【高中数学】2018最新北师大版高中数学选修1-1学案：第一章 3.3 全称命题与特称命题的否定
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章 疑难规律
1解逻辑用语问题的三绝招1．化为集合——理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：①A是B的充分条件，即A⊆B.(如图1)②A是B的必要条件，即B⊆A.(如图2)③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)图1图2图3④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．或例1“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)解析设命题p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为A、B，则A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，显然“A⊈B，B⊈A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分又不必要条件．答案既不充分又不必要2．抓住量词——对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2 (1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为______________．(2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为____________．解析 (1)将命题p 转化为“当x ∈[1,2]时，(x 2－a )min ≥0”，即1－a ≥0，即a ≤1.命题q ：即方程有解，Δ＝(2a )2－4×(2＋a )≥0，解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a ≤－1.(2)将命题p 转化为当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0，即4－a ≥0，即a ≤4.命题q 同(1)．综上所述a ≤－1或2≤a ≤4.答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．3．等价转化——提高速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3 设p ：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0，q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求r的取值范围．分析 “q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”．设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则可由A ∁R B 出发解题．解 设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A 表示平面区域，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，即圆x 2＋y 2＝r 2外的点的集合． ∵A ∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ，∴直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于r ，∵原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离d ＝|－12|32＋42＝125，∴r 的取值范围为0<r <125. 点评 若直接解的话，q 是綈p 的充分不必要条件即为x 2＋y 2≤r 2 (r >0)在p ：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．2 命题的否定与否命题辨与析否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．1．否命题与命题的否定的概念设命题“若A ，则B ”为原命题，那么“若綈A ，则綈B ”为原命题的否命题，“若A ，则綈B ”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．例1 写出下列命题的否命题及否定：(1)若|x |＋|y |＝0，则x ，y 全为0；(2)函数y ＝x ＋b 的值随x 的增加而增加．分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A ，则B ”的形式，然后再写出相应的命题．解 (1)原命题的条件为“|x |＋|y |＝0”，结论为“x ，y 全为0”．写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x |＋|y |≠0，则x ，y 不全为0”．写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x |＋|y |＝0，则x ，y 不全为0”．(2)原命题可以改写为“若x 增加，则函数y ＝x ＋b 的值也随之增加”．否命题为“若x 不增加，则函数y ＝x ＋b 的值也不增加”；命题的否定为“若x 增加，则函数y ＝x ＋b 的值不增加”．2．否命题与命题的否定的真假从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．例2写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若x2<4，则－2<x<2；(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.分析依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．解(1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”．命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”．命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.3走出逻辑用语中的误区误区1所有不等式、集合运算式都不是命题例1判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．(1)x＋2>0；(2)x2＋2>0；(3)A∩B＝A∪B；(4)A⊆A∪B.错解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命题．剖析(1)中含有未知数x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；若A B，则A∩B＝A A∪B＝B.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．(4)A为A∪B的子集，故A⊆A∪B成立，故(4)为真命题．正解(2)、(4)是命题，且都为真命题．误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．正解(1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．误区3搞不清谁是谁的条件例3使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是()A．x>3 B．x>4C．x>2 D．x∈{1,2,3}错解由不等式x－3>0成立，得x>3，显然x>3⇒x>2，又x>2D⇒/x>3，因此选C.剖析若p的一个充分不必要条件是q，则q⇒p，pD⇒/q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4⇒x－3>0，而x－3>0D⇒/x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.正解 B误区4用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例4(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p或q”．(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”．错解(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．正解(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．误区5不能正确否定结论例5p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．错解綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．剖析命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．正解綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．误区6对含有一个量词的命题否定不完全例6已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.剖析该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．正解綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.误区7忽略了隐含的量词例7写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线；(2)奇函数的图像关于y轴对称．错解(1)不相交的两条直线不是平行直线；(2)奇函数的图像不关于y轴对称．剖析以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．