转化与化归的思想方法在立体几何中的应用
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究【摘要】：随着科技、经济的迅速发展,数学在不同领域的应用日益广泛,数学教育成为世界各国关注的重点。
数学思想方法是数学学科的精髓,是分析与解决问题的理论基础,而转化与化归思想是数学中最重要的思想之一。
数学解题过程中处处渗透着转化与化归思想,学生解题能力的高低很大程度上也取决于其转化与化归能力的强弱。
笔者身处高中一线教学,结合教育教学实践经验以及调查分析,发现目前高中生数学解题中的转化与化归能力相对欠缺,影响学生解题能力的提升。
笔者希望本文的研究能够给一线教师提供一定的借鉴作用,对于提高学生的解题能力提供一定的帮助。
首先,笔者通过文献参考,了解转化与化归思想在国内外的研究现状,分析转化与化归思想的本质和内涵、转化与化归的原则、以及高中数学解题中转化与化归的常用方法。
简单来说,转化与化归思想就是通过观察、分析、类比、联想等思维过程把数学中需要解决的问题,遵循熟悉化、简单化、直观化等原则,选择合适的方法进行转化,然后归结到某些已经解决或比较容易解决的问题的一种思想方法。
其次,通过访谈和调查问卷,以我校部分教师和学生为研究对象,分别从教师和学生的角度研究转化与化归思想在高中数学中的应用现状。
研究表明,目前高中教师能够认识到转化和化归思想在高中数学解题中的重要作用。
但是,不少教师本身对于转化与化归思想缺乏系统深入的研究,教学过程渗透有限。
大部分学生的转化与化归能力仍然有待提高。
然后,结合教学实践经验,从高中数学中的数列、立体几何、函数、解析几何以及不等式几个方面,分析转化与化归思想的渗透策略。
这里重点选取近几年高考试题中一些具有代表性的问题,结合学生解题过程中存在的问题,具体分析老师在教学过程中的处理方式以及实践效果。
并提供《常见的递推数列通项公式的求法》解题教学案例,对课堂实践情况进行了详细分析。
最后,结合调查研究,笔者提出几点教学建议。
一要相信学生,给他们更多实践的机会;二要深入挖掘教材,感悟化归思想;三要注重概念、定理、公式等基础知识的教学,并注重知识之间的联系;四是通过变式训练引导学生应用化归思想;五是加强一题多解和多解归一的训练;六是引导学生及时归纳总结。
转化与化归思想
转化与化归思想数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学能力，是高考重点考查的最重要的思想方法．在高中数学的学习中，它无个不在，比如：处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．1．转化与化归的原则（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化．（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当．（3）具体化原则：即化归言论自由应由抽象到具体．（4）低层次原则：即将高维空间问题化归成低维空间问题．（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．2．转化与化归常用到的方法（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A ，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集使原问题得以解决．角度一 函数、方程、不等式之间的转化例1 设函数f （x ）＝c bx ax ++232，若a+b+c=0，f （0）f （1）>0，求证： （Ⅰ）方程f （x ）＝0有实数根； （Ⅱ）－２＜ab <－1； （Ⅲ）设x 1，x 2是方程f （x ）＝０的两个实根，则33≤|x 1－x 2|<32.角度二 正面与反面的转化例2 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有＿＿＿＿个。
化归思想在立体几何教学中应用
浅谈化归思想在立体几何教学中的应用摘要：培养学生空间想象能力和解决问题的能力，化归思想和方法对立体几何知识与平面几何知识的同化过程起着重要作用。
下位学习所学知识具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义。
以渗透性原则为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则。
关键词：立体几何；空间想象能力；化归思想；转化一、现状与目的立体几何是高职数学一个重要章节，通过立体几何教学培养学生空间想象能力和解决问题的能力。
但对立体几何图形画法的认识、如何用平面图形来表示立体几何，以及如何解决立体几何中点、线、面的位置关系？都是现今高职学生学习中的重难点。
