高中数学思想----转化与化归思想
化归与转化的思想方法
化归与转化的思想方法随着教育事业的发展，数学教育改革的逐步深入，尤其是在数学新课程标准中十分注重培养学生的思想方法，培养学生应用数学解决问题的能力。
化归作为重要的数学思想方法，在数学教育中加强对化归思想的教育已成为十分重要的工作，这里，我仅就化归思想的核心及其在生活中的作用等问题作一些初步探讨。
一、历史背景化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做?”对此，某人回答说:“在壶中灌上水，点燃煤气.再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道:“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气，再把水壶放上去.”但是更让人出乎意料的答案出现了。
数学家会回答：“把水倒掉，方法同上。
”一个有趣的笑话精辟的道出化归的方法的精髓。
二、化归与转化的含义在历史上曾经有不少数学家从各种不同的角度对化归方法作过论述。
例如，笛卡尔曾经提出如下的“万能方法”：①把任何问题都化归为数学问题；②把任何数学问题都化归为代数问题；③把任何代数问题都化归方程式的求解。
由于求解方程的问题被认为是已经能解决的（或者说，是比较容易解决的），因此笛卡尔认为利用这样的方法可解决各类型的问题。
显然他的这一结论并不正确，所谓的“万能方法”也根本不存在，笛卡尔所给出的这一模式毕竟可视为化归方法的一个具体运用，从而产生过具有重要意义的成果。
事实上，笛卡尔创立解析几何学，正是这种重要成果的生动体现。
化归法的一般模式，其形式如下图[4]：转换未知问题（复杂）已知问题（简单）已知理论、方法、技巧解答解答化归与转化就是将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决。
转化与化归思想
正面与反面的转化 例 2：若抛物线 y＝x2＋4ax＋3－4a，y＝x2＋(a－1)x ＋a2，y＝x2＋2ax－2a 中至少有一条与 x 轴相交，则实数 a 的取值范围是________．
第20讲 │ 要点热点探究
4 (1)－3，7 3 (2)－∞，－2∪[－1，＋∞)
【解析】(1)g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.g(x)＝f′(x)在区间(－1,1) 上存在零点，等价于 3x2＋4x＝a 在区间(－1,1)上有解，等价于 a 的 取值范围是函数 y＝3x2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个 4 4 函数的值域是－3，7.故所求的 a 的取值范围是－3，7. (2) 若 三 条 抛 物 线 均 不 与 x 轴 相 交 ， 则
第20讲 │ 要点热点探究
x2 y2 (2)证明：由(1)知 a ＝3b ，所以椭圆 2＋ 2＝1 可化为 x2＋3y2＝3b2. a b → 设OM＝(x，y)，由已知得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，
2 2
x＝λx1＋μx2， ∴ y＝λy1＋μy2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵M(x，y)在椭圆上，∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2， 2 2 即 λ2(x1＋3y2)＋μ2(x2＋3y2)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2. ① 1 2 a2c2－a2b2 3 2 3 3 2 1 2 由(1)知 x1＋x2＝ c，a2＝ c ，b2＝ c ，∴x1x2＝ 2 ＝ c. 2 2 2 8 a ＋b2 ∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c) 3 9 ＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋3c2＝ c2－ c2＋3c2＝0. 2 2 2 又 x2＋3y1＝3b2，x2＋3y2＝3b2， 1 2 2 代入①得 λ2＋μ2＝1.故 λ2＋μ2 为定值，定值为 1.
转化和化归_数学思想方法
• [评析] 1.在运用补集的思想解题时，一 定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都 不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面 是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3) 垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直 线y＝m(x－3)垂直平分”．
[评析] 本题如果从已知条件 a23＝a1·a9⇒(a1＋2d)2＝ a1(a1＋8d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求式子： aa21＋＋aa43＋＋aa190＝a1a＋1＋d＋a1＋a12＋d3＋d＋a1＋a18＋d9d，也能求解，但 计算较繁锁，易错．因此，把抽象数列转化为具体的简单 的数列进行分析，可以很快得到答案．
(1)若 a2＋b2＝1，可设 a＝cosα，b＝sinα； (2)若 a2＋b2≤1，可设 a＝rcosα，b＝rsinα(0≤r≤1)； (3)对于 1－x2，∵|x|≤1，由|cosθ|≤1 或|sinθ|≤1 知， 可设 x＝cosθ 或 x＝sinθ.
