王伟20160423--四边形

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2016年秋九年级数学上册第一章特殊平行四边形阶段强化专训(新版)北师大版

特殊平行四边形专训一：菱形性质与判定的灵活运用名师点金：形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定证明角的关系1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．(第1题)利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系2．(2015·兰州)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE 绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连接ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由．(第4题)专训二：矩形性质与判定的灵活运用名师点金：形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．(第2题)利用矩形的性质与判定证明角相等3．(2015·北京)在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.(第3题)利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．(第4题)专训三：正方形性质与判定的灵活运用名师点金：方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质证明线段位置关系1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE，其延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第1题)利用正方形的性质解决线段和差倍分问题2．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．(第2题)利用正方形的性质解决与函数相关的问题3．(2015·绥化)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴上的顶点坐标．正方形性质与判定的综合运用4．如图，P ，Q ，R ，S 四个小球分别从正方形的四个顶点A ，B ，C ，D 同时出发，以同样的速度分别沿AB ，BC ，CD ，DA 的方向滚动，其终点分别是B ，C ，D ，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS 总是正方形．(2)四边形PQRS 在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS 在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．(第4题)答案专训一1．(1)证明：∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD 是平行四边形．∵AC 平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.∵∠DAC＝∠ACE，∴∠EAC＝∠ACE.∴AE＝CE.∴四边形AECD 是菱形．(2)解：△ABC 是直角三角形，理由如下：∵点E 是AB 的中点，∴AE＝BE.∵AE＝CE ，∴CE＝12AB. ∴△ABC 是直角三角形．(第2题)2．证明：(1)如图，过点B 作BM∥AC 交DC 的延长线于点M ，则∠ACD＝∠M.∵AB∥CD，∴四边形ABMC 为平行四边形．∴AC＝BM.∵BD＝AC ，∴BD＝BM.∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.在△ACD 和△BDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，∠ACD＝∠BDC，CD ＝DC ，∴△ACD≌△BDC.∴AD＝BC.(2)如图，连接EH ，HF ，FG ，GE ，∵E，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，∴HE∥AD，且HE ＝12AD ，FG∥AD，且FG ＝12AD. ∴四边形HFGE 为平行四边形．由(1)知，AD ＝BC ，∴HE＝EG.∴▱HFGE 为菱形．∴线段EF 与线段GH 互相垂直平分．3．(1)证明：∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE，∴AE＝CE ，DE ＝FE.∴四边形ADCF 是平行四边形．∵D，E 分别为AB ，AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE∥BC.∵∠ACB ＝90°，∴∠AED＝90°.∴DF⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形．(2)解：在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB＝10.∵点D 是AB 边的中点，∴AD＝5.∵四边形ADCF 是菱形，∴AF＝FC ＝AD ＝5.∴四边形ABCF 的周长为8＋10＋5＋5＝28.4．(1)证明：∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM 为平行四边形．∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.∴∠CAD＝∠EPA.∴EA＝EP.∴四边形AEPM 为菱形．(2)解：当点P 为EF 的中点时，S 菱形AEPM ＝12S 四边形EFBM .理由如下：∵四边形AEPM 为菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC ，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC.∴EM∥BC.又∵EF∥AB，(第4题)∴四边形EFBM 为平行四边形．过点E 作EN⊥AB 于点N ，如图，∵EP＝12EF ，∴S 菱形AEPM ＝AM·EN＝EP·EN＝12EF·EN＝12S 四边形EFBM .专训二1．解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝12×180°＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH 为矩形．∴HG∥EF，HG ＝EF.∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME.∴HN＝MF.又∵HN＝HD ，∴HD＝MF.∴AD＝AH ＋HD ＝HM ＋MF ＝HF.又∵HF＝EH 2＋EF 2＝32＋42＝5(cm )，∴AD＝5 cm .点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH 为矩形，然后利用三角形全等来证明HN ＝MF ，进而证明HD ＝MF ，从而将AD 转化为直角三角形的斜边HF ，进而得解，体现了转化思想．(第2题)2．解：PE ＋PF ＝AB.理由：过点P 作PG⊥AB 于G ，交BD 于O ，如图所示．∵PF⊥AC，∠A ＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°.∴四边形AGPF 是矩形．∴AG＝PF ，PG∥AC.又∵BD＝DC ，∴∠C＝∠GPB＝∠DBP.∴OB＝OP.∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO＝∠PEO ＝90°.在△BGO 和△PEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BGO＝∠PEO，∠GOB＝∠EOP，OB ＝OP ，∴△BGO≌△PEO.∴BG＝PE.∵AB＝BG ＋AG ，∴PE＋PF ＝AB.3．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD.∴BE∥DF.又∵B E ＝DF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，AD ＝BC.∴∠DFA＝∠FAB.由(1)易得△BCF 为直角三角形，在Rt △BCF 中，由勾股定理，得BC ＝CF 2＋BF 2＝32＋42＝5，∴AD＝BC ＝DF ＝5.∴∠DAF＝∠DFA.∴∠DAF＝∠FAB.即AF 平分∠DAB.4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.又∵点E 为BC 的中点，∴BE＝CE.在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE＝∠ECF，BE ＝CE ，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.又AB∥CF，∴四边形ABFC 为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF ＝BE ＋CE ，即AF ＝BC ，∴四边形ABFC 为矩形．(2)解：∵四边形ABFC 是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD 是等边三角形，∴CF＝CD ＝DF 2＝2.∴AC＝42－22＝23.∴S 矩形ABFC ＝23×2＝4 3.专训三1．证明：∵AC，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC⊥BD，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE＝CF ，∴OE＝OF.在Rt △AOE 与Rt △DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOE＝∠DOF＝90°，OE ＝OF ，∴Rt △AOE≌Rt △DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.2．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下：过点A 作AE⊥AN，交CB 的延长线于点E, 易证△ABE≌△ADN ，∴DN ＝BE ，AE ＝AN. 又∵∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM＋DN ＝MN .(第2题)(2)DN －BM ＝MN.证明如下：如图，在DN 上截取DE ＝BM ，连接AE.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABM＝∠D＝90°，AB ＝AD.又∵BM＝DE ，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE ，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE ，AN ＝AN ，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE ＋EN ＝BM ＋MN.∴DN－BM ＝MN.3．解：分两种情况：(1)如图①，在y ＝－x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，令y ＝0，得x ＝3，∴OA＝OB ＝3.∴∠BAO＝45°.∵DE⊥OA，∴DE＝AE.∵四边形COED 是正方形，∴OE＝DE.∴OE＝AE.∴OE＝12OA ＝32. ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.(第3题)(2)如图②，由①知△OFC，△EFA 都是等腰直角三角形， ∴CF＝2OF ，AF ＝2EF.∵四边形CDEF 是正方形，∴EF＝CF. ∴AF＝2×2OF ＝2OF.∴OA ＝OF ＋2OF ＝3.∴OF＝1.∴F(1，0)．4．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵在任何运动时刻，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴PB ＝QC ＝RD ＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何运动时刻，四边形PQRS 是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时刻，四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．理由：设原正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP. 由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2，解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a. ∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．。