正解(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称．4 解“逻辑”问题需强化三意识1．转化意识由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．例1 证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.证明 命题“若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1”的逆否命题是“若a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝0”．由a －b ＝1得a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝a －b －1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.例2 已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．解 解不等式x 2－8x －20>0，得p ：A ＝{x |x >10或x <－2}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q ，但qD ⇒/p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >01＋a ≤101－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >01＋a <101－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]．2．简化意识判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．例3 已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，即y ＝x 2＋2x ＋a 的值域是(0，＋∞)，即在方程x 2＋2x ＋a ＝0中，Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即p 真⇔a ≤1；函数y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a >1⇔a <2，即q真⇔a<2.由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1<a<2.故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．答案(1,2)点评若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．3．反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．例4设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．①A⊈B⇔对任意x∈A，都有x∉B；②A⊈B⇔A∩B＝∅；③A⊈B⇔B A；④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B.分析画出表示A B的V enn图进行判断．解析画出Venn图，如图1所示，则A B⇔存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．A B⇒B A不成立的反例如图2所示．同理可得B A⇒A B不成立．故③是假命题．综上知，真命题的序号是④.答案④。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章 常用逻辑
1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换.2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”.3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分.4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是”来表示.5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混.6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p ，则q ”，其否命题形式为“若綈p ，则綈q ”，其命题的否定为“若p ，则綈q ”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p ，结论q ，改写成“若p ，则q ”的形式再判断.题型一 转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化. 例1 判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ； (3)若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |.解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真.(2)该命题的逆否命题：“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假. (3)该命题的逆否命题：“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它为假命题，故原命题为假. 跟踪训练1 下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2(其中r >0)； (2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1.解 (1)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b 2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立，说明圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件. (2) 綈q ：x ＝－1且y ＝－1，綈p ：x ＋y ＝－2.∵綈q ⇒綈p ，而綈pD ⇒/綈q ，∴綈q 是綈p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件.例2 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p 且q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3， 即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p 且q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3). (2) 綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈qD ⇒/綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].跟踪训练2 命题p ：任意x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围. 解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2. 由已知条件知：p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1，当q 为真，p 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，－2≤a <1或a >2. 题型二 分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围. 解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真.p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52.(1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[12，1).(2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩[(0，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞).综上，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞).方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}， B ＝{a |q (a )}＝{a |0<a <12或a >52}，∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈(A ∪B )且a ∉(A ∩B )， 故a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞).跟踪训练3 命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的定义域为R ；命题q ：函数g (x )＝x ＋ax －2在(2，＋∞)上是增函数.如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解 当p 为真命题时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4－4a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >1，∴a >1. 当q 为真命题时，g (x )＝x －2＋2＋a x －2＝1＋a ＋2x －2在(2，＋∞)上是增函数，∴a ＋2<0，即a <－2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 与q 一真一假，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).3.