上的一个动点，求当PC PD+的长最小时点P的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3∆的周长最小时，求点E OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDEOA=，4的坐标()A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(3,0)★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A，(2,3)B-，点P为x轴上一点，当||PA PB-最大时，点P 的坐标为()A．1(,0)2B．5(,0)4C．1(,0)2-D．(1,0)★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A、(2,1)B，x轴上有一点P，要使PA PB-最大，则P点坐标为★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(6,0)，点P在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。
第05讲 最短路径(解析版)-2023-2024学年八年级数学上册同步学与练(人教版)
第05讲最短路径课程标准学习目标①最短路径的基本原理②最短路径的基本模型 1.掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，点到直线的距离最短。
2.掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。
知识点01最短路径的基本原理1.最短路径的基本原理：①两点之间，线段最短。
如图，②号线最短②点到直线的距离最短。
如图，PC最短。
③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。
如图，MN是垂直平分线，CA=CB。
知识点02最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短1.如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小：方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。
解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。
连接P’Q，P’Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。
证明：∵P与P’关于直线l对称∴直线l是PP’的垂直平分线∴MP＝MP’∴MP＋MQ＝MP’＋MQ＝P’Q。
∴MP＋MQ此时有最小值，为P’Q的长度题型考点：①基本作图。
②求值计算。
【即学即练1】1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点B．B点C．C点D．D点【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，∵M′N与直线l交于点C，∴点P应选C点．故选：C．【即学即练2】2．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：如图，连接CE，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∴EB＝EC，∴BE+EF＝CE+EF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC＝EF+BE＝CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD＝CF＝6，即EF+BE的最小值为6．故选：B．知识点03最短路径基本类型——角内一点与角两边构成的三角形周长最短1.如图，已知∠MON 以及角内一点P ，角的两边OM 与ON 上存在点A 与点B ，使得△PAB 的周长最小：方法点拨：分别作点P 关于OM 与ON 的对称点P ’与P ’’，连接P ’P ’’。
迪克斯特拉算法
迪克斯特拉算法
迪克斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）是一种常用的最短路径算法，用于在一个加权图中寻找从源节点到目标节点的最短路径。
它是一种贪心算法，它以最少的花费跟踪从源节点到其余各节点的最短路径。
迪克斯特拉算法的基本原理是：在一个加权图中，从源节点开始，首先把源节点标记为“已访问”，然后找出与源节点相连的节点，并把它们标记为“未访问”，接着找出与未访问的节点相连的节点，并把它们标记为“已访问”，直到到达目标节点为止。
这样，就可以确定从源节点到目标节点的最短路径。
迪克斯特拉算法的特点是它可以在线性时间内找到最短路径，因此在很多情况下，它是最佳的选择。
另外，它的实现也相对简单，并且易于理解。
迪克斯特拉算法并不能解决所有的最短路径问题，它只能处理有向无环图中的最短路径问题，所以在某些情况下，它可能会失败。
迪克斯特拉算法是一种非常有用的最短路径算法，它有许多优点，可以帮助我们在有向无环图中更加快速地找到最短路径。
中考专题复习——最短路径问题
word专业资料-可复制编辑-欢迎下载A B C DABABL A BCDDO CP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。
（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。
请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。
四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。
4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN第2题张村李庄张村李庄AABB第1题第3题图(2)EBDACP＋MN 的最小值为 。
第4题 第5题 第6题 第7题 5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。
Python中的最短路径算法详解
Python中的最短路径算法详解Python是一门高效的编程语言，其强大的算法库包含了许多经典的算法，比如最短路径算法。
最短路径算法是图论中的一个经典问题，它的目的是在图中寻找从一个指定顶点到另一个指定顶点的最短路径，即边权重之和最小的路径。
最短路径算法有很多种，其中比较常见的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd算法。
接下来我将分别介绍这3种算法的原理和Python实现。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中比较经典的一种，它采用贪心策略，通过每次选取当前离源点最近的节点来不断扩展路径，直至到达终点。
