高考专题辅导讲义 平面向量

平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。

二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。

平面向量【例1】在下列各命题中为真命题的是( )①若a=(x,y)、b=(x,y)，则a·b=x y+x y②若A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则｜｜=221221)()(y y x x -+-③若=(x 1,y 1)、=(x 2,y 2),则·=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0 ④若=(x 1,y 1)、=(x 2,y 2)，则⊥⇔x 1x 2+y 1y 2=0 A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④解：根据向量数量积的坐标表示；若a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、说明：对于命题(3)而言，由于a ·b =0⇔a =0或b =0或a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0，故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲，⊥⇒x 1x 2+y 1y 2=0、但反过来，当x 1x 2+y 1y 2=0时，可以是x 1=y 1=0，即=，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x 1x 2+y 1y 2=0⇒/a ⊥b )，所以命题(4)是个假命题、【例2】 已知a =(－3,－1), b =(1,3)，那么a ，b 的夹角θ=( )A 、30°B 、60°C 、120°D 、150° 解：·=(－3,－1)·(1，3)=－23｜a ｜=22)1()3(-+-=2｜｜=22)3(1+=2∴cos θ=2232⨯-=23-【例3】 已知a =(2,1), b =(－1,3),若存在向量c 使得：a ·c =4, b ·c =－9，试求向量c 的坐标、解：设=(x ,y ),则由·=4可得：于是有：⎩⎨⎧=+-=+9342y x y x)2()1(由(1)+2(2)得7y =－14,∴y =－2,将它代入(1)可得：x =3 ∴=(3,－2)、说明：已知两向量，可以求出它们的数量积·，但是反过来，若已知向量及数量积·，却不能确定、【例4】 求向量a =(1,2)在向量b =(2，－2)方向上的投影、 解：设向量a 与b 的夹角θ、 有cos θ==2222)2(221)2(221-++-⨯+⨯=－1010∴在方向上的投影=｜｜cos θ=5×(－1010)=－22【例5】 已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高AD ，求及点D 的坐标、 解：设点D 的坐标为(x ,y ) ∵AD 是边BC 上的高， ∴AD ⊥BC ，∴⊥ 又∵C 、B 、D 三点共线， ∴∥又=(x －2,y －1), BC =(－6,－3)BD =(x －3,y －2)∴⎩⎨⎧=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x 解方程组，得x =59,y =57 ∴点D 的坐标为(59，57)，的坐标为(－51，52)【例6】 设向量a 、b 满足：｜a ｜＝｜b ｜=1，且a +b =(1，0)，求a ，b 、解：∵｜｜＝｜｜=1，∴可设=(cos α,sin α), =(cos β,sin β)、 ∵+=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(1,0)，⎩⎨⎧=+=+)2(0βsin αsin )1(1βcos αcos 由(1)得：cos α=1－cos β……(3) 由(2)得：sin α=－sin β……(4) ∴cos α=1－cos β=21∴sin α=±23,sin β=23⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,2123,21b 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,2123,21b a【例7】 对于向量的集合A={=(x ,y )｜x 2+y 2≤1}中的任意两个向量1v 、2v 与两个非负实数α、β；求证：向量α1v +β2v 的大小不超过α+β、 证明：设1v =(x 1,y 1)，2v =(x 2,y 2) 根据已知条件有：x 21+y 21≤1,x 22+y 22≤1又因为｜α1v +β2v ｜=221221)βα()βα(y y x x ++ =)(αβ2)(β)(α21212222221212y y x x y x y x +++++其中x 1x 2+y 1y 2≤2121y x + 2222y x +≤1 所以｜α1v +β2v ｜≤αβ2βα22++=｜α+β｜=α+β【例8】 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=21AB 、求证：AC ⊥BC证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)∴=(－1,1), =(1,1)·=－1×1+1×1=0∴BC ⊥AC 、【例9】 已知A(0，a ),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值、 解，设C(x ,0)(x ＞0) 则=(－x ,a ), =(－x ,b) 则CA ·CB =x 2+a b 、 cos ∠22222bx ax ab x +++令t=x 2+a b 故cos ∠ACB=11)(1)(1222+∙-+--t b a tb a ab当t1=ab21即t=2a b 时，cos ∠ACB 最大值为ba ab+2、当C 的坐标为(ab ,0)时，∠ACB 最大值为arccos ba ab +2、【例10】 如图，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明 (1)PA=EF (2)PA ⊥EF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1， ｜｜=λ,则A(0，1)，P(22λ，22λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0) ∴PA =(－22λ,1－22λ), EF =(22λ－1,－22λ)(1)｜PA ｜2=(－2λ)2+(1－2λ)2=λ2－2λ+1｜｜2=(22λ－1)2+(－22λ)2=λ2－2λ+1∴｜｜2=｜｜2,故PA=EF (2) PA ·EF =(－22λ)(22λ－1)+(1－22λ)(－22λ)=0∴PA ⊥EF ∴PA ⊥EF 、【例11】 已知).1,2(),0,1(==b a① 求|3|b a+；②当k 为何实数时,k -a b与b a 3+平行, 平行时它们是同向还是反向？ 