高中数学 数学归纳法 测试题

选修2-2 2. 3数学归纳法

一、选择题

1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1

1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12

<2 B ．1＋12＋13

＜2 C ．1＋12＋13

＜3 D ．1＋12＋13＋14

＜3 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a

n ＋1＝1－a n ＋

21－a (n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )

A ．1

B ．1＋a ＋a 2

C ．1＋a

D ．1＋a ＋a 2＋a 3

3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2

C.12n ＋1＋12n ＋2

D.12n ＋1－12n ＋2

4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )

A ．当n ＝6时该命题不成立

B ．当n ＝6时该命题成立

C ．当n ＝4时该命题不成立

D ．当n ＝4时该命题成立

5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )

A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题也成立

B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题也成立

C ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题也成立

D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立

6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()

A．f(n)＋n＋1

B．f(n)＋n

C．f(n)＋n－1

D．f(n)＋n－2

7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证()

A．n＝1时命题成立

B．n＝1，n＝2时命题成立

C．n＝3时命题成立

D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立

8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()

A．30

B．26

C．36

D．6

9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想a n ＝()

A.2

(n＋1)2

B.2

n(n＋1)

C.2

2n－1

D.2

2n－1

10．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：

(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k

∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()

A．过程全都正确

B．n＝1验证不正确

C ．归纳假设不正确

D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确

二、填空题

11．用数学归纳法证明“2n ＋

1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________． 12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)

，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.

13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.

14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.

(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．

(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．

(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．

三、解答题

15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．

16．求证：12＋13＋14＋…＋12

n －1>n －22(n ≥2)． 17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．

求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22

个区域． 18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．