数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上.例4 设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________. 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图像如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1，故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件.故填0<m <1.跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.(0，12)B.(12，1) C.(1,2) D.(2，＋∞) 答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(12，1).1.对于命题的判断问题，在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查.考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容，得到命题者的青睐.该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系.体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求.解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题来解决.2.充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径.通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解.3.正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法，熟记规律：已知命题p 、q ，只要有一个命题为假，p 且q 就为假；只要有一个为真，p 或q 就为真，綈p与p真假相对.另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆.4.解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真.。
北师大版数学高一北师大版选修1-1教案 3.3 计算导数2
3.3 计算导数教学过程： 一、创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()y f x =,如何求它的导数呢？由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 二、新课讲授1.函数()y f x c ==的导数 根据导数定义,因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数,则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.2.函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x yy ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1,若y x =表示路程关于时间的函数,则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.3.函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00limlim(2)2x x yy x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x <时,随着x 的增加,函数2y x =减少得越来越慢;当0x >时,随着x 的增加,函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数,则2y x '=可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为2x . 4.函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y∆→∆→∆'==-=-∆5.函数()y f x==因为()()y f x x f x x x x∆+∆-==∆∆∆==所以lim x y ∆→'=推广: 若*()()n y f x x n Q ==∈,则1()n f x nx -'=注:这里n 可以是全体实数. 6. 基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '=⑷ 2()2x x '=⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=-⑺ '=由⑶~⑹你能发现什么规律?⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)xxa a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ xx e )(e =' ⑿ x1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案：第1章 全称量词与存在量词 参考教案2
1.3 全称量词与全称命题一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。
大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。
问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船分析:①张②头③条④匹⑤户⑥叶什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。
汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。
不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。
二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。
我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。
问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n×n；（6）有一个自然数s使得对于所有自然数n，有s=n×n；分析:上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。
三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。
命题的量词，表示的是主词数量的概念。
在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。
全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。
其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。
”例句：“所有的鱼都会游泳。
”存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。
其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。
”例句：“有的工程师是工人出身。
”含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。
高中数学【北师大选修1-1】教案全集
第一章常用逻辑用语1.1 命题教学过程：一、复习准备：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？(1)矩形的对角线相等；(2) 3 12；(3) 3 12 吗？(4)8是24的约数；(5)两条直线相交，有且只有一个交点；(6)他是个高个子.二、讲授新课：1.教学命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题( proposition ).也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件^上述6个语句中，(1) (2) (4) (5) (6)是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题(true proposition );假命题：判断为假的语句叫做假命题(false proposition ).上述5个命题中，(2)是假命题，其它4个都是真命题.③例1:判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)空集是任何集合的子集；(2)若整数a是素数，则a是奇数；(3)2小于或等于2;(4)对数函数是增函数吗？(5)2x 15;16)平面内不相交的两条直线一定平行；(7)明天下雨.(学生自练个别回答教师点评)④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假 .2.将一个命题改写成“若p ,则q”的形式：①例1中的(2)就是一个“若p,则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题白条件，q 叫做命题的结论.②试将例1中的命题(6)改写成“若p ,则q ”的形式.③例2：将下列命题改写成“若p ,则q ”的形式.(1)两条直线相交有且只有一个交点；(2)对顶角相等；(3)全等的两个三角形面积也相等 .(学生自练个别回答教师点评)3.小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p,则q”的形式. 巩固练习：教材P4 1、2、34.四种命题的概念：(师生共析学生说出答案教师点评)②例1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)同位角相等，两直线平行；(2)正弦函数是周期函数；(3)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.