高三数学：转化与化归思想辅导教案
化归与转化思想PPT教学课件
因为 c (0,a) ， i (1,0) ，,所以 c i ,a ， i 2c 1,2a.
4.化归与转化思想
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问 题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思 想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是 未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化 归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题， 要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是 熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等 等.事实上,前面讲的函数和方程思想就是把表面不是函数的问题化归为函数问 题求解,分类与整合思想是把一个复杂的题目分解成若干个小题求解,而数形结 合思想则是把代数问题转化为图形求解,或者把几何问题转化为代数运算求解.
r2 a ex1
2
2 2 x1 ,
所以,
r1r2
2
1 2
x12
,
①
这里, r1 与 r2 的积用 x1 的代数式来表示.
直线方程为
y
y1
x1 2 y1
x
x1
,
即 x1x 2 y1 y 2 y12 x1 0 ,
②
因为
A x1,
高考数学复习 专题一 第四讲 转化与化归思想课件
|AB| |MN|
＋
|MN| |AB|
的
范围是________．
[思路点拨] (1)由于条件中△ABC的三边只需满足a＋c＝3b
即可，因此可对a，b，c取特值，即选择特殊的三角形处理．
(2)由于题目条件中过点P(－1,1)可作无数对互相垂直的直
线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题．
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8
[解析] (1)取边长a，b，c分别为4,3,5的直角三角形，易求tan
A2＝12，tan C2＝1，所以tan A2·tan C2＝12.
(2)设
|AB| |MN|
＝t，考虑特殊情况：当AB垂直OP时，MN过O，
|AB|最小，|MN|最大，所以t最小＝
2 2
，t最大＝
2
.所以t∈
22，
2
.
又因为t＋1t ≥2
t·1t ＝2，所以t＋1t ∈2，322.
[答案]
(1)C
本问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形
式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，
以达到化归的目的．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证
明特殊化后的问题的结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于
[答案]
(1)2
10 5
(2)(－∞，－8]
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15
等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
转化与划归思想
高 频 考 点 突 破
菜
单
数学（ 新课标 高考二轮复习 数学（文）
(3)根据递推式的特点，对其取倒数后进行变换，转化为等比数列，通过求这个 根据递推式的特点，对其取倒数后进行变换，转化为等比数列， 根据递推式的特点
思 想 方 法 解 读
2an 1 1 1 1 1 等比数列的通项，求出原数列的通项． 等比数列的通项，求出原数列的通项． an＋ 1＝ ⇔ ＝ ＋ ·a ， 设 ＋λ an＋1 an＋1 2 2 n an＋1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 比较， ＝－1， ＝ (a ＋λ)，这个式子等价于 ， ＝ ·a － λ，与 ， ＝ ＋ ·a 比较，得 λ＝－ ， ＝－ 2 n an＋1 2 n 2 an＋1 2 2 n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 将其代入 ＋λ＝ (a ＋λ)，得 ＝ ， －1＝ (a －1)，又 a1＝ ，∴ －1＝ ， ＝ ， ＝ 2 n 2 n 3 a1 2 an＋1 an＋1 1 1 1 1 1 数列{ ∴数列 a －1}是以 为首项， 为公比的等比数列，故a －1＝( )n，即 an＝ 是以 为首项， 为公比的等比数列， ＝ 2 2 2 n n 2n . 2n＋1
2
高 频 考 点 突 破
菜
单
数学（ 新课标 高考二轮复习 数学（文）
思 想 方 法 解 读
高 频 考标 高考二轮复习 数学（文）
思 想 方 法 解 读
(1)函数 y＝(x－a)2＋(x－b)2(a，b∈R)的最小值为 函数 ＝ － － ， ∈ 的最小值为( 的最小值为 A．8 ． (a＋b)2 ＋ ) B. 2 (a－b)2 － ) C. 2 a2＋b2 D. 2
高 频 考 点 突 破
转化为一条直线上的点与(a， 的距离 的距离； 【思路点拨】 (1)转化为一条直线上的点与 ，b)的距离； 思路点拨】 转化为一条直线上的点与 (2)将S△ABF1转化为 △AF1F2； 将 △ 转化为S△ (3)转化为新的等差或等比数列． 转化为新的等差或等比数列． 转化为新的等差或等比数列
新课程高中数学转化与化归思想的教学策略
新课程高中数学转化与化归思想的教学策略数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，是历年高考的重点.其中转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决离不开转化与化归.数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上方法都是转化与化归思想的具体体现.转化与化归就是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决.下面以具体的例子谈谈怎样在教学中培养高中学生的转化与化归思想：一、正与反、一般与特殊的转化当面临的数学问题从正面入手求解难度较大时，可以考虑从反面入手解决；一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性来解决.例1 试求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分.