运用转化与化归思想方法解题老师汇总
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解
中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
转化与化归思想第二篇_转化与化归思想在握_何愁函数问题_王佩其
点拨数学有数充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果．如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误．例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持．同学们，数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外．我们在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法．正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法．（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第二篇：转化与化归思想在握，何愁函数问题！■王佩其函数问题，是高考命题的核心问题之一．一般来说，高考中的函数问题综合性强，难度大，此类问题不仅考查了丰富多彩的函数知识，同时考查了考生的分析问题和解决问题的综合能力和创新能力．面对纷繁复杂的函数问题，我们该怎么办？转化与化归是“王道”！一、将数学表达式等价转化例1．已知f（x）为定义在实数集R上的奇函数，f（x）且［0，＋∞）在上是增函数．当0≤θ≤π2时，是否存在这样的实数m，使f（cos2θ－3））＋f（4m－2m cosθ）＞f（0）对所有的θ∈［0，π2］均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．解析：假设存在适合条件的m，由f（x）是R上的奇函数可得f（0）＝0．又在［0，＋∞）上是增函数，故f（x）在R上为增函数．由题设条件可得f（cos2θ－3））＋f（4m－2m cosθ）＞0．又由f（x）为奇函数，可得f（cos2θ－3））＞f（－4m＋2m cosθ）.∵f（x）是R上的增函数，∴cos2θ－3＞－4m＋2m cosθ.即cos2θ－m cosθ＋2m－2＞0．令cosθ＝t，∵0≤θ≤π2，∴0≤t≤1．于是问题转化为对一切0≤t≤1，不等式t2－m t＋2m－2＞0恒成立．∴t2－2＞m（t－2），即m＞t2－2恒成立．又∵t2－2t－2＝（t－2）＋2t－2≤4－22姨，当且仅当t＝2－2姨时取等号．∴m＞4－22姨．∴存在实数满足题设的条件，m＞4－22姨．点评：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路，本题借助换元，将复杂的三角问题转化为普通的函数问题．二、利用特殊化将抽象向具体转化例2．若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（）A．x2＋x－15B．x2＋x＋15C．x2－15D．x2＋15解析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解，即x－g（x）＝0有实数解．这样很明显得出结论，B选项能使x－g（x）＝0没有实数解，故本题选B．点评：从抽象到具体，再到抽象，能使我们从心理上感到非常轻松．像这样常见的抽象函数式有一次函数型：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m．对数函数型：f（xy）＝f（x）＋f（y）．幂函数型：f（x＋y）＝f（x）f（y）把抽象问题具体化是数学解题中常用的化归途径，它能帮助我们对抽象问题的理解和再认识，从而建立抽象语言与具体事物间的联系，实现抽象向具体的化归．三、通过换元实现函数之间的转化例3．已知函数f（x）＝（1）x，x∈［－1，1］，函数g（x）＝f2（x）－2af（x）＋3的最小值为h（a）．（1）求h（a）；（2）是否存在实数m、n，同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为［n，m］时，值域为［n2，m2］．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．解析：（1）由f（x）＝（1）x的单调性可求出f（x）的值域，g（x）是以f（x）为变元的二次函数，令t＝（13）x，可求关于t的二次函数的最小值h（a）．因为x∈［－1，1］，所以（13）x∈［13，3］.设（13）x＝t，t∈［13，3］，则g（x）＝φ（x）＝t2－2at＋3＝（t－a）2＋3－a2．当a＜13时，h（a）＝φ（13）＝289－23a；当1≤a≤3时，h（a）＝φ（a）＝3－a2；当a＞3时，h（a）＝φ（3）＝12－6a．所以h（a）＝28－2a，（a＜1）3－a2，（13≤a≤3）12－6a.（a＞3∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈）34广东教育·高中2015年第2期GUAN G D ONG JIAO YU GAO ZHONG（2）由（1）知当m＞n＞3时h（a）的表达式，考察h（a）在［n，m］上的单调性，结合其值域［n2，m2］，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在．因为m＞n＞3，a∈［n，m］，所以h（a）＝12－6a．