华师大版第16章平行四边形的认识电子教材(课本)

第16章平行四边形的认识§16.1平行四边形的性质§16.2矩形、菱形与正方形的性质1. 矩形2. 菱形3. 正方形阅读材料黄金矩形§16.3梯形的性质阅读材料四边形的变身术小结复习题第16章平行四边形的认识平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢?它又具有哪些基本性质呢?读下去，你就会发现这些答案了．§16.1 平行四边形的性质平行四边形是随处可见的几何图形，本章导图上的桌面、书面……甚至连在阳光照耀下它们的影子都是平行四边形．回忆我们知道，有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)．你能从图16.1.1所示的图形中找出平行四边形吗?图16.1.1两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要性质．除此之外，它还有什么性质呢?探索如图16.1.2，按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形．步骤1：画两条平行线．步骤2：在两条线上分别取点A和点B，连结AB．步骤3：沿着水平方向平移AB到DC ABCD．图16.1.2如图16.1.3ABCD(可以先放大些)从方格纸上剪下，ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH．则四边形EFGH和ABCD完全一样，也为平行四边形．它们的对应边、对应角都相等．ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O．用一枚图钉在O ABCD绕点O旋转180°．观察旋ABCD EFGH是否重合．ABCD的一些边角关系吗?图16.1.3我们发现，旋转180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心．由此可以得到AD＝BC，AB＝DC，∠A＝∠C，∠B＝∠D．即平行四边形的对边相等，对角相等．例1如图16.1.4ABCD中，已知∠A＝40°，求其他各个内角的度数．解ABCD中，∠D＝∠B，∠C＝∠A＝40°(平行四边形的对角相等)．又∵AD∥BC，∴∠B＝180°-∠A＝180°-40°＝140°，∴∠D＝∠B＝140°．例2如图16.1.5ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，求其余三条边的长．图16.1.5解ABCD中，AB＝DC，AD＝BC(平行四边形对边相等)．又∵AB＝8，AB+BC+CD+DA＝24，∴CD＝8，AD＝BC＝4．练习1. ABCD中，∠A＝120°，求其余各内角的度数．2. ABCD中，AB＝5，BC＝3，求它的周长．观察在如图16.1.3那样的旋转过程中，你观察到OA与OC、OB与OD的关系吗?ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O 就是对称中心，所以OA＝OC，OB＝OD．即平行四边形的对角线互相平分．例3如图16.1.6ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少?图16.1.6解ABCD中，已知AB＝6，AO+BO+AB＝15，∴AO+BO＝15-6＝9．又∵AO＝OC，BO＝OD(平行四边形对角线互相平分)，∴AC+BD＝2AO+2BO＝2(AO+BO)＝２×９＝18．试一试如图16.1.7，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．图16.1.7经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图16.1.7中也可以看到这一点)．这种现象说明了平行线的又一个性质：平行线之间的距离处处相等．练习1. ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，指出图形中相等的线段．(第1题) (第2题)2. 如图，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的．你能说出理由吗?你还能在这两条平行线l1、l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗?习题16.11. ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B＝55°，那么∠D与∠DAE分别等于多少度?(第1题)2. ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为２２厘米，CD的长为5厘米，求△OCD的周长．(第2题)3. ABCD中，∠A与∠B的度数之比为２∶３，求这个平行四边形各个内角的度数．4. ABCD的周长为80cm，对角线AC与BD相交于点O，△AOB的周长比△AOD的周长小20cm，求这个平行四边形各边的长．（第４题）§16.2 矩形、菱形与正方形的性质1. 矩形试一试如图16.2.1，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么?图16.2.1可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形(rectangle)，如图16.2.2所示．图16.2.2平行四边形所具有的性质，矩形都具有，此外，矩形还具有另一些特有的性质，你能说出几条吗?作为特殊的平行四边形，矩形也是中心对称图形．我们很容易发现矩形还是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线．这样，我们可以列出矩形所具有的一些性质：矩形的四个内角都是直角．矩形的对角线相等且互相平分．图16.2.3例1如图16.2.3，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?解△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形的周长和为86cm，又∵AC＝BD＝13cm（矩形的对角线相等），∴AB+BC+CD+DA＝86-2(AC+BD)＝86-4×１３＝３４（cm)，即矩形ABCD的周长等于34cm．练习1. 如图，在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角．(第1题) (第2题)2. 如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且∠AOD＝120°，你能说明AC＝2AB 吗?