分析^p “不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，问题转化为“抛物线y=x2上存在两点关于直线y=m（x-3）对称，求m的取值范围”，再求出m的取值集合的补集即为原问题的解.三、数与形的转化通过数与形的转化，可以利用对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直观地反映函数或方程中的变量之间的关系，有时还能由几何图形提示解决问题的途径.例3 当a为何值时，方程lg2xlg（x+a）=2有唯一解？两解？无解？分析^p 将原方程等价转化，化为2x=x+ax>0且x≠12，在同一坐标系内作出y=2xx>0，x≠12及y=x+a的图像，则方程解的个数等于直线y=x+a与抛物线弧y=2xx>0，x≠12交点的个数，且求得当a=12时，直线y=x+a与抛物线弧y=2xx>0，x≠12切于点12，1，由图可知，原方程：当a≥12时，无解；当a≤0时，有唯一解；当0<a<12时，有两个不相等的实数解.此题将原参数方程转化后，借助数形结合方法解决问题，解题方法简洁.四、数学各分支之间的转化数学各分支之间的转化是一种重要的解题策略，应用十分广泛，例如用复数方法解代数、三角、解析几何问题，利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题，立体几何中位置关系的论证、角和距离的计算都需要转化为平面问题来处理，运用这些策略，往往能提高创新思维能力.总之，转化与化归思想方法是高中数学中常用的解题方法，它包括正与反的转化、一般与特殊的转化、常量与变量的转化、数与形的转化、数学各分支之间的转化.这些转化实质就是化繁为简、化生为熟.我们在教学中必须经常提醒学生怎样转化，为学生解决难题扫除障碍，从而达到化难为易和快速、简捷、准确的解题效果.。
转化与化归思想
第1讲 第4课时 转化与化归思想
[解析] g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2， 若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数， 则①g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立， 或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立． 由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0， 即 m＋4≥2x－3x，当 x∈(t,3)时恒成立， 所以 m＋4≥2t －3t 恒成立， 则 m＋4≥－1，
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第1讲 第4课时 转化与化归思想
应用二 函数、方程、不等式之间的转化
1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助． 2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数与方程、不等式进行转化 与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变 量的范围．
第1讲 第4课时 转化与化归思想
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第1讲 第4课时 转化与化归思想
即 m≥－5； 由②得 3x2＋(m＋4)x－2≤0， 即 m＋4≤2x－3x，当 x∈(t,3)时恒成立， 则 m＋4≤23－9， 即 m≤－337. 所以函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为－337，－5.
第1讲 第4课时 转化与化归思想
首页 ] 若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则 实数 m 的取值范围是________．
第1讲 第4课时 转化与化归思想
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第1讲 第4课时 转化与化归思想
[解析] 因为当 t∈[－1，＋∞)且 x∈[1，m]时，x＋t≥0， 所以 f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x. 所以原命题等价转化为：存在实数 t∈[－1，＋∞)，使得不等式 t≤1＋ln x－x 对任意 x∈[1，m]恒成立． 令 h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)． 因为 h′(x)＝1x－1≤0， 所以函数 h(x)在[1，＋∞)上为减函数， 又因为 x∈[1，m]，所以 h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.
高三数学 二轮专题复习精讲课件：8-2转化与化归思想、数形结合思想
(4)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易 于转化．
(5)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为 易于解决的问题．
(6)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问 题，是转化方法的一个重要途径．
(7)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定 转化途径．
(8)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并 证明特殊化后的结论适合原问题．
(1)抽象问题向具体问题化归； (2)一般问题向特殊问题化归； (3)正向思维向逆向思维化归； (4)命题向等价命题化归．
3．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公 式或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整 式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于 解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间 形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
[答案] B
[分析] 由奇函数图象的对称性可画出f(x)的图象，不等
式f(x)·cosx<0可等价转化为
fx>0
cosx<0
或
fx<0
cosx>0
，结合图形可
得出解集．
[解析] 不等式f(x)cosx<0等价于
fx>0， cosx<0，
或fx<0， cosx>0.
