最新高三数学暑假预科讲义 第7讲 等差、等比数列 强化教师版

第7讲等差、等比数列目录第7讲等差、等比数列 (1)考点1：等差数列 (1)一、等差数列的基本概念和公式 (1)二、等差数列的性质： (1)三、等差数列的单调性以及前n项和的最值探讨 (2)四、等差数列的判断方法 (3)典例精讲 (4)考点2：等比数列 (8)一、等比数列的基本概念和基本公式 (8)二、等比数列的性质（其中公比为q）： (8)三、等比数列的判断方法 (8)典例精讲 (9)综合练习 (13)一．选择题（共5小题） (13)二．填空题（共1小题） (15)三．解答题（共2小题） (15)考点1：等差数列一、等差数列的基本概念和公式1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2. 等差中项：如果三个数x，A ，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，即A=x+y2．3.通项公式：a n=a1+(n−1)d=a m+(n−m)d(n∈N∗,m∈N∗,m≤n)⇒d=a n−a mn−m(n,m∈N∗,n≠m)4. 前n项和公式：S n=n(a1+a n)2=na1+n(n−1)2d，(n∈N∗)；二、等差数列的性质：1. a m=a n+(m−n)d，d=a m−a nm−n(n∈N∗，m∈N∗);2. 若p +q =m +n ，则有a p +a q =a m +a n ；若2m =p +q ，则有2a m =a p +a q （p ，q ，m ，n ∈N ∗）； 3. {a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2n−1=(2n −1)a n ；{b n }为等差数列，S n ′为前n 项和，S 2n−1′=(2n −1)b n ；有a n b n =S2n−1S 2n−1′．4. 若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n +q }，{a n ±b n }也为等差数列，且公差分别为pd 1，d 1，d 1±d 2．5. 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n+m ，a n+2m ，．．．．，为等差数列，公差为md ．6. 等差数列的前n 项和也构成一个等差数列，即S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n ，⋯⋯为等差数列，公差为n 2d ，(n ∈N ∗)；三、等差数列的单调性以及前n 项和的最值探讨1. 在等差数列{a n }中，若公差d >0，则等差数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则等差数列{a n }为递减数列；若公差d =0，则等差数列{a n }为常数列； 补充：更一般性的情况，研究任一数列的增减性可以利用逐项作差法，即构造f (n )=a n+1−a n ，然后研究自变量n 变化时函数值f (n )的符号． 2. 有关等差数列{a n }的前n 项和为S n 的最值问题： 若a 1>0，d <0，则前n 项和为S n 存在最大值 若a 1<0，d >0，则前n 项和为S n 存在最小值 3. 如何求最值：方法一：（任何数列都通用）通过{a n ≥0a n+1≤0解出n 可求前n 项和为S n 的最大值；通过{a n ≤0a n+1≥0解出n 可求前n 项和为S n 的最小值； 方法二：利用等差数列前n 项和S n 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和S n 不存在最值），利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数；四、等差数列的判断方法1. 定义法：a n−a n−1=d（常数）(n∈N+，n≥2)⇔{a n}为等差数列；2. 等差中项法：2a n=a n−1+a n+1(n∈N+，n≥2)⇔{a n}为等差数列；3. 通项公式法：a n=kn+b（k，b是常数）⇔数列{a n}是等差数列；4. 前n项和法：数列{an}的前n项和S n=An2+Bn，(A，B是常数，A2+B2≠0)⇔数列{a n}是等差数列；若数列{a n}的前n项和S n=An2+Bn+C(A，B是常数，C≠0)，则数列{a n}从第二项起是等差数列．典例精讲【典例1】（2019•东湖区校级三模）已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，2+a5＝a6+a3，则S7＝（）A．2B．7C．14D．28【分析】利用等差数列的性质可得：a4＝a6+a3﹣a5．再利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵2+a5＝a6+a3，∴a4＝a6+a3﹣a5＝2．则S7=7(a1+a7)7a4＝14．2故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例2】（2019•济宁二模）已知等差数列{a n}的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a10＝（）A．26B．30C．34D．38【分析】由题意首先求得a2的值，然后结合等差数列的性质即可确定a10的值．【解答】解：由题意可得：∵a2，a3，a6成等比数列，∴a32=a2•a6，∴(a2+4)2=a2•（a2+4×4），解得a2＝2．则a10＝2+8×4＝34．故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．【典例3】（2019春•沙坪坝区校级期中）设等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，公差d＜0，a10•S21＜0，则S n最大时，n的值为（）A．11B．10C．9D．8【分析】S21=21×(a1+a21)=21a11．根据首项a1＞0，公差d＜0，a10•S21＜0，可得a10＞0，a11 2＜0．根据其单调性即可得出．【解答】解：S21=21×(a1+a21)=21a11．2∵首项a1＞0，公差d＜0，a10•S21＜0，∴a10＞0，a11＜0．则S n最大时，n的值为10．