例2如图16.2.4，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC于E．试求出BE的长．图16.2.4解在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝22BCAB+＝2243+＝25＝5(勾股定理)．又∵S△ABC＝1/2AB·BC＝1/2AC·BE，∴BE＝AB·BC/AC＝3·４/５＝2.4．练习1. 如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．(第1题) (第2题)2. 如图，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝3.6，试求AC与AD的长．(精确到0.1)2. 菱形试一试将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢?这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形(rhombus)．如图16.2.5，菱形是四条边都相等的四边形，它也是一组邻边相等的平行四边形，它的两条对角线互相垂直平分．图16.2.5 图16.2.6 如图16.2.6，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线．这样，菱形具有以下的性质：菱形的四条边都相等．菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．例3如图16.2.7，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形．图16.2.7解(1) 在菱形ABCD中，∠B+∠BAD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．又∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°．(2) 在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ（菱形的四条边都相等），∴在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ（等边对等角）．又∵∠B+∠BAC+∠BCA＝180°(三角形内角和公式)，∴∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．∴AB＝BC＝AC(等角对等边)，即△ABC是等边三角形．菱形的应用非常广泛．现在流行一种新式的衣帽架，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用．可伸缩的衣帽架练习练习1. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，OA＝4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度．(第1题)2. 试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．例4如图1628，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD 的长．图16.2.8解(1) 在菱形ABCD中，∠BAO＝1〖〗2∠BAD＝1〖〗2×１２０°＝60°(菱形的每一条对角线平分一组对角)．又在△ABC中，AB＝BC，∴∠BCA＝∠BAC＝60°(等边对等角)，∠ABC＝180°-∠BCA-∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2(cm)．(2) 在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＤ（菱形的对角线互相垂直），∴△ＡＯＢ为直角三角形，∴BO＝AB2-AO2＝22-12＝3cm(勾股定理)，∴BD＝2BO＝23(cm)．练习1. 如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线ＡＣ长6cm，求这个菱形的周长和它的面积．(第1题) (第2题)2. 如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等，求这个菱形的各个内角的度数．3. 正方形正方形(square)是我们早就熟悉的平面图形，如图16.2.9，在正方形ABCD中，四条边都相等，四个角都是直角．所以正方形可以看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形．正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．图16.2.9 图16.2.10例5如图16.2.10，在正方形ABCD 中，求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的度数．解由于正方形是一个角为直角的菱形，每一条对角线平分一组对角，且对角线互相垂直平分，∴∠ABD＝∠DAC＝90°×1/2＝45°，∠DOC＝90°．正方形还有许多有趣的性质．例如，如果要用给定长度的篱笆围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域的形状选成正方形．练习1. 在下列图中，有多少个正方形?有多少个矩形?（１）（２）2. 已知正方形ABCD的边AB长2cm，求这个正方形的周长、对角线长和它的面积．习题16.21. 如图，已知矩形ABCD的一条对角线AC长8cm，两条对角线的一个交角∠AOB＝60°．求这个矩形的周长．(精确到0.1cm)(第1题) (第2题)2. 如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm，求这个菱形的周长和它的面积．(第3题)3. 利用矩形的对角线相等且互相平分这一性质，说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．阅读材料黄金矩形看一看雅典帕德嫩神庙的造型，甚至现在这还是世界上最美丽的建筑之一，这神庙建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的．如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩形，那么可以发现它的长大约是宽的1.6倍，这种矩形称为黄金矩形．按照下图中给出的指示，用圆规与三角尺画一个黄金矩形．将一个正方形分成在一个矩形中用圆规以A点为圆心、两个相等的矩形．引一条对角线．AB为半径画一圆弧．