(学生自练个别回答教师点评)5.教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题(2)与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系②四种命题的相互关系图：题q否否命I若「P D③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系^④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系^⑤例2若p2 q22,则p q 2.(利用结论一来证明)(教师引导学生板书教师点评)6.小结：四种命题的概念及相互关系.巩固练习：1.练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假^(1)函数y x2 3x 2有两个零点；(2)若a b,则a c b c;(3)若x2y20,则x,y全为0; (4)全等三角形一定是相似三角形；(5)相切两圆的连心线经过切点.2.作业：教材P9页第2 (2)题P10页第3(1)题第一章常用逻辑用语1.1 命题一、复习引入：探究：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？(1)若直线a // b,则直线a和直线b无公共点；(2)2+4=7;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)若x2 1,则x=1;(5)两个全等三角形的面积相等；(6)3能被2整除.二、讲授新课：1、概念：一般地，在数学中我们把用表达的，可以判断的叫做命题，其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题。
2018版高中数学选修1-1学案：3-3-1 单调性 精品
3．3.1单调性学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间．知识点函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察下列各图，完成表格内容思考2依据上述分析，可得出什么结论？梳理(1)(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：类型一求函数的单调区间命题角度1求不含参数的函数的单调区间例1求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．反思与感悟求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．跟踪训练1 求函数f (x )＝e xx －2的单调区间．命题角度2 求含参数的函数的单调区间 例2 讨论函数f (x )＝x 2－a ln x (a ≥0)的单调性． 引申探究若将本例改为f (x )＝ax 2－ln x (a ∈R )呢？反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f ′(x )的符号，否则会产生错误．(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．跟踪训练2 已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，其中x ∈R ，t ∈R .当t ≠0时，求f (x )的单调区间．类型二 证明函数的单调性问题例3 证明：函数f (x )＝sin xx 在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥(或≤)0.跟踪训练3 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数．类型三 已知函数的单调性求参数范围例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．反思与感悟 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f (x )在区间I 上单调递增(或减)，转化为不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间I 上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．跟踪训练4 已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2－(a ＋1)x ＋2在区间[1,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．1．关于函数f (x )＝1－x －sin x ，下列说法正确的是________．(填序号) ①在(0,2π)上是增函数； ②在(0,2π)上是减函数；③在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数； ④在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数．2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是________．3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为________．4．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为________．5．求函数f(x)＝(x－k)e x的单调区间．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．提醒：完成作业第3章§3.3 3.3.1答案精析问题导学 知识点思考1 正 递增 正 正 递增 负 递减 负 负 递减 负 负 递减 思考2 一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上， ①如果f ′(x )>0，则f (x )在该区间上单调递增； ②如果f ′(x )<0，则f (x )在该区间上单调递减． 梳理 (1)> 锐 上升 递增 < 钝 下降 递减 (2)增 减 题型探究例1 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝6x －2x ＝2(3x 2－1)x＝2(3x －1)(3x ＋1)x，由x >0，解f ′(x )>0，得x >33； 由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. 所以函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． 跟踪训练1 解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)． 例2 解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －a x ＝2x 2－ax.设g (x )＝2x 2－a ，由g (x )＝0，得2x 2＝a .当a ＝0时，f ′(x )＝2x >0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数； 当a >0时，由g (x )＝0，得x ＝2a 2或x ＝－2a 2(舍去)． 当x ∈(0，2a2)时，g (x )<0， 即f ′(x )<0； 当x ∈(2a2，＋∞)时，g (x )>0， 即f ′(x )>0.所以当a >0时，函数f (x )在区间(0，2a 2)上为减函数，在区间(2a 2，＋∞)上为增函数． 综上，当a ＝0时，函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)； 当a >0时，函数f (x )的单调增区间是(2a 2，＋∞)，单调减区间是(0，2a2)． 引申探究解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x，当a ≤0时，且x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数； 当a >0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝2a 2a 或－2a2a (舍去)． 当x ∈(0，2a2a)时，f ′(x )<0， ∴f (x )为减函数； 当x ∈(2a2a，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )为增函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数； 当a >0时，f (x )在(0，2a 2a )上为减函数，在(2a 2a，＋∞)上为增函数． 跟踪训练2 解 f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2 ＝6(x ＋t )(2x －t )，令f ′(x )＝0，得x 1＝－t ，x 2＝t2.当t <0，x ∈(t2，－t )时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x ∈(－∞，t2)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数，同理当x ∈(－t ，＋∞)时，f (x )也为增函数．∴当t <0时，f (x )的增区间为(－∞，t2)和(－t ，＋∞)，f (x )的减区间为(t2，－t )；当t >0，x ∈(－t ，t2)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数，当x ∈(－∞，－t )和x ∈(t2，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数，∴当t >0时，f (x )的增区间为(－∞，－t )，(t2，＋∞)，f (x )的减区间为(－t ，t2)．综上所述，①当t <0时，f (x )的单调增区间是(－∞，t 2)，(－t ，＋∞)，单调减区间是(t2，－t )．