它的基本思路如下：步骤1：定义源点s到其它节点的距离数组dist[]，每当找到一条从源点可以到达的路径，就比较这条路径的长度和已知的最短路径长度，如果路径更短，就替换当前的最短路径长度，并更新终点节点的前一个节点。
步骤2：标记源点s为已经访问过的节点，将该节点入队，并在队列中取出此时距离源点最近的节点v。
步骤3：对所有与节点v相邻的节点w，计算出新的距离dist[s][w]，如果dist[s][w]小于已知的最短距离，就更新最短距离，并将节点w加入队列中。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到队列为空。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数，因此它适用于稠密图。
下面是Python中Dijkstra算法的代码实现：```pythonimport heapqdef dijkstra(graph, start):#初始距离和前驱节点dist = {start: 0}previous = {start: None}#所有未确定最短距离的节点放入堆中heap = [(0, start)]heapq.heapify(heap)while heap:(d, u) = heapq.heappop(heap)#如果已经处理过该节点，则直接跳过if u in dist and d > dist[u]:continuefor v, w in graph[u].items():#计算新的距离newdist = dist[u] + w#如果新距离比原距离更小，则更新距离和前驱节点if v not in dist or newdist < dist[v]:dist[v] = newdistprevious[v] = uheapq.heappush(heap, (newdist, v))return (dist, previous)#测试graph = {'A': {"B": 2, "D": 4},'B': {"C": 3, "D": 1},'C': {"D": 1, "E": 5},'D': {"E": 1},'E': {}}dist, prev = dijkstra(graph, 'A')print(dist) # {'A': 0, 'B': 2, 'D': 3, 'C': 5, 'E': 4}print(prev) # {'A': None, 'B': 'A', 'D': 'B', 'C': 'B', 'E': 'D'}```2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种适用于有向图的单源最短路径算法，它可以处理有负权边的情况，但是不能处理负环的情况。
费马原理求最短路径
费马原理求最短路径Fermat's principle, also known as the principle of least time, states that light travels between two points along the path that requires the least time, rather than the shortest physical distance. 费马原理，也称为最短时间原理，指出光在两点之间沿着需要最少时间的路径传播，而不是最短的物理距离。
This principle has important applications in various fields, including physics, engineering, and optics. 这个原理在物理学、工程学和光学等各个领域都有重要的应用。
In the context of finding the shortest path, Fermat's principle can be applied to the study of optical systems and the behavior of light. 在寻找最短路径的背景下，费马原理可以应用于光学系统的研究和光的行为。
By understanding how light behaves and travels through different media, engineers and scientists can optimize the design of optical instruments and systems for various applications. 通过理解光是如何行为并通过不同介质传播，工程师和科学家可以优化光学仪器和系统的设计，用于各种应用。
When applying Fermat's principle to the field of engineering, researchers can develop algorithms and computational methods tofind the shortest path for light propagation in complex environments. 在将费马原理应用到工程领域时，研究人员可以开发算法和计算方法，以找到光在复杂环境中传播的最短路径。
最短路径原理
最短路径原理最短路径原理什么是最短路径•最短路径是图论中的一个经典问题，旨在寻找两个顶点之间权值和最小的路径。
Dijkstra算法•Dijkstra算法是最短路径问题中一种常用的解法。
•此算法从起点开始，逐步确定到达其他顶点的最短路径。
Dijkstra算法步骤1.初始化–创建两个集合：一个用于存储已经找到最短路径的顶点，一个用于存储未找到最短路径的顶点。
–将起点加入已找到最短路径集合，其余顶点加入未找到最短路径集合。
–初始化从起点到各顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0。
2.寻找最短路径–选择未找到最短路径集合中，距离起点最近的顶点，将其加入已找到最短路径集合。
–更新与该顶点相邻的顶点的距离，若通过该顶点到达邻接顶点的路径更短，则更新距离。
3.重复步骤2，直到所有顶点都加入已找到最短路径集合。
示例让我们通过一个简单的示例来说明Dijkstra算法应用于最短路径的原理。
假设有一个无向图，顶点分别为A、B、C、D和E，边的权值分别为：AB(5)、AC(3)、BD(2)、CD(1)、DE(4)。
首先，我们从顶点A开始，初始化距离。
初始时，A到A的距离为0，A到B、C、D和E的距离为无穷大。
经过第一轮计算后，已找到最短路径的集合为{A}，未找到最短路径的集合为{B, C, D, E}。
此时，A到C的距离为3，A到B、D和E的距离依然为无穷大。
经过第二轮计算，选择距离A最近的顶点C，将C加入已找到最短路径集合。
更新距离后，A到B的距离为8，A到D的距离为4，A到E的距离为7。
重复以上步骤，直到所有的顶点都加入已找到最短路径集合。
最后得到A到B的最短路径为：A->C->D->B，权值和为7。
总结通过Dijkstra算法，我们可以找到两个顶点之间的最短路径，并计算出最小的权值和。
该算法从起点开始，逐步确定最短路径，直到所有顶点都被加入已找到最短路径集合。
使用这一算法，我们可以在实际应用中解决各种问题，比如路线规划、网络中数据包的传输等。
13.4 课题学习 最短路径问题
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而 作出最短路径的选择.