• [例3] 试求常数m的范围，使曲线y＝x2的 所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平 分．
[解析] 设 t＝sinx＋cosx， 则 t＝ 2sinx＋π4，t∈[－ 2， 2]， 而 sinxcosx＝21[(sinx＋cosx)2－1]＝12(t2－1)， 于是 y＝f(t)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx ＝a2－at＋12(t2－1)＝12t2－at＋a2－12
• [解析] 由题意得A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B ＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时 a的取值范围．如图：
转化与划归思想
高 频 考 点 突 破
菜
单
数学（ 新课标 高考二轮复习 数学（文）
(3)根据递推式的特点，对其取倒数后进行变换，转化为等比数列，通过求这个 根据递推式的特点，对其取倒数后进行变换，转化为等比数列， 根据递推式的特点
思 想 方 法 解 读
2an 1 1 1 1 1 等比数列的通项，求出原数列的通项． 等比数列的通项，求出原数列的通项． an＋ 1＝ ⇔ ＝ ＋ ·a ， 设 ＋λ an＋1 an＋1 2 2 n an＋1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 比较， ＝－1， ＝ (a ＋λ)，这个式子等价于 ， ＝ ·a － λ，与 ， ＝ ＋ ·a 比较，得 λ＝－ ， ＝－ 2 n an＋1 2 n 2 an＋1 2 2 n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 将其代入 ＋λ＝ (a ＋λ)，得 ＝ ， －1＝ (a －1)，又 a1＝ ，∴ －1＝ ， ＝ ， ＝ 2 n 2 n 3 a1 2 an＋1 an＋1 1 1 1 1 1 数列{ ∴数列 a －1}是以 为首项， 为公比的等比数列，故a －1＝( )n，即 an＝ 是以 为首项， 为公比的等比数列， ＝ 2 2 2 n n 2n . 2n＋1
2
高 频 考 点 突 破
菜
单
数学（ 新课标 高考二轮复习 数学（文）
思 想 方 法 解 读
高 频 考标 高考二轮复习 数学（文）
思 想 方 法 解 读
(1)函数 y＝(x－a)2＋(x－b)2(a，b∈R)的最小值为 函数 ＝ － － ， ∈ 的最小值为( 的最小值为 A．8 ． (a＋b)2 ＋ ) B. 2 (a－b)2 － ) C. 2 a2＋b2 D. 2
高 频 考 点 突 破
转化为一条直线上的点与(a， 的距离 的距离； 【思路点拨】 (1)转化为一条直线上的点与 ，b)的距离； 思路点拨】 转化为一条直线上的点与 (2)将S△ABF1转化为 △AF1F2； 将 △ 转化为S△ (3)转化为新的等差或等比数列． 转化为新的等差或等比数列． 转化为新的等差或等比数列
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
转化与化归思想
第1讲 第4课时 转化与化归思想
[解析] g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2， 若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数， 则①g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立， 或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立． 由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0， 即 m＋4≥2x－3x，当 x∈(t,3)时恒成立， 所以 m＋4≥2t －3t 恒成立， 则 m＋4≥－1，
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第1讲 第4课时 转化与化归思想
应用二 函数、方程、不等式之间的转化
1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助． 2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数与方程、不等式进行转化 与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变 量的范围．
第1讲 第4课时 转化与化归思想
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第1讲 第4课时 转化与化归思想
即 m≥－5； 由②得 3x2＋(m＋4)x－2≤0， 即 m＋4≤2x－3x，当 x∈(t,3)时恒成立， 则 m＋4≤23－9， 即 m≤－337. 所以函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为－337，－5.
第1讲 第4课时 转化与化归思想
首页 ] 若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则 实数 m 的取值范围是________．
第1讲 第4课时 转化与化归思想
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第1讲 第4课时 转化与化归思想
[解析] 因为当 t∈[－1，＋∞)且 x∈[1，m]时，x＋t≥0， 所以 f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x. 所以原命题等价转化为：存在实数 t∈[－1，＋∞)，使得不等式 t≤1＋ln x－x 对任意 x∈[1，m]恒成立． 令 h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)． 因为 h′(x)＝1x－1≤0， 所以函数 h(x)在[1，＋∞)上为减函数， 又因为 x∈[1，m]，所以 h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.
