《数值分析》习题解答 (6)

第五章习题解答

1、给出数据点:0134

19156

i i x y =⎧⎨

=⎩

(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。

解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数

2

20

2

1303011915

01031013303152933

()()()()()()

()()()()()()()()

i i i x x x x x x L x l x y x x =------==

⨯+⨯+⨯-------++=

∑

代入可得2151175(.).L =。

(2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表：

于是可得插值多项式：

229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+-

代入可得215135(.).N =。

(3)用事后误差估计的方法可得误差为

150

1511751350656304

.(.)(..).R -=

-=-◆ 2，7，9，10，11，12

2、设Lagrange 插值基函数是

0012()(,,,,)n

j i j i j

j i

x x l x i n x x =≠-==-∏

试证明:①对x ∀,有

1()n

i i l x ==∑

②00110001211()()(,,,)()()n

k

i i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩

∑

其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。

证明：①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10

1()()()()()!n n

i i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行插值，其误差为0，亦即0

()()n

i i

i f x l x f

==

∑精确成立，亦即

1()n

i i l x ==∑。

②分别取被插值函数()k

f x x =，当k n ≤时Lagrange 插值多项式的误差表达式

1001()()()()()!n n

i i f R x x x n ξ+==-=+∏，即0()()n i i i f x l x f ==∑，亦即0

()n

k k i i i l x x x ==∑，对于0k =，由①可知结论成立；对于12,,

,k n =时，特别地取0x =，则有0

00()n

k i i i l x ==∑；

而当1k n =+时知其Lagrange 插值误差为100

1()()()()()()!n n

n

i i i i f R x x x x x n ξ+===-=-+∏∏，于是有0

()()()n

i i

i f x l x f

R x ==

+∑，即1

1

()()n

n

k k i i

i i i x

l x x

x x ++===+-∑∏，特别取0x =可

得

120101

011()()()n

k n n i i n n i l x

x x x x x x ++==-=-∑，证毕。◆

3、试验证Newton 插值多项式满足22()()n N x f x =。

解：由Newton 插值多项式0010012()()[,]()[,,]n N x f x f x x x x f x x x =+-+

1

01010

()()[,,

,]()n n i i x x x x f x x x x x -=--+

+-∏

可知

20012001220211021102110

020*********()()[,]()[,,]()()

()()

()()()()()()()()

()()

n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x f x f x f x f x f x x x x x f x x x x x x x x x x x f x =+-+-----

---=+-+----=◆

4、已知0101()()()()(,,,n i f x x x x x x x x i n =---=互异,)，求函数()f x 的p

阶差商01[,,

,],p f x x x p n ≤。

解：由差商和函数值的关系式010

0,()

[,,

,]()

p

j p p

j j i i i j

f x f x x x x x ==≠=-∑

∏

可知，当p n ≤时总有

010[,,,]p f x x x =

◆

5、若()()()f x u x v x =，试证明：

01001011[,]()[,][,]()f x x u x v x x u x x v x =+

证明：由差商定义

101100

011010

11010100101010101010

001011()()()()()()[,]()()()()()()()()

()()()()

()()

()[,][,]()

f x f x u x v x u x v x f x x x x x x u x v x u x v x u x v x u x v x x x u x u x v x v x v x u x x x x x u x v x x u x x v x --=

=---+-=---=

+--=+ ◆

6、若已知2n n y =，求4n y ∆和4

n y δ。

解：由向前差分、中心差分和函数值的关系可得

4

4

440432143211464242624222()***k k

n n k k n n n n n n n n n n n

y C y y y y y y +-=++++++++∆=-=-+-+=-+-+=∑