画出f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数
核心整合
知识方法整合 一、转化与化归思想 转化与化归的基本内涵是：人们在解决数学问题时，常 常将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题 B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问 题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用框图可直 观地表示为：
高考数学化归与转化思想及方法讲解
高考数学化归与转化思想及方法讲解化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略.化归与转化的思想,遵循以下五项基本原则: (1)化繁为简的原则. (2)化生为熟的的原则. (3)等价性原则. (4)正难反则易即逆向思维原则.当问题从正面解决困难时,可以转化为问题的逆否命题或考虑反证法.(5)形象具体化原则.将抽象的数学信息转化为可以观察,或者能够定性研究的具体问题.下面通过一些具体例子说明化归与转化思想中主要的一些方法.1.用构造法实现化归与转化例1 已知,3232,x y y x R y x --+>+∈且那么（ ）0y x .<+A 0y x .>+B 0 x y .<C 0 x y .>D分析：已知不等式两边都含有y x ,两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把不等式化为yyxx 3232->---，使它的两边都只含有一个变量，于是可以构造辅助函数xxx f --=32)(，通过构造函数,把不等式问题化归为函数单调性问题.解：把原不等式化为y yxx3232->---，即)(3232y yxx ----->-.设.32)(xx x f --=因为函数xx--3,2均为R 上的增函数,所以xxx f --=32)(是R 上的增函数. 不等式)(3232y yxx----->-即)()(y f x f ->,0>+->∴y x y x 即,故选B .2.转换变量实现化归与转化例2设1log)2()(log 222+--+=t x t x y ,若t 在]2,2[-上变化时,y 恒取正值,求x 的取值范围.分析:本题中,如果把y 看作x 的函数,则该题就是一个有限制条件的定义域问题,解法较为复杂.由于t 在]2,2[-上变化,所以如果转换思维角度,把y 看作t 的函数,则y 就是关于t 的一次函数或常数函数.原命题的陈述方式变为:关于t 的函数y ，当自变量t 在]2,2[-上变化时，y 恒大于零，求字母x 的取值范围.从而有以下简捷解法. 解:设.1log2)(log)1(log)(2222+-+-==x x t x t f y 则)(x f 为一次函数或常数函数.当]2,2[-∈t 时,0)(>x f 恒成立,则⎩⎨⎧>>-,0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-01log3log 4log22222x x x ,解得1l o g 2-<x 或210,3log2<<∴>x x 或8>x ,所以x 的取值范围是).,8()21,0(+∞3.用换元法实现化归与转化例3已知,R a ∈求函数)cos )(sin (x a x a y --=最小值.分析:把函数)cos )(sin (x a x a y --=展开后,可以观察到该函数是关于x x x x cos sin cos sin +⋅与的三角函数式,因此可以把x x cos sin +看作一个量,把该函数式转化为一个二次函数在给定区间上的最值问题. 解:设xx t cos sin +=,则].2,2[),4sin(2-∈+=t x t π而),1(21]1)cos [(sin 21cos sin 22-=-+=⋅t x x x x所以x x x x a a t f y co s s i n )c o s (s i n )(2⋅++-==2121)1(212222-+-=-+-=a at t t at a ].2,2[,2121)(2122-∈-+-=t a a t（1）若22≤≤-a 时，当;2121)(,2m i n -==a t f a t （2）若2>a 时，)(t f 在]2,2[-上单调递减，;212)2()(2m in +-==a a f t f （3）若2-<a ，)(t f 在]2,2[-上单调递增，212)2()(2min ++=-=a af t f .4．用数形结合实现化归与转化例4 已知不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,求实数a 的取值范围. 分析:如果本题从不等式的角度去考虑,将比较繁琐.如果画出函数22)(,)12()(ax x g x x f =-= 的大致图像（如图1所示）,从图像上可以看到,要使不等式成立,必须 0>a ,而且满足22)12(x a x ⋅<-的图像在y 轴的右边,由此看到，解集中三个整数解分别为3,2,1，而4不再是不等式的解，从而由函数值的大小关系，解得实数a 的取值范围. 通过数形结合,把求不等式中字母a 的问题,化归为两个二次函数在几个关键值的大小问题. 解:在同一坐标系中画出22)(,)12()(ax x g x x f =-=（0>a ）的大致图像图像,如图1所示.从图1中看到,要使不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,那么这三个解只能是3,2,1.所以⎩⎨⎧≥<)4()4()3()3(g f g f 即⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅<22224735a a 解得.1649925≤<a 这就是实数a 的取值范围. 5.用分离变量法实现化归与转化例5 若不等式012≥++ax x 对一切]21,0(∈x 成立,则a 的最小值为 .分析:要求a 的最小值,需要求出a 的取值范围.若通过讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立，可能较繁琐.若把字母a 单独分离出来,放于不等式的一边,则另一边是关于x 的函数关系式.通过求函数式的值域或范围,可以求得字母a 的取值范围.解:因为]21,0(∈x ,所以可以把不等式012≥++ax x 化为:)1(x x a +-≥.设x x x f 1)(+=, ]21,0(∈x .因为xx x f 1)(+=在]21,0(∈x 时单调递减,所以25)1( ,25)(-≤+-≥x x x f .要使不等式)1(xx a +-≥对一切]21,0(∈x 成立,则25-≥a ,所以a 的最小值为25-.6.用特殊化法实现化归与转化例6 已知|,0,3||,1|=⋅==OB OA OB OA 点C 在ABC ∠内,且30=∠AOC .设),(R n m OB n OA m OC ∈+=,则=nm ( )31 .A 3 .B 33.C 3 .D图1解析：本题若按通常解法，需要根据向量所给出的平面几何关系，把OB n OA m OC +=两边平方后，得到n m ,关系式，从中求出nm ,比较繁琐.