解：①b a3+= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴|3|b a+=2237+=58.②k -a b= k(1,0)－(2,1)=(k －2,－1).设k -a b =λ(b a 3+),即(k －2,－1)= λ(7,3), ∴⎩⎨⎧=-=-λ31λ72k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒31λ31k . 故k=31-时, 它们反向平行.【例12】 已知,1||,2||==b a a 与b 的夹角为3π,若向量b k a +2与b a +垂直, 求k.解：3πcos ||||b a b a=⋅=2×1×21=1.∵b k a +2与b a+垂直, ∴(b k a +2))(b a +⋅= 0 ,∴20222=++⋅+b k b a k b a a ⇒ k = － 5.【例13】 如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2 + c 2 = 5a 2,BE 、CF 分别为AC 边与AB 上的中线, 求证：BE ⊥CF. 解：,0)5(81)5(81)](21)(21)(21[41)(41)(21),(2122222222222222222=-+=-+=-+---++-+-=⋅--+-=⋅∴+=+=a cb BA CB CA BC BC AC AB AC BC BA AB BA CA CB CF BC BA BE∴⊥, 即 BE ⊥CF .【例14】 是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?解：如图所示，在正△ABC 中，O 为其内心，P 为圆周上一点， 满足，，PC ，PO 两两不共线，有 (PA +PB )·(PC +PO )=(+++)·(++) =(2++)·(2+) =(2－)·(2+) =4PO 2－OC 2 =4PO 2－OC 2=0有(+)与(+)垂直、同理证其他情况、从而，，，满足题意、故存在这样4个平面向量、平面向量的综合应用1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例1】 已知向量321,,OP OP OP 满足条件0321=++OP OP OP1===，求证：321P P P ∆是正三角形解：令O 为坐标原点，可设()()()333222111sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos θθθθθθP P P 由321OP OP OP -=+，即()()()332211θsin θcos θsin ,θcos θsin ,θcos --=+⎩⎨⎧-=+-=+321321θsin θsin θsin θcos θcos θcos 两式平方和为()11θθcos 2121=+-+，()21θθcos 21-=-， 由此可知21θθ-的最小正角为0120，即1OP 与2OP 的夹角为0120， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为0120，2OP 与3OP 的夹角为0120， 这说明321,,P P P 三点均匀分部在一个单位圆上，①②所以321P P P ∆为等腰三角形.【例2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数 解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设()()a B a A 2,0,0,2，则()()a C a D ,0,0,， 从而可求：()()a a a a 2,,,2-=-=,()()aa a a a a 552,,2θcos ⋅-⋅-===545422-=-aa . ⎪⎭⎫⎝⎛-=∴54arccos θ.2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例3】 已知ABC ∆，AD为中线，求证()2222221⎪⎭⎫⎝⎛-+=BC AC AB AD证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图2直角坐标系，设()()0,,,c C b a A ，⎪⎭⎫⎝⎛0,2cD ，则()22222402b a ac c b a c ++-=-+⎪⎭⎫⎝⎛-=， 221⎪⎭⎝-⎪⎭⎫+. =()442122222222c ac b a c b a c b a +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++，=221⎪⎭⎝-⎪⎭⎫+，()2222221⎪⎭⎫⎝⎛-+=BC AC AB AD .3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量【例4】 已知点O 是，，内的一点，0090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC,,,OA c OC b OB a ===设且,312===试用.,c b a 表示和解：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图3所示的坐标系. 由OA=2，0120=∠AOx ，所以()(),31-A ,120sin 2,120cos 200，即A ，易求()()3,0C 1-0B ，，，设 ()()().31-λ3-λλ-3λ31-3,0λ1-0λ31-,λλOA 21122121⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+=+=，，，，即OC OBc a 31-=.【例5】，的夹角为与，与530120,100===用OB OA ，表示. 解：以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则()0,1A ，()，，即，所以由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠25235C ,30sin 5,5cos30C 30COA 000 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21B 同理可求 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23,21-λ01λ25235,λλ2121，，即 .335λ3310λλ2325λ21-λ23521221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，3353310+=∴.4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例6】 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD . (1)求证：C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.