学生如何把立体几何学习内容纳入自身原有的知识结构中？数学中的化归思想和方法就是实施新旧知识的同化，化归思想和方法对立体几何知识与平面几何知识的同化过程起着重要作用。
二、化归思想的含义及原理在对问题仔细观察的基础上，展开丰富的联想以唤起对有关知识的回忆，开启思维的大门，顺利地借助旧知识、旧经验来处理面临的新问题，这种思想我们称之为“化归思想”。
心理学认为，“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种关系又称为下位关系，这种学习便称为下位学习”。
当学生掌握了一些数学思想和方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。
下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义”。
即可使新知识顺利地纳入学生已有的认知结构中去，学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握教学内容。
三、化归思想在立体几何教学中的应用把立体几何知识化归为平面几何知识来学习及解决问题，首先在教学目标设计中把化归思想方法作为教学内容考虑，以立体几何知识为载体，达到化归思想方法教学的目的。
把立体几何知识化归为平面几何知识来学习要遵循：以渗透性原则为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则。
如：教学中一般不直接点明把立体几何知识化归为平面几何知识来学习，而是通过精心设计的教学过程，有意潜移默化地引导学生领会其中蕴含的化归思想和方法。
化归思想在立体几何教学中的渗透
另一方面 ， 充分运用实物 模型感知 ， 加强 图与形 的对照 ， 实现 内平面 向空间转化 ， 逐步让学生对空间观念 由感性 认识上升 到理性认识 ， 而形 成正确的空闯观念 。 从
维普资讯
‘
１ ２・ １ ２ 正面与反面的转化
安丧师范学院学报（ 自然科学版）
３ 空间问题向平面问题转化
（ 确定方 向） 。再例如将平面角定义 中的“ ． 点’ 换成“ ，两射线” 线” “ 换戚 两个 半平面 ” 便形成了二面角 的定义 ： 从一 条直 线
引 出的两个半平面所组成 的图形叫二面角。 但 受思维 定势的影 响 ， 学生在学 习过程中可能会 出现 向旧学 习情 景 化归 ” 和任意扩大平 面几何知识和经 验应用范 围的情形 ， 思维局限在平面上 ， 同时类 比推理亦 有它的 局限性 ， 因而教学 中， 一方面要沟通新 旧知识 问的联系 ， 加以 比较 ；
化 归思想在立体几何教学 中的渗透
朱 良 进
（ 范学校 ， 安徽 太瑚 ２ ６ ０ ） 太湖 ４ ４ ０
一
般地说 ， 在解决问题的过程 中， 有意识地对 问题进行“ 想—— 转化 ” 联 的思维活动 ， 有意识地将一个生疏 、 复杂 的问
题转化为熟悉 的、 简单的问题来处理 的思维方式就是 化归思想。化 归思想在数学 中的渗透是培养学生 能力 、 提高综合紊 质 的需要 。 因为教学是一十有机整体 ， 它的各个 部分 知识之 间的相互 联系、 相互渗透 ， 问腰 的转 化提供 了条 件 。 为 渗透在
为三棱柱的体积的割补过程教师从演示中分析讲解并附以特显镜头从棱柱a?b?c?abc分割出来的两个锥体ca?abca?b?b让它们的顶点和面积相等的两个底面加以色彩随着分开复原再分开的移动和闪烁过程不难得突破解题教学的难点数学教学离不开解题特别是对于问题的抽象是解题的主要障碍如何化繁为简化虚为实
第四讲： 化归思想在解题中的应用
（1）若输入x0= ，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围
（A）ab≤1（B）ab<1（C）ab>1（D）a>1且b>1
3．正方形ABCD与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为( )
（A）45°（B）60°（C）30°（D）90°
4．（理科）(a＋b＋c) 展开式的项数是( )
（A）11（B）66（C）132（D）3
5．（理科）某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是．（列式表示即可）
P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是____.
分析：把立几问题转化为平几问题：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，
连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值.