现在如果把n m ,特殊化,如取1=m 则OB AC //.由AC OA AOC OA ⊥=∠=,30,1|| 得33||=AC ,所以31=n ,则3=nm ,由此判断选择支D C A ,,错误,故B 正确.7.用导数实现化归与转化例7 已知函数22()ln (0)f x x a x x x=++>， （I ）令1a =，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围.分析:本题是一个非基本初等函数在某点处切线和单调性的问题.在（I ）中,把1a =代入函数的解析式后,再求函数的导数,得()f x 在2x =处的切线斜率,最后写出方程.在（Ⅱ）中,先求函数22()ln (0)f x x a x x x=++>的导函数)(x f ',再令0)(≥'x f 在[1,)+∞上恒成立,求得a 的取值范围. 通过导数的几何意义,把非基本初等函数的切线和单调性问题,化归为求导函数值和不等式恒成立问题,这是导数的重要贡献之一. 解:（I ）由2222()ln ,'()2af x x a x f x x x x x=++=-+得切线的斜率k '(2)4f ==切点坐标（2，5+ln 2）， 所求切线方程为(5ln 2)4(2)y x -+=-,即02ln 34=+--y x（Ⅱ）若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220ax x x-+≥在[1,)+∞上恒成立 也即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立.令22()2,x x xϕ=-上述问题等价于m ax (),a x ϕ≥而22()2x x xϕ=-为在[1.)+∞上的减函数， 则max ()(1)0,x ϕϕ==于是0a ≥为所求.8.用定义、公式、定理、图形和已知结论等实现化归与转化例8已知数列{}n a 的前n 项和322+=n S n ,求数列{}n a 的通项n a .分析:数列{}n a 的前n 项和已知,根据前n 项和定义n n a a a S +++= 21得,当2≥n 时,1--=n n n S S a ,把数列{}n a 的前n 项和问题转化为数列的通项问题. 这是最常见和应用最广泛的解题方法,它蕴含着最直接的化归与转化的思想.解:因为322+=n S n ,所以当2≥n 时, 1--=n n n S S a 243)1(23222-=---+=n n n , 又当1=n 时,53211=+==S a ,所以⎩⎨⎧=≥-=1,52,24n n n a n .9.利用命题的否定或反证法实现化归与转化例9 已知下列三个方程: 03442=+-+a ax x , 0)1(22=+-+a x a x ,0222=-+a ax x 至少有一个方程有实数根,求实数a 的取值范围.分析:若从题设入手,三个方程至少有一个有实数根,则需要分为三类,即有一个方程有实根,有两个方程有实根, 有三个方程有实根.而且前两类中又各有三种情况,比较复杂.因此考虑该问题的相反情况即:三个方程都没有实根.求得a 的范围后,再在R 上求补集.该转化较好的体现了正难反则易的思想.解:假设三个方程均无实根，则有⎪⎩⎪⎨⎧<--<-<+--）（）（）（30)2(4)2(2 041)-(a 1 0)34(4)4(2222a a a a a ，解（1）得：,2123<<-a 解（2）得：,311>-<a a 或解（3）得：.02<<-a 所以三个方程均无实数解时.123-<<-a 因此三个方程至少有一个实数解时a 的取值范围是123-≥-≤a a 或.10.利用归纳类比实现化归与转化例10 在球面上有四个点C B A P 、、、,如果PC PB PA 、、两两互相垂直，如图2所示,且,a PC PB PA ===那么这个球面的面积是( )223.a A π 223 .a B π 23 .a C π 2433.a D π解析:本题若只从题设条件入手,不易确定PC PB PA 、、与球心及球的半径的关系，因此不易找到等量关系进行计算.若类比我们熟悉的球与多面体的组合体,则可以联想到球的内接正方体. PC PB PA 、、看作正方体顶点P 处的三条棱（如图3）,正方体的体对角线PD 就是球的直径. 通过类比, 确定了球心及半径与已知条件的关系,把问题转化为球的内接正方体P C B AD图3P ABC图2问题.所以球的半径a r 23=,球的表面积2234a rS ππ==.故选C .化归与转化的思想贯穿于解题行为的始终,化归与转化的方法精彩纷呈,不胜枚举.让我们深刻理解化归与转化的精髓,把握化归与转化的方法,进一步提高分析问题和解决问题的能力.。
高考数学复习化归与转化思想
2019高考数学复习化归与转化思想作者：佚名知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为化归与转化的思想方法。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
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转化与化归思想辅导教案
学生姓名 性别 年级 高三 学科 数学
授课教师 上课时间 第（ ）次课 共（ ）次课 课时：3课时
科组长签名 教学主任签名
教学课题 转化与化归思想
教学目标 进一步加强转化思想的应用，将转化的思想进行深层次的理解
教学重点
与难点
一、知识点讲解
转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转
化，进而使问题得到解决的一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，
将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问
题.转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数
与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互
化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、
不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合
性.
转化与化归思想的原则
(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，
以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题
的目的，或获得某种解题的启示和依据.
(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐
统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去
探讨，使问题获得解决.
二、考题型精析
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题型一 正难则反的转化