延长底边与弧相交于一点，过交点画底边的垂线，与顶边延长线交于一点，这样我们就画成了黄金矩形．§16.3 梯形的性质我们知道，只有一组对边平行的四边形叫做梯形(trapezoid)．两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．(如图16.3.1所示)图16.3.1如图16.3.2，梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合，这也是我们解决有关梯形的问题时经常使用的方法．图16.3.2做一做如图，在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD，过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线，将等腰梯形ABCD沿直线EF对折．你发现了什么?我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下性质(如图16.3.3)：等腰梯形同一底边上的两个内角相等．等腰梯形的两条对角线相等．图16.3.3例1如图1634，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD，相交于点E．试说明△EBC和△EAD都是等腰三角形．图16.3.4解在等腰梯形ABCD中，∠B＝∠C(等腰梯形两底角相等)，∴EB＝EC(等角对等边)，因此△EBC是等腰三角形．又∵AB＝DC，∴EA＝ED，因此△EAD也是等腰三角形．例2如图16.3.5，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CE∥DA．已知AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB 的周长．图16.3.5解在等腰梯形ABCD中，CB＝DA＝6．又∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形，∴CE＝DA＝CB＝6，AE＝DC＝5(平行四边形的对边相等)，∴EB＝AB-AE＝8-5＝3．于是△CEB的周长为CE+EB+BC＝6+3+6＝15．练习1. 梯形ABCD中，如果DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，DB⊥AD，那么∠DBC＝，∠C＝．(第1题) (第2题)2. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，E是DC延长线上的一点，BE＝BC，试说明∠A和∠E的关系．习题16.31. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DE∥CB，△AED的周长为18，EB＝4，求梯形的周长．(第1题) (第2题)2. 如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，DE∥AB，DE＝DC，∠A＝100°，试求梯形ＡＢＣＤ的其他三个内角的度数．请问此时ABCD 为等腰梯形吗?说说你的理由．阅读材料四边形的变身术我们知道，一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形．一个梯形可以剪开拼成一个矩形，一个矩形可以剪开拼成一个三角形．那么任意一个四边形呢?它也可以剪开拼成各种各样的图形.下面给出了一些剪拼的示意图，观察一下，你也试试看．想想看，在这些剪拼过程中，都用到了图形的什么变换?小结一、知识结构平行四边形梯形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形四边形两组对边分别平行只有一组对边平行有一直角邻边相等邻边相等有一直角两腰相等一腰垂直于底二、概括本章通过操作探索几类特殊四边形的性质，学会解决一些简单的度量问题．平行四边形是中心对称图形，这是它的本质特征．矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的一般的性质，而且它们都是轴对称图形，分别具有一些独特的性质．梯形经常通过划分成一个平行四边形和一个三角形而加以探索．复习题A组1. 观察下列挂件的图形，将它们分割成一个个你所熟悉的图形，分别指出它们的名称．（第１题）2. ABCD中，过点P画线段EF、GH分别平行于AB、BC，试找出图中的平行四边形，与你的同伴比一比，看看谁找出的多．(第2题)3. ABCD中，∠BAC＝68°，∠ACB＝36°，求∠D和∠BCD的度数．4. 如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度．(第4题)5. 已知正方形ABCD的一条对角线AC长为4cm，求它的边长和面积．B组6. ABCD中，AB＝BE，连结AE，并延长与DC的延长线交于点F，∠F＝62°，求这个平行四边形各内角的度数．(第6题) (第7题)7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，BC＝BD，∠A＝120°，求梯形其他各内角的度数．8. 如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为三边BC、CA、AB 的中点，看一看，数一数，在整个图形中，有多少个三角形?多少个平行四边形?多少个菱形?多少个等腰梯形？(本题只要求观察，说出你数得的个数)(第8题) (第9题)9. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝60°，DE∥AB．试说明(1) DE＝DC；(2) △DEC是一个等边三角形．10. 梯形ABCD中，AD∥BC，且∠A＝2∠B＝4∠C，求∠D的度数．C组11. 如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上的一点，E、F分别在AC、AB上，且DE∥AB，DF∥AC．试问DE、DF与AB之间有什么关系吗?请说明理由．(第11题)12. 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′O的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，那么正方形A′B′C′O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的四分之一．想一想，这是为什么？(第12题)13. 请你用不同的方法将一个矩形分成面积相等的两部分．(1) 观察一下所分成的两部分图形之间的位置关系；(2) 如果你用的是直线，那么这样的直线有多少条?它们之间又有什么联系呢?(3) 若将矩形分成面积相等的四部分，你又能发现什么?。