因为h（a）的定义域为［n，m］，值域为［n2，m2］，h（a）且为减函数，所以12－6m＝n2，12－6n＝m2∈，两式相减得6（m－n）＝（m－n）（m＋n）.因为m＞n，所以m－n≠0.故有m＋n＝6，但这与“m＞n＞3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在．点评：求解本题关键在于利用换元的思想方法，将原问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．四、正难则反转化例4．若对于任意t∈［1，2］，函数g（x）＝x3＋（m＋2）x2－2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g（x）在区间（t，3）上为单调函数．g′（x）＝3x2＋（m＋4）x－2，若g（x）在区间（t，3）上上总为单调函数，则：①g′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②g′（x）≤0在（t，3）上恒成立．由①得3x2＋（m＋4）x－2≥0，即m＋4≥2x－3x当x∈（t，3）时恒成立，∴m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2－3x当x∈（t，3）时恒成立，则m＋4≤2－9，即m≤－37．∴函数g（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的的取值范围为－373＜m＜－5．点评：正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．五、主与次的转化例5．已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f′（x）－ax－5，其中f′（x）是f（x）的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，则实数x的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：由题意，知g（x）＝3x2－ax＋3a－5，令φ（a）＝（3－x）a＋＋3x2－5，－1≤a≤1．对－1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0，∴φ（1）＜0，φ（－1）＜0∈，即3x2－x－2＜0，3x2＋x－8＜0∈，解得－2≤x≤1．故当x∈［－2，1］时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0．点评：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，本题中通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在［－1，1］内关于a的一次函数小于0恒成立的问题．六、函数、方程、不等式之间的转化例6．设f（x）＝ln（x＋1）＋x＋1姨＋ax＋b（a，b∈R，且为常数），曲线y＝f（x）与直线y＝3x在（0，0）点相切．（1）求a，b的值；（2）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜9xx＋6．解析：（1）把函数问题转化为方程问题．由y＝f（x）的图像过点（0，0），代入得b＝－1．由y＝f（x）在（0，0）处的切线斜率为32，知y′│x＝0＝（1＋12x＋1姨＋a）│x＝0＝3＋a＝3，得a＝0．（2）把不等式问题转化为函数单调性问题．证：由基本不等式，当x＞0时，2（x＋1）·1姨＜x＋1＋1＝x＋2，故x＋1姨＜x＋1.记h（x）＝f（x）－9xx＋6，则：h′（x）＝1x＋1＋12x＋1姨－54（x＋6）2＝2＋x＋1姨2（x＋1）－54（x＋6）2＜x＋64（x＋1）－54（x＋6）2＝（x＋6）2－126（x＋1）4（x＋1）（x＋6）2.令g（x）＝（x＋6）3－216（x＋1），则当0＜x＜2时，g′（x）＝3（x＋6）2－216＜0.因此g（x）在（0，2）内是减函数，又由g（0）＝0，得g（x）＜0，所以h′（x）＜0．因此h（x）在（0，2）内是减函数，又由h（0）＝0，得h（0）＜0．于是当0＜x＜2时，f（x）＜9x．点评：函数、方程、不等式，三者之间存在着“天然”的联系，利用这种联系是破解函数问题的“法宝”．函数与导35广东教育·高中2015年第2期广东教育·高中2015年第2期点拨数学有数图2yyO－2Q P 2P 1数的综合性问题，历来是高考的压轴题．解决这类问题要注意：（1）综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；（2）及时地进行思维的转换，将问题等价转化，如本例中，将不等式问题转化为研究函数的单调性和最值问题．（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）第三篇：三角函数，善于转化才会赢■毛美芳三角函数，作为第二类基本初等函数，是高考的必考内容，在高考中往往以中档题的身份“闪亮登场”．高考三角函数题难度虽然不大，但如果不善于转化，也很难“笑到最后”．三角函数，善于转化才会赢．那么，三角函数问题该如何转化呢？一、通过统一函数名转化函数的结构例1．求函数y ＝5sin x ＋cos2x 的最值．解析：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一．y ＝5sin x ＋（1－2sin 2x ）＝－2sin 2x ＋5sin x ＋1＝－2（sin x －54）2＋338．∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π（k ∈Z ）时y min ＝－2×8116＋338＝－6；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π（k ∈Z ）时y m ax ＝－2×1＋33＝4．点评：对于三角函数的最值问题，往往可以利用三角恒等变换公式，将其转化为形如y ＝A sin （ωx ＋φ）＋b 或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 等形式，进而采用相应的方法求最值．二、利用数形结合转化函数的表现形式例2．当0≤x ≤1时，不等式sin πx 2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：作出y 1＝sin πx 2与y 2＝kx 的图像，要使不等式sin πx 2≥kx 成立，由图1可知，需k ≤1．点评：图像是函数的另一种表现形式．数形结合可将抽象的代数问题转化成直观的几何问题求解，本题将不等式转化成两个函数图像的位置关系，当0≤x ≤1时，不等式sin πx ≥kx 恒成立，即当0≤x ≤1时，函数y 1＝sin πx 2的图像在函数y 2＝kx 的上方．作出两函数图像后比较，即可轻易得出k ≤1．三、将三角方程有解问题转化为函数值域问题例3．若方程2a ·9sin x ＋4a ·3sin x ＋a －8＝0有解，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．解析：方程2a ·9sin x ＋4a ·3sin x ＋a －8＝0有解，等价于求a ＝8的值域．∵3sin x ∈［13，3］，∴2·9sin x ＋4·3sin x ＋1∈［239，31］，则a 的取值范围为8≤a ≤72．点评：“方程”变“函数”，“范围”变“值域”，体现了方程与函数的“内在联系”．四、将三角函数问题最值转化为解析几何问题例4．求函数y ＝3姨cos x 2＋sin x的最大值和最小值．解析：联想斜率公式k ＝y 1－y 2x 1－x 2，将原式变形为y 3姨＝cos x －0，则求y 的最值可转化为求点（sin x ，cos x ）与点（－2，0）的连线的斜率范围．设点P （sin x ，cos x ），Q （－2，0），则y 3姨可看成单位圆上的动点P 与点Q 连线的斜率，如图2：设直线OP 1的方程为y＝k （x ＋2），即kx－y＋2k ＝0，则圆心（0，0）到它的距离d ＝│2k │k 2＋1姨＝1．解得k 1＝－3姨3或k 2＝3姨3，所以－3姨3≤y 3姨≤3姨3，即－1≤y ≤1．故y m ax ＝1，y min ＝－1．点评：这类问题的特点是三角函数式以分式形式出现，且分子分母分别是cos x 和sin x 的一次式．五、通过合理变角转化例5．已知tan （α－β）＝1，tan α＝17，且α∈（0，π），β∈（π，π），求α－2β．解析：α－2β＝（α－β）－β，而已知条件没有β的三角函数式，所以首先要求出tan β的值，然后再根据已知条件利用两角差的正切公式，通过求tan （α－2β）的值进而求出α－2β的度数．∵tan （α－β）＝15，tan α＝177，图1xyy 1＝sin πx2y 2＝kx36。
例谈“转化与化归”思想在高中数学解题中应用
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例谈“ 转化与化归 ’ ’ 思想 在高中数学解题中应用
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李 文靖
江西瑞金 第一 中学 ３ ２ ０ ４ ５０
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让学生学会运用“转化”思想解题
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比 较 两 种 思 路 ， 路 一 比较 繁 ， 生 思 学 不易做对 ， 也不符合解填空题的要求 ，小 “ 题大做 ” 了。究其原 因是思路一解题时落 入俗套 ， 没有认 真体会题意 ； 思路 二从题 意 出发 ， 过 等 价 转 化 ， 通 简化 解 题 过 程 ， 避 免 分 类 讨论 ， 此 ， 好 转 化 思 想 解 题 的 因 用 前 提 条件 就 是 读 懂 题 意 ， 用好 等 价 转化 。 二 、 难 而 思 。 施正 反 转 化 遇 实 例 ２ 已 知 三 条 抛 物 线 Ｃ．
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数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
如何利用化归转化思想进行解题