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例4】（2019春•屯溪区校级期中）已知数列{a n}、{b m}的通项公式分别为a n＝4n﹣2（1≤n≤100，n∈N*），b m＝6m﹣4（m∈N*），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求新数列的各项和（）A．6788B．6800C．6812D．6824【分析】数列{a n}、{b m}的通项公式分别为a n＝4n﹣2（1≤n≤100，n∈N*），b m＝6m﹣4（m ∈N*），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列为等差数列{c n}，其公差为4与6的最小公倍数12．其首项为：2．利用求和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}、{b m}的通项公式分别为a n＝4n﹣2（1≤n≤100，n∈N*），b m＝6m﹣4（m∈N*），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列为等差数列{c n}，其公差为4与6的最小公倍数12．其首项为：2．∴c n＝2+12（n﹣1）＝12n﹣10，令12n﹣10≤a100＝4×100﹣2，解得n≤34．∴新数列的各项和＝34×2+34×33×12=6800．2故选：B．【点评】本题考查了等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例5】（2019•海淀区校级二模）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（）A．2盏B．3盏C．26盏D．27盏【分析】塔的每层的灯数形成等差数列{a k}，公差d＝n．由题意可得：126＝9a1+9×8n，a92＝a1+8n＝13a1，联立解得：a1，n．解出即可得出．【解答】解：塔的每层的灯数形成等差数列{a k}，公差d＝n．由题意可得：126＝9a1+9×8n，2a9＝a1+8n＝13a1，联立解得：a1＝2，n＝3．∴塔的底层共有灯13×2＝26盏．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例6】（2019春•屯溪区校级期中）各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，a m−1+ a m+1−a m2=0(m＞1)，S2m﹣1＝38，则m等于（）A．38B．20C．10D．9【分析】由a m−1+a m+1−a m2=0(m＞1)，利用等差数列的性质可得：2a m−a m2=0，a m＞0．解得a m．再利用S2m﹣1=(2m−1)(a1+a2m−1)=（2m﹣1）a m＝38，即可得出．2【解答】解：由a m−1+a m+1−a m2=0(m＞1)，利用等差数列的性质可得：2a m−a m2=0，a m＞0．解得a m＝2．∴S2m﹣1=(2m−1)(a1+a2m−1)=（2m﹣1）a m＝38，2则m＝10．故选：C ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【典例7】（2019•合肥三模）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1+a 2+a 3＝4，S 6＝10，则a 3＝（ ） A ．149B ．169C ．209D ．73【分析】列出关于a 1，d 的方程组并解出，即可求得a 3的值． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ． ∵a 1+a 2+a 3＝4，S 6＝10， ∴3a 1+3d ＝4，6a 1+6×52d ＝10，联立解得：a 1=109，d =29 ∴a 3=a 1+2d =149．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【典例8】（2019•秦淮区三模）已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 2+a 6＝a 8．若p ﹣q ＝10．则a p ﹣a q ＝107【分析】设等差数列{a n }的公差为d ＞0，根据a 1＝1，且a 2+a 6＝a 8．可得2+6d ＝1+7d ，解得d ，进而得出结论．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ＞0，∵a 1＝1，且a 2+a 6＝a 8． ∴2+6d ＝1+7d ，解得d =17． 若p ﹣q ＝10．则a p ﹣a q ＝10d =107．故答案为：107．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例9】（2019•南京四模）设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1+a 4+a 7＝60，a 2+a 5+a 8＝51，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则正整数k 的值为 10 ．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 4+a 7＝60，a 2+a 5+a 8＝51，可得3a 1+9d ＝60，3a 1+12d ＝51，联立解得：a 1，d ，利用a n ≥0，解得n ．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 4+a 7＝60，a 2+a 5+a 8＝51， ∴3a 1+9d ＝60，3a 1+12d ＝51， 联立解得：a 1＝29，d ＝﹣3， ∴a n ＝29﹣3（n ﹣1）＝32﹣3n ． 令a n 32﹣3n ≥0，解得n ≤323=10+23．由对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则正整数k的值＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式求和公式及其单调性，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．