(1)证明：设=a , =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，、、1CC 中两两所成夹角为θ，于是-==a －b ，CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由)()(1111CC AA C CA -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD .【例7】 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. (1)求的长；(2)求cos<11,CB BA >的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：(1)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1) ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2)11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅>=<∴CB BC CB BA (3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21))2,1,1(),0,21,21(11--==B A M C∴,,00)2(21121)1(1111C A C A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅∴A 1B ⊥C 1M .5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.【例8】 求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式 解：设点),(),,(2211y x B y x A ，),(1212y y x x --=∴212212)()(||y y x x -+-=∴ ,而||||AB =∴点A 与点B 之间的距离为：212212)()(||y y x x AB -+-=6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.【例9】 证明:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-证明：在单位圆O 上任取两点B A ,，以Ox 为始边，以OB OA ,为终边的角分别为αβ,，则A 点坐标为),sin ,(cos ββB 点坐标为)sin ,(cos αα；则向量=),sin ,(cos ββ=)sin ,(cos αα，它们的夹角为βα-，,1||||==βαβαsin sin cos cos +=⋅,由向量夹角公式得：==-||||)βαcos(OB OA βαβαsin sin cos cos +,从而得证.注：用同样的方法可证明=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos - 7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.【例10】 证明柯西不等式2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+证明：令),(),,(2211y x b y x a ==（1） 当0=a 或0 =b 时，02121=+=⋅y y x x b a ，结论显然成立； （2） 当0 ≠a 且0 ≠b 时，令θ为b a ,的夹角，则],0[πθ∈θcos ||||2121b a y y x x b a=+=⋅. 又 1|cos |≤θ||||||b a b a ≤⋅∴（当且仅当b a//时等号成立）222221212121||y x y x y y x x +⋅+≤+∴∴2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+.（当且仅当2211y x y x =时等号成立） 【例11】 求x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最值 解：原函数可变为x x y 2cos 2sin 2++=， 所以只须求x x y 2cos 2sin +='的最值即可， 构造{}{}1,1,2cos ,2sin ==b x x a ，那么22cos 2sin =≤=+x x . 故22,22min max -=+=y y .【例12】 三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值. 解：(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴AM5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=D 点分的比为2.∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=(3)∠ABC 是与的夹角，而=(6，8），=(2，－5）.1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅=∴BC BA ABC 解斜三角形【例1】 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .BC A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2C A -的值.解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°.设α=2C A -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α，,43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα=α-αα=α+α+α-α=α-︒+α+︒=+C A 所以依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα .2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0，∴2cos α－2=0.从而得cos 222=-C A .解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①， 把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+③，将cos 2C A +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得：将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2CA -－32=0，(*)，.222cos :,022cos 2,032cos 22,0)32cos 22)(222cos 2(=-=--∴=+-=+---C A C A C A C A C A 从而得【例2】 在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。