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
dijkstra算法最短路径
《求解最短路径：应用迪杰斯特拉算法》一、介绍Dijkstra算法的概念和基本原理Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra在1959年发明，用于求解从源点到其他所有结点的最短路径。
它的基本原理是：在一张图中，从源点到每一个结点的最短路径是从源点开始，经过最少的边到达每一个结点的路径。
Dijkstra算法的实现过程中，首先要建立一个有向图，该图由顶点和边组成，每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离。
然后，从源点开始，每次选择最小权值的边，继续查找下一个顶点，直到找到终点。
最后，将所有路径之和求出，即为源点到目标点的最短路径。
举例来说，假如有一张有向图，其中有A，B，C，D四个结点，以及AB，AC，BD，CD四条边，其中AB，AC，BD边的权值分别为2，3，1，CD边的权值为4。
如果要求求出从A到D的最短路径，则可以使用Dijkstra算法，首先从A出发，选择权值最小的边，即BD，则A-B-D的路径长度为3，接着从B出发，选择权值最小的边，即CD，则A-B-D-C的路径长度为7，因此，从A到D的最短路径为A-B-D，路径长度为3。
Dijkstra算法的优点是算法简单，实现方便，时间复杂度低，它可以用于解决路径规划，车辆调度，网络路由等问题，同时，它也可以用于解决复杂的最短路径问题。
因此，Dijkstra算法在计算机科学中有着重要的应用价值。
二、讨论Dijkstra算法的应用及其优势Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的算法，它的应用和优势非常广泛。
首先，Dijkstra算法可以用于解决交通路网中的最短路径问题。
例如，在一个城市的交通路网中，如果一个乘客要从一个地方到另一个地方，那么他可以使用Dijkstra算法来查找最短的路径。
这样可以节省乘客的时间和金钱，也可以减少拥堵。
此外，Dijkstra算法还可以用于解决计算机网络中的最短路径问题。
最短路径问题 ppt课件
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图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
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图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
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1、对如下有向赋权图，给定起点0和终点5，试用Dijkstra算法求这两点间的最短路径及最短距离
这样答：
1、标记起点0，设p（0）=空；d（0）=0
2、从距离矩阵L中读取0到各点距离值：d（1）=∞,d（2）=10，d（3）=∞，d（4）=30，d （5）=100；p（1）=空，p（2）=0，p（3）=空；p（4）=0，p（5）=0
3、取最小距离D，mind=10，标记点2，记d（2）=10；p（2）=0
4、重新计算0点到其它未标记点的最短距离：
d（1）=min｛d（1），d（2）+L（2，1）｝=｛∞，10+∞｝=∞p（1）=空
d（3）=min｛d（3），d（2）+L（2，3）｝=｛∞，10+50｝=60p（3）=2
d（4）=min｛d（4），d（2）+L（2，4）｝=｛30，10+∞｝=30p（4）=0
d（5）=min｛d（5），d（2）+L（2，5）｝=｛100，10+∞｝=100p（5）=0
5、取最小距离D，mind=30，标记点4，记d（4）=30；p（4）=0
6、重新计算0点到其它未标记点的最短距离：
d（1）=min｛d（1），d（4）+L（4，1）｝=｛∞，30+∞｝=∞p（1）=空
d（3）=min｛d（3），d（4）+L（4，3）｝=｛60，30+20｝=50p（3）=4
d（5）=min｛d（5），d（4）+L（4，5）｝=｛100，30+60｝=90p（5）=4
7、取最小距离D，mind=50，标记点3，记d（3）=50；p（3）=4
8、重新计算0点到其它未标记点的最短距离：
d（1）=min｛d（1），d（3）+L（3，1）｝=｛∞，50+∞｝=∞p（1）=空
d（5）=min｛d（5），d（3）+L（3，5）｝=｛100，50+10｝=60p（5）=3
9、取最小距离D，mind=60，标记点5，记d（5）=60；p（5）=3
此时标记点为终点，算法结束，根据p数组所记录的点倒推得最短路线为：
P（5）=3----〉p（3）=4-—〉p（4）=0，即0---4----3----5，最短距离为60。