通过计算可得A1C1C＝90又BC1C＝45
A1C1C＝135由余弦定理可求得A1C＝
例 9已知下列三个方程： ， ， 中，至少有一个方程有实根，求实数 的取值范围。
分析：“ 和 有且仅有一个正确”等价于“ 正确且 不正确”或“ 不正确且 正确”，所以应先求出 和 分别正确时的解集，再用集合间的关系来运算。
解： 函数 在 上单调递减
不等式 的解集为
函数 在 上恒大于1。
函数 在 上的最小值为 。
不等式 的解集为 。
如果 正确且 不正确，则
“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用
“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用作者：章传科来源：《文理导航·教育研究与实践》 2014年第8期浙江省苍南县桥墩高级中学章传科转化与化归思想是高中数学最重要的思想之一，它的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，数学问题的解决基本上是通过转化为已知或已解决问题实现的。
从这个意义上讲，一个数学问题的解答过程就是一个从未知向已知转化的过程。
数学思想的作用是无声的，蕴涵于一个个具体的数学问题的解答过程中，要寻找它的踪迹，也必须先深入到数学问题中。
现在让我们在一些具体的问题中去体会“转化化归”的思想方法。
一、在函数与不等式问题中的应用。
函数与不等式的内容在每年的高考中几乎占去了三分之二，函数与不等式问题的内容丰富多变，解法灵活多样，是高考考查的重点也是难点。
函数的三要素中定义域和值域都与不等式紧密相连，很多函数问题与不等式问题是相互交错的，一些特定的函数问题和不等式问题直接求解相对比较困难，可运用转化的方式进行等价求解。
如解分段函数的“最值”问题或求方程解的个数问题。
例如：“证明不等式，其中x≥1”这种问题，如果按照常规的思维用不等式的证明方法如比较法﹑分析法等很难下手，但是转换一个角度，将它视作要证明函数：的值恒大于0，只需要利用导数考查函数的单调性，求最小值，问题就很解决了。
证明一个数学命题，实际上是由假设经过推理以得出结论，当直接处理不容易时，往往我们会先考虑它的等价命题或者辅助命题，去寻求解题的思路。
原命题的等价命题或辅助命题的证明必须是我们所熟悉的知识和方法。
这种运用等价问题法和构造函数法在解答一些直接处理很难下手的函数或不等式问题时非常有用，体现了“转化与化归”思想的熟悉化原则和简单化原则。
从新课改的课程内容设计来看，作为数学的基础性内容，函数、不等式和方程仍然是比重最大的一块，这三者的关系密不可分，三者之间问题的相互转化也是其问题设计的一个重要指导思想，“转化与化归”的思想方法有着大量的运用和体现。
化归思想在解三角形问题中的应用
化归思想在解三角形问题中的应用摘要：解三角形是高中数学的一个重要内容，它涉及到三角形的边、角以及面积的计算，并且与三角函数问题有着千丝万缕的关系，在实际生活中它也有着广泛的应用。
经验告诉我们，在解三角形问题中，如果能善用化归思想，掌握化归策略，便可以顺利找到解题突破口，为成功解题奠定基础。
关键词：化归思想；解三角形；应用化归思想（即转化与化归思想）是数学学科里面的一种重要思想方法，它不仅能拓宽解题思路，提高解题效率，而且对发展学生的思维能力和培养他们的学科素养，都有着非常重要的作用。
化归思想，其实也是一种解题策略，其目的就是将要待解决的问题转化为一类已经解决或相对比较容易解决的问题，即把未知化已知，陌生化熟悉，抽象化具体，繁琐化简单，从而使我们找到解决问题的方法和途径。
那么，在解三角形问题中有哪些化归策略呢？一、两种元素转化为一种元素在解三角形问题中，很多时候题目中给出的条件既有边元素又有角元素，那么我们可以根据正弦定理或者余弦定理，把其中一种元素化为另一种元素，即将边元素转化为角元素，或将角元素转化为边元素，从而求出答案。
例1：三角形的内角的对应边分别为，，求的大小.解析：由题意可知，点评：异名三角函数值之间的转化，方法有很多，最常用的就是利用同角三角函数的基本关系式，它可以实现正、余弦的相互转化，也可以实现正、余弦与正切之间的相互转化。
此外，还可以利用诱导公式或者其他等价变形来进行转化。
`三、高次幂转化为低次幂在很多数学问题里面，经常采用从高维到低维的转化化归。