转化与化归思想：孟秀娜
【例1】设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1，若t在［-2， 2］上变化时，y恒取正值，求x的取值范围. 分析: 由于“习惯”的影响，常把x看作自变量，
这样处理的话问题很复杂，由于t的取值范围已
知，可考虑变换主元为t,这样自变量的范围已知 了，函数类型也简单了. 解: 设y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1, 则f(t)是一次函数，当t∈［-2，2］时，f(t)>0恒
由于f(m)是关于m的一次函数或常数函数，
f (0) 0, 2 x 1 0, 故有 即 2 f (1) 0. 2 x 1 x 1. 1 解得 x 2. 2 1 从而实数x的取值范围是( , 2). 2
【例2】已知不等式x+|x-2m|>1的解集为R，求实数m
解析
由正弦定理知sin A:sin B:sin C
=a:b:c=5:7:8, 可设a=5k,b=7k,c=8k,
a 2 c 2 b 2 25 64 49 1 cos B . 2ac 80 2 又B (0, ), B . 3
2.已知点 M (3 cos ,3 sin ), N (4 cos ,4 sin ), 则 MN
变式训练2
若不等式4x-2x+1-a≥0在［1，2］上恒
成立，则a的取值范围是 （-∞，0］ . 解析 设2x=t,∵1≤x≤2,∴2≤t≤4.
依题意有不等式t2-2t-a≥0,在［2，4］上恒成立. 即a≤t2-2t,t∈［2，4］,设f(t)=t2-2t,t∈［2，4］.
依二次函数知识可知当t∈［2，4］时， 0≤f(t)≤8.
转化与化归思想
转化与化归思想转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。
转化与化归的基本类型：（1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则。
（2）常量与变量的转化，即在处理多元问题时，选取其中的常量（或参数）当“主元”，其它的变量看作常量。
（3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直接的反应函数或方程中变量之间的关系。
（4）数学各分支之间的转化，如利用向量法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等。
（5）相等与不等之间的转化。
（6）实际问题与数学模型的转化。
[例1]对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；②若x1 D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去。
现定义f（x）=（1）若输入x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn4，x3=f（x2）x1且1xn（n∈N*）综上所述，x1∈（1，2）由x1=f（x0），得x0∈（1，2）。
[例2]设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图像分别交于点M，N，则MN的最小值为（）A. （1+ln3）B. ln3C. （1-ln3）D.ln3-1解析：如图，MN=x3-lnx，令h（x）=x3-lnx，则h（x）=3x3- = ，令h（x）=0，解得x= ，當0 时，h（x）>0，h（x）单调递增；所以当x= 时，h（x）取最小值，即MN=h（x）=h 。
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-- -- 转化与化归思想 [思想方法解读] 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等,消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想,我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化,注重知识的综合性． 转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式;或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. （4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.
体验高考 1．（２016·课标全国乙）已知等差数列{an｝前9项的和为27,a１０=8,则a100等于（ ) A.１００ B．99 C．9８ D.97 答案 C
解析 由等差数列性质,知S9=９a１+a92=错误!＝9ａ5＝27，得a５＝3，而a１0＝8,因此公差ｄ=＼f(a10－a5,10－5)＝1， ∴ａ10０＝ａ10＋9０ｄ=98,故选C.
2.（２016·课标全国丙)已知4213532,4,25,abc则( ) A．bC.b答案 A -- -- 解析 因为4243552,42,ab由函数ｙ=2x在Ｒ上为增函数知ｂ2421
3,33324,255ac
由函数23yx在（0，＋∞）上为增函数知a
故选A. 3．(20１6·四川）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b，c,且错误!+错误!＝错误!. (1)证明：sin Asｉn B=sin Ｃ； (2）若ｂ2＋c２－ａ２＝错误!ｂc，求ｔan Ｂ.
