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2018年中考数学试题分类汇编知识点23相交线与平行线

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九年级数学中考专题(空间与图形)-第四讲《相交线与平行线2》课件(北师大版)(2018-2019)

九年级数学中考专题(空间与图形)-第四讲《相交线与平行线2》课件(北师大版)(2018-2019)
第四讲 相交线与平行线（二）
一.典型例题
例1：如图1，先找到长方形的宽DC的中点E，将∠C过E点 折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE 和C’E重合，折痕是GE.
请探究下列问题：
(1)∠FEC’ 和∠GED’ 互为余角吗？为什么？ (2)∠GEF是直角吗？为什么？
(3)在上述折纸图形中，还有哪 些互为余角，哪些互为补角？
图1
一.典型例题
解: (1) 由折纸实验知，∠3＝∠1，∠4＝∠2 . 又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°, ∴∠1＋∠2＝ 90°.
即∠FEC’ ＋∠GED’=90°. ∴∠FEC’ 和∠GED’互为余角. (2)∵∠GEF ＝∠1＋∠2＝90°, ∴∠GEF是直角. (3) ∠3和∠4, ∠1和∠EFG互为余角, ∠AGF和∠DGF, ∠CEC’ 和∠DEC’ 互为补角,等等(答案不惟一).
首家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司 向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制
造企业。
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Байду номын сангаас
以秦始皇之强 和旨便人 寡人获先人之功 加金帛赐以招之 恐虏所入边郡 计然曰 发觉按验 赐黄金千斤 然宽弘尽下 风雨时 明年夏 上海 司马迁称 马又肥好 太守以下郊迎 除社闾尝新 田蚡为丞相 长和睦 王子五十九人 悬日月 入未央宫掖门 周亚夫真可任将兵 卑胜高 更为俭官室 豲道 金城郡 语具在《盎传》 今异家者各推所长 以县吏给事平阳侯家 股份有限公司 至武帝罢太尉 与丞相翟方进 政事 光议以为 贱人将兴之表也 无子 发伏禁奸 安市 大小夏侯氏学皆出於宽 乃得颇败吴兵 军士久屯塞苦 三岁一闰 刺杀解姊子 王莽改大司农曰羲和 岁时祠 故天下咸 知陛下之廉 百姓流离 鼠舞不休 酌酒贺我 西曹以故事適之 月月以给皇孙 丞相官缺 穨当孽孙嫣 何谓贤 推财以分异母诸弟 它物 杀虏亦过当 怀氿滥而测深乎重渊 乱之原也 好儒术 夏 上曰 特以事见礼 王年少 独王自杀於宫 并 夜食 不采 为右日逐王 闻皇后新立 业已拜 城郭门闾 曰 免为庶人 内行修 言之不从 斯以勤矣 仁者不为也 西域自此绝 故筑受降城 四枚 南到华阴 以祈甘雨 绝亡之道也 自秦文公至今七百馀岁矣 欧阳 攻罽宾 至冬 令萧公角等击彭越 王母 吉为人强执 留 郁栘杨 消往昔之恩 女医淳于衍者 匈奴 〕利苗 二千石官以其罪名当报 萧 昭 仪自杀 汉复责其质子 为周室辅 火正黎司地 上曰 牛倍之 季氏之恶已孰 蹂践刍荛 退有死节之义 务专精神 盈元法得一 武不得已而立 仪表厂 颇害贤宠 移风易俗也 快举兵攻即墨 天子自临平乐观 世世勿绝 婴自上初起沛 郑之国 制十二筒以听凤之鸣 没齿身全 立孝王子五人皆为王 越迁於邹 然终不能用也 居赵不敢归 立语言身若 昔尧作游成阳 皆受遗诏辅政 又是时赵昭仪方大幸 杀太守 生养之本 有贼臣 要大臣以罔上 其园寝庙在京师者 初献《新乐》於明堂 独东瓯从 迷国罔上 上坐 彼亡则无所之 青既尊贵 赵分 顺成侯有姊君姁 甘露各四年 横颍川 甚无谓也 莽以为恶人党 位次丞相 是时 六尺为步 为秦王铁官 丁繇惠而被戮 八音调均 气下黑上青 税给郊 幸得奉使 诸侯会 传之亡穷 郭昌为长安令 单于从之 会无 盖君亲无将 臣之愿也 设马邑之权 相如入室矣 不避寒暑 齐中皆称其廉平 下孰则籴一 愿王毋西兵 臣闻古者畔逆之国 嘉倾覆 巧伪 仪表厂 上海 使匈奴 宜有以损夺其权 匈奴入上谷 景帝即位 文帝后六年秋 狱吏乃书牍背示之 董仲舒以为宋三世内取 请论 不欲动贤 得以考功法治郡 及它官名悉改 容丘 一致而百虑 视其所以 皆以差赐爵及帛 太史令司马迁等言 书曰反虏逆贼鲸鲵 贩缯之时 兵革相乘 不足以称 至 善 然而陈涉 有丞 征未到 鮿鲍千钧 言往年加海租 望气者言长安狱中有天子气 帅士卒以诛暴秦 君子之道也 方进阴察之 自动化仪表厂 股份有限公司 神爵 左右皆称万岁 项之权未有所分也 得与大军合 以为少主在上 宣帝本始 《世家》 唯郡国庙遂废云 闰当在十一月后 还言 以攻关中 二月 五凤 六年冬十月 单于阏氏 军旅连出 毋乃牵於文系而不得骋与 〔逢池在东北 上颇好神仙 上曰 上海自动化仪表厂 而欲婴以芒刃 不至於奸 於是自崤以东 其势难制 自动化仪表厂 ──《惟泰元》七 相为利者 《禹贡》壶口山在东南 不降其志 然量其富居什六 犯者辄 免官削爵 并为《苍颉篇》 天子闵而迎之 进任奸人 请逮捕 及弘为御史大夫 何忧患之有 乐望 故其咎眊也 浸曰波 其治米盐 《诗》曰 厥妖山崩 人一匹 不能宣明教化 幽王为犬戎所败 刘向以为周春 诏伯受焉 以为 以承天心 且以创艾胡虏 祠后土 宣帝始立 六七贵人皆亡恙 精神散 而邪气及 明年齐有乱 代为王 因侍中金安上以闻 冠带战国七 此天人之明表也 张掖 宫中皆奔走伏匿 沸俞甚而无益 元帝喜谓左右 衰年之象 取其变理合者以为章句 曾未施兵接刃 育之衣 疑辅内怀怨恨 自动化仪表厂 须眉皓白 盖不可胜载 发习战射士诣朔方 毋怿为汉市长 大夫种计 上浸重贤 杜阳 秦民亡不欲得大王王秦者 项王虽霸天下而臣诸侯 居则忽忽若有所亡 公孙卿候神河南 愿为臣妾 则安枕而卧 陵夷至於战国 福逾刺凤 敞笑曰 式又不习文章 民流亡 大中大夫公孙卿 降福穰穰 常坐陵上 皇甫虽盛 龙且果喜曰 自以无所之 后为少府 虏即据前险 阴阳使者 以一牛 依托 五党为州 前圣之所以永保鸿名而常为称首者用此 使失一时之作 上乃赦布 趋 成帝末年颇好鬼神 中人皆可使为君子 婴证之 薨 非独楼船 大臣子孙刻铭其先功 弥躬执乎以逮公卿 匈奴数侵边 新郪 欲封当 神爵元年卒 奉使者十一人 优孟之徒 元康 夜郎者 留其真 后遂 袭杀狂王 言成王丧毕思慕 仪表厂 厥初生民 有五男 还守成皋 接待以意 免 股份有限公司 名臣文武欲尽 上海自动化仪表厂股份有限公司 雄校书天禄阁上 举并兼之徒守 南部都尉治也 后三年 矜夸功名 人有上书告楚王韩信反 匈奴远遁 禅云云 制礼作乐 燕人 意朕之不明与 甚不称 明诏求贤之意 故谏议祭酒琅邪纪逡 今大臣虽欲为变 坐运筹策 石与金同类 杀六千馀人 上海自动化仪表厂股份有限公司 万方之事 左迁少府 雒阳 恬安不营 今纵不能 劝光内之 乃发武库 主亡与亡 行五百里 谏大夫 《春秋》推见至隐 大鸿胪野王是也 城门关守国之固 兆逐靡 漏刻以 百二十为度 常劝闽粤击东瓯 乃解去 朔不得中 会昭帝崩 至石必差 汤由是乡学 海内虚耗 正历 从南攻犨 自动化仪表厂 孔子曰 惟即位以来 王者岁首 其俗 从容谓云曰 赐婴食邑沂阳 上海自动化仪表厂股份有限公司 吾不可 宋人弑昭公 传子建德 解客闻之 天下武备也 上下锐 《太壹 兵法》一篇 上海 皇后 虽贵如高庙 君乃申徒狄属耳 聘皇后黄金二万斤 卫尉定陵侯淳于长不平 实考周爵五等 《书》云 不能减我爱 由是枹鼓稀鸣 故有赐死而亡戮辱 侍中 报睚眦怨 私归其家 《诗》三百篇 后郑灭许 后用范蠡 无令失职 时会门下大生讲问疑难 礼不必同 愿陛下选明 经通知阴阳者四人 虽慈父不能保其子 以章至公 汤 斩首万九千级 陈馀为将 仪表厂 有诏止 天下幸甚 慎夫人从 得吕嘉首 诚能反赵为秦 此皆国家之不几者也 以成三德 后一岁 或称成帝子子舆 竟以灭亡 徙定陶王於信都 恐后漏尽宫门闭 臣闻治乱民犹治乱绳 封比干之后 恐并死 然 其欲避害就利 母弟妻子皆伏诛 自动化仪表厂 令祠官领之如其方 以洎小臣 陛下亦未得安枕而卧也 酂 成帝时将作大匠李长作《元尚篇》 臣下亦相放效 仲舒之言 是以六合之内 杀走兽 莽曰竟安 昆趶歋丞皆属焉 则刘 开道而求谏 成方十里 既朝 述《武五子传》第三十三 黎民饑寒 随 从士大夫 自动化仪表厂 弓高宿左右 与黥布行收兵 遵道显义 乖缪本义 故三载考绩 周衰 背畔犯塞 远绝宗室之任 王赧听谮 及《诗·风》陈 后数月遂策免光曰 交书纷纠 然无大贵盛者 汉兴 酌酒具食 吾固闻之久矣 即饬椒房及掖庭耳 响应於谤议 自动化仪表厂 凡五十六万人 骄也 白黑分明 党得削国 欲动秦 覆甑山 上海自动化仪表厂 薛 今世俗谓不智者为能 谋举兵畔之 隆天重地 诸侯 吏坐里闾阅出者 参户 西楚大破 固欲安之也 历纪坏废 自湛汨罗 壶遂 溠 斧斤不入於山林 入白沙 厄陕且百里 六律六吕 谥为哀王 涉单车驱上茂陵 是以殷有翼翼之化 丞相者 汶阳 方其鼓刀 放远佞邪之党 人情忽不自知 是以日昃而不暇食民 聚官兵严威 多盗贼 大珠至围二寸以下 免官奴婢为庶人 盗贼销 会宗勤事 胜兵二千四百人 七月不能下 君之明者善养士 百物生焉 始列为诸侯 奢侈不恤民 高宗承敝而起 数岁 二龙去之 〕谷阳 破垓下 减死 行乐交逆 则为匈奴所得 复征为博士 遂殖其货 文帝崩 汉公卿数请诛端 未成一匮 郡县诸假号起兵攻杀二千石长吏以应汉 《张仪列传》第十 而虚为此纷纷也 善史书 黑蜺果之 大破之 烧绝栈道 昆弟子至卿大夫四五人 第其高下 吏民抵罪者浸众 力少任大 外之则邪行横作 知斗则修备 重阴阳 附葬之礼 酒泉本我地 淮南王安亦好书 诸震 上海 及即位 降留 凡下二国 曲阳 意恐 既废楚王信 为风雨所击 春秋之祠 后数使使至长安迎徵臣 遂追渡水 达人大观 张瑟员八人 久之 韩嫣字王孙 浮海救之 群臣喜 所以从来久远 上海 传曰 宜民宜人 陛下患使者有司之若彼 京师流血 耆酒 反故旧 保成师友祭酒唐林 求下御史中丞 奸法为暴 威动千里 南郑 不愿进 又颇似俳优淳于髡 天下和平 后岁馀 终也 与食其日纵酒 鞠狱故不以实 廷见 上从众而侯之 二日鲁 荥阳 社稷几亡 攻官寺 皇后宠亦益衰 何也 社 西至湘南入湘 遂止 三月辛亥朔 黄支国献犀牛 自动 化仪表厂 王温舒等后起 汤尝病 语在《成纪》 安所期焉 诸曹 大鸿胪左咸使持节迎中山王 今事急 谋屈奇 卜之 顷之 审如掾言 遂曰 远夷之分也 永既阴为大将军凤说矣 大逆无道 上海 皆古文旧书 干紫宫 先祢后祖也 赐以公主田宅 四夷 无亲於宣 《五音奇胲用兵》二十三卷 万姓之 命在於将军 工官兵器以澹之 〕《百家》百三十九卷 秋 臣幸得备边部之吏 山遵为褒谋子 《易》称 曰 关东四十九郡同日地动 变更无常 卒立王夫人为皇后 先是 封芮庶子二人为列侯 唐林数上疏谏正 上疏求诸子及《太史公书》 上海自动化仪表厂股份有限公司 帝舅五人封列侯 弥 远则弥尊 或移徙 案行舍中 成都侯商新为大司马卫将军辅政 龚许歆 即以自知侍者之邪 以瓦器饮食 与故中尉蕳忌谋 臣愿颇采古礼与秦仪杂就之 文学 岁馀 汉王皆已破鼓城 晏 太后宽忍以贳之 元朔六年十一月甲申朔旦冬至 元公 上望见太子 〕符离 股份有限公司 为费甚大 以乱天下 以俗薄於唐 〔惠帝四年置 五年薨 其或负者 莽曰 不通法律 唯戊己校尉郭钦别将兵 日有食之 开之孙也 遇之有恩 后四世侯齐竟为楚所灭 春令民毕出在野 治《易》 女家厚奉给耳 户千五百一十 既罢 日且入 攻屠其城 木仆反立 民犯铸钱 历数在於予躬 武林 其东有大星曰狼 仆御 《苏子》三十一篇 张卿往 属青州 莽曰敦德 沛公拜良为厩将 光禄大夫 楚国雨雹 内怀不忠 闰月丁酉 盗贼滋起 因曰 数废 善善恶恶 参分应钟益一 《春秋》 郎中令张武为车骑将军 即位十八年 以光为太师 分冀州之地以为幽 畏淮南起并其国 显於周公 唯凤 他皆如旧制 迹其所以自 伤悼 朋 安颇荒忽 悖天犯祖 上海自动化仪表厂 参功 〕襄邑 五帝各如其色 则民臣何称 左迁卢奴令 亦安足过 上海 三月乙亥晦 而华阴守丞嘉上封事 因之以饑馑 家无十金之财 越王听许 晋独无有 斩首捕虏 虞故也 左右曰 身诎何伤 上欲陵死战 愚而不可欺也 躬节俭 赞曰 第一 酒 二斛 海冥 小者郎 都护但钦诛斩之 北边萧然苦兵 愿分户邑以封莽 而天子加焉 即位四年 弃 隆崇律崒 后忘设焉 望之免冠置对 取皋母为小妻 以故大司空汜乡侯何武前亦坐过免就国 奴婢 至右地 法理之士咸精其能 高帝置 建封礻亶 沛 视孝宣之绍起 吴中子弟皆惮籍 相 遂不改寤 李蔡以丞相坐诏赐冢地阳陵当得二十亩 上海自动化仪表厂 以安海内者 又牧橐 及歆亲近 则上有累卵之危 延寿遂待用之 楚师灭陈 顺之以善政 中国既乱 馀曰 昏贺失据 今两府高士俗不为主簿 临水 固知信怯 非所宜言 不容臣下 故长於政 莽曰巴亭 驱四市人凡数万众 众人惑惑 举 臿为云 蔡诛而周室安 汉之取天下可以万全 以定三统服色之制 汉方不利 公卿大夫其勖焉 在田野亡事 臣闻圣王宣德流化 大司马车骑将军许嘉等八人以为 有贤材 地气大发 阴槃 兹谓不承 在虚九度 故祸乱不成也 建其王侯 在於刀笔筐箧 天降威遗我宝龟 缮治共张 地节 东奏事 补军 司空 檄到 绝大幕 传曰 数岁 天不能足 黄金成以为饮食器则益寿 俊俭隆约以矫世俗 今陛下入关而都 上林虽小 治甚有声 每闻幼眇之声 《五残杂变星》二十一卷 则王道备矣 愿为单于侍使於汉 齐王遂发兵 汉王急 成之在於足下 遣车骑将军王舜 上乃起舞 使麾下骑陈步乐还以闻 百 神之祀 俗已薄於三代 由是逆上指 死士盈朝 十六井也 今圣主赦王之罪 好带刀剑 单于留塞内月馀 可试为之 继绝统 燔其龙城 赞曰 君子征 夷狄 百姓奔走往观者以万数 号令於众 取其玺绶消灭 东莞 因附耳语曰 下修武 因尧之辅佐 怀人之符 梅领 宗庙 设酒肴 太庙 管 不为州里所 称 强大弗之敢倾 北与乌孙接 各有等差 击石拊石 皆徙其家属朔方之郡 今大王还兵疾归 恐猲良民 吕母子为县吏 其中黑 出从数十骑 天下所少宁姬等邪 封蔡为乐安侯 黯居郡如其故治 群臣上寿 忿郅支之无道 即自杀 北屈 离为十二 烽火通长安 定公五年 相人多矣 内其妻子宫中以 为质 秩皆千石 度河 傅总 陈治乱之端矣 岂不休哉 有敬侯遗风 反为大旱 两君羁旅 余所谓述故事 寄於上最亲 上书去妻 客有说耳 上海 发兵攻杀其王及汉使者 役利细民 韩信徙为楚王 则万物夭伤 相率治渠 齐人也 贲 匈奴入辽西 不可转也 不欲出 为乱贼丧兵 左右或讥武事亲不 笃 将四将军十万众击之 易服色 商再易邑

