环形道路上的行程问题

行程问题专题训练（环形道路上的行程问题）

一、知识梳理

1．行程问题中的基本数量关系式：

速度×时间=路程；路程÷时间=速度；

路程÷速度=时间．

2．相遇问题中的数量关系式：

速度和×相遇时间=相遇路程；

相遇路程÷速度和=相遇时间；

相遇路程÷相遇时间=速度和．

3．追及问题中的数量关系式：

速度差×追及时间=追及距离；

追及距离÷速度差=追及时间；

追及距离÷追及时间=速度差．

4．流水问题中的数量关系式：

顺水速度=船速+水速；

逆水速度=船速-水速；

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；

水速=(顺水速度-逆水速度)÷2．

5．应该注意到：

(1)顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；

(2)在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似。因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．

二、例题精讲

例1、明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．明每分钟跑200米，是王林每分

钟所跑路程的．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇?

分析：由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差=追及时间”．

解：追及距离=400米；

追及时的速度差．由公式列出

追及时间

（分）．

答：至少经过16分钟两人才能相遇．

例2、如图所示，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．

分析：第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．可知，第二次相遇时两人合起来的行程是第一次相遇时合起来的行程的3倍，可知，每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以第二次相遇时亮亮走的行程(A→c→B→D)应该是第一次相遇时走的行程(A直接到C)的3倍。

解：第二次相遇时亮亮走的距离：100×3=300(米)．

半个圆圈长：300-80=220(米)．

整个圆圈长：220×2=440(米)．

答：这个圆的周长是440米．

例3、如图所示，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？

解：设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有

，

解得

在这段时间乙走了

（米）．

由于正方形边长为90米，共四条边，所以由

，可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD边上。

答：当乙第一次追上甲时在正方形的AD边上。

三、专题特训

1．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次．问乙跑完一圈用多少秒?

2．甲、乙从360米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步．甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米．两人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处?

3．有一条长500米的环形跑道．甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则10分钟后相遇．已知甲跑得比乙快，问甲、乙两人每分钟各跑多少米?

4．甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇?

5．小明在360米长的环形跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒?

6．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆行与顺行所用时间的比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，问甲、乙两港相距多少千米?

7．两只小爬虫甲和乙，从图上A点同时出发，沿长方形ABCD的边，分别按箭头方向爬行，在离C点32厘米的E点它们第一次相遇；在离D点16厘米的F点第二次相遇，在离A 点16厘米的G点第三次相遇，问长方形的边AB长多少厘米?

8．周长400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点(如图所示)．甲、乙两人分别在A、B两点相背而跑，两人相遇后乙立即转身与甲同向而跑，当甲又跑到A地时，乙恰好又跑到B地．如果以后甲、乙跑的方向和速度都不变，那么甲追上乙时，从出发开始，甲共跑了多少米?

9．一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．1分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…(连续奇数)分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇?再次相遇需要多少时间?

10．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少?

参考答案

1．解：设乙路完一圈用x秒，则，解得（秒）。

2．解：360÷(305-275)=12(分)．305×12=3660(米)．

3660+360=(圈)+10(圈)+60(米)

答：第一次相遇在离起点60米处。

3．解：500÷1=500(米)(速度和)；500÷10=50(米)(速度差)，利用和倍、差倍问题的解题方法可求出两个速度：

(500+50)÷2=275(米／分)；

(500-50)÷2=225(米／分)。

答：甲每分钟跑275米；乙每分钟跑225米．

4．解：甲走完一圈需要400÷80＝5（分钟），乙走完一圈需要400÷50＝5（分钟）.8和5的最小公倍数是40，40分钟后甲和乙在A点处相遇。

5．解：设跑一圈需x秒，

列得方程，解得(秒)。

前一半路程用：180÷5=36(秒)，所以，后一半路程用了80-36=44(秒)

6．解：设甲、乙两港相距x千米，且原来水速为a千米／时