四边形不等式

• 设i<=i’<=j<=j’,有 cost(i,j)+cost(i’,j’)<=cost(i’,j)+cost(i,j’)
i i’ j j’
定理
i i’ j j’
• 若上述条件均满足,则有 • 定理1:
– f(i,j)也满足四边形不等式
• 设i<=i’<=j<=j’,有f(i,j)+f(i’,j’)<=f(i’,j)• 加入四边形优化后的代码极为简单,只需在求f(i,j)时把最大(或最小, 跟f相反相反)的k保存在g(i,j)中即可相反 • 设f[i,j]=max{...},则g=min{i,j} (反过来,若f=min,则g=max(i,j)) fillchar(f,sizeof(f),0); fillchar(g,sizeof(g),0); for i:=1 to n do g(i,i)=i;//边界:f[i,i]:=0;g[i,i]=i; for len:=2 to n do//枚举阶段,区间从小到大 for i:=1 to n do//枚举状态 begin j:=i+len-1; k:=g(i,jdo//枚举决策 for k:=g(i,j-1) to g(i+1,j) do if f[i,j]< f[i,k]+f[k+1,j]+cost(i,j) then < begin f[i,j]:= f[i,k]+f[k+1,j]+cost(i,j); g[i,j]:=k; end; end;
四边形不等式的使用条件
• 转移方程大致为:
f min{ (i, k) + f (k +1, j) + cost(i, j)} i < k < j f (i, j) = 0 i= j ∞ i> j

四边形内角和是多少度

四边形内角和是多少度
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四边形内角和是多少度
四边形内角和等于三百六十度。

n边型的内角和为(n-2)×180°，所以四边形内角和为(4-2)×180°=2×180°=3，60°。

1、四边形的特点：有四条直的边;有四个角。

2、长方形的特点：长方形有两条长，两条宽，四个直角，对边相等。

3、正方形的特点：有4个直角，4条边相等。

4、长方形和正方形是特殊的平行四边形。

5、平行四边形的特点：对边相等、对角相等。

拓展阅读：六边形内角和怎么算
一个三角形的内角之和是180度，每加一条边即增加一个三角形，即N边形内角和为(N-2)*180度，所以六边形的内角和等于720度。

六边形内角和
六边形，是多边形的一种，指所有有六条边和六个角的多边形。

根据正多边形内角和公式S=180°·(n-2)，所有的正六边形的内角和都是720°，外角和为360°。

如果六边形中有至少一个优角，我们就说该六边形是凹六边形。

如果六边形中六个角都是劣角，那么这样的六边形就是凸六边形。

2016北京二模四边形汇总归类综合

（2016海淀二模)22．如图，在△ABC中，∠ACB=90︒，CD为AB边上的中线，过点D作DE BC⊥于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．（1）求证：四边形BDCF为菱形；（2）若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC =23，求CF的长.(2016西城二模）20．如图，在□ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）过点A 作AH⊥BC 于点H，求AH 的长．（2016东城二模）22．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E．（1）求证：∠BAM=∠AEF；（2）若AB=4，AD=6，4cos5BAM∠=，求DE的长.（2016朝阳二模）22．如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B = 90º， F 为DC 上一点，且FC = AB ，E 为AD 上一点，EC 交AF 于点G ．（1）求证：四边形ABCF 是矩形；（2）若ED = EC ，求证：EA = EG ．(2016丰台二模）22. 如图，菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD .（1）求证：四边形OCED 是矩形；（2）若AD =5，BD =8，计算tan ∠DCE 的值．（2016石景山二模）23．如图，CD 垂直平分AB 于点D ，连接CA ，CB ，将BC 沿BA 的方向平移，得到线段DE ，交AC 于点O ，连接EA ，EC ．（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若CD =1，AD =2，求sin ∠COD 的值．A OBCDE O E C D B A。

四边形内角和的二十种证法

探索四边形内角和性质的二十种方法杭州师范大学理学字院王晓楠1．拼接法法1.如图1，将四边形的四个角分别剪下，可拼成一个周角，可知其内角和为360°。

（图中：∠1=∠A,∠2=∠B,∠3=∠C,∠4=∠D ）2．特殊值法法2.如图2，可将四边形ABCD 特殊化为一个平行四边形，根据同旁内角互补，可知四边形内角和为360°。

（也可特殊化为矩形）法3.如图3，将四边形ABCD 的一个顶点D 向内压，可将其压为一个三角形，由于三角形内角和为180°，∠D 为平角，等于180°，所以四边形内角和为360°。