②当t >0时，f (x )的单调增区间是(－∞，－t )，(t 2，＋∞)，单调减区间是(－t ，t2)．例3 证明 f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 则cos x <0，sin x >0， ∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数． 跟踪训练3 证明 ∵f (x )＝ln x x ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln xx 2. 又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1.∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数．例4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵当x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))，有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16]．跟踪训练4 解 方法一 f ′(x )＝x 2－ax －(a ＋1)， 因为函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f ′(x )≤0，即x 2－ax －(a ＋1)≤0，解得a ≥x －1. 因为在[1,2]上，a ≥x －1恒成立， 所以a ≥(x －1)max ＝1.所以a 的取值范围是[1，＋∞)． 方法二 f ′(x )＝(x ＋1)[x －(a ＋1)]， 由于函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f ′(x )≤0，当a >－2时，解得－1≤x ≤a ＋1， 即减区间为[－1，a ＋1]，则[1,2]⊆[－1，a ＋1]，得a ≥1. 当a ≤－2时，解得减区间为[a ＋1，－1]， 则函数f (x )不可能在[1,2]上为减函数，故a ≥1. 所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 当堂训练1．② 2.④ 3.⎝⎛⎭⎫0，1a 4.[3，＋∞) 5．解 f ′(x )＝e x ＋(x －k )e x ＝(x －k ＋1)e x ，当x <k －1时，f ′(x )<0； 当x >k －1时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)，单调递增区间为(k －1，＋∞)．。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 3 全称量词与存在量词学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-
§3全称量词与存在量词[对应学生用书P8]全称量词与全称命题在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？提示：任意一个，全部，每个．问题2：上述词语都有什么含义？提示：表示某个范围内的整体或全部．全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.存在量词与特称命题观察语句①②：①存在一个x∈R，使3x＋1＝5；②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．问题1：①②是命题吗？若是命题，判断其真假．提示：是，都为真命题．问题2：①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？提示：表示总体中“个别”或“一部分”．问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？提示：某些，有的，有些．存在量词与特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.全称命题与特称命题的否定观察下列命题：①被7整除的整数是奇数；②有的函数是偶函数；③至少有一个三角形没有外接圆．问题1：命题①的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？提示：不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．问题2：命题②的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数．问题3：判断命题③的否定的真假．提示：命题③的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．[对应学生用书P9]全称命题与特称命题的判断[例1] 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．[思路点拨] 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．[精解详析] (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．[一点通]判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：(1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．1．下列命题为特称命题的是( )A．奇函数的图像关于原点对称B．正四棱柱都是平行六面体C．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0解析：A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.答案：D2．下列命题中，全称命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0个B．1个C．2个D．3个解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．答案：D全称命题与特称命题的真假判断[例2] 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有tan x1<tan x2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．[思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．[精解详析] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，所以该命题是假命题．(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．[一点通]1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3．下列命题的假命题是( )A．有些不相似的三角形面积相等B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0C ．存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大D ．有一个实数的倒数是它本身解析：以上4个均为特称命题，A ，C ，D 均可找到符合条件的特例；对B ，任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.故B 为假命题．答案：B4．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)对任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12成立；(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立； (3)对任意x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)存在x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3成立．解：(1)法一：当x ∈R 时，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34＞12，所以该命题是真命题．法二：x 2－x ＋1＞12 ⇔x 2－x ＋12＞0，由于Δ＝1－4×12＝－1＜0，所以不等式x 2－x ＋1＞12的解集是R ，所以该命题是真命题． (2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos(π4－π2)＝cos(－π4)＝cos π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22，此时cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题．(3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∈/ N ，所以该命题是假命题．(4)当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，即存在x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3，所以该命题是真命题.全称命题、特称命题的否定[例3] (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形．[思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．[精解详析] (1)是全称命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为180°， 即存在一个三角形的内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下． (3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数． (4)是特称命题，且为真命题．