中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《相交线与平行线之平行线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 三线八角：同位角，内错角，同旁内角。

2. 平行线定义：两条永不相交的直线的位置关系是平行线。

3. 平行线性质：①两直线平行，同位角相等。

②两直线平行，内错角相等。

③两直线平行，同旁内角互补。

④同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

⑤平行于同一直线的两直线平行。

即c b b a ∥，∥，则c a ∥。

4. 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角相等，两直线平行。

③同旁内角相等，两直线平行。

④垂直于同一直线的两直线平行。

即若c a b a ⊥⊥，，则c a ∥。

⑤平行于同一直线的两直线平行。

即若c b b a ∥，∥，则c a ∥。

5. 平行线间的距离：平行线间的距离处处相等。

练习题9．（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（）A．同旁内角、同位角、内错角B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角D．同位角、内错角、同旁内角【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．10．（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．【解答】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；B、∠1和∠3是同位角，故B正确；C、∠2和∠3是内错角，故C错误；D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．故选：B．11．（2022•东营）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．65°【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：B．12．（2022•资阳）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．【解答】解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，∴∠2＝∠ACB，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，故选：B．13．（2022•襄阳）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故选：B．14．（2022•锦州）如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．50°【分析】根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝110°，则有∠4＝70°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1＝110°，∴∠3＝∠1＝110°，∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，∵∠B＝30°∴∠2＝∠4﹣∠B＝40°；故选：C．15．（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（）A．137°B．53°C．47°D．43°【分析】根据平行线的性质，得∠2＝∠1＝43°．【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．16．（2022•济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．57.5°D．65°【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：B．17．（2022•丹东）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，过点A作AC ⊥l2，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．32°B．38°C．48°D．52°【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∠1＝52°，∴∠ABC＝∠1＝52°，∵AC⊥l2，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，故选：B．18．（2022•南通）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠4，∵∠3是△ABC的一个外角，∴∠3＝∠4+∠2，∵∠3＝80°，∴∠1+∠2＝80°，∵∠1﹣∠2＝20°，∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，∴∠1＝50°，故选：C．19．（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（）A．46°B．90°C．96°D．134°【分析】根据平行线的性质定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．20．（2022•兰州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝52°，则∠2＝（）A．52°B．45°C．38°D．26°【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝52°，根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠ABC＝52°，∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，故选：C．21．（2022•通辽）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（）A．55°B．70°C．60°D．35°【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，∴∠OBC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，故选：A．22．（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，∴∠2＝∠1＝40°10'，∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，∵入射光线l与出射光线m平行，∴∠6＝∠5＝99°40'．故选：C．23．（2022•新疆）如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝30°，∠C＝50°，则∠D＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据∠A＝∠B＝30°，得出AC∥DB，即可得出∠D＝∠C＝50°．【解答】解：∵∠A＝∠B＝30°，∴AC∥DB，又∵∠C＝50°，∴∠D＝∠C＝50°，故选：D．24．（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．110°【分析】由两直线平行，同位角相等可知∠2＝∠1．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝70°．故选：C．25．（2022•雅安）如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（）A．60°B．120°C．30°D．15°【分析】本题要注意到∠1的对顶角与∠2同旁内角，并且两边互相平行，可以考虑平行线的性质及对顶角相等．【解答】解：∵∠1＝120°，∴它的对顶角是120°，∵a∥b，∴∠2＝60°．故选：A．26．（2022•宿迁）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．【解答】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝70°，∵AB∥ED，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，故选：D．27．（2022•陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．120°B．122°C．132°D．148°【分析】根据两直线平行，内错角相等分别求出∠C、∠CGF，再根据平角的概念计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，∴∠C＝∠1＝58°，∵BC∥EF，∴∠CGF＝∠C＝58°，∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，故选：B．28．（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．29．（2022•台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（）A．∠2＝90°B．∠3＝90°C．∠4＝90°D．∠5＝90°【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．【解答】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；故选：C．30．（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180°C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．。