BAACB3．构造三角形法4.如图4，连接AC ，可得△ACD 和△ABC ，两个三角形内角和均为180°，则四边形内角和为360°。

法5.如图5，连接AC ，再延长AB ，AD ，则∠1=∠DAC+∠DCA ，∠2=∠BAC+∠BCA ，则四边形内角和转化为两个平角的和，等于360°。

法6.如图6，连接并延长AC ，则，∠1=∠CDA+∠CAD ，∠2=∠CBA+∠CAB ，则四边形内角和转化为一个周角，等于360°。

BB AAB法7.连接AC 、BD 相交于点 P ，则四边形的内角和等于四个三角形的内角和减去以点P 为中心的一个周角。

图2图3图4图5图6图1∠2 ∠4 ∠3∠1法8.如图8，在四边形内部任取一点P ，连接PA 、PB 、PC 、PD ，然后同法7。

法9.如图9，在AB 边上任取一点P ，连接PC 、PD ，将四边形转化为三个三角形，则其内角和为三个三角形的内角之和减去平角∠APB 。

BBABAP法10.如图10，在四边形ABCD 的外部任取一点P ，连接PA 、PB 、PC 、PD ，则四边形内角和等于△APD 、△DCP 、△CBP 的所有内角之和减去△APB 的内角和。

法11.如图11，在四边形ABCD 的外部任取一点P ，连接PC 、PD ，分别交AB 于点E 、F ，则四边形内角和等于△AED 、△DCP 、△CBF 的所有内角之和减去△EFP 的内角和。

2016年中考数学复习专题21 特殊的平行四边形 (1)

专题21 特殊的平行四边形知识点名师点晴矩形1．矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．2．矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1．菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2．菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1．正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2．正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明☞2年中考【2015年题组】1．（2015崇左）下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（2015连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．3．（2015徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE的长等于（）A． B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=．故选A．考点：菱形的性质．4．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（2015内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．3 B．23 C．26 D．6【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（2015南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD 长之比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：2D ．1：3【答案】D ．【解析】试题分析：如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm，∵高AE 长为3cm ，∴BE=22AB AE -=1（cm ），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB=22AB OA -=3（cm ），∴BD=2OB=23cm ，∴AC：BD=1：3．故选D ．考点：菱形的性质．7．（2015安徽省）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（）A ．25B ．35C ．5D ．6【答案】C ．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（2015十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A ．102B ．53C 51031053【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．2014 21）（B．2015 21）（C．2015 33）（D．2014 33）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．10．（2015广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为 cm2．【答案】93．【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=22AB OA-=33，∴BD=63，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=93cm2．故答案为：93．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．11．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（33-，23-）．的交点，∴点P的坐标为方程组33(13)1 y xyx⎧=⎪⎨⎪=+-⎩的解，解方程组得：23323xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以点P的坐标为（233-，23-），故答案为：（233-，23-）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（2015潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．【答案】（，3）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（2015北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB ∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．（2015南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（2015玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】92．【解析】试题分析：如图1所示，作E 关于BC 的对称点E′，点A 关于DC 的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ 的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ ∥AE′，D 是AA′的中点，∴DQ 是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC ﹣CQ=3﹣2=1，∵BP ∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BE AA AE =，即164BP =，BP=32，CP=BC ﹣BP=332-=32，S 四边形AEPQ=S 正方形ABCD ﹣S △ADQ ﹣S △PCQ ﹣SBEP=9﹣12AD •DQ ﹣12CQ •CP ﹣12BE •BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（2015达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…nS ，则nS 的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．【答案】232n-．故答案为：232n-．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．17．（2015齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】20142(3)．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（2015梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（210103．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（2015恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．20．（2015武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF 交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S xx=-， S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．21．（2015荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．【2014年题组】1．（2014·宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An 分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（1 4）n﹣1 D．1 4n【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．2．（2014·山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE 的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）A． 1 B．2C．3D． 2【答案】C．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．3．（2014山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A． 23 B．3 3 C．63 D 93 2【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，即BA⊥BF，∵四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=23cos30BO=︒，∴BF=BE=23，∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．4．（2014·广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．5．（2014·贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，6，则MF的长是（）A．15B．1510 C．1 D．1515【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（2014·襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（2014·宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（2014·山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF 交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（2014·梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗为什么【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳 1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳 2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳 3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C ﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙 B．甲丙乙C．乙丙甲 D．丙甲乙【答案】B．考点：正方形的性质．☞1年模拟1．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．2．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE 为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A ．B ．0.9C ．22−2D 22【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE ⊥BC ，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE ，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：BE=2，由题意得：△ABE ≌△AB1E ，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，BE=B1E=2，∴BB1=22，B1C=22-2，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F ，∵CF ∥AB ，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B CCF AB BB =，解得：CF=2-2，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：12212⨯⨯=，21(22)3222⨯-=-，∴△AB1E 与四边形AECD 重叠部分的面积=1(322)222--=-．故选C ．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）． 4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标系原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（-2，2） B．（2，-2） C．（2，-2） D．（3，-3）【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（2015届山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】B．考点：正方形的判定．7．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是．324π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．8．（2015届河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】6-33．【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴GH=3，BH=23，设OG=OE=x，则EH=23-3，OH=3-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（23-3）2+x2=（3-x）2，解得x=6-33，∴⊙O的半径为6-33．故答案为：6-33．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．9．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．【答案】1 4．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．【答案】5．考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．12．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（2253 2【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12BC．同理，AF=CF=12AD．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．13．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA 、OB 长度，根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得sin ∠ABC 的值；（2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A 、E 代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA ＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt △AOB 中，由勾股定理有AB=225OA OB +=，∴sin ∠ABC=54OA AB =；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F 与B 重合，即F （-3，0）；②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ，点F （3，8）；③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y=-43x+4，直线L 过（32，2），且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为-1），L 解析式为y=34x+78，联立直线L 与直线AB 求交点，∴F （4751-，722-）；④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N ，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F（-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型．14．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．（1）求证：BE=2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC ，则图中阴影部分的面积为．【答案】3342π+-．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A 、D′、C 及A 、B 、C′分别共线∴AC=3，∴扇形ACC′的面积为：230(3)3604ππ⨯⨯=．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B 中，CD BC ACO AC D COD C OB ''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B（AAS ），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC -AD′=3-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO ）2=（3-1）2，解得BO=3122-，3322C O '=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