命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形． [一点通]1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．2．写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后再否定结论．5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：根据特称命题的否定是全称命题即可解答．“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选B.答案：B6．若“对任意x ∈R ，ax 2－2ax －1＜0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：依题意，问题等价于对任意x ∈R ，ax 2－2ax －1＜0恒成立．当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋4a ＜0，解得－1＜a ＜0，故实数a 的取值范围是(－1,0]答案：(－1,0]7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；(4)对任意m∈Z，都有m2－3＞0成立．解：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断．2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题；(2)改变量词；(3)否定结论；(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．[对应课时跟踪训练三]1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x＜0，y＜0，使x2＋y2≤2xy成立解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．答案：A2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立C ．对任意x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．对任意x ∈R ，f (x )≤0成立解析：“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x ，使得f (x )＞0成立”，故选A.答案：A3．下列命题为真命题的是( ) A ．对任意x ∈R ，都有cos x ＜2成立 B ．存在x ∈Z ，使log 2(3x －1)＜0成立 C ．对任意x ＞0，都有3x＞3成立 D ．存在x ∈Q ，使方程2x －2＝0有解解析：A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1＜2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)＜0⇔0＜3x －1＜1⇔13＜x ＜23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∈/ Q ，所以D 是假命题，故选A.答案：A4．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，使x ＞0；④对于任意实数x,2x ＋1都是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是特称命题D ．四个命题中有两个假命题解析：①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题． 答案：C5．下列命题中全称命题是__________；特称命题是________． ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题． 答案：①③ ②④6．命题“偶函数的图像关于y 轴对称”的否定是________．解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y 轴不对称”．答案：有些偶函数的图像关于y 轴不对称 7．写出下列命题的否定并判断其真假． (1)有的四边形没有外接圆； (2)某些梯形的对角线互相平分； (3)被8整除的数能被4整除．解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题． (2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题． (3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．8．(1)若命题“对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”是真命题，求实数m 的取值范围．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，使sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章 3.1 全称量词与全称命题 -3.2 存在量词与特称命题
3．1全称量词与全称命题3．2存在量词与特称命题学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：(1)每一个三角形都有内切圆；(2)所有实数都有算术平方根；(3)对一切有理数x,5x＋2还是有理数．以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．梳理集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断它为假，只需在M 中找到一个x ，使p (x )不成立，即“存在x ∈M ，p (x )不成立”．知识点二 存在量词与特称命题思考 观察下列命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数x ，使x >5.(3)至少有一个实数x ，使x 2－2x ＋2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．梳理判断特称命题真假性的方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ，使p (x )成立即可，否则，这一特称命题是假命题．类型一 识别全称命题与特称命题例1 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有些实数a ，b 能使|a －b |＝|a |＋|b |；(3)对任意a ，b ∈R ，若a >b ，则1a <1b； (4)有一个函数，既是奇函数，又是偶函数．反思与感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1下列命题不是特称命题的是()A．有些实数的平方可以等于零B．存在x<0，使x2<0C．至少有一个三角函数的周期是2πD．二次函数的图像都是抛物线类型二全称命题与特称命题的真假的判断例2判断下列命题的真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；(4)存在一个函数，既是偶函数，又是奇函数．引申探究例2若将题中(2)(3)(4)改为①对所有的实数，它的绝对值均不是正数；②存在实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；③任意一个函数，都既是偶函数又是奇函数，判断其真假．反思与感悟(1)判断全称命题真假的方法①要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题p(x)为真．②要判断一个全称命题为假时，即否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．(2)判断特称命题真假的方法①要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题q(x)为真．②要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题q(x)为假．所以说，全称命题与特称命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系．跟踪训练2判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．(1)对任意x∈N,2x＋1是奇数．(2)每一个平行四边形的对角线都互相平分．(3)存在一个x∈R，使1x－1＝0.(4)存在一组m，n的值，使m－n＝1.(5)至少有一个集合A，满足A {1,2,3}．类型三全称命题、特称命题的应用例3(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3(1)对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．1．下列命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.A ．0B ．1C ．2D ．32．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数3．下列含有量词的命题为真命题的是( )A ．所有四边形都有外接圆B ．有的等比数列的项为零C ．存在实数没有偶次方根D ．任何实数的平方都大于零4．对任意的x ∈[0，π4]，tan x ≤m 是真命题，则实数m 的最小值为________． 5．将下列命题改写为含有量词的命题，使其为真命题．(1)相等的角是对顶角；(2)sin x ＋cos x <3.1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．答案精析问题导学知识点一思考 命题(1)(2)(3)分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．命题(1)(3)是真命题，命题(2)是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题(2)为假命题．