2019高考数学复习：函数的奇偶性与周期性

第3节函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.[常用结论与微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( )(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.( )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.( ) 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，其在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0， (2)错.(3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于y ＝f (x ＋b )的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y ＝f (x )的图象关于(b ，0)对称，正确.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A.y ＝x 2sin x B.y ＝x 2cos x C.y ＝|ln x |D.y ＝2－x解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数. 答案 B3.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13C.12D.－12解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝13. 答案 B4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 ∵f (x )的周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又∵当－1≤x <0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.答案 15.(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)， 又f (x )在R 上是偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6. 答案 6考点一 函数的奇偶性【例1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.解析 f (x )为偶函数，则y ＝ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0， 则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. 答案 1(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝3－x 2＋x 2－3； ②f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；③f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 ①由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.②由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg （1－x 2）－x .又∵f (－x )＝lg[1－（－x ）2]x ＝－lg （1－x 2）－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数.③显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数.规律方法 1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系.2.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2xB.y ＝x 2－cos xC.y ＝2x ＋12xD.y ＝x 2＋sin x(2)(2018·淄博诊断)已知奇函数f (x )＝⎩⎨⎧3x－a （x ≥0），g （x ）（x <0），则f (－2)的值等于________.解析 (1)对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，定义域为R ，f (－x )＝2－x＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数；y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数.(2)因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，则30－a ＝0，∴a ＝1.∴当x ≥0时，f (x )＝3x －1，则f (2)＝32－1＝8， 因此f (－2)＝－f (2)＝－8. 答案 (1)D (2)－8考点二 函数的周期性及其应用【例2】 (1)(2018·绵阳月考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又f (x )在R 上的周期为2， ∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.(2)f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x ).故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5).∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5.答案(1)－2(2)2.5规律方法 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f(x＋a)＝－1f（x）(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.【训练2】(2016·山东卷)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12.则f(6)＝()A.－2B.－1C.0D.2解析当x>12时，由f(x＋12)＝f(x－12)，得f(x)＝f(x＋1)，∴f(6)＝f(1)，又由题意知f(1)＝－f(－1)，且f(－1)＝(－1)3－1＝－2.因此f(6)＝－f(－1)＝2.答案 D考点三函数性质的综合运用(多维探究)命题角度1函数单调性与奇偶性【例3－1】(1)(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为() A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________.解析(1)法一易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.法二(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，从而可得c>a>b.(2)由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|).当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1.答案 (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1命题角度2 函数的奇偶性与周期性【例3－2】 (1)(2017·石家庄一模)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A.(－1，4) B.(－2，0) C.(－1，0)D.(－1，2)(2)(2018·合肥质检)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0， 解得－1<a <4.(2)由于函数f (x )是周期为4的奇函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.答案 (1)A (2)516规律方法 1.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. 2.掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(1)f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |).(2)若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.【训练3】 (1)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________.(2)(2018·南昌模拟)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( ) A.f (2)>f (3) B.f (2)>f (5) C.f (3)>f (5)D.f (3)>f (6)解析 (1)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. (2)∵y ＝f (x ＋4)为偶函数，∴f (－x ＋4)＝f (x ＋4)， 因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称， ∴f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5).又y ＝f (x )在(4，＋∞)上为减函数， ∴f (5)>f (6)，所以f (3)>f (6). 答案 (1)－10(2)D基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·肇庆调研)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A.3B.2C.1D.0解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数. 答案 B2.(2018·商丘模拟)已知函数f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，e)上是增函数 B.奇函数，且在(0，e)上是减函数 C.偶函数，且在(0，e)上是增函数 D.偶函数，且在(0，e)上是减函数解析 f (x )的定义域为(－e ，e)，且f (x )＝ln(e 2－x 2). 又t ＝e 2－x 2是偶函数，且在(0，e)上是减函数， ∴f (x )是偶函数，且在(0，e)上是减函数. 答案 D3.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( ) A.－2B.2C.－98D.98解析 由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数， f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)， 由－1∈(－2，0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2. 答案 B4.(2018·河北“五个一”名校联盟质检)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g [f (－8)]＝( ) A.－2B.－1C.1D.2解析 由题意，得f (－8)＝－f (8)＝－log 3(8＋1)＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝ f (－2)＝－f (2)＝－log 3(2＋1)＝－1.答案 B5.(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.c <a <b解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25).又f (x )在R 上是增函数， 且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c . 答案 C 二、填空题6.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析 ∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数， ∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 答案 127.若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 解析 由于f (－x )＝f (x )，∴ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ， 化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0， ∴a ＝－32.答案 －328.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________.解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 三、解答题9.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立. (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值.(1)证明 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f (－x )＝f (x )，因此函数y ＝f (x )是以3为周期的函数.(2)解 由f (x )是定义在R 上的奇函数，知f (0)＝0，∴f (3)＝f (0)＝0.又f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，故f (2)＋f (3)＝－2＋0＝－2.10.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·湖北重点高中联考)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1，1)，则满足 f (a 2－1)＋f (a －1)>0的a 的取值范围是( )A.(0，2)B.(1，2)C.(1，2)D.(0，2)解析 易知f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1，1)是奇函数，又f ′(x )＝3x 2＋cos x >0，∴y ＝f (x )在区间(－1，1)上是增函数，由f (a 2－1)＋f (a －1)>0，得f (a 2－1)>f (1－a ).∴⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1，解得1<a <2.答案 B12.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________.解析 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.答案 713.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。