考点2：等比数列一、等比数列的基本概念和基本公式1. 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q ≠0)表示．等比数列中的项不为0．2. 通项公式：a n =a 1q n−1=a m q n−m (n ∈N ∗，n ≥2) ；3. 前n 项和公式：S n ={na 1 (q =1)a 1(1−q n )1−q=a 1−a n q 1−q(q ≠1)．二、等比数列的性质（其中公比为q ）：1. a n =a m q n−m ，q =√ana mn−m(n ∈N ∗，m ∈N ∗) ； 2. 若p +q =m +n ，则有a p ⋅a q =a m ⋅a n ；若2m =p +q ，则有a m2=a p ⋅a q ； 3. 等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n+m ，a n+2m ，⋯⋯为等比数列，公比为q m ．4. 若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 、b 的等比中项，G 2=ab ，当且仅当两个数a 和b 同号 才存在等比中项．5. 若数列{a n }，{b n }都是等比数列且项数相同，则c n =a n s b n t (st ≠0)仍为等比数列．三、等比数列的判断方法1.定义法：a 1≠0，a n a n−1=q （常数）(n ∈N ∗，n ≥2) ⇔{a n }为等比数列．2. 等比中项法：a n 2=a n−1a n+1，(n ∈N ∗，n ≥2) ⇔{a n }为等比数列．3. 前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n =A −Aq n （A 是常数，A ≠0，q ≠0，q ≠1）⇔数列{a n }为等比数列；典例精讲【典例1】（2019春•青云谱区校级月考）已知数列{a n }为等比数列，其中a 5，a 9为方程x 2+2016x +9＝0的二根，则a 7的值（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．±3 D ．9【分析】利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n }为等比数列，其中a 5，a 9为方程x 2+2016x +9＝0的二根， ∴a 5+a 9＝﹣2016，a 5•a 9＝9， ∴a 5＜0，a 9＜0， 则a 7=−√a 5a 9=−3．故选：A ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【典例2】（2019•佛山模拟）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910．若这堆货物总价是100−200(910)n 万元，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】由题意可得第n 层的货物的价格为a n ＝n •（910）n ﹣1，根据错位相减法求和即可求出．【解答】解：由题意可得第n 层的货物的价格为a n ＝n •（910）n ﹣1， 设这堆货物总价是S n ＝1•（910）0+2•（910）1+3•（910）2+…+n •（910）n ﹣1，①，由①×910可得910S n ＝1•（910）1+2•（910）2+3•（910）3+…+n •（910）n ，②， 由①﹣②可得110S n ＝1+（910）1+（910）2+（910）3+…+（910）n ﹣1﹣n •（910）n=1−(910)n1−910−n •（910）n＝10﹣（10+n ）•（910）n ， ∴S n ＝100﹣10（10+n ）•（910）n ， ∵这堆货物总价是100−200(910)n 万元，∴n ＝10， 故选：D ．【点评】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．【典例3】（2019•抚顺一模）各项为正数的等比数列{a n }中，a 2与a 10的等比中项为√33，则log 3a 4+log 3a 8＝ ﹣1 ．【分析】根据题意，由等比中项的性质可得a 2a 10=13，又由等比数列的性质可得：a 4a 8=13，结合对数的运算性质可得log 3a 4+log 3a 8＝log 3a 4a 8＝log 313，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，等比数列{a n }中，a 2与a 10的等比中项为√33， 则有a 2a 10=13，又由等比数列的性质可得：a 4a 8＝a 2a 10=13，则log 3a 4+log 3a 8＝log 3a 4a 8＝log 313=−1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查等比数列的性质，注意分析数列的下标之间的关系． 【典例4】（2018春•连云港期末）已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为 3 ．【分析】设出等差数列的首项为a ，公差为d ，根据等差数列的通项公式分别表示出第2，3，6项，根据等比数列的性质列出关于a 与d 的等式，由d 不为0得到d 与a 的关系式，用a 表示出d ，代入表示出的第2，3，6项，此三项可以用a 表示，然后根据等比数列的性质可用第3项除以第2项即可求出公比q 的值．【解答】解：设等差数列的首项为a ，公差为d （d 不为0）， 则等差数列的第2，3，6项分别为a +d ，a +2d ，a +5d ， 则（a +2d ）2＝（a +d ）（a +5d ），即d 2+2ad ＝0， ∵d ≠0，∴在等式两边同时除以d 得：d ＝﹣2a ，∴等差数列的第2，3，6项分别为：﹣a ，﹣3a ，﹣9a ， ∴公比q =−3a −a=3．故答案为：3．【点评】此题考查了等差数列的通项公式，等比数列的性质．熟练掌握等差、等比数列的性质是解本题的关键． 【典例5】（2019•临渭区模拟）已知数列{a n }为等比数列，且a 3a 11+2a 72＝4π，则tan （a 1a 13）的值为 √3 ．【分析】由等比数列{a n }的性质可得，a 3a 11=a 72=a a 1a 13，由a 3a 11+2a 72=4π，可得a 72=4π3．即可得出tan （a 1a 13）．。