如何利用化归转化思想进行解题作者：林敏燕来源：《广东教育·高中》2011年第06期化归转化思想是指运用某种手段或方法把待解决的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为熟悉的规范性的问题来解决的思想方法.化归转化思想是考生解决难题时常用的手段，也是高考数学中思想方法的重要内容.在解题实践中，大部分试题的条件与目标的联系不明显，能否根据问题的特点和解题中出现的具体情况“随机应变”，调整思路，转换策略，是我们能否顺利解题的一个关键因素，也是思维灵活性的一个重要体现，强化解题过程中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧.因此，在平时的学习中，当同学们遇到困难时，要不停地问自己：“我能把这个问题转化吗？转化为自己熟悉的问题？更一般的问题？更简单的问题？”在转化的过程中，就能很自然地提高自己的解题能力.下面举例说明.一、化定点（定值）问题为函数恒成立问题在解析几何中，定点（定值）问题是一个难点，常常会使考生陷入困境.如果能把定点（定值）问题转化为函数的恒成立问题，那么问题的解决就会有了一个好的方向.例1．已知动圆过定点（，0），且与直线x=-相切，其中p＞0.（I）求动圆圆心C的轨迹方程；（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且+=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.[分析与解]本题的难点是第二问，二条直线的倾斜角是二个锐角，且不是特殊角.利用这二个角的和是定值，可以得到一个方程，因此，要解决第二问，只有从这个方程来入手.解法如下：（I）如图，设M为动圆圆心，（，0）为记为F，过点M作直线x=-的垂线，垂足为N，由题意知：｜MF｜=｜MN｜，即动点M到定点F与定直线x=-的距离相等.由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F（，0）为焦点，x=-为准线，所以轨迹方程为y2=2px（p＞0）；（II）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1≠x2且x1，x2≠0，所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，显然x1=，x2=，将y=kx+b与y2=2px（p＞0）联立消去x，得ky2-2py+2pb=0，由韦达定理知y1+y2=，y1•y2=…①由+=，得tan=1==.将①式代入上式整理化简可得：1=.此时，直线AB的方程可表示为y=kx+2p+2pk即k（x+2p）-（y-2p）=0，把该式看成为一个关于k的一次函数恒等于0，令x+2p=0,y-2p=0x=-2p，y=2p，所以AB直线恒过定点（-2p,2p）,故当=时直线AB恒过定点（-2p,2p）.[反思]这是一道难度较大的的试题，得到最后的直线方程含有多个变量，我们把直线的斜率看成主变量，从而把问题转化为一次函数恒成立问题.在证明直线经过一个定点时，往往这个点落在坐标轴上，而本题没有这个特殊性，这是使很多同学在考试中陷入困境的一个原因.在证明直线经过一个定点时，我们也常常先取特殊值，把定点先求出来，而本题也不行，这是使很多同学在考试中陷入困境的另一个原因.从本题可以看出，掌握一般的解题方法，把恒过定点的问题转化为一次函数的恒成立问题，就达到了化难为易的效果.二、合理利用几何性质对问题进行转化在解题过程中，我们常常会遇到一些比较复杂的计算问题，如果我们能合理地利用一些几何性质，往往能够使计算量大为减少.例2．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．２B．６ C． 3 D ． 2[分析与解]直接假设在直线AB上的点C的坐标，再利用反射的性质求出在OB上的点D 的坐标，最后利用二点的距离公式，把距离之和表示出来.这个思路理论上可行，但是计算能力要求很高.因此，直接求解显然太耗时间，我们得把问题进行转化.事实上，我们作出点P点关于直线AB的对称点Q，点P关于直线OB的对称点H，由对称性，就可以把线段进行转化，再利用二点之间线段最短的原理可知H，D，C，Q四点共线时，线段QH的长度即为所求.要求出|QH|，只需求出Q、H的坐标即可.而H点显而易见，故只需求出点Q的坐标即可.由上分析可知，设点Q（a，b），依题意有：=1，+=4a=4，b=2.而显然H（-2，0），故｜QH｜=2，选A.[反思]这是一道较难的选择题，不会转化的同学即使做出来了，也会用去太多的时间.当遇到求几条线段之和的最值时，一定要考虑几何性质的利用.通过对线段的转化，把一个较为复杂的问题转化为求一个已知点关于定直线的对称点的简单问题.可见转化是多么的重要！三、巧妙地利用数形结合，把复杂的变量求法转化为简洁的图像问题在求数学的通项公式时，往往条件会比较多，让我们找不到解题的方向.如果把数列中的变量视为平面直角坐标系中的横（纵）坐标，那么就可以把问题转化为另一个问题来处理.例3．设等差数列｛an｝的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.若a1≥6，a11≥0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.[分析与解]是一道条件比较多的数列题，显然，解方程是不能把首项和公差求出来的，条件给出了三个不等式，而且还有整数的条件，由此想到能否转化为线性规划的整点问题来处理.由S14≤77，a11≥0，a1≥6，得２a1＋１３d≤１１，a1＋１０d≥0，a1≥6.把上式看成是关于a1，d两个变量的关系式中的一个可行域，只须求可行域内的整点即可.在可行域中可以看出－≤d≤-.又d∈Z,故d＝－１,代入２a1＋１３d≤１１，a1＋１０d≥0，得１０≤a1≤１２.又a1∈Z,故a1＝１０，１１，１２.所以，所有可能的数列｛an｝的通项公式是an ＝１1-n，an＝１２-n，an＝１３-n.[反思]本题把一道数列题的问题转化为一个线性规划问题，而这样的线性规划问题是常见的整点问题.相对而言，解不等式组是比较困难的，而且很容易犯错，所以，只要同学们准确地作出可行域，问题就迎刃而解了.四、曲线与方程的等价转化在高三复习中，常常会有对曲线的性质进行描述的语句，因此，我们需要对这些语句进行等价转化，把问题转化为简单的方程问题来处理.