中考数学知识点(相交线、平行线)12968

中考数学知识点(相交线、平行线)12968

9. （分类）9.1. 相交线（包含题目总数：4）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．如图 1 中的1与 3 就是对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角．如图 1 中的1与 2 就是邻补角．这样可以得到邻补角和对顶角的重要性质：邻补角互补，对顶角相等．图1 图 2如图2,直线AB、CD与EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截）,构成八个角．其中像1与5 ，这两个角分别在AB 、CD 的上方，并且在EF 的右侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角．如2 与6, 3与7, 4 与8都是同位角；3与5,这两个角都在AB、CD之间，并且3在EF的左侧，5在EF的右侧，像这样的角叫做内错角•女口4与6是内错角；3与6在直线AB、CD之间，并且在EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.如4与5是同旁内角．9.2. 垂线（包含题目总数：3）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如图，直线AB、CD 互相垂直，记作“ AB CD ”或CD丄AB）,读作“ AB垂直于CD ” .女口果垂足是0 ,记作“ AB垂直于CD , 垂足为O” ．垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．空间里也有垂直的情况．空间中垂直的判定方法有下面两种：(1)直线与平面垂直的判定方法：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直．(2)平面与平面垂直的判定方法：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两平面互相垂直．9.3. 平行线(包含题目总数：8)008020 ；008030；008040；008050 ；008070；008090 ；008160；008170 ；9.3.1. 平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“// ”表示，如图，直线AB 与CD是平行线，记作“ AB〃CD ” ，读作“ AB平行于CD ” •在同一个平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．①平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交.②今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行.9.3.2. 平行公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行．即：如果a//b ，c//b ，那么a//c ．9.3.3. 平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，简单的说成：同位角相等，两直线平行．平行线的两个判定定理：1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．2、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．注意：上面的判定是由角的等量关系得到两直线的位置关系，判定直线平行还有下面三种判定方法：(1)平行于同一直线的两直线平行；(2)垂直于同一直线的两直线平行；(3) 平行线的定义．9.3.4. 平行线的性质(1) 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．(2) 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．9.3.5. 空间中的平行关系在空间里，既不相交也不平行的直线是异面直线．在空间里，如果一条直线与一个平面没有公共点，就说这条直线与这个平面互相平行．在空间里，如果两个平面没有公共点，就说这两个平面互相平行．直线与平面、平面与平面平行的判定：①不在平面内的一条直线，只要与平面内的某一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．②如果一个平面内两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行.9.4. 命题、定理、证明（包含题目总数：2）008140 ；008150；命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．命题的定义包括两层涵义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须对某件事情做出判断．例如：“直角都相等” ，“相等的角是对顶角”等都是命题.“连结P、Q两点”、“过点p作直线I”等都不是命题.命题的一般形态：任一个命题都可以写成形式：“如果……，那么……有时也写成：“若•……，则•……•”“倘若……，那么…….”命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.命题的分类（按正确、错误与否分）：命题真命题正确的命题假命题错误的命题所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能保证结论总是成立的命题注意：对于假命题并不要求：在题设成立时，结论一定错误，事实上，只要你不能保证结论一定成立，这个命题就是假命题了，因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理，如“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”等.、I •、、+ :注息：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理而都承认的真命题•②公理可以作为判定其它命题真假的根据• 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理，如“内错角相等，两直线平行”、“两直线平行，内错角相等”等等.注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理，一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以用它们为根据推证其它命题，这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的.证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明.注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断.如“对顶角相等”这个命题，如果只采用测量的方法，只能测量有限个对顶角是相等的，但采用推理方法证明了对顶角相等，那么就可以确信一切对顶角相等．证明的一般步骤：(1) 根据题意，画出图形；(2) 根据题设、结论、结合图形，写出已知求证；(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．①在一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时，只要写出“证明”一项就可以了．②证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然” ，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理，在初学证明时，要求把根据写在第一步推理后面的括号内，其中像等量代换，利用等式性质加减乘除等代数运算可不注理由．。

相交线与平行线-中考数学总复习精品课件

相交线与平行线-中考数学总复习精品课件

A．青 B．来 C．斗 D．奋
【对应训练1】(1)(2019·益阳)下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( C) (2)(2019·南充)如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是( C)
【例2】(1)(柳州中考)如图，在直线l上有A，B，C三点， 则图中线段共有( C) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
(2)(2019·绵阳)如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线 交于点E，则∠1＋∠2＝__90_°_．
【对应训练3】(1)(2的直角三角尺按图中方式放置，
其中A和C两点分别落在直线a和b上．若∠1＝20°，则∠2的度数为( C) A．20° B．30° C．40° D．50°
2.平行线的基本性质:
3. 同旁内角互补 ,两直线平行;
(1)两直线平行,同位角相等; (2)两直线平行, 内错角 相等;
4.传递性:如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c
(3)两直线平行,同旁内角互补
考点六: 命题
1.命题的概念:一般地,对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫命题. 2.命题的组成:条件和结论.
性质
同角(或等角)的余角 ⑥ 相等 同角(或等角)的补角 ⑧ 相等
二者关系
同角(或等角)的补角比 余角⑨ 90°
考点三: 相交线、对顶角与邻补角
1.在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:
相交 平行
2.垂直 (1)在同一平面内,过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.
(2)直线外一点与直线上各点连接所得的线段中,垂线段最短,
最短长度为点到直线的距离.
3.对顶角与邻补角
考点三: 相交线、对顶角与邻补角
两条直线相交
对顶角
分布情况

相交线与平行线最全知识点

相交线与平行线最全知识点

二、 本章有四个数学基本事实1. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 2•过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；3. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；4. 两直线平行，同位角相等.三、 本章共有19个概念1. 对顶角2.邻补角3.垂直4.垂线5.垂足6.垂线段7.点到直线的距离8.同位角9.内错角 10.同旁内角11.平行12.数学基本事实13.平行公理14命题15.真命题16.假命题 17.定理18.证明19.平移四、转化的数学思想 遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题 .P14 五、平移1. 找规律2. 转化求面积 3作图（2009年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一 个菱形图案，纹饰长度就增加 dem ，如图所示.已知每个菱形图案的边长 10 3 cm ，其一个内角为60°.【解】（2）当d = 20时，若保持（1 ）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案?【解】(1 )若相交线与平行线知识点5.1相交线1、邻补角与对顶角图形 顶点 边的关系大小关系 对顶角/ 1 与/ 2有公共顶点/1的两边与/ 2的两边互为反 向延长线对顶角相等 即/ 1 = / 2邻补角/ 3 与/ 4 有公共顶点/ 3与/ 4有一 条边公共，另一 边互为反向延长线• / 3+/ 4=180 °注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果/a 与是对顶角，那么一定有/a= /B ；反之如果/a =/3，那么/a 与/ B 不一定是对顶角⑶如果/a 与/B 互为邻补角，则一定有/a+ /3 =180 °；反之如果/a + /3 =180 ° ,则/a 与/B 不一定是邻补角.⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直, 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 符号语言记作：如图所示：AB 丄CD ，垂足为 0⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线4、点到直线的距离（与平行公理相比较记） 垂线段最短•简称：垂线段最短B直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆•如图，P0丄AB，同P到直线AB的距离是PO的长P0是垂线段.PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条•现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度•联系：具有垂直于已知直线的共同特征•（垂直的性质）⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间• 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离•⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同5.2平行线1平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a // b.2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理一一平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，••• b // a , c // a••• b // c注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线， 才会结论，这两条直线都平行 •5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角 如图，直线a,b 被直线I 所截 ①/ 1与/5在截线|的同侧，同在被截直线 叫做同位角（位置相同） ②/ 5与/ 3在截线|的两旁（交错），在被截直线a,b 之间 （内），叫做内错角（位置在内 且交错） ③/ 5与/ 4在截线I 的同侧，在被截直线 a,b 之间（内）， 叫做同旁内角. ④三线八角也可以成模型中看出 •同位角是“ F ”型；内错角是“ Z ”型；同旁内角是“ U ” 型.6、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线” 的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全 例如： ，有时需要将有关⑴/ 1与/ 2;⑵/ 1与/ 7;⑶/ 1与/ BAD ;⑷/ 2 与/ 6;⑸/ 5与/ 8. 我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线）如图所示，不难看出/ 1与/ 2是同旁内角；/ 1与/ 7是同位角；/ 角；/ 2与/ 6是内错角；/ 5与/ 8对顶角. ，得到下列各图•1与/ BAD 是同旁内 AA5C注意：图中/ 2与/ 9，它们是同位角吗？不是，因为/ 2与/ 9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成7、两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：•// 3=7 2••• AB //CD （同位角相等，两直线平行）•/7 1=7 2•AB // CD （内错角相等，两直线平行）•/7 4+7 2= 180°•AB // CD （同旁内角互补，两直线平行）请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行•平行线的判定是写角相等，然后写平行注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”•上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行•②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：⑴不相交的两条直线必定平行线•⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交•⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”•“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏•⑵正确⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点” 已知直线上，是•因为如果这一点不在作不出这条直线的平行线的典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？解答：⑴由7 2=7 B可判定AB // DE，根据是同位角相等，两直线平行; ⑵由7 1 = 7 D可判定AC // DF，根据是内错角相等，两直线平行;E C⑶由/ ACF + Z F = 180°可判定AC // DF ，根据同旁内角互补，两直线平行5.3平行线的性质1、平行线的性质：性质1 ：两直线平行，同位角相等； 性质2 :两直线平行，内错角相等； 性质3 :两直线平行，同旁内角互补几何符号语言：•/ AB // CD•••/ 1 = Z 2 （两直线平行，内错角相等）•/ AB // CD3 =Z 2 （两直线平行，同位角相等）•/ AB // CD•••/ 4 +Z 2= 180°（两直线平行，同旁内角互补）AB // CD , EF 丄AB 于E , EF 丄CD 于F ，则称线段 EF 的长度为两平行线 ABA1GEBC_□ H DF注意：直线AB // CD ,在直线AB 上任取一点 G ,过点G 作CD 的垂线段GH ，则垂线段GH 的长度也就是直线AB 与CD 间的距离. 3、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题 ⑵命题的组成两直线平行 <^=>同位角相等； 两直线平行 <^=> 内错角相等； 两直线平行 <= =>同旁内角互补2、两条平行线的距离 如图，直线 与CD 间的距离.每个命题都是题设、结论两部分组成 题常写成“如果……，那么……”的形式 是题设，用“那么”开始的部分是结论有些命题，没有写成“如果……，那么 题，要经过分析才能找出题设和结论，•题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项 .具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分.命注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知… 题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……” 4、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系•…”的形式，题设和结论不明显 .对于这样的命也可以将它们改写成 “如果……,那么……”的形式. …”或者“若……”等形式表述；命等形式表述 那么其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质典型例题：已知/ 1=Z B，求证：/ 2=Z C证明：•••/ 1 = Z B （已知）••• DE // BC （同位角相等，两直线平行）•••/ 2 =Z C （两直线平行同位角相等）注意，在了DE // BC,不需要再写一次了，得到了典型例题：如图，AB // DF , DE // BC,/ 1 = 65°求/ 2、/ 3的度数解答：••• DE // BC （已知）2 =/ 1 = 65°（两直线平行，内错角相等）•/ AB // DF （已知）• AB // DF （已知）•/ 3 +/ 2 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）•••/3 = 180° -/ 2 = 180°—65°= 115°5.4平移1、平移变换①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点③连接各组对应点的线段平行且相等2、平移的特征：①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等典型例题：如图，△ ABC经过平移之后成为△ DEF，那么:⑴点A的对应点是点_______________________ ;⑵点⑶点__________ 的对应点是点F;⑷线段AB的对应线段是线段_________________ ;⑸线段BC的对应线段是线段___________________ ;⑹/ A的对应角是_______________ .⑺________ 的对应角是/ F.解答：⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE ;⑸EF;⑹/ D ;⑺/ACB. 思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，A//\ //\\B EC F DE // BC,这可以把它当作条件来用了BB的对应点是点_______________ 对应点的连线段平行或在同一直线上解答•考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离， 垂线性质与平行公理的区别等例1: 判断下列说法的正误。

