人教版高中数学选修2-3回归分析的基本思想及其初步应用教案

3．1回归分析的基本思想及其初步应用

（共计4课时）

一、教学内容与教学对象分析

学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。

二、学习目标

1、知识与技能

通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。

2、过程与方法 本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R 的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。

3、情感、态度与价值观 通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。 三、教学重点、难点

教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。

教学难点：求回归系数 a , b ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。 四、教学策略：

教学方法：诱思探究教学法

学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： （一）、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 （二）、新课:

探究：对于一组具有线性相关关系的数据：

（11,x y ) , (22,x y ) ，…， (,n n x y )，

我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为： a y bx =- （1）

1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ==--=

-∑∑ （2）

其中11

11,n n

i i i i x x y y n n ====∑∑，（,x y ）成为样本点的中心.

注：回归直线过样本中心.

你能推导出这两个计算公式吗？

从我们已经学过的知识知道，截距a 和斜率b 分别是使 2

1

(,)()

n

i

i

i Q y bx a αβ==

--∑

取到最小值时,αβ的值. 由于 2

1

(,)[()()]

n

i

i

i Q y x y x y x αββββα==

---+--∑

221{[()]2[()][()][()]}n

i i i i i y x y x y x y x y x y x βββββαβα==---+---⨯--+--∑

2

21

1

[()]2[()]()[()]n

n

i i i i i i y x y x y x y x y x n y x βββββαβα===---+---⨯--+--∑∑

注意到

1

[()]()n

i

i

i y x y x y x βββα=-----∑

1

()[()]n

i i i y x y x y x βαββ==-----∑

1

1

()[()]n n

i i i i y x y x n y x βαββ===-----∑∑

()[()]0y x n y n x n y x βαββ=-----=.

221

(,)[()]()n

i i i Q y x y x n y x αββββα==---+--∑

2

2

221

1

1

()

2()()()()n

n n

i

i i i i i i x x x x y y y y n y x β

ββα====----+-+--∑∑∑

2

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

()()

[()()]()()[]()()

()

n

n

i

i

i i n

n

i i i i n

n

i i i

i

i i x x y y x x y y n y x x x y y x x x x βαβ======----=--+--

--

+---∑∑∑∑∑∑ 在上式中，后两项和,αβ无关，而前两项为非负数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即有

1

22

1

n

i

i

i n

i

i x y nx y

y x x

nx βαβ==⋅-⋅=

=--∑∑，.

这正是我们所要推导的公式．

下面我们从另一个角度来推导的公式． 人教A 版选修2-2P37习题1.4A 组第4题:

用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n 个数据

12,,,n a a a .

证明：用这个数据的平均值1

1n

i i x a n ==∑

表示这个物体的长度，能使这n 个数据的方差

21

1()()n

i i f x x a n ==-∑

最小．

思考：这个结果说明了什么？通过这个问题，你能说明最小二乘法的基本原理吗？

证明：由于2

11()()n i i f x x a n ==-∑，所以

'

1

2()()n

i i f x x a n ==-∑，

令'

()0f x =, 得1

1n

i i x a n ==∑。

可以得到， 1

1n

i i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点．

这个结果说明，用n 个数据的平均值1

1n

i i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最

小二乘法的基本原理．