例4．已知二次函数y=g（x）的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得极小值m．设f（x）=.若曲线y=f（x）上的点Ｐ到点Q（０，２）的距离的最小值为2，求m的值.【分析与解】本题对二次函数y=g（x）进行了多方面的描述，因此需要对这些条件用代数式来表示出来.曲线的最值也需要进行转化，转化为我们熟悉的最值问题来解决.依题可设g（x）=a（x+1）2+m（a≠0），则g′（x）=2a（x+1）=2ax+2a.又g′（x）的图像与直线y=2x平行，∴2a＝2，a＝１.∵g（x）＝（x+1）2+m＝x2＋2x＋m＋1，∴f（x）=＝ x＋＋2.设P（x0，y0），则｜PQ｜2=x20+（y0-2）2=x20+（x0+）2=2x20++2（m+1）≥2｜m+1｜+2（m+1）.当且仅当2x20=时，｜PQ｜2取得最小值，即｜PQ｜取得最小值2.当m+1＞0时，（2+2）（m+1）=4m=2-3;当m+1＜0时，（2-2）（m+1）=4m=-3-2.[反思]本题的困难之处就是在于最值问题的转化，当我们把这个最值是如何得到的问题解决时，解题思路一目了然.因此，高三在复习导数与最值方面时，特别要注意条件的转化，借助函数与方程来解决问题.五、利用曲线的几何性质来进行转化圆锥曲线问题是高三复习的难点，一旦出现在大题中，很多同学会望而生畏，原因很简单，就是未知数多，计算量大，而且思路难找到.有时我们可以思考一下曲线的几何性质，进行转化一下，可能问题就变得简单了.例5．已知抛物线L：x2=2py和点M（2，2），若抛物线L上圆锥存在不同两点A、B 满足+=0．（1）求实数p的取值范围；（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．[分析与解]（第一问略）这是一道难度相当大的试题，第一，知识点繁多，包括了圆，抛物线，向量，直线等内容；第二，未知数太多，计算量大；第三，思路不清晰，不知从何处下手.先看假设的点的坐标，有三个点A，B，C，再看条件，圆与抛物线有相同的切线，可以得到二个信息，一个是切线的斜率可以用导数来表示，二是弦切角等于圆周角，而圆周角的正切值可以用点的坐标来表示.假设存在这样的点C满足题意，依题意，可设A（2x1，x21），B（2x2，x22），C（2x3，x23），记圆在点C处的弦切角是，切线为直线l，从而有∠CBA=，∴KCA=，KBA=，KBC=，Kl=x3.又+=0，故有：=2，=2.由tan∠CBA=tan可得：=，把上式代入可得：=.把=2，=2代入，化简整理可得：x23+（x1-2）x3+2x1-8=0x3=-2，x3=4-x1.显然，x3=4-x1x2=x3，故舍去.所以x3=-2.当点C的坐标是（-4，4）时，满足题意.[反思]这是一道高考模拟题的压轴题，极少的同学能把它做对.但是，一道如此复杂的题利用圆的几何性质和斜率公式竟然能使计算量大大减少，是一件很不可思议的事情.如果利用三点共圆及抛物线的性质进行去计算，那么计算量会让很多同学望而却步，实在复杂！如果同学们有兴趣，不妨一试.从上述几例可以看出，转换化归思想就是要把复杂的困难的问题转化为常规的熟悉的的问题来处理，最重要的就是让问题得到简单处理，让计算量大为减少.同学们如果在平时的复习中，养成了一题多思的习惯，思维能力就会有很大的提高，在解题中能快捷地转化为自己熟悉的题型来处理.（作者单位：汕尾市华南师大附中汕尾学校）责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
第7讲 化归与转化的思想在解题中的应用
第7讲化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）A. m>NB. m<NC.m=ND.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。
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运用转化与化归思想方法解题1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程．2．转化有等价转化与非等价转化．等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果．非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．3．常见的转化方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；A，而（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合（10）补集法：eAUU 获得，通过解决全集及补集把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U原问题的解决．化归思想练习题（1）一、选择题2＝12y的焦点，A，C：xB，C为抛物线上不同的三点，F1．(2015·武汉调研)设为抛物线→→→若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝()A．3B．9 C．12 D．18 答案D解析设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，因为A，B，C为抛物线上不同的三点，则A，B，3321212＝12y的焦点为F(0,3)C：x，准线方程为y＝－3.C可以构成三角形．