(1)证明 根据正弦定理,可设asin Ａ＝bsin B=错误!＝k(k>0)， 则a=ksｉn A，b=ksｉn B，c=ｋsiｎ C. 代入＼f(cos A,a)+错误!=错误!中，有 错误!＋错误!＝错误!，变形可得 siｎ Ａｓｉｎ Ｂ=ｓｉｎ Acoｓ B＋coｓ Asin B=ｓiｎ（A＋Ｂ)． 在△ＡBC中,由Ａ+B＋C=π，有sin（A+B)＝sin(π-Ｃ)=ｓｉn C，所以sin Asin Ｂ=sin C．
(2)解 由已知，b2+c２－a2＝６5bc，根据余弦定理,有 cos A=＼f(b2＋ｃ2－ａ2,2ｂｃ)＝３５,所以sin Ａ=错误!＝错误!. 由(１)知，siｎ Aｓin B＝ｓｉn Acos B＋ｃｏs Asｉn B， 所以错误!sin B=错误!cｏs B+错误!sin Ｂ. 故tａn B=＼f(ｓin B,ｃoｓ B）=4.
高考必会题型 题型一 正难则反的转化 例1 已知集合Ａ={x∈R|x2-4mx+2m+６＝0}，Ｂ＝{ｘ∈Ｒ|x<0｝，若A∩B≠∅,求实数m的取值范围. 解 设全集U＝｛m|Δ=（-4m)2－4（2ｍ＋６)≥０｝,
即U＝{m|ｍ≤－１或m≥3２｝. 若方程x２-4ｍｘ+2m+６=0的两根ｘ1,x2均为非负， 则错误! 所以使A∩B≠∅的实数m的取值范围为{m|ｍ≤－1}． 点评 本题中,Ａ∩B≠∅，所以A是方程x2－4mｘ+２m＋６＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：（1)两负根;(2)一负根和一零根；(3）一负根和一正根．分别求-- -- 解比较麻烦,我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略,即先由Δ≥０,求出全集U，然后求①的两根均为非负时ｍ的取值范围,最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”. 变式训练1 若对于任意t∈[１,２］,函数g(x）=x3+错误!x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__＿__＿__＿_. 答案 错误! 解析 g′(x）＝3x2+(m+4)x－2，若g(x)在区间（ｔ，3)上总为单调函数，则①ｇ′(x)≥０在(t,3)上恒成立,或②g′(x）≤0在(t,3）上恒成立． 由①得３ｘ2＋（ｍ+4)x-2≥0， 即m+４≥＼f（2,x）－３x在x∈(ｔ，3）上恒成立， 所以ｍ＋4≥＼f(２,ｔ)-3ｔ恒成立，则m+4≥-1, 即m≥-5； 由②得ｍ+4≤错误!-3x在x∈（ｔ,3)上恒成立， 则m+4≤错误!-9,即ｍ≤-错误!. 所以使函数g(x）在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为-错误!题型二 函数、方程、不等式之间的转化 例2 已知函数f(x）＝eln ｘ,g（x）=＼ｆ（1,e）f(x)-(x+1). (e＝2．７18……) （1)求函数g(ｘ）的极大值; (2）求证：１＋＼f(1,2）＋错误!＋…+错误!>lｎ(n＋１)(n∈Ｎ*)． （1)解 ∵g(ｘ)=错误!ｆ(x)-(x+1)＝lｎ x-(x+1)，
∴g′(x)＝１x－1(x＞0). 令g′(x)>0,解得０令g′(x)<０,解得x＞１． ∴函数ｇ(x)在(０,1）上单调递增，在(1，+∞)上单调递减, ∴g(x)极大值＝g(1)＝-2． (２)证明 由(1）知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点， ∴g(ｘ）≤g(1)=-2,即ln x-（x+1)≤－2⇒ln x≤x-1(当且仅当ｘ＝１时等号成立), 令t=ｘ－1，得t≥lｎ(t+1)（t>-１）． 取t=错误!(n∈N*)时， 则错误!＞ln错误!＝ln错误!, ∴1>ｌn 2，错误!>ｌｎ 错误!，错误!＞ｌn 错误!，…,错误!>ln错误!, 叠加得1＋错误!+错误!+…+错误!＞ln（2·错误!·错误!·…·错误!)