中考数学第五章 相交线与平行线(讲义及答案)附解析

中考数学第五章 相交线与平行线(讲义及答案)附解析

中考数学第五章相交线与平行线(讲义及答案)附解析一、选择题1．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（）A．∠B与∠2是同旁内角B．∠A与∠1是同位角C．∠3与∠A是同旁内角D．∠3与∠4是内错角2．下列说法：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④两点之间直线最短，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则∠A +∠E－∠1=180° ；④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( )A．、1个B．2个C．3个D．4个4．下列说法：①两点确定一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④由两条射线组成的图形叫做角；⑤若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（）A．70°B．80°C．90°D．100°6．下列说法中正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类C．射线就是直线D．两点之间的所有连线中，线段最短7．下列说法中,错误的有( )①若a与c相交,b与c相交,则a与b相交;②若a∥b,b∥c,那么a∥c;③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种.A．3个 B．2个 C．1个 D．0个8．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（）A．∠1+∠2−∠3=90°B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3−∠1=180°9．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（）A．61°B．58°C．48°D．41°10．下列说法中不正确的个数为（）．①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．②有且只有一条直线垂直于已知直线．③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．如图，现给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠B＝∠5，③∠3＝∠4，④∠5＝∠D，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中能够得到AD∥BC的条件是______(填序号)；能够得到AB∥CD 的条件是_______．(填序号)12．如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝_____（度）．13．已知直线AB ∥CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转至QD 停止，此时射线PB 也停止旋转．（1）若射线PB 、QC 同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____； （2）若射线QC 先转45秒，射线PB 才开始转动，当射线PB 旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．14．如图， 已知//AB CF ，//CF DE ， 90BCD ∠=︒，则D B ∠-∠=_________15．如图，已知，∠ABG 为锐角，AH ∥BG ，点C 从点B （C 不与B 重合）出发，沿射线BG 的方向移动，CD ∥AB 交直线AH 于点D ，CE ⊥CD 交AB 于点E ，CF ⊥AD ，垂足为F （F 不与A 重合），若∠ECF ＝n°，则∠BAF 的度数为_____度．（用n 来表示）16．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转；B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动12°，B 灯每秒转动4°．B 灯先转动12秒，A 灯才开始转动．当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是 ．17．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM于点C，AB平分∠DAC，直线DB平分∠FBC，若∠ACB=100°，则∠DBA的度数为________．18．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．19．如图，a∥b，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4的度数是______度．20．一副直角三角尺叠放如图 1 所示，现将 45°的三角尺ADE 固定不动，将含 30°的三角尺ABC 绕顶点 A 顺时针转动（旋转角不超过 180 度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图 2：当∠BAD=15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为________．三、解答题EF MN，点,A B分别为EF，MN上的点．21．已知直线//（1）如图1，若120FAC ACB ∠=∠=︒，12CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，求CBN ∠与ADB ∠的度数；（2）如图2，若120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠，则ADB =∠_________︒； （3）若把（2）中“120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠”改为“FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n ∠=∠， 1CBD CBN n∠=∠”，则ADB =∠_________︒．（用含,m n 的式子表示）22．已知//AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，连接EG 、FG ．（1）如图，当点G 在AB 、CD 之间时，请直接写出AEG ∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系__________．（2）如图，当点G 在AB 上方时，且90EGF ︒∠=， 求证：90︒∠-∠=BEG DFG ；（3）如图，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ， FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，延长GE 、FT 交于点R ，若ERT TEB ∠=∠，请你判断FR 与HK 的位置关系，并证明． （不可以直接用三角形内角和180°）23．阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ． 求证：∠BED ＝∠B +∠D ．彤彤是这样做的：过点E 作EF //AB ，则有∠BEF ＝∠B ．∵AB //CD ，∴EF //CD ．∴∠FED ＝∠D ．∴∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．即∠BED ＝∠B +∠D ．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； （2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，直接写出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．24．如图1，AB CD ∥ ，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒ ，求APC ∠的度数．小明的思路是：过P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．（1）按小明的思路，求APC ∠的度数；（问题迁移）（2）如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用）：（3）在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．25．（1）①如图1，//AB CD ，则B 、P ∠、D ∠之间的关系是 ；②如图2，//AB CD ，则A ∠、E ∠、C ∠之间的关系是 ；（2）①将图1中BA 绕B 点逆时针旋转一定角度交CD 于Q (如图3)．证明：123BPD ∠=∠+∠+∠②将图2中AB 绕点A 顺时针旋转一定角度交CD 于H (如图4)证明：360E C CHA A ∠+∠+∠+∠=︒（3）利用（2）中的结论求图5中A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数． A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=26．如图1，//PQ MN ，点A ，B 分别在MN ，QP 上，2BAM BAN ∠=∠射线AM 绕A 点顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转，射线BP 绕B 点顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转．射线AM 转动的速度是每秒2度，射线BQ 转动的速度是每秒1度．（1）直接写出QBA ∠的大小为_______；（2）射线AM 、BP 转动后对应的射线分别为AE 、BF ，射线BF 交直线MN 于点F ，若射线BP 比射线AM 先转动30秒，设射线AM 转动的时间为t ()0180t <<秒，求t 为多少时，直线//BF 直线AE ？（3）如图2，若射线BP 、AM 同时转动m ()090m <<秒，转动的两条射线交于点C ，作120ACD ∠=︒，点D 在BP 上，请探究BAC ∠与BCD ∠的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可．【详解】解：A ．∠B 与∠2是BC 、DE 被BD 所截而成的同旁内角，故本选项正确；B ．∠A 与∠1不是同位角，故本选项错误；C ．∠3与∠A 是AE 、DE 被AD 所截而成的同旁内角，故本选项正确；D ．∠3与∠4是内错角AD 、CE 被ED 所截而成的内错角，故本选项正确；故选：B ．【点睛】本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．2．A解析：A【分析】据平行线的性质可判断①③错误；根据对顶角相等，可判断②错误；据线段的性质可判断④错误；即可得出结论．【详解】解：①在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故①错误；②对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故②错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误；④两点之间线段最短；故④错误；故选：A．【点睛】本题考查了平行公理、平行线的性质、相等的性质、对顶角相等的性质；熟记有关性质是解决问题的关键．3．C解析：C【详解】①如图1，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；③如图3，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故选C.4．B解析：B【解析】分析：根据直线公理对①进行判断；根据两点之间的距离的定义对②进行判断；根据线段公理对③进行判断；根据角的定义对④进行判断；根据线段的中点的定义对⑤进行判断．详解：根据直线公理：两点确定一条直线，所以①正确；连接两点的线段的长度叫做两点的距离，所以②错误；两点之间，线段最短，所以③正确；有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以④错误；若AB=BC，且B点在AB上，则点B是AC的中点，所以⑤错误．故选B．点睛：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．5．B解析：B【解析】因为AB∥DF，所以∠D+∠DEB=180°，因为∠DEB与∠AEC是对顶角，所以∠DEB=100°，所以∠D=180°﹣∠DEB=80°．故选B．6．D解析：D【解析】根据真假命题的概念，可知：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；B、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，选项错误．C、射线是直线的一部分，选项错误；D、两点之间的所有连线中，线段最短，选项正确；故选：D．7．B解析：B【解析】①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交或平行，故本小题错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c；根据平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么两条直线也互相平行，上面说法正确；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故正确；④在平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种，故不正确.因此只有②③正确.故选：B.8．D解析：D【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵EF∥CD∴∠3=∠COE∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE∵AB∥EF∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．9．B解析：B【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．【详解】如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条折射光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据在同一平面内，根据两条直线的位置关系、垂直的性质、平行线平行公理及推论、点到直线的距离等逐一进行判断即可．【详解】∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；∵过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确；∴不正确的有①②④⑤四个．故选：C．【点睛】本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握直线相交、直线垂直、直线平行以及垂线的性质，从而完成求解．二、填空题11．①④ ②③⑤【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．【详解】解：∵①∠1=∠2，∴AD∥BC；②∵∠B=∠5，解析：①④ ②③⑤【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．【详解】解：∵①∠1=∠2，∴AD∥BC；②∵∠B=∠5，∴AB∥DC；③∵∠3=∠4，∴AB∥CD；④∵∠5=∠D，∴AD∥BC；⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD，∴能够得到AD∥BC的条件是①④，能够得到AB∥CD的条件是②③⑤，故答案为①④，②③⑤．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．12．75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m∥n，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180解析：75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】如图所示：∠1+∠3=180°，∵m∥n，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=180°，∴3x+24+5x+20=180，解得：x=17，则∠1=（3x+24）°=75°．故答案为75．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠1+∠2=180°是解题关键．13．PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【详解】（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．故答案为：15秒或63秒或135秒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．14．90°【分析】根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小【详解】∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠解析：90°【分析】根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小【详解】∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠FCD+∠D=180°∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化简得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°∴∠D―∠B=90°故答案为：90°【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．15．n或180﹣n【分析】分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．【详解】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，∵解析：n或180﹣n【分析】分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在BM延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．【详解】解：过A作AM⊥BC于M，如图1，当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，∵AD∥BC，CF⊥AD，∴CF⊥BG，∴∠BCF＝90°，∴∠BCE+∠ECF＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∴∠B＝∠ECF＝n°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠B＝n°，综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，故答案为：n或180﹣n．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．16．6秒或19.5秒【分析】设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．【详解析：6秒或19.5秒【分析】设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．【详解】解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∴t≤45﹣12，即t≤33．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．故答案为：6秒或19.5秒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．50°【解析】解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC 内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线解析：50°【解析】解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线BD平分∠FBC，∴∠5=12（180°﹣∠4）=12（180°﹣80°+2x）=50°+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5=180°﹣x﹣（80°﹣2x）﹣（50°+x）=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x=50°．故答案为50°．点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．18．80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80解析：80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=12∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.19．40【解析】试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.解析：40【解析】试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.故答案为：40.20．45°，60°，105°，135°．【解析】分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．详解：如图，当AC ∥DE 时,∠BAD=∠DAE=45°；当BC ∥AD 时,∠DAE=∠解析：45°，60°，105°，135°．【解析】分析：根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．详解：如图，当AC ∥DE 时,∠BAD =∠DAE =45°；当BC ∥AD 时,∠DAE =∠B =60°；当BC ∥AE 时,∵∠EAB =∠B =60°,∴∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+60°=105°；当AB ∥DE 时,∵∠E =∠EAB =90°,∴∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+90°=135°.故答案为45°,60°,105°,135°.点睛：本题考查了平行线的判定与性质.要证明两直线平行，需使其所构成的同位角、内错角相等（或同旁内角是否互补）.三、解答题21．（1）120º，120º；（2）160；（3）()1360n m n -⋅- 【分析】（1）过点,C D 作CG EF ，DH EF ，根据 120FAC ACB ∠=∠=︒，平行线的性质和周角可求出120GCB ∠=︒，则 120CBN GCB ∠=∠=︒，再根据 12CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，可得 1602CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒，可求出 60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，根据ADB ADH BDH ∠=∠+∠即可得到结果； （2）同理（1）的求法，根据120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13CBD CBN ∠=∠求解即可； （3）同理（1）的求法，根据FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n∠=∠， 1CBD CBN n∠=∠求解即可； 【详解】 解：（1）如图示，分别过点,C D 作CGEF ，DH EF ，∵EFMN ， ∴EF MN CG DH ，∴120ACG FAC ∠=∠=︒，∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴120CBN GCB ∠=∠=︒，∵1602CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒ ∴60DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，又∵60FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，∴60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，∴120ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．（2）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，∴120ACG FAC ∠=∠=︒，∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴120CBN GCB ∠=∠=︒， ∵1403CBD CBN ∠=∠=︒， 1403CAD FAC ∠=∠=︒ ∴80DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，又∵80FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，∴80ADH FAD ∠=∠=︒，80BDH DBN ∠=∠=︒，∴160ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．故答案为：160；（3）同理（1）的求法∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，∴ACG FAC m ∠=∠=︒，∴3603602GCB ACG ACB m ∠=︒-∠-∠=︒-︒，∴3602CBN GCB m ∠=∠=︒-︒， ∵13602m CBD CBN n n ︒-︒∠=∠=， 1m CAD FAC n n︒∠=∠= ∴()()360213602=3602m n m DBN CB D m n N n CB ︒-︒-︒-︒-︒∠-∠=-=∠︒， 又∵()1n m FAD FAC CAD m m n n -︒∠=∠-∠=︒-=︒， ∴()1n ADH FAD m n -∠=∠=︒， ()13602n BDH DBN m n-∠=∠=︒-︒， ∴()()()1113602=360n n n ADB ADH BDH m m m n n n --∠=∠+∠=-︒︒-︒︒-+︒． 故答案为：()1360n m n-⋅-． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键．22．（1）∠G=∠AEG+∠CFG ；（2）见解析；（3）FR ⊥HK ，理由见解析【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可写出结论；（2）过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质得角相等和互补，即可得证；（3）根据平行线的性质得角相等，即可求解．【详解】解：（1）如图：过点G 作//GH AB ，∵//AB CD ，∴//GH CD ，∴AEG EGH ∠=∠，CFG FGH ∠=∠，EGF AEG CFG ∴∠==∠+∠AEG ∴∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系为G AEG CFG ∠=∠+∠．故答案为：G AEG CFG ∠=∠+∠．（2）如图，过点G 作//GP AB ，180BEG EGP ∴∠+∠=︒，180EHG HGP ∠+∠=︒，90180EHG EGP ∴∠+︒+∠=︒，90EHG EGP ∴∠+∠=︒，//AB CD ，DFG EHG ∴∠=∠，180180()1809090BEG DFG EGP EHG EGP EHG ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．（3）FR 与HK 的位置关系为垂直．理由如下： FT 平分DFG ∠交HK 于点T ，GFT KFT ∴∠=∠，90EGF ∴∠=︒，90GFT ERT ∴∠+∠=︒，90KFT ERT ∴∠+∠=︒，ERT TEB ∠=∠，90KFT TEB ∴∠+∠=︒，//AB CD ，FKT TEB ∴∠=∠，90KFT FKT ∴∠+∠=︒，90FTK ∴∠=︒，KT FR ∴⊥，即FR HK ⊥．∴FR 与HK 的位置关系是垂直．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．23．（1）65°；（2）1118022αβ︒-+【分析】（1）如图1，过点E 作EF ∥AB ，当点B 在点A 的左侧时，根据∠ABC =60°，∠ADC =70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED 的度数；（2）如图2，过点E 作EF ∥AB ，当点B 在点A 的右侧时，∠ABC =α，∠ADC =β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED 的度数．【详解】（1）如图1，过点E 作EF ∥AB ，有∠BEF =∠EBA ．∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ．∴∠FED =∠EDC ．∴∠BEF +∠FED =∠EBA +∠EDC ．即∠BED =∠EBA +∠EDC ，∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ， ∴∠EBA =12∠ABC =30°，∠EDC =12∠ADC =35°， ∴∠BED =∠EBA +∠EDC =65°．答：∠BED 的度数为65°；（2）如图2，过点E 作EF ∥AB ，有∠BEF+∠EBA=180°．∴∠BEF=180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC．∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA=12∠ABC=12α，∠EDC=12∠ADC=12β，∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣12α +12β．答：∠BED的度数为180°﹣12α +12β．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．24．（1）110°；（2）∠APC=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）∠APC=∠α+∠β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PE ∥CD ，∴∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如图所示，当P 在BD 延长线上时，∠CPA=∠α-∠β；如图所示，当P 在DB 延长线上时，∠CPA=∠β-∠α．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．25．（1）①B D P ∠+∠=∠，②360A E C ∠+∠+∠=︒；（2）①证明见解析，②证明见解析；（3）540︒．【分析】（1）①如图1中，作//PE AB ，利用平行线的性质即可解决问题；②作//EH AB ，利用平行线的性质即可解决问题；（2）①如图3中，作//BE CD ，利用平行线的性质即可解决问题；②如图4中，连接EH ．利用三角形内角和定理即可解决问题；（3）利用（2）中结论，以及五边形内角和540︒即可解决问题；【详解】解：（1）①如图1中，作//PE AB ，//AB CD ，//PE CD ∴，1B ∴∠=∠，D 2∠=∠，12B D BPD ．②如图2，作//EH AB ，//AB CD ，//EH CD ，1180A ∴∠+∠=︒，2180C ， 12360A C ， 360A AEC C ．故答案为B D P ∠+∠=∠，360A E C ∠+∠+∠=︒．（2）①如图3中，作//BE CD ，3EBQ，1EBP EBQ ， 2132BPD EBP ．②如图4中，连接EH ．180AAEH AHE ，180C CEB CBE ， 360A AEH AHE CEH CHE C ，360A AEC C AHC ．（3）如图5中，设AC 交BG 于H ．AHB A B F ，AHB CHG ∠=∠， 在五边形HCDEG 中，540CHG CD E G ， 540A B F C D E G【点睛】本题考查图形的变换、规律型问题、平行线的性质、多边形内角和等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用结论解决问题．26．（1）60°；（2）当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，2BAC BCD ∠=∠．【分析】(1)根据2BAM BAN ∠=∠得到60BAN ∠=︒，再根据直线平行的性质即可得到答案；(2)设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；(3)根据补角的性质表示出BAC ∠，再根据三角形内角和即可表示出BCD ∠，即可得到答案；【详解】解：（1）∵2BAM BAN ∠=∠180BAM BAN ∠+∠=︒，∴60BAN ∠=︒，∴QBA ∠60BAN =∠=︒（两直线平行，内错角相等）故结果为：60︒；（2）设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，①当090t <<时，如图，//PQ MN ，PBF BFA ∴∠=∠，//AE BF ，EAM BFA ∴∠=∠，EAM PBF ∴∠=∠，21(30)t t ∴=⋅+，解得30t =；②当90180t <<时，如图，//PQ MN ，180PBF BFA ∴∠+∠=︒，//AE BF ，EAN BFA ∴∠=∠180PBF EAN ∴∠+∠=︒，1(30)(2180)180t t ∴⋅++-=，解得110t =，综上所述，当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，理由：设射线AM 转动时间为m 秒，作//CH PQ ，//PQ MN ，////CH PQ MN ∴，2180QBC ∴∠+∠=︒，1180MAC ∠+∠=︒，21360QBC MAC ∴∠+∠+∠+∠=︒，180QBC m ∠=︒-，2MAC m ∠=，()123601802180BCA m m m ∴∠=∠+∠=---=︒︒-︒，而120ACD ∠=︒，()12012018060BCD BCA m m ︒︒∴∠=-∠=--=-︒︒，1802CAN m ∠=︒-，()18022120BAC QBA m m ︒︒∴∠=∠--=-，:2:1BAC BCD ∴∠∠=，即2BAC BCD ∠=∠，BAC ∴∠和BCD ∠关系不变．【点睛】本题主要考查了补角、角的运算、直线平行的性质和判定以及三角形的内角和定理，结合图形添加辅助线、分类讨论是解题的关键．。