梳理 全称量词 任意x ∈M ，p (x )知识点二思考 命题(1)(2)(3)分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题(1)(2)是真命题，命题(3)是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题(1)(2)是真命题，而任意实数x ，x 2－2x ＋2都大于0，所以命题(3)为假命题．梳理 存在量词 存在x ∈M ，p (x )题型探究例1 解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，是全称命题．(2)含有存在量词“有些”，故是特称命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有一个”，是特称命题．跟踪训练1 D例2 解 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，故该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，故该命题是真命题．(3)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，故该命题是假命题．(4)存在一个函数f (x )＝0，它既是偶函数，又是奇函数，故该命题是真命题．引申探究 解 ①存在实数1，它的绝对值是正数，故该命题是假命题．②因为当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，函数y ＝tan x 是增加的，故存在x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2，故该命题是真命题．③如函数y ＝x 2＋1，它是偶函数，但不是奇函数，故该命题是假命题．跟踪训练2 解 (1)是全称命题．因为对任意x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以全称命题：“对任意x ∈N,2x ＋1是奇数”是真命题．(2)是全称命题．由平行四边形的性质可知此命题是真命题．(3)是特称命题．不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立，所以该命题是假命题． (4)是特称命题．当m ＝4，n ＝3时，m －n ＝1成立，所以该命题是真命题．(5)是特称命题．存在A ＝{3}，使A {1,2,3}成立，所以该命题是真命题． 例3 解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74， ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫74，＋∞. (2)∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，∴a >1. 即a 的取值范围是(1，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[]－2，2， 又存在x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．当堂训练1．B 2.D 3.C 4.15．解 (1)存在相等的两个角是对顶角．(2)对任意x ∈R ，sin x ＋cos x <3.。
2018版高中数学选修1-1学案：3章末复习课 精品
学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．知识点三函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．类型一数形结合思想的应用例1已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________．反思与感悟 解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．跟踪训练1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是________．类型二 构造函数求解命题角度1 比较函数值的大小例2 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x <0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 12)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 反思与感悟 本例中根据条件构造函数g (x )＝xf (x )，通过g ′(x )确定g (x )的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．跟踪训练2 设a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是________．命题角度2 求解不等式例3 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )<f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )>2e x 的解集为________．反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数g (x )＝f (x )e x，通过导函数判断g (x )的单调性，利用单调性得到x 的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )为其导函数．当x >0时，f (x )＋x ·f ′(x )>0，且f (1)＝0，则不等式x ·f (x )>0的解集为________． 命题角度3 利用导数证明不等式 例4 已知x >1，证明不等式x －1>ln x .反思与感悟利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．跟踪训练4证明：当x>0时，2＋2x<2e x.类型三利用导数研究函数的极值与最值例5已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．反思与感悟(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练5已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________．(填序号)2．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________．3．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，下列式子判断正确的是________． ①f (x )g (x )>f (b )g (b )；②f (x )g (a )>f (a )g (x )； ③f (x )g (b )>f (b )g (x )；④f (x )g (x )>f (a )g (a )． 5．已知x >0，求证：x >sin x .导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．提醒：完成作业 第3章 习课题答案精析知识梳理 知识点一 增 减 知识点二(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 知识点三2．极值 f (a )，f (b ) 最大 最小 题型探究例1 ④ 跟踪训练1 ① 例2 b <c <a 跟踪训练2 a >b >c 例3 (0，＋∞) 跟踪训练3 (1，＋∞) 例4 证明 设f (x )＝x －1－ln x ，x ∈(1，＋∞)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，因为x ∈(1，＋∞)， 所以f ′(x )＝x －1x>0，即函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 又x >1，所以f (x )>f (1)＝1－1－ln 1＝0， 即x －1－ln x >0，所以x －1>ln x . 跟踪训练4 证明 设f (x )＝2＋2x －2e x ， 则f ′(x )＝2－2e x ＝2(1－e x )． 当x >0时，e x >e 0＝1， ∴f ′(x )＝2(1－e x )<0.∴函数f (x )＝2＋2x －2e x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，x ∈(0，＋∞)． 即当x >0时，2＋2x －2e x <0， ∴2＋2x <2e x .例5 解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2， 得f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上，f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：f (x )min ＝f (2)＝－f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个． 因为f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0， 所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x ∈[1,2)时，g ′(x )<0；当x ∈(2,3]时，g ′(x )>0. 要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0. 即实数c 的取值范围为(－2,0]．跟踪训练5 解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称， 则f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ， 于是2(a －1)x 2＋2b ＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，b ＝0，解得a ＝1，b ＝0. (2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4； 令f ′(x )<0，得－4<x <4；令f ′(x )>0，得x <－4或x >4.∴f (x )的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)， ∴f (x )极大值＝f (－4)＝128， f (x )极小值＝f (4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，则f (4)＝－128， f (1)＝－47，f (5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128. 当堂训练1．③ 2.－37 3.(－∞，12) 4.③5．证明 设f (x )＝x －sin x (x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立， ∴函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是单调增函数， 又f (0)＝0，∴f (x )>0对x ∈(0，＋∞)恒成立， ∴x >sin x (x >0)．。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章3.3全称命题与特称命题的否定
