转化与化归的数学思想PPT课件
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化归思想.ppt
课前训练
1、 若a 1 4, (0 a 1), 则 a 1 ______。
a
a
2、已知a、b是方程 x2 +2x-7=0的两个根， (a+b=-2,ab=-7) 求 a2 +3b2+4b的值
3、
解方程： x x2
1
1 x2 4
例题分析
1、已知y x2 3xy 2 y2 ,求 y 的值
2y
x
解： y x2 3 y 2 y 2 , x2 3xy 2 0
方程两边都除以x2 , 得4( y )2 3( y ) 1 0
x
x
解得：y 1 或 y 1。 x4 x
点拨：把 y 作为一个整体，将已知等式化为关于 y
x
x
的一元二次方程，解方程求出 y 的值，过程简便。 x
例题分析
2、已知： x2 y2 20 xy x2 y2 81 0,求x、y的值。
解： x2 y2 20xy x2 y2 81 0, (x2 y2 18xy 81) (x2 y2 2xy) 0, (xy 9)2 (x y)2 0, xy 9 0且x y 0,解得x y 3
ＡE Ｇ
Ｏ Ｂ (1)
ＤＡＥ
Ｄ
Ａ
Ｈ
Ｏ
ＨＧ
Ｂ
Ｃ
Ｂ (2) Ｆ Ｃ
Ｄ
Ｃ Ｈ
(3)
n Ｏ
Ｆ m
∠ＡＢＥ，即等于正多边形的一个内角的度数．从特殊到一般，问 题（３）就可解．
课时训练
1、如图（１），等边△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ上的动点，以ＣＤ为 边，向上作△ＥＤＣ，连结ＡＥ。求证；
ＡＥ∥ＢＣ
（２）如图（２），将（１）中等边△ＡＢＣ的形状改为以ＢＣ为 底边的等腰三角形。所作△ＥＤＣ改成相似于△ＡＢＣ。请问：是 否仍有ＡＥ∥ＢＣ？证明你的结论。
2021届高考数学一轮复习第五章数列素养专题三数列的转化与化归思想课件文北师大版
复习课件
2021届高考数学一轮复习第五章数列素养专题三数列的转化与化归思想课件文北师大版
1
第五章 数列
素养专题(三) 数列的转化与化归思想
数列是高等数学的基础，是高中数学知识和数学方法的汇合点，它在测试逻 辑推理能力、理性思维水平以及考查学生创新意识和创新能力上具有不可替代的 作用．综合考查学生的综合素养．
法 1 等差数列与等比数列之间的转化与化归
[例 1] (1)(2020·昆明七校调研)在等比数列{an}中，Sn 是它的前 n 项和，若 q＝2，
且 a2 与 2a4 的等差中项为 18，则 S5＝( )
A．62
B．－62
C．32
D．－32
[解析] 依题意得 a2＋2a4＝36，q＝2，则 2a1＋16a1＝36，解得 a1＝2，因此 S5＝ 2×（1－1－225）＝62，选 A. [答案] A
[解析]Βιβλιοθήκη a1q3＝9a1q， (1)由题意可得a1（11－－qq3）＝13，解得 a1＝1，q＝3，
q＞0，
∴an＝3n－1，Sn＝11－－33n＝3n－2 1.
(2)假设存在常数 λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得 λ＝12，此时 Sn＋12＝12×3n，则SSn＋n＋1＋1212＝3，
(2)证明：bn＝log3(－an＋1)＝log33n＝n，所以bnb1n＋2＝n（n1＋2）＝12(n1－n＋1 2)，从 而 Tn＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(n－1 1－n＋1 1)＋(n1－n＋1 2)] ＝12(1＋12－n＋1 1－n＋1 2) ＝34－12(n＋1 1＋n＋1 2)＜34.
2021届高考数学一轮复习第五章数列素养专题三数列的转化与化归思想课件文北师大版
1
第五章 数列
素养专题(三) 数列的转化与化归思想
数列是高等数学的基础，是高中数学知识和数学方法的汇合点，它在测试逻 辑推理能力、理性思维水平以及考查学生创新意识和创新能力上具有不可替代的 作用．综合考查学生的综合素养．
法 1 等差数列与等比数列之间的转化与化归
[例 1] (1)(2020·昆明七校调研)在等比数列{an}中，Sn 是它的前 n 项和，若 q＝2，
且 a2 与 2a4 的等差中项为 18，则 S5＝( )
A．62
B．－62
C．32
D．－32
[解析] 依题意得 a2＋2a4＝36，q＝2，则 2a1＋16a1＝36，解得 a1＝2，因此 S5＝ 2×（1－1－225）＝62，选 A. [答案] A
[解析]Βιβλιοθήκη a1q3＝9a1q， (1)由题意可得a1（11－－qq3）＝13，解得 a1＝1，q＝3，
q＞0，
∴an＝3n－1，Sn＝11－－33n＝3n－2 1.
