几何模型：半角模型

半 角 模 型

一、90°夹45°

定义：过正方形的一个顶点作一个45°角可形成90°夹45°的夹半角模型。 （1） 角含半角模型90°-1

条件：①

；②

或者②

；

（2） 角含半角模型90°-2 ➢ 条件：①

；②

；

（

1）

（2） （

3）角含半角模型90°-3

条件：①

；②

；

（4）角含半角模型90°变形 ➢ 条件：①正方形

；②

；

（3） （4）

二、120°夹60°

（1）内夹（120°角完全包含60°角） （

2）外夹：（120°角不完全包含60°角） ➢ 条件：①∠CAB=120°；②∠EAF=120°；

C

(1)(2)

核心思想：

（1）内夹角补短，外夹用截长；(2)先证小全等，再证大全等。

一、内嵌45°

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上一点.并且∠EAF=45°，AE、AF分别交对角线于M、N.

（1）求证：求证：EF=BE＋DF；（或△EFC周长为定值）

F （2）求证:∠AEB=∠AEF=∠ANM，∠AFD=∠AFE=∠AMN；

F （3）求证:MN 2=BM 2＋DN 2；

F （4）求证：2AM 2=BM 2＋DM 2，2AN 2=BN 2＋DN 2；

F （5）连接NE，求证：AN=AE，AN⊥NE；

F （6）连接MF，求证：AM=MF，AM⊥MF；

F

（7

=BA＋BE=DA＋DF；

F

F

（9）求证：EF

；

F

（10）过点E作EG⊥BC交BD于点G，求证：N是DG中点；

F （11）过点F作FH⊥DC交BD于H，求证：M是BH中点；

F

（12）过点E作EP⊥BD交BD于点P，求证：NP=1

2

BD；

F

（13）过点F 作FQ ⊥BD 交BD 于点Q ，求证：MQ =

1

2

BD ；

F

（14）求证：S △AMN =

1

2

S △AEF (或S △AMN = S 四边形MEFN )

F

二、外嵌45°

如图，在正方形ABCD 中，若∠BEC =45°，连接AE ，DE

.

E

（1）求证：∠AEC =∠BED =90°；

（2）求证：∠AEB=∠CED=45°；

E （3）求证：EB平分∠AEC，EC平分∠BED；

（4）求证：EB＋

ED EC；

（5）求证：EA＋EC

EB；

（6）求证：S四边形ABCE=1

2

EB 2．

正方形.gsp

（1）内夹（120°角完全包含60°角）

已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠D=60°∠EAF=60°，证明：BE+CF=EF

变式：已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠D=60°，BE+CF=EF，证明：∠EAF=60°

B

（2）外夹：（120°角不完全包含60°角）

已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠BDC=60°，CF-BE=EF，证明：∠EAF=60°

变式：已知：∠BAC=120°，AB=AC，∠BDC=60°，∠EAF=60°，证明：CF-BE=EF Array

C

E

4.在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M,N，使∠MCN=45°,若AM=3,BN=4，求△ABC的面积

5、在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．

（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；

（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．

6、如图1，四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形．如图2，点P

是边BC上一点，PH⊥BC交BD于点H，连接AP交BD于点E，点F为DH中点，连接AF．

（1）求证：四边形ABCD为正方形；

（2）当点P在线段BC上运动时，∠PAF的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠PAF的值；若变化，

请说明理由；

（3）求证：BE2+DF2=EF2．

7.如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；

（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）若EG=4，GF=6，BM=3

8.如图，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D 在线段AC上。

（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（00<α<900）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明：若不是，说明理由。