例析处理分类讨论问题常用的几种方法

例析处理分类讨论问题常用的几种方法

上海市第五十四中学(邮编200030) 裴华明

分类讨论不仅是一种典型的逻辑方法，而且也是一种非常重要的数学思想，这是因为数学自身的概念、定理、公式、法则、性质等等有不少都是分类规定或研究的。因此，可以说分类讨论贯穿于中学数学的始终。由于分类讨论问题具有明显的逻辑性、综合性和探索性，对提高学生的数学能力具有及其重要的作用，所以这类问题也是当今各类考试的热点问题之一。本文将例析处理分类讨论问题常用的几种方法，仅供参考。

1、根据数学概念的需要分类讨论

数学中的很多概念都是通过分类定义的，如：绝对值；直线的斜率与倾斜角；集合中的子集(B A ⊆)等等，处理这类问题时要注意从定义出发进行分类讨论。 例1、求不等式1|)3(log ||log |3

131≤-+x x 的解集。

解析：由于实数的绝对值是分类定义的概念，因此应先从030>->x x 及求出x 的取值范围，然后找出零点21==x x ，，对未知数x 进行分类讨论。

(1)当10≤

14

3≤≤x 。 (2)当21≤

131-≥-+x x ，解之，得 21≤

(3)当32<

92≤

943|{≤≤x x 。 2、根据运算的要求分类讨论

数学中的一些运算有严格的限制要求，如分母不为零；实数集内偶次根式被开方数必须为非负数；对数的底数的限制；指数底数的限制以及三角函数的运算限制等等，在解答这类问题时要按要求进行分类讨论。

例2、解关于x 的不等式)10(log 31log ≠>->-a a x x a a ，

解析：应根据算术根的定义，讨论求得x a log 的范围，然后根据1>a 及10<

(1)当0log 3≥-x a 时，3log ≤x a ，又 x a log 01≥-，从而 3log 1≤≤x a ，

因为x a log x x a a 2

log log 691+->-，所以 5log 2<

(2) 当0log 3<-x a 时，1log ≥x a ，∴3log >x a ，

综上有2log >x a 。

又对a 进行分类讨论：

①若1>a 时，不等式的解集为}|{2a x x >。

②若10<

3、根据定理、公式、法则、性质的限制条件分类讨论

数学中的一些定理、公式、法则往往也有一些严格的限制条件，如均值不等式；零与负数没有对数；等比数列的前n 项和公式；极限的运算法则等等。对于解决这类问题时，要根据问题中所给的有关定理、公式、法则所给定的限制条件进行讨论。 例3、设首项为1，公比为)0(>q q 的等比数列的前n 项和为n S ，又设1

+=n n n S S T )321( ，，，=n ，求n n T ∞→lim 。 解析：首先应根据等比数列前n 项和公式对q 讨论，然后再根据极限的定义再对q 进行讨论。

设所求等比数列为}{n a ，公比为)0(>q q

(1)当1=q 时，有n na S n ==1，∴11lim lim lim 1

=+==∞→+∞→∞→n n S S T n n n n n n 。 (2)当1≠q 时，有q q q q a S n n n --=--=111)1(1， ∴111

111111+++--=----==n n n n

n n n q

q q q q q S S T ， ①若10<

→n n T ②若1>q ，则q q q

q q q q T n n n n n n n n 1001)1()1(1lim 11lim lim 1=--=--=--=∞→+∞→∞→， 综上可知：当10≤q 时，n n T ∞→lim q

1=。

4、根据函数的性质分类讨论

在解方程，解不等式，求函数的最值等问题时常常要涉及到函数的性质，因此对于这类问题我们要利用函数的相关性质对其进行分类讨论。

例4、已知3131

)21()2(---<+a a ，求实数a 的取值范围。

解析：此题应观察函数31

)(-=x x f ，由于函数31

)(-=x x f 分别在区间)0()0(∞+-∞，和，上

是减函数，所以应对它们进行分类讨论。

(1)当02102>->+a a ，时，有0212>->+a a ，∴2

131<<-a (2)当02102<-<+a a ，

时，有a a 2120->+>，∴φ∈a (3)当02102>-<+a a 且时，有a a 2102-<<+，∴2-

综上，a 的取值范围为}22

131|{-<<<-a a a 或 5、根据图形位置的不确定性分类讨论

在立体几何中，由于所给图形位置的不确定性，要根据所给出的问题的条件进行分类讨论。

例5、已知斜三棱柱111C B A ABC -的底面是直角三角形，090=∠BAC ，且AC BC ⊥1，2==AC AB ， 621=BC ，侧棱与底面成060角，求它的体积。

解析：由题意可得平面1ABC ABC 平面⊥，点1C 在底面上的射影H 在直线AB 上，但点H 在直线AB 上的位置不能确定，所以要对点H 的位置讨论。

∵1BC AC AB AC ⊥⊥，，∴1BAC AC 平面⊥，又∵ABC AC 平面⊂，

∴1ABC ABC 平面平面⊥，则点1C 在平面ABC 上的射影一定在直线AB 上，所以过1C 作H C 1垂直直线AB 于H ，设x H C =1

(1)若点H 在线段BA 的延长线上，连CH ，如图（1）

则11CC CH C 是∠与底面所成的角，即

0160=∠CH C x H C CH 3

360cot 01==， 在43

1222-=-=∆x AC CH AH ACH Rt 中，