(2)假设存在常数 λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， ∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得 λ＝12，此时 Sn＋12＝12×3n，则SSn＋n＋1＋1212＝3，
(2)证明：bn＝log3(－an＋1)＝log33n＝n，所以bnb1n＋2＝n（n1＋2）＝12(n1－n＋1 2)，从 而 Tn＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(n－1 1－n＋1 1)＋(n1－n＋1 2)] ＝12(1＋12－n＋1 1－n＋1 2) ＝34－12(n＋1 1＋n＋1 2)＜34.
化归与转化思想PPT教学课件
两个定点的距离之和为定值却是一个熟悉的结论,即动点的轨迹是椭圆,而动点 P 是两条直线的交点,这又是一个熟悉的问题,因此,本题就转化为,两条直线交点 的轨迹是否为椭圆的问题.解题的方向明确了.求出直线方程,再求交点的轨迹,然 后判断这一轨迹是否为椭圆,其焦点是否为定点.
因为 c (0,a) ， i (1,0) ，,所以 c i ,a ， i 2c 1,2a.
4.化归与转化思想
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问 题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思 想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是 未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化 归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题， 要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是 熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等 等.事实上,前面讲的函数和方程思想就是把表面不是函数的问题化归为函数问 题求解,分类与整合思想是把一个复杂的题目分解成若干个小题求解,而数形结 合思想则是把代数问题转化为图形求解,或者把几何问题转化为代数运算求解.
r2 a ex1
2
2 2 x1 ,
所以,
r1r2
2
1 2
x12
,
①
这里, r1 与 r2 的积用 x1 的代数式来表示.
直线方程为
y
y1
x1 2 y1
x
x1
,
即 x1x 2 y1 y 2 y12 x1 0 ,
②
因为
A x1,
因为 c (0,a) ， i (1,0) ，,所以 c i ,a ， i 2c 1,2a.
4.化归与转化思想
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问 题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思 想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是 未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化 归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题， 要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是 熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等 等.事实上,前面讲的函数和方程思想就是把表面不是函数的问题化归为函数问 题求解,分类与整合思想是把一个复杂的题目分解成若干个小题求解,而数形结 合思想则是把代数问题转化为图形求解,或者把几何问题转化为代数运算求解.
r2 a ex1
2
2 2 x1 ,
所以,
r1r2
2
1 2
x12
,
①
这里, r1 与 r2 的积用 x1 的代数式来表示.
直线方程为
y
y1
x1 2 y1
x
x1
,
即 x1x 2 y1 y 2 y12 x1 0 ,
②
因为
A x1,
数学思想之一转化与化归思想(概述)
数学思想之一：转化与化归思想（概述）
1、转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包括解题）都离不开转化与化数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方归，
程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。
各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化
的手段。
所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。
2、转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改。
3、转化与化归的原则将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决。
4、转化与化归的基本类型
（1）正与反、一般与特殊的转化；
（2）常量与变量的转化；
（3）数与形的转化；
（4）数学各分支之间的转化；
（5）相等与不相等之间的转化；
（6）实际问题与数学模型的转化。
专题四转化与化归思想
则a≥ x ，x∈(0， ］恒成立.
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模拟训练
【点评】 本题主要考查转化思想和分类整合思想，分类讨论实 质上也是一种转化思想. 解法1 采用的是分类讨论的方法, 将比较复杂问题通过分类转化 为一些较简单的问题进行求解, 而每一分类中又将恒成立的问题又转 化为最值问题.
1 (0，］, 变为不等式一边为参数 , 另一边为含有x的代数式，a只要大 2 1 1 于或等于y= x ，x∈(0， ］的最大值就满足上式要求. x 2
消去x2得2 x12
2 1 x1 2 6m 1 0 ， m m
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模拟训练
2 1 ∴x1∈R，∴Δ= 8 2 6m 1>0, m m 1 ∴(2m+1)(6m2-2m+1)<0，∴m< . 2 1 即当m< 时，抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称. 2
x12 满足 2 x1 x 1
2 x2 x1 x 2 m 3 , 2 2 2 x2 1 . x2 m
2 x12 x 2 m( x1 x 2 6), ∴ 1 x x . 1 2 m
行转化, 使问题逐次达到规范化、模式化，直至问题的解决.