例如，代数问题中的多个未知数转化一个未知数，高次方程或不等式转化为一次方程或不等式，立体几何中空间问题转化为平面问题，都体现了这种转化化归。
点评：上面问题中，根据给出的测量数据，我们构造了三角形，从而将求山的高度转化为了求三角形的边长，最终实现了问题的化归，利用解三角形知识，便使问题迎刃而解了。
结语：解三角形是一个重要知识点，而化归方法在解三角形中有着重要的应用。
转化与化归思想的理解及运用
转化与化归思想的理解及运用作者：丛卫红来源：《理科考试研究·初中》2013年第04期摘要：数学思想是数学学习中的重要一方面，掌握数学思想不但是学好数学的一个重要体现，也是学好数学的必要方法。
数学思想有很多种，如常见的如转化和化归思想就是其中的一种。
高考除了考查学生对知识点的掌握程度外，还考查学生们的理解和运用的能力，就是理解数学思想并利用数学方法进行解题的能力。
关键词：数学思想数学方法转化思想方法应用转化和化归思想是解答数学问题中常用的思想方法。
它不仅仅是一种常用的数学思想和数学方法，还体现了一种数学的能力。
在数学学习的过程中处处都体现着转化和化归思想。
比如一道立体几何的题目可以转化成平面几何来解决，或者在解决几何问题中，也可以通过化归将几何问题变为代数问题。
下面我将结合教学实践，谈谈有关转化和化归思想的理解及运用。
一、如何理解转化和化归思想转化，简单的理解就是把一个问题变成了另一个问题。
转化是数学中最常用的思想，转化的本质在于使问题简单化，明朗化。
常见的转化有一般与特殊的转化、等价转化、复杂与简单的转化、数与形的转化、构造转化、联想转化、类比转化等。
转化和化归思想是解决数学问题的基本方法，因为在解决问题中常用到的其他方法如分类讨论的思想，或者是数形结合的思想，其实都可以把它们归结为转化与化归思想。
比如分类讨论可以理解为一般与特殊的转化，数形结合可以理解为数与形的转化。
因此，转化和化归思想成了数学思想方法的一条主轴，从这方面可以有效促进学生理解数学思想方法，理解转化、化归的思想方法。
数学题目的解答过程也可以理解为是一步步转化的过程，化归也一样，实质就是不断对条件或者命题进行变更的过程。
二、转化和化归的目的运用每一种数学思想，都必须先要有一个目的，根据目的去选择适当的数学方法，是解决问题的一般步骤。
转化与化归的目的主要有这么几个：（1）将较为复杂的问题转变为简单的问题。
（2）使问题在表现形式上更加和谐统一，让问题中所涉及的量和形以及条件和结论的关系更加恰当和匀称，利于问题的解决。
高考大题专项(四) 立体几何
| || |
所以异面直线 PC 与 BQ
=
2
,
3
2
所成角的余弦值为 3 .
解题心得用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.
(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
高考大题专项(四) 立体几何
【考情分析】
从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的
15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面
积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查
的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式命题考
【例题】 (2020安徽高三三模)如图,边长为2的等边三角形ABC所在平面与
菱形A1ACC1所在平面互相垂直,且BC∥B1C1,BC=2B1C1,A1C=
(1)求证:A1B1∥平面ABC;
(2)求多面体ABC-A1B1C1的体积.
3 1.
AC
(1)证明∵四边形A1ACC1是菱形,
∴AC∥A1C1.
对点训练2(2020辽宁高三三模)如图,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,AB=BD=2,BB1=2,BD
与AC相交于点E,A1D与AD1相交于点O.
(1)求证:AC⊥平面BB1D1D;
(2)求直线OB与平面OB1D1所成的角的正弦值.
(1)证明∵底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD.