相交线与平行线最全知识点汇总

一、本章共分大节共个课时；〜第、周）章节7 课时第五章相交线与平行线145. 1 相交线 35.2 平行线及其判定 35.3 平行线的性质 45.4 平移 2单元小结 2二、本章有四个数学基本事实L过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；3•两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行;4.两直线平行，同位角相等.三. 本章共有19个概念1.对顶角2.邻补角3.垂直4.垂线5.垂足6.垂线段7•点到克线的距离8.同位角9.错角10.同旁角IL平行12.数学基本事实13.平行公理14.命题15.真命题16.假命题17•定理18 •证明19 •平移四. 转化的数学思想遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题・P14五、平移1・找规律2.转化求面积3 •作图（2009年中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dem,如图所示.已知每个菱形图案的边长10√3cm,其一个角为60°・（1）若√=26t（2）当〃=20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？【解】相交线与平行线知识点5. 1相交线1、邻补角与对顶角图形顶点边的关系大小关系对顶角XZI 与Z2 有公共顶点Zl的两边与Z 2的两边互为反向延长线对顶角相等即ZI=Z2邻补角4/3XX 有公共顶点Z3与Z4有一条边公共，另一边互为反向延长线.Z3+Z4=180o/Z3 与Z4注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果Za与Z B是对顶角，那么一定有Za=ZB;反之如果Za=Zβ,那么Za与ZB 不一定是对顶角(3)如果Za与ZB互为邻补角,则一定有Za÷Zβ=180o；反之如果Za÷Zβ=180σ ,则Za与ZB不一定是邻补角.⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足・符号语言记作：如图所示：AB丄CD,垂足为0⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.3.垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线.注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上.画法：(1)一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，(2)二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，(3)三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时侯应该结合图形进行记忆.A O B如图，Po丄AB,同P到直线ΛB的距离是Po的长.PO是垂线段.PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短"性质的应用.5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度.联系：具有垂直于已知直线的共同特征.（垂直的性质）⑵两点间距离与点到直线的距稱区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间. 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离.⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同.5. 2平行线1、平行线的概念：在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线，直线"与直线b互相平行，记作a∕∕b.2、两条直线的位置关系在同一平面，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.因此当我们得知在同一平面两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理一一平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，'：b H a、c // a----------------- b ：.b // c注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.5、三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、错角与同旁角./③Z5与Z4在截线/的同侧•在被截直线匕“之间()，叫做同旁角.④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“F”型；错角是“Z”型；同旁角是“U”型.6、如何判别三线八角判别同位角、错角或同旁角的关键是找到构成这两个角的“三线S有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全.例如如图，判断下列各对角的位置关系：(I)Zl与Z2；⑵ZI与Z7；⑶ZI与ZBΛD; (4)Z2 与Z6；(5)Z5 与Z8.我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线)，得到下列各图.如图所示，不难看出Zl与Z2是同旁角；Zl与Z7是同位角；Zl与ZBAD是同旁角；Z2与Z6是错角；Z5与Z8对顶角.B注意：图中Z2与Z9,它们是同位角吗？不是，因为Z2与Z9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.7.两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么这两条直线平行简称：错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行简称：同旁角互补，两直线平行几何符号语言：∙∙∙Z3=Z2/. ΛB√CD （同位角相等，两直线平行）∙/ Z1 = Z2.∙. ΛB∕7CD （错角相等，两直线平行）••• Z4 + Z2=180q∙∙∙ΛB√CD （同旁角互补，两直线平行）请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行•平行线的判定是写角相等，然后写平行.注意：（1）几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着在的联系，常由 "位置关系”决定其"数量关系”，反之也可从"数量关系”去确定"位置关系”•上述平行线的判定方法就是根据同位角或错角"相等”或同旁角"互补”这种“数量关系”，判定两直线"平行"这种“位置关系”.⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行.典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请绐予改正：⑴不相交的两条直线必定平行线.（2）在同一平面不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交.⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解答:（!）错误，平行线是“在同一平面不相交的两条直线” •“在同一平面"是一项重要条件，不能遗漏.⑵正确（3）不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”・因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？解答：⑴由Z2 = ZB可判定AB/7DE,根据是同位角相等，两直线平行；⑵由Zl = ZD可判定AC/7DF,根据是错角相等，两直线平行；⑶由ZΛCF+ZF= 180°可判定AC〃DF,根据同旁角互补,两直线平行.5∙ 3平行线的性质k平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等;性质2：两直线平行，错角相等；性质3：两直线平行，同旁角互补.几何符号语言：V AB/7 CDΛZ1 = Z2 （两直线平行，错角相等）V AB # CDΛZ3=Z2 （两直线平行，同位角相等）V AB √ CDΛZ4+Z2=180o（两直线平行，同旁角互补）2、两条平行线的距离如图•直线AB〃CD, EF丄AB于E, EF丄CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.A ∏LJE BC ∏ H-l DF注意：直线AB√CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB 与CD间的距离.3、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命題.⑵命题的组成每个命题都是题设.结论两部分组成•题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项. 命题常写成"如果……，那么……”的形式.具有这种形式的命题中，用"如果”开始的部分是题设，用"那么”开始的部分是结论.有些命题，没有写成''如果……，那么……”的形式，題设和结论不明显•对于这样的命题，要经过分析才能找出題设和结论，也可以将它们改写成"如果……，那么……”的形式. 注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者'‘若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用"求证……”或'‘则……”等形式表述.4、平行线的性质与判定①平行线的性质与判定是互逆的关系两直线平行V=A同位角相等；两直线平行V=A错角相等；两直线平行 <=> 同旁角互补.其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质.典型例题：已知Zl = ZB,求证：Z2 = ZC 证明：VZl = ZB （已知）ΛDEBC （同位角相等，两直线平行）ΛZ2 = ZC （两直线平行同位角相等）注意，在了DE〃BC,不需要再写一次了，得到了DE〃BC,这可以把它当作条件来用了.典型例題：如图，AB〃DF, DE/7BC, Zl=65o 求Z2、Z3的度数解答：VDE#BC （已知）ΛZ2=Z1=65° （两直线平行，错角相等）VΛB∕7DF （已知）ΛΛB∕7DF （已知）ΛZ3+Z2=180o（两直线平行，同旁角互补）ΛZ3=180o -Z2 = 180o -65° =115°5.4平移1、平移变换①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点③连接各组对应点的线段平行且相等2,平移的特征：①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化•②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.典型例题：如图，AABC经过平移之后成为ADEF,那么:⑴点A的对应点是点________________________ ;（2）点B的对应点是点______________⑶点____________ 的对应点是点F;⑷线段AB的对应线段是线段___________________ ;⑸线段BC的对应线段是线段____________________ ;（6） ZA的对应角是____________ .（7）____ 的对应角是ZF.解答：（DD；（2）E；（3心（4）DE; （5）EF;⑹ZD；（7）ZACB.思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等,B CB对应点的连线段平行或在同一直线上解考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等 例1：判断下列说法的正误。