中点四边形问题总结--

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

分类讨论思想在平行四边形中的应用

分类讨论思想在平行四边形中的应用-----《平行四边形分类讨论》专题研究课课例分析绍兴县教师发展中心姚志敏 312030绍兴县实验中学虞青 3120302010年4月23日，由浙江师范大学携手睿达资优教育举办的首届“睿智大讲坛”全国初中数学名师教学观摩活动在杭州市公益中学隆重举行。

来自全国各地的数学名师、特级教师各展风采，为全省的数学教师们奉上了一次数学课堂的盛宴。

笔者有幸忝于评课专家之列，全程听取了所有授课名师的示范课例，下面结合浙江省特级教师、金华四中的童桂恒老师的一堂《平行四边形分类讨论》专题研究课的教学过程谈一谈听课的总结与回顾，以期与给位同仁商榷共勉。

引入画一画：在边长为1的正方形网格中有A ，B ，C 三点，请你画出以A ，B ，C 为其中三个顶点的平行四边形.【点评】问题的起点较低，学生容易入手，但解决问题的思维要求较高，学生不容易考虑周全，这样的问题情境可以激发学生的求知欲望；由于图形形状的不确定性，引发了需要按一定的标准来讨论解决这个问题的必要性，并顺势点题。

专题探索课最关键一点在于学生能人人参加课堂，参加探索，教师以学生熟悉的格点图作图引入，能瞬间拉近师生之间的距离感，让每个学生都在短时间内消除集中注意力，进入课堂状态。

同时作图虽简单，却无法一言以蔽之，必须分情况展开讨论，这就立刻切中了主题，效率较高。

在学生解答正确的情况下，教师回顾解题过程，总结出找第四点时，一类作图方法是以已知边为平行四边形的边，一类作图方法是以已知边为平行四边形的对角线两种不同情况，学生对分类标准有了初步的认识。

想一想：1.在平行四边形分类讨论问题中，常以什么为分类标准？2.这些平行四边形的面积之间有什么数量关系呢？（面积相等）【点评】通过第一问及时把画图所得的具体探索结果，上升到一般方法的层面，知识由感性认识归纳为理性认识。

同时问题的指向性体现教师在课堂教学中的引导作用，学生紧紧跟随教师的引导，从一个内容转向另一个内容的探索。

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王伟20160423--四边形
一、填空：（每小题2分，共24分）
1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。
2、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的
周长等于＿＿＿＿＿。

3、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。
4、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。
5、菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为______cm。
6、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。

7、如果一个正方形的对角线长为2，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。
8、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。
9、图3,等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5，△CDE周长＿＿。
10、正方形的对称轴有＿＿＿条
11、如图4，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，
还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿

12、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸

片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。
二、选择题：（每小题3分，共18分）
13、在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）
A、1：2：3：4 B、1：2：2：1 C、2：2：1：1 D、2：1：2：1
14、菱形和矩形一定都具有的性质是（）
A、对角线相等 B、对角线互相垂直
C、对角线互相平分 D、对角线互相平分且相等
15、下列命题中的假命题是（）
A、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等 B、对角线相等的四边形是等腰梯形
C、等腰梯形是轴对称图形 D、等腰梯形的对角线相等
16、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（）
A、AO＝OC，OB＝OD B、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
C、AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D、AO＝OC＝OB＝OD

A
B
D

C
O

⑴

B D C
O

⑵

B
D

C
E
⑶

A
D

B
C
F

⑷
17、给出下列四个命题
⑴一组对边平行的四边形是平行四边形
⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形
⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。
其中正确命题的个数为（）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
18、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（）

A B C D
三、解答题（58分）
19、（8分）如图：在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25o，
求∠C、∠B的度数。