＝ln(n+1)．即1＋错误!+-- -- ＼f(1，3)+…＋1n>ln（n+1）． 点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围. 变式训练2 设a为实数，函数f(x)=ｅx-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值; （2）求证：当a＞ln 2-1且x>０时，ex＞x２-2ａx＋1． （1)解 由f(x)＝ex-2x+2ａ，ｘ∈Ｒ 知f′(x）=eｘ－2,ｘ∈R. 令ｆ′(x）＝0，得x=ｌｎ ２. 于是当x变化时,f′(x)，f(x)的变化情况如下表: x (－∞，ｌｎ 2) ln ２ (ｌn 2，＋∞) f′(ｘ) － 0 +
f(ｘ） 单调递减 ↘ 2－2ln 2＋２a 单调递增 ↗
故ｆ(x)的单调递减区间是(－∞,ln 2), 单调递增区间是（ln ２，+∞), f（x）在x=ｌｎ 2处取得极小值, 极小值为ｆ(ln 2)＝ｅln ２-２ｌn ２+2ａ＝2-2lｎ 2+２a. (２)证明 设g（x)=ex-x2+２ax－1，ｘ∈Ｒ， 于是ｇ′（x）＝ｅx－2x＋2ａ,x∈Ｒ. 由(１)知当ａ＞ln 2－1时, g′（x)取最小值为g′（ｌn 2)=2（1－ln 2＋a)>0. 于是对任意ｘ∈R,都有ｇ′(x)>０, 所以g(x)在Ｒ内单调递增． 于是当a>lｎ 2－1时,对任意x∈（0,+∞), 都有ｇ(x）>ｇ(0）． 而ｇ(0)=0,从而对任意x∈（０，＋∞)，都有g（x)>0． 即ex-x2＋２ａｘ-１＞0，故eｘ>x２-２ax+1. 题型三 主与次的转化 例3 已知函数ｆ(x)＝x３＋3aｘ-1,g(x)=f′（x)-ａx－5,其中f′(x）是f(x)的导函数．对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有ｇ(x)<0，则实数ｘ的取值范围为_＿______． -- -- 答案 错误! 解析 由题意,知ｇ（x)=3x2-ax＋3a－5， 令φ（a)=（3-x)a＋3x２-5，－1≤ａ≤1. 对-１≤a≤1,恒有ｇ(x)<0，即φ(ａ)＜0, ∴错误! 即错误! 解得－错误!故当x∈错误!时，对满足-１≤a≤1的一切a的值,都有ｇ(x)<０. 点评 主与次的转化法 合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元,起到了化繁为简的作用.在不等式中出现两个字母:ｘ及a,关键在于该把哪个字母看成变量,哪个看成常数．显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[－１，1]内关于a的一次函数小于0恒成立的问题． 变式训练3 设ｆ(x）是定义在R上的单调递增函数,若f(1-ax-x２)≤f(２－ａ)对任意ａ∈[－1，1]恒成立,则x的取值范围为_____＿＿____＿__． 答案 (－∞，-1]∪［0,＋∞） 解析 ∵f(x)是Ｒ上的增函数， ∴1-ax－x2≤2－a,a∈[-1,１］．(*) (*)式可化为（ｘ－１）ａ+x2+1≥0 对ａ∈[-1,1］恒成立． 令g(a)=(x－1)a＋x2+1. 则错误! 解得x≥０或x≤-1, 即实数x的取值范围是(－∞,－1]∪[0，＋∞). 题型四 以换元为手段的转化与化归 例4 是否存在实数a，使得函数y＝sin2x+acos ｘ+＼ｆ(５,8)a－错误!在闭区间［0,错误!]上的最大值是1?若存在,则求出对应的ａ的值；若不存在,请说明理由. 解 y=sｉn2x+ａcｏs x＋错误!ａ－错误! ＝１-cos２x＋acｏｓ x＋错误!ａ－错误! =-(cos x－错误!)2+错误!+错误!a-错误!. ∵0≤x≤＼f（π，2)，∴0≤coｓ x≤１,令coｓ x=t， 则ｙ＝－(t-错误!)2＋错误!+错误!a-错误!，0≤t≤1. 当错误!>1,即a>2时，函数y=－(t-错误!）2＋错误!+错误!a－错误!在ｔ∈[0，１]上单调递增， ∴t=１时,函数有最大值ｙmax=a＋错误!a－错误!＝1,