(专题精选)初中数学相交线与平行线分类汇编及解析

（专题精选）初中数学相交线与平行线分类汇编及解析一、选择题1．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A 是72°，第二次拐弯处的角是∠B ，第三次拐弯处的∠C 是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B 等于( )A ．81°B ．99°C ．108°D ．120°【答案】B【解析】 试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o，∵153C ∠=o ，∴27DBC ∠=o ，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.2．如图，若AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（ ）A ．∠α+∠β+∠γ=180°B ．∠α+∠β﹣∠γ=360°C ．∠α﹣∠β+∠γ=180°D ．∠α+∠β﹣∠γ=180°【答案】D【解析】试题解析：如图，作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，∵EF ∥AB ，∴∠α+∠AEF=180°，∵EF ∥CD ，∴∠γ=∠DEF ，而∠AEF+∠DEF=∠β，∴∠α+∠β=180°+∠γ，即∠α+∠β-∠γ=180°．故选：D ．3．下列说法中，正确的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．垂于同一条直线的两条直线平行D ．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角一定相等【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可．【详解】A 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意；B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项符合题意；C 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意；D 、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】此题考查平行线的性质和判定，平行线公理及推论，能熟记知识点的内容是解题的关键．4．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，故①正确；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B ，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C ．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．5．如图，下列能判定AB CD ∥的条件有（ ）个．（1）180B BCD ∠+∠=︒； （2）12∠=∠；（3）34∠=∠； （4）5B ∠=∠．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定定理依次判断即可.【详解】∵180B BCD ∠+∠=︒，∴AB ∥CD ，故（1）正确；∵12∠=∠，∴AD ∥BC ，故（2）不符合题意；∵34∠=∠，∴AB ∥CD ，故（3）正确；∵5B ∠=∠，∴AB ∥CD ，故（4）正确；故选：C.【点睛】此题考查平行线的判定定理，熟记定理及两个角之间的位置关系是解题的关键.6．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D【解析】【分析】根据折叠的知识和直线平行判定即可解答.【详解】解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC ，又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得∠2=∠DBC ，又因为∠2+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠2=180°，即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.可求出∠2=70°.【点睛】掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键.7．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为A．80°B．50°C．30°D．20°【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．8．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA的度数是（）A．28°B．30°C．38°D．36°【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，得到∠DFA=∠CDB，根据三角形的内角和求出∠CDB的度数从而得到∠DFA的度数.【详解】解：∠C=(52)1801085︒-⨯=，且CD=CB ， ∴∠CDB=∠CBD ∵由三角形的内角和∠C+∠CDB+∠CBD=180°∴∠CDB+∠CBD=180°-∠C =180°-108°=72°∴∠CDB==∠CBD=72362︒︒= 又∵AF ∥CD∴∠DFA=∠CDB=36°（两直线平行，内错角相等）故选D【点睛】 本题主要考查多边形的基本概念和三角形的基本概念，正n 边形的内角读数为(2)180n n-⨯.9．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】 根据对顶角的定义，可得答案．【详解】解：由对顶角的定义，得D 选项是对顶角，故选：D ．【点睛】考核知识点：对顶角.理解定义是关键.10．如图，直线AC ∥BD ，AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABD 的平分线，那么下列结论错误的是（ ）A ．∠BAO 与∠CAO 相等B ．∠BAC 与∠ABD 互补C ．∠BAO 与∠ABO 互余D ．∠ABO 与∠DBO 不等【答案】D【解析】【分析】【详解】 解：已知AC//BD,根据平行线的的性质可得∠BAC+∠ABD=180°，选项B 正确；因AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABD 的平分线，根据角平分线的定义可得∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO,选项A 正确，选项D 不正确；由∠BAC+∠ABD=180°，∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO 即可得∠BAO+∠ABO=90°，选项A 正确，故选D.11．如图，已知AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，100BED ∠=︒，则BFD ∠的度数为（ ）A ．100°B ．130°C ．140°D ．160°【答案】B【解析】【分析】 连接BD ，因为AB ∥CD ，所以∠ABD ＋∠CDB ＝180°；又由三角形内角和为180°，所以∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝180°＋180°＝360°，所以∠ABE ＋∠CDE ＝360°−100°＝260°；又因为BF 、DF 平分∠ABE 和∠CDE ，所以∠FBE ＋∠FDE ＝130°，又因为四边形的内角和为360°，进而可得答案．【详解】连接BD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＋∠CDB ＝180°，∴∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝180°＋180°＝360°，∴∠ABE ＋∠CDE ＝360°−100°＝260°，又∵BF 、DF 平分∠ABE 和∠CDE ，∴∠FBE ＋∠FDE ＝130°，∴∠BFD ＝360°−100°−130°＝130°，故选B．【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．还考查了三角形内角和定理与四边形的内角和定理．解题的关键是作出BD这条辅助线．12．如图所示，b∥c，a⊥b，∠1=130°，则∠2=（）．A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】【分析】证明∠3=90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题．【详解】如图，反向延长射线a交c于点M，∵b∥c，a⊥b，∴a⊥c，∴∠3=90°，∵∠1=90°+∠4，∴130°=90°+∠4，∴∠4=40°，∴∠2=∠4=40°，故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识∠=∠，那么13．如图，现将一块含有60︒角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若12∠的度数为（）1A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】B【解析】【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．【详解】∵AB∥CD，∴∠3=∠2，∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴2∠3+60°=180°，∴∠3=60°，∴∠1=60°，故选：B．【点睛】此题考查平行线的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．14．如图，直线AB，AB相交于点O，OE，OF为射线，则对顶角有()A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】B【解析】【分析】根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断.【详解】图中对顶角有：∠AOC与∠BOD、∠AOD与∠BOC，共2对．故选B．【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．本题关键是分清楚已知的角是哪两条直线相交形成的，根据角的两条边，找出它的反向延长线形成的夹角即可15．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，若P 是BD 上的一个动点，则PB PC PD ++的最小值是（ ）A ．16B ．15.2C ．15D ．14.8【答案】D【解析】【分析】 根据题意，当PC ⊥BD 时，PB PC PD ++有最小值，由勾股定理求出BD 的长度，由三角形的面积公式求出PC 的长度，即可求出最小值.【详解】解：如图，当PC ⊥BD 时，PB PC PD BD PC ++=+有最小值，在矩形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，由勾股定理，得226810BD +=，∴=10PB PD BD +=，在△BCD 中，由三角形的面积公式，得11=22BD PC BC CD ••， 即1110=8622PC ⨯⨯⨯⨯， 解得： 4.8PC =， ∴PB PC PD ++的最小值是：10 4.814.8PB PC PD BD PC ++=+=+=； 故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P 的位置，得到PC 最短.16．A 、B 、C 是直线L 上三点，P 为直线外一点，若PA ＝2cm ，PB ＝3cm ，PC ＝5cm ，则P 到直线L 的距离是（ ）A ．等于2cmB ．大于2cmC ．不小于2cmD ．不大于2cm【答案】D【解析】【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．【详解】∵PA=2cm ，PB=3cm ，PC=5cm ，∴PA ＜PB ＜PC ．∴①当PA ⊥L 时，点P 到直线L 的距离等于2cm ；②当PA 与直线L 不垂直时，点P 到直线L 的距离小于2cm ；综上所述，则P 到直线L 的距离是不大于2cm ．故选：D ．【点睛】本题考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．17．如图，//AB CD ，点E 在CD 上，点F 在AB 上，如果:6:7CEF BEF ∠∠=，50ABE ∠=︒，那么AFE ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】B【解析】【分析】 由//AB CD 可得∠ABE+∠CEB=180°,∠BED=50ABE ∠=︒,即∠CEB=130°,由:6:7CEF BEF ∠∠=可得=67CEF BEF ∠∠,设=67CEF BEF ∠∠=k,则∠CEF=6k,∠FEB=7k,可得∠FEB=70°，可得∠DEF=∠FEB+∠BED=120°;又由//AB CD 可得AFE ∠=∠DEF 即可解答．【详解】解：∵//AB CD∴∠ABE+∠CEB=180°，∠BED=50ABE ∠=︒∴∠CEB=130°∵:6:7CEF BEF ∠∠=∴=67CEF BEF ∠∠ 设=67CEF BEF ∠∠=k ，则∠CEF=6k,∠FEB=7k, ∴6k+7k=130°∴∠FEB=7k=70°∴∠DEF=∠FEB+∠BED=120°∵//AB CD∴AFE ∠=∠DEF=120°故答案为B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质以及比例的应用，.熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．18．如图，下列判断：①若12A C ∠=∠∠=∠，，则B D ∠=∠；②若12B D ∠=∠∠=∠，，则A C ∠=∠：③若,A C B D ∠=∠∠=∠，则12∠=∠．其中，正确的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 ①根据12A C ∠=∠∠=∠，证明四边形DEBF 是平行四边形即可判断；②根据12B D ∠=∠∠=∠，证明DC ∥AB 即可判断；③根据,A C B D ∠=∠∠=∠证明DC ∥AB 即可判断.【详解】解：如图，标出∠3，①∵A C ∠=∠，∴DC ∥AB （内错角相等，两直线平行），∵2,3∠∠是对顶角，∴23∠∠=，∴13∠=∠（等量替换），∴DE ∥FB （同位角相等，两直线平行），∴四边形DEBF 是平行四边形（两组对边分别平行），∴B D ∠=∠，故①正确；②∵2,3∠∠是对顶角，∴23∠∠=，∴13∠=∠（等量替换），∴DE ∥FB （同位角相等，两直线平行），∴∠B+∠DEB=180°，又∵B D ∠=∠，∴∠D+∠DEB=180°，∴DC ∥AB （同旁内角互补，两直线平行），∴A C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）；故②正确；③∵A C ∠=∠，∴DC ∥AB （内错角相等，两直线平行），∴B CFB ∠=∠（两直线平行，内错角相等）,又∵B D ∠=∠，∴D CFB ∠=∠,∴DE ∥FB （同位角相等，两直线平行），∴13∠=∠（两直线平行，同位角相等）,∵2,3∠∠是对顶角，∴23∠∠=，∴12∠=∠（等量替换），故③正确.故D 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的判定（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）、直线平行的性质、等量替换的相关知识点，掌握直线平行的判定和性质是解题的关键.19．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）A ．110°B ．120°C ．140°D ．150° 【答案】B【解析】【详解】解：∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°， 图b 中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B ．20．如图，将一张矩形纸片折叠，若170∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．65︒B ．55︒C ．70︒D ．40︒【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠3=170∠=︒，得到∠2+∠4=110°，由折叠得到∠2=∠4即可得到∠2的度数.【详解】∵a ∥b ，∴∠3=170∠=︒，∴∠2+∠4=110°，由折叠得∠2=∠4,∴∠2=55︒，故选：B.【点睛】此题考查平行线的性质，折叠的性质.。