例1 已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m
的取值范围.
点评 本题中，A∩B≠∅，所以A是方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的实数解组成的非空集合，
并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根.分别求解
比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求
出全集U，然后求①的两根均为非负时m的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就
是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”.
变式训练1 若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函
数，则实数m的取值范围是__________.
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题型二 函数、方程、不等式之间的转化
例2 已知函数f(x)＝13x3＋a2－43x2＋43－23ax(0
点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，
因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转
化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.
变式训练2设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln2a.
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题型三 主与次的转化
例3 已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－
1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________.
点评 主与次的转化法
合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的
作用.在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数.
显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a的一次函数小于0恒成立
的问题.
变式训练3 设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]
恒成立，则x的取值范围为______________.
题型四 以换元为手段的转化与化归
例4 是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acos x＋58a－32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？
若存在，则求出对应的a的值；若不存在，则说明理由.
点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况.
本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos x＝t，转化为关于t的二次函数
问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y＝－(t－a2)2＋a24＋58a－12，0≤t≤1的最值问
题，然后分类讨论解决问题.
变式训练4 若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是
____________.
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三、高考题型精练 4.设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋2b的最小值为( ) 的值为( ) 6.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，π4， C.8 D.9 9.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值是________. 11.f(x)＝13x3－x，x1，x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤43. 12.已知函数f(x)＝eln x，g(x)＝1ef(x)－(x＋1).(e＝2.718……)
1.已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＝b
C.a
2.下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
①f(x)>0的解集是{x|0
A.①②③ B.②
C.①③ D.③
3.若0
B.ex1－ex2
D.x2ex1
A.－22 B.－533
C.－23 D.－72
5.过双曲线x2a2－y2b2＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R、Q两点，则PR→·PQ
→
A.a2 B.b2
C.2ab D.a2＋b2
则点P横坐标的取值范围为( )
A.－1，－12 B.[－1,0]
C.[0,1] D.12，1
7.P为双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和圆(x－5)2＋y2＝1上
的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A.6 B.7
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8.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
A.a<－1 B.a>－1
C.a>－1e D.a<－1e
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10.已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中
点，Q为顶点，则在几何体侧面上，从P点到Q点的最短路径的长为________.
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(1)求函数g(x)的极大值；
(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n>ln(n＋1)(n∈N*).
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