八年级数学上册最短路径问题专题复习练习 含解析

A．6cmB．8cmC．9cmD．10cm
9．如图，在 中， ， ， 的面积为12， 于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则 的周长的最小值是（）
A．6B．7C．10D．12
10．如图， 分别是线段 的垂直平分线， ，一只小蚂蚁从点M出发爬到 边上任意一点E，再爬到 边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．
12．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴∠D+∠G=50°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案为：80°．
17．（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2） =2×2- ×1×2×2- ×1×1= ．
（3）如图，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求．
连接 ， 、 、 ， 交 、 于点 、 ，
则 ， ，
此时 周长的最小值等于 的长.
由轴对称性质可得， ，
，
，
，
，
由轴对称性质可得 ，
．
19．
解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，
∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE=CD，
由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小，
∵∠BAE=152°，
∴∠G+∠H=28°，
∵AM=MG，AN=NH，
∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN，
∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°，
故选：B．
8．D
解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴PB=PC，
当PC+PE的长最小时，即PB+PE最小
则此时点B、P、E在同一直线上，
又∵BE为中线，△ABC是等边三角形
∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的三条高的交点．
故选：D
3．C
∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60， 是 中点，
AD⊥BC于点D，
∴S△ABC= =60，
∴AD=12，
∴AD=8．
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+ BC=6+ ×8=10．
故答案为：10．
14．
解：作B关于AC的对称点B′，过B′作B′D⊥AB交AC于E，连接AB′，
此时B′E+ED=BE+ED为最小值，
∴PA＝PB，
∴△PBF的周长＝PB+PF+BF＝PA+PF+2，
∵PA+PF≥AF，
∴PA+PF的最小值为5，
∴△PBF的周长的最小值为7．
故选：B．
7．B
解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH，
则AM=MG，AN=NH，
∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，
18．
（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG=OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，
故答案为：100°；
② ， ，
、 、 三点其线，
，
，
当 时， ；
（2）如图所示：分别作点 关于 、 的对称点 、 ，
A． 点处B． 点处
C． 的中点处D． 三条高的交点处
3．如图，在 ABC中， ， ， ， 是 中点， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，在 上确定一点 ，使 最小，则这个最小值为（）
A．10B．11C．12D．13
4．如图，在 ABC中， ，AD是其角平分线，E是边AB的中点，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于 的最小值是（）
设AD与EF的交点为P，
∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴PA=PB，
此时AD的长为PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
4．B
解：如图，连接PC，
∵ ，AD是其角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PC+PE≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
16．如图，在锐角 中， ，边 上有一定点 分别是 和 边上的动点，当 的周长最小时， 的度数是_________．
三、解答题
17．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知 的三个顶点在格点上．
（1）画出 ，使它与 关于直线a对称；
（2）求出 的面积；
（3）在直线a上画出点P，使 最小
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM＋MD＝MD＋AM．
∴当点M位于点M′处时，MB＋MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB＋AD＝2＋6＝8,
故答案为：8．
13．10
解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC= •BC•AD= ×4×AD=16．
此时 周长的值最小，
∴ 周长的最小值 ．
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝8+ ×4＝10（cm）．
故选：D．
9．B
如图
∵ 的面积为12，
由两点之间线段最短可知，当点A,P,C共线，
即点P在AC边上时，PA+PC取得最小值，最小值为AC，
即PA+PB的最小值为AC=5 cm，
则△ABP周长的最小值是3+5=8 cm，
故答案为：8．
16．80°
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴∠C+∠EPF=1
∴PQ＝PM，
这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵CM⊥AB，∠B＝30°，BC＝8，
∴CM＝ ＝4，
∴PC+PQ的最小值为4．
故答案为：4．
12．8
解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×4×AD＝12，解得AD＝6，
A．5B．7C．10D．14
7．如图，在五边形 中， ， ， ， 在 ， 上分别找一点 ， ，使得 的周长最小时，则 的度数为（）
A．55°B．56°C．57°D．58°
8．如图，等腰 的底边BC长为4cm，面积为 ，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则 周长的最小值为（ ）
故选B．
5．B
解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
此时PA+PB最小，
故选：B．
6．B
解：如图，连接AF，AP．
∵AC＝AB，CF＝BF＝ BC＝2，
∴AF⊥BC，
∵S△ABC＝ •BC•AF＝10，BC＝4，
∴AF＝5，
∵DE垂直平分线段AB，
18．已知点 在 内．
（1）如图1，点 关于射线 的对称点是 ，点 关于射线 的对称点是 ，连接 、 、 .
①若 ，则 ______；
②若 ，连接 ，请说明当 为多少度时， ；
（2）如图2，若 ， 、 分别是射线 、 上的任意一点，当 的周长最小时，求 的度数．
19．如图，等边 （三边相等，三个内角都是 的三角形）的边长为 ，动点 和动点 同时出发，分别以每秒 的速度由 向 和由 向 运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为 ， ， 和 交于点 ．
∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，
∴AD=AE，
∵AB=AC=10，
∴t=10-t，
∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，
∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，
∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，
∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，
∴ ， ，
解得， ，
∵直线EF垂直平分BC交AB于点E，