抛物线→→→因为FA＋FB＋FC＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F为△ABC的重心，从而有x1＋x＋x＝0，y＋y＋y＝9.又根据抛物线的定义可得|FA|＝y－(－3)＝y＋3，1231312|FB|＝y－(－3)＝y＋3，|FC|＝y－(－3)＝y＋3，3223118.9＝＋3＋y＋3＝y＋y＋y＋y所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋3＋y3113222x2上任意一点，为椭圆C)已知点F是椭圆C：＋y＝1的左焦点，点P．2(2015·唐山调研2)P，则当|PQ|＋|PF|取最大值时，点的坐标为(点Q的坐标为(4,3)14B答案D．(2，0) B．(0，－1) C．(，) A．(，－20) 33，根据椭圆的定E(1,0)(解析由题意知椭圆的左焦点为F－1,0)，设椭圆的右焦点为E，则|PE|)，易知|＝PQ22＋(|PQ|－|PE|，所以|PQ|＋|PF|＝|PQ＋|22－|PE|义，知|PF|＝22－|时，等号成1)的坐标为(0，－P|PE|≤|QE|，当且仅当是QE的延长线与椭圆的交点，即P－．，－1)2，此时点P22＋的坐标为32＝(0立，故|PQ|＋|PF|的最大值为522＋|QE|＝16411)(＝1，则＋的最小值为(2015·南昌调研)若正数a，b满足＋3．ba1ba－－1A 答案D．49 B．25 C．36 A．1611 ab，a＋b＝，b>0，＋＝1，所以因为解析a ba20a－4b＋16b－＋a－16420. a－所以＋＝4b ＋16＝＝1b＋－＋abb－b1－aaa－－1ab4a11b42＋4×)≥20＋4()(＋)＝20＋＝4(b ＋4a)＝4(＝·36，b＋4a又4b＋16a abababb4a113当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号．baab2416≥36－20＝16.＋所以－1b－1aππ4．若α、β∈[－，]，且αsinα－βsinβ>0，则下面结论正确的是()2222 答案βD．αD > βα＋>0 C．α<βA．α>βB．πππ解析令f(x)＝xsinx，∵x∈[－，]，f(x)为偶函数，且当x∈[0，]时，f′(x)≥0，222ππ]上为增函数，在[－，0]上为减函数．∴αsinα－，∴f(x)在[02222α|??|α|>|ββsinβ>0?f(|α|)>f(||)β. β>→→→→5．(2015·九江模拟)在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，点D满足2BD＝3DC，∠BAC＝60°，→→)(·ADBC＝则9898D．－ C. D 答案B. A．－5555→→→→→→→→→→→→333)＋AB ＝BD＋ABAD，所以BCBD，所以DC3＝BD因为解析2＝＝BCAB－AC＋AB＝(5552→→→→→→→→→→→→→→→2313232322AB－－AB·AC)·(AC－AB)＝AC)·.所以AD·BC ＝(AC＋ABBC＝(AC＋AB＝AC＋AB5555555559231222. ＝－cos60°－×3＝×2－×2×3×5555)≤2x1≤f(logx，若在[1,8]上任取一个实数x，则不等式f6．(2015·太原模拟)已知函数(x)＝020)成立的概率是(1211C 答案 D. B. C. A. 243724－2，∴所求概率为2≤x ≤4)≤2?1≤log≤2?.解析1≤f(xx＝000271－8的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的)棱长为a7．(2015·广州调研)(体积为3333aaaaC 答案 D. A. B. C.12463棱锥的底面为正方形且边长为所得图形是一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，解析3a2a212. ＝)·＝2×(aa，高为正方体边长的一半，∴V2262318．(2015·保定模拟)已知函数f(x)满足f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间＋xf(－1,1]上方程f(x)－mx －m＝0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是()1111A．[0，) B．[，＋∞) C．[0，) D．(0，] 答案D2232解析方程f(x)－mx－m＝0有两个不同的实根等价于方程f(x)＝m(x＋1)有两个不同的实根，等价于直线y＝m(x＋1)与函数f(x)的图像有两个不同的交点．因为当x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，，1][0，xx，∈??1?在同一平面直角坐标系内作出＝f(x)－所以f(x)＝1，所以11＋x，∈－1－1，x??1x＋直线y＝m(x＋1)与函数f(x)，x∈(－1,1]的图像，由图像可知，当直线y＝m(x＋1)与函数f(x)31 ，]．1,1]－上有两个不同的公共点时，实数m的取值范围为(0的图像在区间(2 二、填空题22分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直4－2)＝＋y9．过点(1，2)的直线l将圆(x________. k＝线l的斜率2由题意得，劣弧所对圆心角最小，则劣弧对应的弦长最短，此时圆心到直答案解析2垂直时，弦长最短．此时直线，2)的连线与直线(2,0)与点(1l的距离最大，所以当圆心线l2. ＝的斜率kl22两点，与抛BM(3，0)的直线与抛物线相交于10．设抛物线yA＝2x的焦点为F，过点，4S△BCF△ACF的面积之比＝________.