2013通州区中考一模数学试卷跟答案

2013年北京市通州区中考第一次模拟考试数学试卷 2013年5月一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．3-的倒数是A ．3B ．3-C ．13-D ．132．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是A B C D3．2012年，北京实现地区生产总值约17800亿元，比2011年增长百分之七点多.将17800用科学记数法表示应为 A ．17.8×103B ．1.78×105C ．0.178×105D ．1.78×1044．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，∠ABC =32°， 则∠AOC 的度数是 A ．32°B ．64°C ．16°D ．58°5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.妈妈买了2只红豆粽和3只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是 A ．25B ．12 C ．15 D ．236. 一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的面积是 A ．6π B ．4πC ．2πD ．π7．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动. 为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是A ．平均数是2.5B ．中位数是3C ．众数是2D ．方差是48． 如图，在直角坐标系xoy 中，已知()01A ，，)B ，以线段AB 为边向上作菱形ABCD ，且点D 在y 轴上.若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间的函数关系的图象为第8题图（1） 第8题图（2）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式2x x-的值为零，则x = ． 10．分解因式：322x x x -+= ． 11．如图，AB ∥CD ，点E 在AB 上，且DC DE =，70AEC ∠=︒，则D ∠的度数是______.12．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为kn 2（其中k 是使得kn 2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次……，若1n =，则第2次“F 运算”的结果是 ；若13n =，则第2013次“F 运算”的结果是 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分）第11题图CDA E BSSSDCBAtO 1234213tO1234213tO12342133124321OtS 第8题图（1）D CBA Oxy13．计算：(123tan 302--+-+o．14．解不等式组20512(1)x x x -<⎧⎨+>-⎩，．15. 已知：如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且使AE ＝AD .求证：∠B ＝∠C .16．化简求值：2221y x yx y x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭g ，其中30x y -=，且0y ≠.17．已知(42)A -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）将一次函数y kx b =+的图象沿y 轴向上平移n 个单位长度，交y 轴于点C ，若12ABC S =V ，求n 的值.ECA D B18. 列方程或列方程组解应用题：根据城市发展规划设计，某市工程队为该城市修建一条长4800米的公路.铺设600米后，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果共用9天完成任务.问原计划每天修建公路多少米?四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接写出频数分布表中a ，b 的值，补全频数分布直方图；（2）学校将对成绩在90分以上（不含90分）的学生进行奖励，请估计全校1000名学生中约有多少名获奖？20．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC△DCE 是等边三角形，DE 交AB 于点F ，求△BEF 的周长．/分A DFEB C21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ． （1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；（2）连接EO ，交AD 于点F ，若5AC =3AB ，求EOFO的值．22. 如图所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；（2）若所拼成的直角三角形、等腰梯形、矩形的面积分别记为S 1、S 2、S 3，周长分别记为l 1、l 2、3l ，判断所拼成的三种图形的面积、周长的大小关系（用“=”、“＞”、“＜”、“≤”或“≥”连接）： 面积关系是 ； 周长关系是 ．第22题图（矩形）（等腰梯形）（直角三角形）E DCBA②①第22题图五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-． （1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.ABC25．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，AB 为半圆直径，半圆圆心为点M ,半圆与y 轴的正半轴交于点C . （1）求经过点C 的“蛋圆”的切线的表达式； （2）求经过点D 的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E 是“蛋圆”上一点（不与点A 、点B 重合），点E 关于x 轴的对称点是F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 的坐标.通州区初三数学模拟考试参考答案及评分标准2013．5 一、选择题：1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 二、填空题：第25题图9. 2x =； 10. ()21x x -； 11. 40 ； 12. 1，4；三、解答题： 13. 