查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强
转化与化归的思想方法(2)---高考题选讲
转化与化归的思想方法(2)---高考题选讲化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题.事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题无论是难题还是易题，都离不开化归.例如，对于立体几何问题通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等.在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力.【例１】已知球Ｏ的半径为１，Ａ，Ｂ，Ｃ三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为（）.分析与求解：由已知条件，分析所给出的几何体的特征，可作如下转化：球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离?圳正三棱锥的高?圳正方体的对角线，可立即得出球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离＝棱长为１的正方体对角线的.故B正确.【例２】设x、y∈Ｒ且3x2+2y2=6x，求x2+y2的X围.分析１：设k=x2+y2，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k的X围的问题.其中要注意隐含条件，即x的X围.解法１：由6x-3x2=2y2≥0得0≤x≤2.设k=x2+y2，则y2=k-x2，代入已知等式得：x2-6x+2k=0，即k=-x2+3x，其对称轴为x=3.由0≤x≤2得k∈［０，４］.所以x2+y2的X围是：０≤x2+y2≤4.分析2：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）解法2：由所以x2+y2的X围是：０≤x2+y2≤4.【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力.此题还可以利用均值换元法进行解答.各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型.【例３】求值：cot10°-4cos10°分析：要求该式的值，估计有两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角.解法：cot10°-4cos10°【点评】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现.此种题型属于三角变换型.一般对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、降次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等.对此，我们要掌握变换的通法，活用公式，攻克三角恒等变形的每一道难关.【例4】球面上有３个点，其中任意两点的球面距离都相等于大圆周长的，经过３个点的小圆周长为４π，那么这个球的半径为（）.分析：将空间的问题转化为平面的问题来处理，这是解题的通法.由任意两点球面距离相等，则这三点构成过这三点截面上的等边三角形，又球面距离等于大圆周长的，则任意两点与球心构成的圆心角为，即，且任意两点与球心构成过这两点大圆截面上的等边三角形，则球半径等于球面上这三点任意二点的平面距离.运用转化的思想方法，把求球半径的问题转化为已知过球面三点的小圆周长，求这小圆上内接正三角形的边长.解：设Ａ、Ｂ、Ｃ为球面上三点，过其中Ａ、Ｂ两点的大圆，如图，Ｏ为球心，则∠ＡＯＢ＝=，且ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ.则ＡＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ.同理ＯＣ＝ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ，ＯＢ＝ＯＣ＝ＢＣ＝Ｒ，∴△ＡＢＣ为等边三角形.设过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的小圆为⊙Ｏ′，如图２，半径为r，则由2πr=4π，得r=2，∴ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝Ｒ＝2rsin=4=2. ∴应选Ｂ.【点评】这里用了降维转化的思想方法，转化的对象为求球的半径，转化的方向为求△ＡＢＣ的边长，转化的条件是“任意两点的球面距离都等于大圆周长的”.【例5】（某某卷）设函数f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（０）f（１）>0，求证：（Ⅰ）方程f（x）＝0有实数根；（Ⅱ）－２＜<-1；（Ⅲ）设x1，x2是方程f（x）＝０的两个实根，则≤<.思路分析：对于（Ⅰ），应首先看系数3a是否为０.若a=0，则b=-c，f（０）f（１）＝c（３a+2b+c）=－c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0.从而有对于（Ⅱ），结论等价于（+1）（＋２）＜０.故由条件中消去c，有（a+b）（2a+b）<0，除以a2即可.对于（Ⅲ），应将转化为关于的表达式，即，再利用（Ⅱ）的结论求解.【点评】本题有效地将二次函数，二次方程，二次不等式融于一题，三问层层递进.（Ⅱ）、（Ⅲ）两问的证明均需我们盯住解题目标在条件与结论之间进行有效地转化与化归以寻求沟通点.