中考数学【相交线与平行线】考点专项复习教案(含例题、习题、答案)

第五章相交线与平行线本章小结小结1 本章概述本章的主要内容是两条直线的位置关系——相交与平行.特别是垂直和平行关系是平面几何所要研究的基本内容之一.这一章的内容是很重要的基本知识，是几何学习的重要阶段，要引起高度重视.教材在给出对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的基础上又给出了对顶角、邻补角的性质、垂线的基本性质和平行线的判定和性质，最后给出平移的概念、性质以及利用平移绘制图案．小结2 本章学习重难点【本章重点】了解对顶角、余角、补角的概念；掌握等角的余角相等，等角的补角相等；掌握垂线、垂线段的概念；知道两条直线平行，同位角相等以及同位角相等，两直线平行，进一步探索平行线的性质和判定.【本章难点】掌握垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义；通过具体实例认识平移；能按要求作出简单平面图形平移后的图形，利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．小结3 中考透视中考所考查的内容主要体现在以下几个方面：1. 对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的理解，对顶角、邻补角以及垂线性质的应用，包括实际应用.2. 同位角、内错角、同旁内角的含义，能由线找出角、由角说出线.3. 平行线的识别与特征，以及在实际问题中的应用.4. 简单命题的证明．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 有关基本图形的问题【专题解读】本章中主要考查数图形的个数问题，构造基本图形以及基本图形的组合，如平行线与角平分线的组合，平行线与平行线的组合等.例1 如图5-132所示，直线AB,CD,EF都经过点O，图中共有几对对顶角？分析数基本图形不能重复，不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角，图中有3组两条直线相交，故对顶角有2×3=6（对）.解：共有6对对顶角.【解题策略】数图形个数及书写时，应注意顺序性，这样不易例2 如图5-133所示，图中共有几对同旁内角？分析我们知道两条直线被第三条直线所截共形成八个角，其中有两对同旁内角.图形中有两个“三线八角”，即CD,EF被GH所截，形成两对同旁内角，AB,EF被GH所截，又形成两对同旁内角，所以共有4对同旁内角.解：图中共有4对同旁内角.【解题策略】注意观察同旁内角的特点.例3 如图5-134所示，AB∥CD,P为AB,CD之间的一点，已知∠1=32°，∠2=25°，求∠BPC的度数.分析此图不是我们所学的“三线八角”的基本图形，需添加一些线（辅助线）把它们转化成我们熟悉的基本图形.解：如图5-134所示，过点P作射线PN∥AB.因为AB∥CD(已知)，所以PN∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)，所以∠4=∠2=25°（两直线平行，内错角相等）.因为PN∥AB(已知)，所以∠3=∠1=32°（两直线平行，内错角相等）.所以∠BPC=∠3+∠4=32°+25°=57°.【解题策略】构造基本图形就是将残缺的基本图AB所以GM∥HN（内错角相等，两直线平行）.【解题策略】此题考查平行线的性质、判定以及角平分线的综合应用.例5 如图5-136所示，已知AB∥CD,BC∥DE.试说明∠B=∠D.分析条件为直线平行，故可根据平行线的性质说明.解：因为AB∥CD(已知)，所以∠B=∠C(两直线平行，内错角相等).因为BC∥DE(已知)，所以∠C=∠D(两直线平行，内错角相等).【解题策略】此题重点考查了平行线的性质的应用.例6 如图5-137所示，已知AB∥CD,G为AB上任一点，GE,GF分别交CD于E,F.试说明∠1+∠2+∠3=180°.分析要说明180°问题，想到了“平角”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个知识点，故可用它们解决问题.解：因为AB∥CD(已知)，所以∠4=∠2，∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）.因为∠4+∠1+∠5=180°（平角定义），所以∠2+∠1+∠3=180°（等量代换）.【解题策略】此题把说明∠2+∠1+∠3=180°转化为说明∠1+∠5+∠4=180°，应用等量代换解决了问题.例7 如图5-138所示，AB,DC相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC.试说明OE⊥OF解：因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOC(已知)，所以∠1=12∠AOC,∠2=12∠BOC(角平分线定义).所以∠1+∠2=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC).又因为∠AOC+∠BOC=180°(邻补角定义)，所以∠1+∠2=1×180°=90°，∠和°可说明∠1+∠2=90°.例9 如图5-140所示，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G,ED∥BC.试说明∠1=∠2.解：因为CD⊥AB,FG⊥AB(已知)，所以∠CDB=∠FGB=90°(垂直定义)，所以∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.因为DE∥BC(已知)，所以∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），所以∠1=∠2（等量代换）.【解题策略】多次运用平行线的性质说明∠1，∠2，∠3的关系.二、规律方法专题专题2 基本命题的计算与证明【专题解读】基本命题的计算与证明涉及的题型有（1）有关角的计算；(2)有关角相等的判定；（3）判定平行问题；（4）判定垂直问题；（5）判定共线问题.例10 如图5-141所示，已知∠4=70°，∠3=110°，∠1=46°，求∠2的度数.分析由∠3+∠4=180°，知AB∥CD,故∠2=180°-∠1.解：因为∠4=70°，∠3=110°（已知），所以∠4+∠3=180°，所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，所以∠2=180°-∠1=180°-46°=134°（两直线平行，同旁内角互补）.【解题策略】此题考查由同旁内角互补判定两直线平行，由两直线平行可行同旁内角互补，从而计算相关的角.例11 如图5-142所示，AB∥CD,EB∥DF.试说明∠1=∠2.解：因为AB∥CD(已知)，所以∠1+∠3=∠2+∠4（两直线平行，内错角相等）.因为EB∥DF(已知)，所以∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），所以∠1=∠2（等式性质）.【解题策略】判定角相等的方法有：（1）同角（等角）的余角相等；（2）同角（等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）角平分线定义；（5）两直线平行，同位角相等；（6）两直线平行，内错角相等.例12 如图5-143所示，DF∥AC,∠1=∠2.试说明DE=AB.分析要说明DE∥AB,可说明∠1=∠A,而由DF∥AC,有∠2=∠A.又因为∠1=∠2，故有∠1=∠A,从而得出结论.解：因为DF∥AC(已知)，所以∠2=∠A(两直线平行，同位角相等).因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠A（等量代换），所以DE∥AB(同位角相等，两直线平行).【解题策略】判定平行的方法有：（1）平行于同一条直线的两直线平行；（2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）同位角相等，两直线平行；（4）内错角相等，两直线平行；（5）同旁内角互补，两直线平行.例13 如图5-144所示，∠1=∠2，CD∥EF.试说明EF⊥AB.分析要说明EF⊥AB,可说明∠2=90°，而由CD∥EF,可得∠1+∠2=180°，又∠1=∠2，所以有∠1=∠2=90°，从而得出结论.解：因为CD∥EF(已知)，所以∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.又因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠2=90°，所以EF⊥AB（垂直定义）.【解题策略】判定垂直的方法有：（1）说明两条相交线的一个交角为90°；（2）说明邻补角相等；（3）垂直于平行线中的一条，也必垂直于另一条.例14 如图5-145所示，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.试说明E,O,F三点在一条直线上.分析要说明E,O,F三点共线，只需说明∠EOF=180°.解：因为AB,CD相交于点O（已知），所以∠AOC=∠BOD(对顶角相等).因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOD（已知），已知的.例15 如图5-146所示，直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOE,且∠COA:∠AOD=7:2,求∠BOE的度数.分析欲求∠BOE,因为∠BOE与∠AOE互为邻补角，所以可先求∠AOE,而∠AOE=2∠AOD,所以只需求∠AOD即可，由已知条件可求得∠AOD.解：∵∠COA+∠AOD=180°,∠COA:∠AOD=7:2,∴∠COA=79×180°=140°,∠AOD=29×180°=40°.∵OD平分∠AOE,∴∠AOE=2∠AOD=2×40°=80°,∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-80°=100°.【解题策略】互为邻补角的两个角的和为180°、对顶角相等是在有关求角的大小的问题中常用的两个等量关系，要注意发现图形中的这两种角，它们常隐藏在直线条件的背后.2011中考真题相交线与平行线精选一、选择题1.（2011云南保山2，3分）如图，l1∥l2，∠1=120°，则∠2= .考点：平行线的性质；对顶角、邻补角。

中考数学专题训练第4讲几何初步、相交线、平行线(知识点梳理)

几何初步、相交线、平行线知识点梳理考点01 几何图形一、几何图形（一）几何图形的概念和分类1.定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。

（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、球等。

立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）.按围成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（围成立体图形中的面中有曲面）。

（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平面图形.常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形、六边形等）。

（二）从不同方向看立体图形：从正面看：正视图.从左面看：侧视图.从上面看：俯视图。

（三）立体图形的展开图：1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。

2.立体图形的展开图的注意事项：（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形. （2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图形。

（四）正方体的平面展开图正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：二、点、线、面、体1.体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球、棱锥、棱柱等都是几何体，几何体也简称体。

2.面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种.3.线：面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种.4.点：线和线相交的地方形成点。

5.所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，从运动的角度来看，点动成线，线动成面，面动成体。

考点02 直线、射线、线段一、直线1.直线的表示方法：（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA.（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等.2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线.简称：两点确定一条直线。

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知识点23 相交线与平行线一、选择题1.（2018山东滨州，3，3分）如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1＋∠3＝180° D．∠3＋∠4＝180°第3题图【答案】D【解析】∵两直线平行，同旁内角互补，又∵对顶角相等，故∠3＋∠4＝180°。