解：原式= 1312-++， ……………… 4分；= 112-++，=32+ . ……………… 5分. 14. ()205121x x x -<⎧⎨+>-⎩， ．①②解：解不等式①，得 2x <， ……………… 1分；解不等式②，5122x x +>-， ……………… 2分； 5221x x ->--， ……………… 3分； 33x >-，1x >-， ……………… 4分；∴这个不等式组的解集是12x -<< . ……………… 5分. 15. 证明：在△ABE 和△AC D 中∵ .AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， ……………… 3分；∴△ABE ≌△ACD （SAS ）. ……………… 4分；∴B C ∠=∠. ……………… 5分.16． 解：原式=x yx y x y y x y x -∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2222222，x y x y x x -∙-=222， ……………… 1分； xyx y x y x x -∙-+=))((2， ……………… 2分；第15题图E C A=xx y+. ……………… 3分； 由30x y -=，得3x y =， ……………… 4分； ∴原式=33y y y +=34y y =34. ……………… 5分.17. 解：(1) 把(42)A -，，(24)B -，分别代入y kx b =+和my x=中， ∴42244.2-=k b k b m ⎧⎪-+=⎪+=-⎨⎪⎪⎩，， ……………… 1分；解得：128.k b m =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，， ……………… 2分；∴反比例函数的表达式为8y x=-，一次函数的表达式为2y x =-- ； （2）设一次函数2y x =--的图象与y 轴的交点为D ,则()0D ，-2，…………… 3分； ∵12=∆ABC S ， ∴12221421=∙∙+-∙∙CD CD ， …………… 4分； ∴4CD =，∴4n =. ……………… 5分. 18. 解法一:解：设原计划每天修建公路x 米, 则实际每天修建公路2x 米， …… 1分；根据题意得：600480060092x x -+=， ……………… 3分； ∴27009x=， ∴300x =.经检验：x =300是原方程的解，且符合实际问题的意义. ……………… 4分； 答： 原计划每天修建公路300米. ……………… 5分.解法二：解：设铺设600米用x 天, 则增加人力和设备后，用()9x -天完成任务.……………… 1分； 根据题意得：600480060029x x-⨯=-， ……………… 3分； 解得：2x =.经检验：2x =是原方程的解，且符合实际问题的意义. ……………… 4分； ∴6003002=， 答：原计划每天修建公路300米. ……………… 5分. 四、解答题19. （1）0.05a =，24b =. ……………… 2分； 补全频数分布直方图正确； ……………… 4分； （2）0.371000370⨯=. ……………… 5分. 估计全校1000名学生中约有370名获奖. 20．解法一：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴30ADF ECB ∠=∠=o，3ED EC ==， 在Rt △ADF 中，90A ∠=o，AD =∴tan AFADF AD∠=，tan 30==o∴1AF =，∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分； 过点E 作EG CB ⊥，交CB 的延长线于点G . ……………… 3分； 在Rt △ECG 中，90EGC ∠=o ，3EC =，30ECG ∠=o ，G 第20题图A BCDEF∴1322EG EC==，cosGCECGEC∠=，cos303GC==o，∴GC=∴GB GC BC=-==，由勾股定理得，222EB EG GB=+，∴EB=……………… 4分；∴△BEF的周长=3EF FB EB++=……………… 5分.解法二：∵矩形ABCD，△DCE是等边三角形，∴60EDC ECD∠=∠=o，3ED EC==，过点E作EH CD⊥交CD于点H，交AB于点G. ……………… 1分；∴点H是DC的中点，点G是AB的中点，30FEG∠=o，GH AD==，在Rt△EHD中，90EHD∠=o，3ED=，∴sinEHEDHED∠=，sin603EH==o∴EH=∴EG EH GH=-==.在Rt△EGF中，90EGF∠=o，60EFG∠=o，∴sinEGEFGEF∠=，sin60==o∴1EF=，……………… 2分；HFEDCBA第20题图G∴1122FG EF ==， ∵点G 是AB 的中点，3AB =， ∴1322GB AB ==， ∴13222FB FG GB =+=+=， ……………… 3分； 由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB = ……………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分. 解法三：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==， 在Rt △ADF 中，90A ∠=o，AD =∴tan AFADF AD∠=，tan 30==o∴1AF =，∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分； 过点B 作BG CE ⊥，交CE 于点G . ……………… 3分； 在Rt △BCG 中，90BGC ∠=o，BC =，30ECB ∠=o ，∴12BG BC ==，cos GC BCG BC∠=，cos 30==o， ∴32GC =， ∴33322GE EC GC =-=-=， G 第20题图ABCDEF由勾股定理得，222EB EG GB =+，或BG 是线段EC 的垂直平分线，∴EB =BE =BC ， ………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分. 21． (1)证明：连接OD.∵OD OA =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴ODA CAD ∠=∠， ……………… 1分； ∴AE ∥OD ， ∵DE AE ⊥， ∴ED DO ⊥，∵点D 在⊙O 上，∴ED 是⊙O 的切线； ……………… 2分；（2）解法一：连接CB ,过点O 作OG AC ⊥于点G .