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模拟训练
1. 函数f (x)=cos2x-2 3 sinxcosx的最小正周期是__________.
π 【解析】 ∵f(x) =cos2x-2 3 sinxcosx=cos2x- 3 sin2x=-2sin 2x ,
祝您高考成功！
作文成绩
语文作文课上, 老师布置了一篇500字的作文。
下课铃响了, 一学生发现自己只写了250字, 灵机一动,在
第2讲 分类讨论、转化与化归思想
由于 2x＞0，所以 2a－1＝－1 无解． ②若 a＞1，则 f(a)＝－log2(a＋1)＝－3， 解得 a＋1＝8，a＝7， 所以 f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74. 综上所述，f(6－a)＝－74. 答案：(1)－63 (2)A
应用 2 由图形位置或形状引起的分类讨论 【例 2】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)设 A，B 是椭圆 C：x32＋ my2＝1 长轴的两个端点．若 C 上存在点 M 满足∠AMB＝ 120°，则 m 的取值范围是( ) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0， 3 ]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0， 3 ]∪[4，＋∞)
[变式训练] 已知函数 f(x)＝mx2－x＋ln x．若在函 数 f(x)的定义域内存在区间 D，使得该函数在区间 D 上为 减函数，则实数 m 的取值范围为________．
解析：f′(x)＝2mx－1＋1x＝2mx2－x x＋1， 即 2mx2－x＋1＜0 在(0，＋∞)上有解． 当 m≤0 时显然成立； 当 m＞0 时，由于函数 y＝2mx2－x＋1 的图象的对称 轴 x＝41m＞0，故需且只需 Δ＞0，即 1－8m＞0，故 m＜18.
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)， 所以 an＝2an－1(n≥2)． 因此数列{an}是以－1 为首项，以 2 为公比的等比数 列． 则 an＝－2n－1，a6＝－25＝－32. 所以 S6＝2a6＋1＝2×(－32)＋1＝－63. (2)①若 a≤1，则 f(a)＝2a－1－2＝－3， 整理得 2a－1＝－1.
第2讲 分类讨论、转化与化归思想
第2讲 分类讨论、转化与化归思想
应用 1 正与反、常量与变量的转化 【例 1】 (1)设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值范围是 ________________． (2)若对于任意 t∈[1，2]，函数 g(x)＝x3＋m2 ＋2x2 －2x 在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范 围是________________． 解析：(1)设 y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1， 则 f(t)是一次函数，当 t∈[－2，2]时，f(t)＞0 恒成立，
2015届高考二轮数学文科金版学案专题复习课件8.4化归与转化思想
Z 主 干考点 梳 理
栏 目 链 接
Z 主 干考点 梳 理
考点1 化归与转化的思想方法
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解 较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过 程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问
栏 目 链 接
题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的
问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目 的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想 方法”．
1 2 解析 ∵f(x)＝－2x ＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数， ∴f′(x)＝－x＋ b ＜0 在(－1，＋∞)上恒成立，即 b＜x(x x＋2
2
＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．设 g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1) －1 在(－1，＋∞)上单调递增，∴g(x)＞－1，∴当 b≤－1 时， 1 2 b＜x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，即 f(x)＝－ x ＋bln(x 2 ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数．
随堂讲义· 第一部分
专题八
知识复习专题
思想方法专题
第四讲 化归与转化思想
化归与转化的思想在2015年高考中必然考到，主 要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几
何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中
求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等， 总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问 题的重要思想方法．
2
栏 目 链 接
π f(x)＝cos x＋sin x，x∈0， ， 2 π 1 2 5 π 1 2 ∴ f x－ ＝－ sinx－ － ＋ ＝－ cos x＋2 4 2 2 2 π 5 ＋ ，x∈ ，π. 4 2
栏 目 链 接
转化与化归思想ppt课件
经验证 f(x)＝xsin 2πx 满足题意，则 f52＝0.
答案
4 (1)5
(2)0
热点分类突破
专题八 第4讲
类型二 相等与不等的转化
例 2 若关于 x 的方程 9x＋(4＋a)·3x＋4＝0 有解，则实数 a 的
取值范围是________．
本
讲 栏
可采用换元法，令t＝3x，将问题转化为关于t
目 开
本 讲 栏
对任意实数 x 都有 xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则 f52＝________.