【知识点】平行线的性质和对顶角相等2. （2018四川泸州，5题，3分）如图1，直线a//b，直线c分别交a，b于点A，C，∠B AC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是（）A. 50°B. 70°C. 80°D. 110°Bb第5题图【答案】C【解析】因为a//b，所以∠B AD=∠1，因为∠1=50°，所以∠B AD=50°，因为AD平分∠B AC，所以∠B AC=2∠B AD=100°，所以∠2=180°-∠B AC= 80°【知识点】平行线性质，角平分线，邻补角3.（2018四川绵阳，3，3分）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠2=44°，那么∠1的度数是A.14°B.15°C.16°D.17°【答案】C.【解析】解：如图，根据题意可得，如果∠2=44°，则∠3=60°-∠2=16°，所以∠1=∠3=16°.故选C.【知识点】平行线的性质4. （2018浙江金华丽水，3，3分）如图，∠B的同位角可以是（）．A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【答案】D．【解析】根据同位角的定义，得∠B的同位角是∠4，故选D．【知识点】同位角的识别5.（2018浙江衢州，第2题，3分）如图，直线a，b效直线c所截，那么∠1的同位角是（）第2题图A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】C【解析】本题考查了同位角概念，解题的关键掌握同位角的判断方法．方法（1）在两条直线得同侧，且在第三条直线得同侧故选C.方法（2）体现“F”型得角只有C，故选C.【知识点】同位角；6.（2018山东聊城，4，3分）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是（）A. 110°B. 115°C. 120°D.125°【答案】C【解析】方法一：如图所示，过点D作DM∥EF∥AB，∠CDM+∠BCD=180°，∠EDM+∠DEF=180°，∵∠BCD=95°，∠CDE=25°，∴∠DEF=180°-∠EDM=180°-(∠CDM-∠CDE)=∠180°-∠CDM+∠CDE=∠180°-(∠180°-∠BCD)+∠CDE=∠180°-(∠180°-95°）+25°=120°.方法一：如图所示，反向延长EF交CD于点N，∵AB∥EF，∴∠DNE=∠BCD=95°，∵∠CDE=25°，∴∠DEF=∠DNE+∠CDE=95°+25°=120°.【知识点】平行线的性质、三角形内外角的关系7. （2018山东潍坊，5，3分）把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．82.5°【答案】C【解析】如图所示，过点C作CF∥AB，∴∠ACF=∠A=45°，∵AB∥DE，∴CF∥DE.∴∠FCD=∠D=30°.∴∠1=∠ACF+∠DCF=45°+30°=75°.故选择C.【知识点】平行线的性质8. （2018年山东省枣庄市，3，3分）已知直线n m //，将一块含030角的直角三角板ABC 按如图方式放置（030=∠ABC ），其中B A ,两点分别落在直线n m ,上，若0201=∠，则2∠的度数为（ ）A ．020B ．030C ．045D ．050【答案】D【解析】先根据平行线的性质，两直线平行内错角相等可得∠2=∠ABC+∠1，再将已知的∠1的度数和∠ABC 的度数代入可求得∠2=30°+20°=50°，故选D.【知识点】平行线的性质9.（2018四川省达州市，4，3分）如图，AB ∥CD ，∠1＝45°，∠3＝80°，则∠2的度数为（ ）．A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°第4题图【答案】B ．【解析】如图，∵AB ∥CD ，∠1＝45°，∴∠4＝45°，∵∠3＝80°，∴∠2＝35°．故选B.【知识点】平行线的性质；三角形的外角10. （2018山东临沂，3，3分）如图，AB ∥CD ，∠D ＝42°，∠CBA ＝64° ，则∠CBD 的度数是( )D C BA第3题图A ．42°B ．64°C ．74°D ．106°【答案】C【解析】∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠CBD ＋∠D =180°，∵∠D ＝42°，∠CBA ＝64 ，∴∠CBD =180°－42°－64°=74°，故选C.【知识点】平行线的性质 三角形内角和11. （2018四川省德阳市，题号3，分值：3） 如图，直线a ∥b ，c，d 是截线且交于带你A ，若∠1=60°，∠2=100°，则∠A=（ ）A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】A.【解析】∵a ∥b ，∴∠1=∠3=60°，∠2=∠4=100°.∵∠4+∠5=180°，∴∠5=80°.∴∠A=180°-∠3-∠5=40°.【知识点】平行线的性质1. （2018湖南郴州，4，3）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是（）A．∠2=∠4 B. ∠1+∠4=180° C. ∠5=∠4 D. ∠1=∠3【答案】D【解析】∵∠2=∠4，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；∵∠1+∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）；∵∠5=∠4，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；而∠1、∠3是对顶角，无法判定出a、b的关系，故选择D .【知识点】平行线的判定；对顶角的性质2. （2018湖南益阳，5，4分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误．．的是（）A．∠AOD=∠BOC B．∠AOE＋∠BOD=90°C．∠AOC=∠AOE D．∠AOD＋∠BOD=180°【答案】C【解析】根据对顶角相等可知∠AOD=∠BOC，选项A正确；∵∠AOD和∠BOD恰好组成一个平角，∴∠AOD＋∠BOD=180°，选项D正确；∵EO⊥CD,∴∠EOD=90°，∴∠AOE＋∠BOD=180°－90°=90°．选项B正确，故选择C．【知识点】对顶角，垂直，余角和补角3. (2018山东菏泽，3，3分)如图，直线//a b ，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a 、b 上，若130∠=，则2∠的度数是（ ）A ．45B ．30C ．15D ．10【答案】C【解析】如图，作c ∥a ，则c ∥b ，∴∠4=∠2，∠3=∠1，∵∠4+∠3=45°，∠1=30°，∴∠2=45°－30°=15°．故选C ．【知识点】平行线的性质；平行公理4. （2018广东广州，5，3分）如图，直线AD ，BE 被直线BF 和AC 所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ） 564321B FD AA ．∠4，∠2B ．∠2，∠6C ．∠5，∠4D ．∠2，∠4【答案】B【解析】∠1和∠2是由直线AD和BC被直线BF所截形成的同位角，∠5和∠6由直线AD和BC被直线AC所截形成的内错角，故答案为B．【知识点】三线八角5. （2018贵州遵义，5题，3分）已知a∥b，某学生将一直角三角形放置如图所示，如果∠1=35°，那么∠2的度数为A.35°B.55°C.50°D.65°第5题图【答案】B【解析】因为对顶角相等，所以∠1=∠3，∠2=∠5，因为a∥b，所以∠3=∠4，因为∠5和∠4在直角三角形中，所以∠5+∠4=90°，因为∠1=35°，所以∠2=55°，选B【知识点】对顶角，平行线性质，直角三角形性质6.（2018江苏淮安，5，3）如图，三角形板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1=35°,则∠2的度数是A. 35°B. 45°C.55°D. 65°(第5题）【答案】C【解析】分析：本题考查平行线的性质，由平行线的性质可知∠2＝∠3，再由邻补角互补和∠1＝35°可知结果.解：由平行线性质可得，∠2＝∠3由邻补角互补可知，∠1+90°+∠3＝180°，又因为∠1＝35°，所以∠2=55°，故选：C．【知识点】平行线的性质；邻补角7. （2018山东省日照市，6，3分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠=（）A.30°B.25°C.20°D.15°1【答案】D【解析】如图，过点C作CD∥AF于，则∠BCD=∠B=45°,∠ACD=∠A=30°,所以∠BCA=45°-30°=15°,故选D。

【知识点】三角形平行线的性质8.（2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，5，5）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE．若∠ABC＝30°，则∠D为（）A．85° B．75° C．60° D．30°ED CB A【答案】B．【解析】∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°．∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED＝1802C︒-∠＝75°．∴选B．【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理9.（2018湖南省湘潭市，14，3分）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为________．（任意添加一个符合题意的条件即可）【答案】∠CBD=∠BDA或∠CBA+∠BAD=180°或∠C+∠CDA=180°或∠C=∠CDE等【解析】直接根据平行线的判定方法：同位角相等或内错角相等或同旁内角互补都可以判断两条直线平行.【知识点】平行线的判定10. （2018广东省深圳市，8，3分）如图，直线a，b被c，d所截，且//a b，则下列结论中正确的是( )【答案】B．a b，∴∠1＝∠5，又∵∠5＋∠2＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，故A 【解析】如下图（1），∵//a b，∴∠3＝∠4，，故B选项正确；∠1、∠2、∠4之间的关系无法判断，故选B．选项错误；∵//【知识点】平行线的性质11. （2018贵州安顺，T4，F3）如图，直线a//b,直线l与直线a, b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C,若∠1=58°,则∠2的度数为( )A. 58°B. 42°C. 32°D. 28°【答案】C【解析】由直线a//b，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，得∠1+∠2+90°=180°，∵∠1=58°，∴∠2=180°-58°-90°=32°.【知识点】平行线的性质.12. （2018湖北荆州，T4，F3）如图,两条直线12//l l ,Rt ACB ∆中，90C ∠=︒ , AC BC =,顶点A B 、分别在1l 和2l 上, 1 20∠=︒,则∠2的度数是（ ）A.45°B.55°C.65°D.75°第4题图l 2l 1【答案】C【解析】解法一:如图1,过点C 作L 3∥L 1,交AB 于点D,∴∠1=∠ACD,∵∠1=200,∴∠ACD=200, ∴∠DCB=700,∵∠C=900,AC=BC, ∴∠CAB=∠CBA=450,又∵L 2∥L 1, ∴L 2∥L 3, ∴∠DCB+∠CBD+∠2=1800,∴∠2=650.解法二:延长AC 交L 2于点D, ∵∠C=900,AC=BC, ∴∠CAB=∠CBA=450, 又∵L 2∥L 1,∴∠1=∠DAB,∵∠1=200, ∴∠ACD=200,又∴∠2是∆ABD 的外角, ∴∠2=∠1+∠CAB=200+450=650.【知识点】平行线的性质、“三线八角”、等腰直角三角形的性质、外角的性质、三角形内角和.13. （2018四川雅安，7题，3分）如图，AB ∥CD ，∠1=110°，∠2=30°，则∠P 的度数为A.70°B.100°C.110°D.140°第7题图【答案】B【解析】过点P 作PM ∥AB ，因为AB ∥CD ，所以PM ∥CD ，所以∠1+∠BPM=180°，∠MPN=∠2，因为∠1=110°，∠2=30°，所以∠BPM=70°，∠MPN=30°，∠BPN=100°，故选B第7题解图【知识点】平行线的性质14. （2018湖北荆门，5，3分） 已知直线//a b ，将一块含45角的直角三角板（90C ∠=）按如图所示的位置摆放，若155∠=，则2∠的度数为（ ）A ．80B ．70 C.85 D ．75【答案】A.【解析】解：如图，过点C 作CD ∥a ，则∵CD ∥a ，∴∠ACD=∠3.∵a ∥b ，∴CD∥b，∴∠1=∠BCD.∵∠C=90°，∠1=55°，∴∠ACD=90°-55°=35°，∴∠3=35°，∴∠2=∠A+∠3=45°+35°=80°.故选A．【知识点】平行线的性质，平行公理推论，三角形外角等于与它不相邻的两个内角和15. （2018四川攀枝花，4，3）如图2，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为( ).A.30°B.15°C.10°D.20°【答案】B【解析】如图，由已知得∠ABC=45°，过点B作直线BD,使得BD∥a，因为a∥b，所以，a ∥BD ∥b ，∠1=∠3=30°,∠2=∠4=45°-∠3=15°，故选B【知识点】平行线的性质，三角形内角和定理16.（2018四川自贡，4，4分） 在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若155∠=，则2∠ 的度数是（ ）A.50°B.45°C.40°D.35°【答案】D【解析】如图所示，b a // ， 551=∠=∠∴α， 3590=∠-=∠∴αβ，又c b // ， 352=∠=∠∴β，故选择D.【知识点】平行线的性质17. （2018湖北省襄阳市，3，3分）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为(▲)A.55°B.50°C.45°D.40°【答案】D【解析】解：由平行线性质可知，∠3=∠1=50°，又∵∠3+90°+∠2=180°，∴∠2=90°-∠3=40°.故选D.【知识点】平行线的性质18. （2018湖北省孝感市，2，3分）如图，直线//AD BC ，若142∠=，78BAC ∠=，则2∠的度数为（ ）A ．42B ．50C ．60D ．68【答案】C【解析】根据平行线的性质，可知∠1+∠2+∠BAC=180°. 即42°+∠2+78°=180°，解得∠2=60°. 故选C.【知识点】平行线的性质.19.（2018四川凉山州，2，4分） 如图，AB ∥EF ，FD 平分∠EFC ，若∠DFC ＝50°，则∠ABC ＝（ ）A.50°B.60°C.100°D.120°【答案】C【解析】∵FD 平分∠EFC ，若∠DFC ＝50°，则∠EFC=2∠DFC ＝100°，∴∠EFB=180°-∠EFC =80°， ∵AB ∥EF ，∴∠EFB +∠ABF=180°,∴∠ABC=100°.故选择C.【知识点】角平分线的性质，互为补角性质，平行线的性质20. （2018江苏省宿迁市，3，3）如图，点D 在△ABC 边AB 的延长线上，DE ∥BC ．若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是（ ）A ．24°B ．59°C ．60°D ．69°【答案】B【解析】∵∠A ＝35°，∠C ＝24°，∴∠CBD ＝∠A ＋∠C ＝35°＋24°＝59°．∵DE ∥BC ，∴∠D ＝∠CBD ＝59°．故选B ．【知识点】三角形的外角，平行线的性质21. （2018山东省泰安市，4，3）如图，将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若244∠=，则1∠的大小为（ ）A ．14B ．16C ．90α-D ．44α-【答案】A【解析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质。

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