…………… 3分； ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o ， ∵OG AC ⊥， ∴OG ∥CB ， ∴AG ACAO AB=， ∵5AC =3AB ，∴35AG AO =， ……………… 4分； 设35AG x AO x ==，， ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴四边形EGOD 是矩形，第21题图第21题图∴EG OD =，AE ∥OD ，∴5DO x =，5GE x =，8AE x =, ∴△AEF ∽△DFO ， ∴ EF AEFO OD =， ∴85EF FO = ， ∴135EO FO =. ……………… 5分． 解法二：连接CB ,过点A 作AH DO ⊥交DO 的延长线于点H . ………… 3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴四边形AHDE 是矩形， ∴EA DH =，AE ∥HD ，AH ∥ED ，∴CAB AOH ∠=∠， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o ， ∴ACB AHO ∠=∠， ∴△AHO ∽△BCA ， ∴OH ACAO AB=， ∵5AC =3AB ，∴35OH AO =， ……………… 4分； 设35OH x AO x ==，， ∴5DO x =，8AE DH x ==, ∵AE ∥HD ，∴△AEF ∽△DFO ， ∴EF AEFO OD=，第21题图∴85EF FO = ， ∴135EO FO =. ……………… 5分． 解法三：连接CB ,分别延长AB 、ED 交于点G . ………… 3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴AE ∥OD ，90ODG ∠=o ，∴CAB DOG ∠=∠， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o ， ∴ACB ODG ∠=∠， ∴△GDO ∽△BCA ， ∴OD ACOG AB=， ∵5AC =3AB ，∴35OD OG =， ……………… 4分； 设35OD x OG x ==，， ∴5AO x =，8AG AO OG x =+=, ∵AE ∥OD ，∴△AEG ∽△ODG ，△AEF ∽△DFO ， ∴ AG AE OG OD = ， EF AEFO OD =， ∴85EF FO = ， ∴135EO FO =. ……………… 5分. 22.(1)②①②①②①（直角三角形）①②（等腰梯形）（矩形）第21题图画图正确； 每图各1分，共3分；(2)面积关系是 S 1=S 2=S 3 ； ……………… 4分； 周长关系是 l 1>l 2>3l ． ……………… 5分. 五、解答题： 23.解：(1)令0y =，则()22140x k x k -++=解方程得：2x k =或2x =， ……………… 1分；由题意得：()20A k ，，()20B ，， ∴ 31222-k <<-， ∴3144k -<<-. ……………… 2分； (2)令0x =，则4y k =，∴()04M k ，， ∵OM OB =，∴ 42k -=， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. ……………… 4分；或∵OM OB =，()20B ，， ∴()0M ，-2，把点M 的坐标分别代入()2214y x k x k =-++中，∴42k =-， ……………… 3分； ∴ 12k =-，∴22y x x =--. ……………… 4分；(3)2，5+，5. （每个答案各1分） ……………… 7分． 24．解：（1）过点A 作AG BC ⊥于点G . ∵∠ADB=60°，2AD =， ∴1DG =，AG =∴ 3GB =，∴tan AG ABG BG ∠==， ∴30ABG ∠=o，AB =， ……………… 1分； ∵ △ABC 是等边三角形，∴ 90DBC ∠=o，BC =， ……………… 2分；由勾股定理得：CD ===. …… 3分；（2）作60EAD ∠=o ，且使AE AD =，连接ED 、EB . ………… 4分； ∴△AED 是等边三角形， ∴AE AD =，60EAD ∠=o ，∵ △ABC 是等边三角形， ∴AB AC =，60BAC ∠=o ， ∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠， 即EAB DAC ∠=∠，∴△EAB ≌△DAC . ……………… 5分； ∴EB =DC .当点E 、D 、B 在同一直线上时，EB 最大，∴246EB =+=， ……………… 6分； ∴ CD 的最大值为6，此时120ADB ∠=o .……………… 7分.另解：作60DBF ∠=o ，且使BF BD =，连接DF 、AF . 参照上面解法给分. 25．解：（1）由题意得：()10A -，，()30B ，，()03-D ，，()10M ，. ∴AM ， ∴OC ==，∴(0CG第24题图D CBA 第24题图ED CBA FA BCD第24题图G 第25题图y xMO DC B A∵GC 是⊙M 的切线， ∴90GCM ∠=o∴cos OM MCOMC MC MG∠==， ……………… 1分； ∴122MG=， ∴4MG =，∴()30G -，， ∴直线GC的表达式为y =. ……………… 2分； （2）设过点D 的直线表达式为3y kx =-，∴2323,y kx y x x =-⎧⎨=--⎩， ∴()220x k x -+=，或1202x x k ==+，0)]2([2=+-=∆k ，或12x x =， ……………… 3分；∴2k =-，∴ 过点D 的“蛋圆”的切线的表达式为23y x =--. ……………… 4分；（3）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设()E m n ，，则点F 的坐标为()m n -，. EF 与x 轴交于点H ，连接EM . ∴222HM EH EM +=，∴()2214m n -+=，……① ………… 5分；∵点F 在二次函数223y x x =--的图象上， ∴223m m n --=-，……②解由①②组成的方程组得：11m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩；11m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩0n =舍去)……………… 6分；由对称性可得：11m n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩；11m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩……………… 7分；∴()11E +，()21E，()311E +-，()411E -.… 8分. H F EA B CDO M x y 第25题图。