答案|物线的准线相交于点C，BF|＝2，则△BCF与5S△ACF222x并整理，得k＝的直线方程为0)y＝k(2x－3)，代入y解析如图所示，设过点xM(3，223k22. ＝x＋x2)3k＋x＋3k＝0.则(221k3132，所是方程的一个根，可得k′|＝2.不妨设x＝－BB因为|BF|＝2，所以|232223－22.＝以x11d|BC|·24′|2SBB|BC||△BCF. ＝＝＝＝＝5′|11S|AC||AA△ACF＋|·d|2AC22ππ11．(2015·山西四校联考)若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f()＝f(－)，则函数f(x)图像的对称412轴为________．4ππππk)xf()＝f(－)，所以πk∈Z)解析易知函数f(x)的最小正周期为，而f(x答案＝＋( 124212πππk )．x＝＋(k∈Z x图像的一条对称轴为x＝，故函数f()的图像的对称轴为12122，x)>0′(x)－f(＝是定义在R上的偶函数，且f(2)0，当x>0时，xf12．(2015·河北五校联考)已知f(x)(0,2)2)∪答案(－∞，－则不等式xf(x)<0的解集是________．xffx是奇＝)，可知g((x)<0与不等式x<0同解．记g(x)xf解析显然x≠0，故不等式xxxfx－xff，g(2)＝＝0为增函数，又>0，此时函数，且当x>0时，g′(x)＝g(x)22xxf，的解集为(－∞，即不等式∞，－2)∪(0,2)xf(x所以不等式g(x)＝)<0<0的解集为(－x 2)∪(0,2)．－22yx为椭圆上一PF，设a＝1(>b>0)的两个焦点分别为F，13．(2015·衡水月考)已知椭圆＋2221ba，，S的垂线，垂足分别为，过F，F分别作lR点，∠FPF的外角平分线所在的直线为l22112 aS所形成的图形的面积为________．答案π当P 在椭圆上运动时，R，解析|PF|PF|＋|F是∠FPM的平分线，所以|MP|＝|P|，可得⊥如图，△PFM中，PRFM且PR211111M＝2，即动点aPF|＝2a，所以|MF|||PM＝||＋|PF|＝MF|，根据椭圆的定义，可得|PF＋|22212的轨迹是以点的中点，所以RO为FM的中点，为FFa到点F的距离为定值2，因为R2112所形S为圆心，半径为的轨迹是以点Oa的圆．故R，O为圆心，半径为a的圆．同理点S2.成的图形的面积为πa）转化与化归思想（2一、选择题13)－＝(1．(2014·衡水二调)sin 170°cos 10°D ] [答案．－．－．．A4 B2 C2 D4－cos 10°3sin 10°－1313 ＝＝－＝－解析[]1sin 10°cos 10°cos 10°sin 170°cos 10°sin 10°sin 20°252sin 20°－D. 4，故选＝＝－1sin 20°222yx⊥上一点，若PF>b>0)F为焦点的椭圆＋＝1(a2．(2014·南昌模拟)已知点P是以F，22112ba)＝(PFF＝2，则椭圆的离心率ePF，tan ∠1221125A [答案] A. B. C. D. 2333，|＝1F＝2，得|PFPF[解析]由题意可知，∠F＝90°，不妨设|PF|＝2，则由tan ∠PF2112125FF|2c|2122. ＝5，所以离心率2e＝从而|FF＝|＝1＝＋213a2||PFPF||＋21的对称中心，过曲线y＝1＋sin πx(0<x<2)3．(2014·福建质检)若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)21) 则＋的最小值为(baC ]22 D．6[ B．42 C．3答案＋A.2＋1，过点(1,1)1＝0(a>0，b>0)＝∵y1＋sin πx(0<x<2)的对称中心为(1,1)，∴直线ax＋by－[解析] a2b??，＝21a12b2??ba?＋，当且仅当＋2≥32即＋＝a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)3＋∴??babaab??，1a＋b＝?，a＝2－1?C. 时取等号．故选?22－b＝Bsin 若asin A ＋baABC中，角A，B，C所对的边长分别为，b，c.4．(2014·益阳质检)在△) sin B．则角C等于－csin (C＝3a5ππππA [答案]D. C. A. B.63643222222，C，∴cos ＋bC－c＝][解析利用正弦定理，得到a＝＋b2－caba＝3ab，又cos 2π.＝<π，∴C又0<C6成等差数列，aa，a＝1，公比q≠1，且a，泉州质检5．(2014·)已知等比数列{a}的首项31n21)(则其前5项的和S＝5C][答案．A．31 B．15 C．11 D52＝a＝2q，解得q＋1，∴aa＝2a＝2，∴aq＋成等差数列，且∵[解析]a，a，aa＝11123311255－1－a－q1＝11.故选)，∴S ＝＝C.1(－2或q＝舍去5－1－1－q2nπ*)，若数列{a}的a＝cos(n∈N＋＝a7．(2014·锦州模拟)数列{}满足a＝a1，a＋a n2nn11n2n＋＋3前n项和为S，则S的值为()2 013n671A．2 013 B．671 C．－671 D．－[答案]D22π1[解析]因为a＋a＋a＝a＋a＋a＝…＝a＋a＋a＝cos＝－，3613n3n3512342n＋＋＋2361π2n??*－671×＋a＋a)∈N＝)以3为周期，所以S＝671×(acos＝所以a＋a＋a＝(n??3n21n22 013n1＋＋23671D. －，故选2→→→)，则边BC的值为(AC＝2，向量BC⊥(AB＋3AC)8．在△ABC中，AB＝2C][B.3 答案C.6 D．