3.3 全称命题与特称命题的否定［学习目标】1•理解含有一个量词的命题的否定的意义2会对含有一个量词的命题进行否定.3•掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.H问题导学-----------------------------知识点全称命题与特称命题的否定思考1写出下列命题的否定：①所有的矩形都是平行四边形；②有些平行四边形是菱形.思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形?思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形?梳理(1)全称命题的否定是____________(2) 特称命题的否定是 ___________ ;题型探究(3) 常见的命题的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x € A使p(x)真否定形式类型一全称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1) 任意n€ Z,贝U n € Q；(2) 等圆的面积相等，周长相等；(3) 偶数的平方是正数.反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1) 所有能被3整除的整数都是奇数；(2) 每一个四边形的四个顶点共圆；(3) 对任意x € Z , x2的个位数字不等于3.类型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定:2(1) 存在x€ R , x + 2x+ 2W 0;(2) 有的三角形是等边三角形；(3) 有一个素数含三个正因数.反思与感悟与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词, 再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定.跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：(1) 有些实数的绝对值是正数；(2) 某些平行四边形是菱形；⑶存在x, y€ Z,使得，2x+ y= 3.类型三含有一个量词的命题的否定的应用例3 已知命题p(x)：sin x+ cos x>m, q(x): x2+ mx+ 1>0.如果对于任意x€ R, p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围.引申探究若例3中“如果对于任意x€ R ,p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x€ R, p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围.反思与感悟若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题一一特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题------- 全称命题为真命题解决.跟踪训练3 已知函数f(x) = 4/ —2(p- 2)x- 2p2- p+ 1在区间［—1,1］上至少存在一个实数c, 使得当堂训练f(c)>0.求实数p的取值范围.1 •全称命题“任意实数的平方是正数”的否定是()A •任意实数的平方是负数B •任意实数的平方不是正数C .有的实数的平方是正数D •有的实数的平方不是正数2 •特称命题“有的素数是偶数”的否定是( )C ・所有能被3整除的整数都是奇数2 2 D .任意 x € R , sin x + cos x = 14. _______________________________________________________________________ 若“存在x € 0, n ，sin xcos x>m ”为假命题，则实数 m 的取值范围是 _______________________ 5 •写出下列命题的否定并判断其真假.(1) 不论m 取何实数，方程 x 2+ mx — 1 = 0必有实数根;(2) 有些三角形的三条边相等；(3) 余弦值为负数的角是钝角.厂"规律与方法 ---- ---------------------对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题:(1) 确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2) 改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3) 否定结论：原命题中的 “是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有” “不存 在”“不成立”等.(4) 无量词的全称命题要先补回量词再否定.A .有的素数不是偶数C .所有的素数都是偶数3 •下列命题的否定为假命题的是2 A .存在 x € R , x + 2x + 2< 0B .任意 x € R , lg x v 1 B .有的素数是奇数 D •所有的素数都不是偶数 ( )答案精析问题导学知识点思考1答案①并非所有的矩形都是平行四边形.②每一个平行四边形都不是菱形.思考2不能.思考3不能.梳理(1)特称命题(2)全称命题(3) 不是不都是 < 一个也没有至少有两个存在x€ A使p(x)为假题型探究例1解⑴存在n€Z,使n?Q,这是假命题.(2) 存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3) 存在偶数的平方不是正数，这是真命题.跟踪训练1解(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.⑶存在x€ Z, x2的个位数字等于3.例 2 解(1)任意x€ R, x2+ 2x+ 2>0.(2) 所有的三角形都不是等边三角形.(3) 每一个素数都不含三个正因数.跟踪训练2解⑴命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”.由于| —2|= 2,因此命题的否定为假命题.(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.⑶命题的否定：“任意x, y€ Z , 2x+ y z 3”.•••当x= 0, y= 3 时，J2x+ y= 3,因此命题的否定是假命题.例 3 解■/ sin x+ cos x>m ,若p(x)为真命题，则m<— 2.T p(x)为假命题，m > —2, ①2由q(x)为真命题，则△= m —4<0 ,即—2<m<2,②由①② 可得—■■■■■2 w m<2.引申探究解由例3知p(x)为真命题时，m<—2,q(x)为真命题时，—2<m<2.由题意知p(x)与q(x)两命题有一真一假，当p(x)为真，q(x)为假时，m<—2,m W —2 或m》2,得m W —2.当p(x)为假，q(x)为真时，I —2<m<2,得—，2 w m<2.所以m的取值范围是(—^,—2］U ［—2, 2).跟踪训练3解在区间［—1,1］中至少存在一个实数c,使得f(c)>0的否定是在区间［—1,1］上的所有实数x,都有f(x) w 0恒成立.又由二次函数的图像特征可知，f —1 W 0, 4+ 2 p—2 —2p2—p+ 1W 0,4 —2 p —2 —2p —p+ 1W 0,p > 1 或p w —2，即3p > 2 或P W —3.3二P > 2或P W — 3.3故p的取值范围是—3<p<q.当堂训练1 , 、1. D2.D3.D4.【2，+8 )5. 解(1)这一命题可表述为对任意的实数m,方程x2+ mx—1 = 0必有实数根.其否定：存在一个实数m,使方程x2+ mx—1 = 0没有实数根，因为该方程的判别式△= m2+ 4>0恒成立，故为假命题.(2)由于存在量词“有些”的否定的表述为“所有”，因此，原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题. (3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角，真命题.。
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3.3全称命题与特称命题的否定
学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
知识点全称命题与特称命题的否定
思考1写出下列命题的否定：
①所有的矩形都是平行四边形；
②有些平行四边形是菱形．
思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？
思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？
梳理(1)全称命题的否定是__________；
(2)特称命题的否定是__________；
(3)常见的命题的否定形式有：
类型一全称命题的否定
例1写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任意n∈Z，则n∈Q；
(2)等圆的面积相等，周长相等；
(3)偶数的平方是正数．。