20、（8分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠D＝120o,对角线CA平分∠BCD，
且梯形的周长20，求AC。

21、（8分）如图：在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC的延长线上一点，CE
＝CF。
⑴△BCE与△DCF全等吗？说明理由；
⑵若∠BEC＝60o，求∠EFD。

中
点
中

点
中

点

D A C B E

A
B
D

C
F
E
60o

A
D

B C
22、证明题：（8分）
如图，△ABC中∠ACB＝90o，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，
且∠CDF＝∠A。
求证：四边形DECF是平行四边形。

23、（8分）已知：如图所示，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥
AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿试证明：这个多边形是菱形。

24、应用题（8分）
某村要挖一条长1500米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，渠底宽为1.2米，
腰与渠底的夹角为135o，问挖此渠需挖出土多少方？

25、附加题（10分）（计入总分，但总分不超过100分）
已知：如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90o,AD∥BC，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P
从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的
速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？等腰梯形？

A
P

B
D

Q C

A
B D C F
E

A
B D C
F E
八年级数学单元测试答案
一、⑴相等；⑵45；⑶∠A＝120o，∠D＝60o；⑷22.5，12.5；⑸5；⑹28；⑺1；⑻16；⑼15；
⑽4；⑾略；⑿3。
二、⒀D；⒁C；⒂B；⒃B；⒄B；⒅B
19、解：∠BAD＝2∠DAE＝2×25o＝50o （2分）
又∵□ABCD ∴∠C＝∠BAD＝50o （4分）
∴AD∥BC
∴∠B＝180o－∠BAD （6分）
＝180o－50o＝130o （8分）
20、解：∵AD∥BC ∴∠1＝∠2 又∠2＝∠3
∴∠1＝∠3 AD＝DC （2分）
又AB＝DC 得AB＝AD＝DC＝x

在△ADC中∵∠D＝120o ∠1＝∠3＝180120302ooo
又∠BCD＝2∠3＝60o ∴∠B=∠BCD=60o （4分）
∠BAD＝180o－∠B－∠2＝90o ∠2＝30o
则BC＝2AB＝2x （6分）
2204xxxxx

AB＝4 BC＝8 在Rt△ABC中AC＝228441243 （8分）
21、⑴△BCE≌△DCF （1分）理由：因为四边形ABCD是正方形∴BC＝CD，∠
BCD＝90o
∴∠BCE＝∠DCF 又CE＝CF ∴△BCE≌△DCF （4分）

A
D

B C
1

2
3
⑵∵CE＝CF∴∠CEF＝∠CFE ∵∠FCE＝90o∴∠CFE＝1(18090)452ooo
又∵△BCE≌△DCF ∴∠CFD＝∠BEC＝60o （6分）
∴∠EFD＝∠CFD－∠CFE＝60o－45o＝15o （8分）

22、证明：∵D、E分别是AC、AB的中点 ∴DE∥BC （1分）
∵∠ACB＝90o ∴CE=12AB＝AE （3分）
∵∠A＝∠ECA ∴∠CDF＝∠A （4分）
∴∠CDF＝∠ECA ∴DF∥CE （7分）
∴四边形DECF是平行四边形（8分）
23、答条件AE＝AF（或AD平分角BAC，等）（3分）
证明：∵DE∥AC DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形（6分）
又AE＝AF
∴四边形AEDF是菱形（8分）
24、如图所示设等腰梯形ABCD为渠道横断面，分别作DE⊥AB，CF⊥AB （2分）
垂足为E、F则CD＝1.2米，DE＝CF＝0.8米∠ADC＝∠BCD＝135o （4分）
AB∥CD ∠A+∠ADC＝180o ∴∠A＝45o＝∠B
又DE⊥AB CF⊥AB ∴∠EDA＝∠A ∠BCF＝∠B
∴AE＝DE＝CF＝BF＝0.8米
又∵四边形CDEF是矩形 ∴EF＝CD＝1.2米（6分）

S梯形ABCD＝11()(1.20.821.2)0.81.622ABCDDE
∴所挖土方为1.6×1500＝2400（立方米）（8分）
（解析：解决本题的关键是数学建模，求梯形面积时，注意作辅助线，把梯形问题向三角形
和矩形转化）
25、①4，4 （2分）②9，9 （4分）③13，13 （6分） ④在直角三角形中两
直角边的平方和等于斜边的平方（10分）
26、解因为AD∥BC，所以，只要QC＝PD，则四边形PQCD就是平行四边形，此时有3t=24
－t。（3分）
解之，得t＝6（秒）（4分）
当t＝6秒时，四边形PQCD平行四边形。（5分）
同理，只要PQ＝CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形。
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F，则
由等腰梯形的性质可知，EF＝PD，QE＝FC＝26－24＝2，

所以23(24)2tt，解得7()t秒。（10分）

A B
D C
E F
所以当t＝7秒时，四边形PQCD是等腰梯形。
出卷人：杨薇
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