6 A.2→→→→→→→→→→→→AB)·(所以(AC－AB)所以BC·(AB＋3AC＝0，[解析]因为BC＝AC－AB，BC与AB＋3AC垂直，1→→→→→→→→→→→22＝|cos A|AC|·|AB·AB＝0，即AC·AB＝－，所以＋3AC)＝0AC·AB－AB＋3AC，所以－3AC2111222所以，2×2×1×＝6|·|AC|cos A＝4＝－，所以|BC|＋＝|AB|1＋|AC|＋－2|AB－，所以cos A442C.6.|BC|故选＝，≤00，x??有零点m)＋x－则使函数g(x)＝f(x10．(2014·吉林实验中学模拟)已知函数f(x)＝?x，>0e，x??)的实数m的取值范围是(1)∞，B．(－A．[0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]1]C．(－∞，∪(2，＋∞)D[答案]的＋x＝m－m的零点就是方程f(x)([解析]函数gx)＝f(x)＋x，≤0，xx??的＝mx根，作出h()＝的图象，观察它与直线y?x>0，xe＋x??xx)＋g(x)＝f(交点，得知当m≤0时或m>1时有交点，即函数－m有零点．上的可∞，0)(x)是定义在(－11．(2014·长春二次调研)设函数f2x，则不等式xf′(x)>x(2导函数，其导函数为f′(x)，且有f(x)＋2)f(－2)>0的解集为＋2 014)(f(x＋2 014)－4C (．－2 016,0)[答案]．(－∞，－2 016) D2 012,0) A．(－∞，－2 012) B．(－C232232，则)f(x<0，令F(x＋x)f′(x)<x＝，即[xxf()]′<xx))解析[]由2f(x＋xf′(x)>x，x<0，得2xf(x2，x＋x(2 014＋)2 014)·f(在x)(－∞，0)上是减函数．因为F(x＋2 014)＝x当x<0时，F′()<0，即F(上是减函数，，0)x)在(－∞因为所以原不等式即为F(2 014＋x)－F(－2)>0.F(fF(－2)＝4(－2)，C.，故选－2，即x<2 016)>F(－2)，得2 014＋x<－x所以由F(2 014＋B－AC22)C的最大值为3cos(＋5cos＝4，则tan ABC12．(2014·杭州二检)在△中，若22234B] [答案．－22 CA．－B．－．－D434A－B11＋＋cos C－ABC22＋＝4，得3·5·＝4，][解析由已知3cos＋5cos22220.C5cos ＝BA则3cos(－)＋1 cos 0)＋5cos()－3cos(AB－AB＝，化简得，Atan Atan Bsin A＝Bcos 4sin ，则B，＝47B＋tan tan A )＝－C＝－tan(A＋B又由此可知，tan A>0，tan B>0.tan Btan 1－tan A44 ＝1，≥2tan Atan B(tan A＋tan B)≤－，其中tan A＋tan B＝－334B.C的最大值为－，故选因此tan 3 二、填空题Cbcos c，且满足ccos B－ABC内角A，B，C 的对边分别为a，b，设△13．(2014·大连模拟)1tan B3 ]＝a，则＝________.[答案4C5tan3 A，sin Bcos C＝sin [解析]由正弦定理，得sin Ccos B－53 )，展开右边并整理，得＝sin(B ＋Csin Ccos B－sin Bcos C51tan B.，所以＝＝8sin Bcos C2sin Ccos B4Ctan224|－|PB＝－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|14．(2014·苏州调研)在直角坐标系xOy中，已知A(222 ________．[x答案＋y]＝4上的点P的个数为且在圆222222，化简－1)4＋y＝－x－，B(0,1)则|PA|(－|PB|y＝(x＋1))[解析]设P(x，y，又A(－1,0)22到直(0,0)＝4－2＝0与圆x的交点问题．由圆心＋y得x＋y－2＝0.问题可转化为直线x＋y2|0|0＋－2.，所以直线与圆相交，故交点个数为＝r＝2＜线的距离，得d2＝222和圆＝0x－：x4＋yy－4}((2014·长春调研)已知数列{an＝1,2,3，…，2 012)，圆C15．1n22 ________．{a}的所有项的和为，若圆C平分圆C的周长，：x＋y则－2ax－2ay＝0C n2n21n2 013－4 024][答案2222－xy＋4x－4yC交于A，B两点，则直线AB的方程为：x－＋y(－[解析]设圆C与圆210.＝－2)y＋a－2)x(a2ax－2ay)＝0，化简得，(nn2 013n2 013n－－a＋AB的方程得：aC(2,2)，将C(2,2)代入又圆C平分圆C的周长，则直线AB过n110132 n12－4 024. ＝1 006×4a＋a)＝a)＋(a＋)＋…＋(＋＝4，∴a＋a＋…a＝(a＋a1 007222 012111 0062 0122 01121x＋2y＋222＝πx的最小值＋cos1)＋(y，则xx16．(2014·宁德质检)若实数，＋y满足1y＋2x2]答案为________．[21＋2yx＋12，又20yπx＞≤2，∴x＋[解析]＋＋2y＝x∵1≤1＋cos y＋22yxx＋1y＋2≥2x＝2(当且仅当x＋2y＝1时取等号)，x＋2y，＝kx?2?，x＝1，＝kπZ k∈，ππx2cos??12y＋＋x??2?＝xπ＋cos2，∴)，k∈Z(1∴＝??k －1y＋x2，＝11＋x2y＝，x＋2y＝y??????233k3－9955??????222222222－1－k≥×1)(y＋，∴2＋＝，故x＝k＋(∴x＋y1)＝＋，∵＋k∈Z x＋??????55455422的最小值为2.1)y＋(＋8。