【例6】（某某卷）设a为实数，设函数f（x）＝a+的最大值为g（a）.（Ⅰ）设t=，求t的取值X围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（Ⅱ）求g（a）；（Ⅲ）求满足g（a）＝g（）的所有实数a.思路分析：（Ⅰ）１. ∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1.∴t的取值X围是［，２］.由①得c osθ-sinθ+cosθ=2cosθ，由于所以，即t∈［，2］，f（x）＝acos2θ+t.又t＝3. 令则t=m+n，m2+n2=2，由数形结合可得t∈［，２］.从而求出m（t）的解析式.（Ⅱ）、（Ⅲ）略.【点评】本题表面看是与无理函数有关的一个综合性的分步设问的问题，主要考查函数、方程等基本知识，试题的设置事实上也给出了处理结构较复杂函数f（x）的基本思路，只要经过换元很容易转化为常规的二次函数问题，其中的分类讨论对学生思维的周密性考查得力，具有很大的区分度.本题（Ⅰ）中三种思路分别利用代数换元、三角换元以及数形结合将问题进行了转化与化归从而求得了t的取值X围以及m（t）的解析式.【例7】（某某卷）已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R.求：（Ⅰ）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（Ⅱ）函数f（x）的单调增区间.解：（Ⅰ）解法1:∴当时，f（x）取得最大值２＋.因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是｛xx=kπ+，k∈Z｝.解法２：∵f（x）＝（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+ 1+cos2x=2+sin （2x+）.∴当取得最大值２＋.因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是（Ⅱ）f（x）＝２＋sin（2x+）.由题意得2kπ-≤因此，f（x）的单调增区间是【点评】本题两问的求解都需同学们将f（x）准确而合理地转化为的形式，即考查同学们对三角函数式的转化与化归的能力，这也是高考试题重点考查的能力之一.【例8】（某某卷）已知数列｛a n｝满足2a n（n∈N+）.（Ⅰ）证明：数列｛an+1-an｝是等比数列；（Ⅱ）求数列｛a n｝的通项公式；（Ⅲ）若数列｛b n｝满足（n∈N+），证明｛bn｝是等差数列.解：（Ⅰ）证明：a1=2为首项，２为公比的等比数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得（Ⅲ）证明：∵,∴∴｛b n｝是等差数列.【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查综合解题能力.【例9】如图，在五面体ＡＢＣＤＥＦ中，点Ｏ是矩形ＡＢＣＤ的对角线的交点，面ＣＤＥ是等边三角形，棱ＥＦＢＣ.（１）证明ＦＯ∥平面ＣＤＥ；（２）设ＢＣ＝CD，证明ＥＯ⊥平面ＣＤＦ.解：（１）证明：取ＣＤ中点Ｍ，连结ＯＭ，在矩形ＡＢＣＤ中，ＯＭＢＣ，又ＥＦＢＣ，则ＥＦＯＭ.连结ＥＭ，于是四边形ＥＦＯＭ为平行四边形. ∴ＦＯ∥ＥＭ.又∵ＦＯ平面ＣＤＥ，且ＥＭ平面ＣＤＥ，∴ＦＯ∥平面ＣＤＥ.（２）证明：连结ＦＭ，由（１）和已知条件，在等边△ＣＤＥ中，ＣＭ＝ＤＭ，ＥＭ⊥ＣＤ且ＥＭ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ＥＦ.因此平行四边形ＥＦＯＭ为菱形，从而ＥＯ⊥ＦＭ，∵ＣＤ⊥ＯＭ，ＣＤ⊥ＥＭ∴ＣＤ⊥平面ＥＯＭ，从而ＣＤ⊥ＥＯ，而ＦＭ∩ＣＤ＝Ｍ，所以ＥＯ⊥平面ＣＤＦ.【点评】立体几何是考查转化与化归的重要截体，如本题中的位置关系转化（第（Ⅰ）问中的线线平行与线面平行的转化，第（Ⅱ）问中的线线垂直与线面垂直的转化），空间向平面的转化、等积转化等等.【例10】. 已知f(x)＝tgx，x∈(0,π2)，若x1、x2∈(0,π2)且x1≠x2，求证：12[f(x1)＋f(x2)]>f(x x122)【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。
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转化与化归的思想方法在立体几何中的应用
发表时间：2017-09-18T14:27:26.743Z 来源：《成长读本》2017年6月总第18期作者：曹静[导读] 化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略。
昆明市官渡区第一中学
化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略。
化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题.解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题无论是难题还是易题，都离不开化归.本文从以下几个方面来阐述。
（1）正与反的转化。
解数学问题，一般总是从正面入手思考，但有时遇到从正面入手不易解决的情况，这时作逆向思考颇能奏效，这就是我们常说的“正难则反”的转化思想。
例1．设A、B、C、D是空间四点，且﹤ABC=﹤BCD=﹤CDA=﹤DAB=90°,求证：A、B、C、D在同一个平面上。
反证法：假设A、B、C、D不在同一平面上，则直线AB与CD是异面直线，∵﹤ABC=﹤BCD=﹤CDA=﹤BAD=90°,∴BC与AD均为异面直线AB、CD的公垂线，这与两条异面直线公垂线的唯一性矛盾，故命题为真。
（2）位置关系的转化与化归。