目 开
解析
(1)根据题意，所求数值是一个定值，
关 故可利用满足条件的直角三角形进行计算．
令 a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC 为直角三角形， 且 cos A＝45，cos C＝0，
热点分类突破
专题八 第4讲
栏 目
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，
开 关
达到化归的目的．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明
特殊化后的问题、结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于
解决的问题．
思想方法概述
专题八 第4讲
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转
本
讲 成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，
栏
目 因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情
开
关 形的问题中．
热点分类突破
专题八 第4讲
若二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区 间[－1,1]内至少存在一个值 c 使得 f(c)>0，求实数 p 的取值范 围．
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CHENLI
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→3x-4y+1=0
(x2)2(y5)21
CHENLI
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6.主与次的转化
例6.若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试
求实数x的取值范围.
［解析］ ∵x2＋px>4x＋p－3 ∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0
令g(p)=(x－1)p＋x2－4x＋3，
的值为（ ）
y
A. a B 2 a C 2 a D 4 a
FQ
3
P
分析： PQ 令 特殊化，使其 y轴垂 ，直 易于 求得 o x
PFFQ 1．得 11＝４ a ．答案 D选 2a p q
直线位置的特殊化， 使问题变得非常容易.体现出
了特殊化的强大威力！类似还有特殊值、特殊数列、特
殊函数、特殊图形等!
转化与化归的数学思想
CHENLI
1
转化与化归
重点：1、转化与化归的含义 2、转化与化归遵循的原则 3、转化与化归目标的确定
难点：如何正确运用转化与化归思想方法解题
CHENLI
2
引言： 数学思想方法是数学知识的精华， 它产生并作用于数学学习过程中， 对于学习知识，发现和解决问题起指导 作用。( ) 高考试题往往对条件或结论进行伪装
则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有
g g
(0) (4)
0 0
∴x>3或x<－1.
［点评］在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要 地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题 时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在 某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元 在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来 处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一 次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.
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8
• 还有其它特殊位置吗？
CHENLI
9
2.具体与抽象的转化. 把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对 抽象问题的理解和再认识,在抽象语言与具体事物间建立联系, 从而实现抽象向具体的化归.
设函数 f(x) ax2bxc(a0) 的定义域为D，若
所有点 (s,f(t))(s,tD) 构成一个正方形区域，
验和问题来解决；
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决
复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的
和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维
规律；
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
中运动变化很明显的普遍存在着，只有有效的相对静止，才 能把握这种运动变化。
CHENLI
13
• 解：设双曲线的两个焦点分别是
F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正 好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三 点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值 最大，此时
|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的
反面去探求，使问题获解。
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6
二、化归思想的解题途径
CHENLI
7
1、一般与特殊的转化
例1 过抛物y线 a x2(a 0)的焦点 F作一直线与抛物线
于P、Q两点，若线P段 F、FQ的长分别p为 、q,则1 1 pq
CHENLI
3
一、转化与化归思想的含义
化归指的是转化与归结．简单的化归思想就是 把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想．即把数学中 待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等 思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个 或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问 题的这种解决问题的思想，称为化归思想．化归思想是解 决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过 程．数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复 杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化； 空间向平面的转化；高次向低次的转化；多元向少元的转 化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现．
则a的值为
A．-2
B．-4
C．-8
D．不能确定
动手就是希望！
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3. 正面与反面的转化
在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时 用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。
例 3．若二f次 (x)函 4x2数 2(p2)x2p2p1在区
间 1， 1内至少有 c,使 一 f(c) 个 0,求 值实 p的 数取值
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• 题目改成什么样的时候又不能用上述方法 呢？
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20
• 若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切 0≤x≤4均成立，试求实数p的取向少元转化
已(知 x2)22y21,则 2y23x的最大 __值 _ ． _是 _
解 析 （ x 2 ) 2 2 y2 1 ,
＝10－1＝9
故选D 。
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5．数与形的转化 数形结合就是根据问题的条件和结论内在联系分析其代数 含义，揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐的结 合起来。华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形
结合百般好，隔裂分家万事非”。
（1）、几何问题代数化 立体几何中用向量法求角求距离等 （ 2 ）代数问题几何化
解：如果在[-1，1]内没有值满足f(c) >0
则
f(-1) ≤0 f(1) ≤0
y
正难则反
p≤-1/2或p≥1 ∴
p≤-3或p≥3/2
-1
1
x
∴p≤-3或p≥3/2
取补集为-3<p<3/2,即为满足C条HE件NLI 的p的取值范围。
12
4．运动与静止的转化 运动是绝对的，静止是相对的。数学中特别是在解析几何
CHENLI
4
化归思维模式：问题→新问题→解决新问题 →解决原问题.
化归的五原则：(1)熟悉化原则; (2)简单化原则; (3)和谐化原则; (4)直观化原则; (5)正难则反原则
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5
3．化归与转化应遵循的基本原则：
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经