2020高考数学题型归纳
2020年高考数学试题解析(全国2卷)
D． 11001
【思路分析】分别为 4 个选项中 k 1 ，2，3，4 进行讨论，若有一个不满足条件，就排除；由题意可得周
期都是 5，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列，继续写出，如 C 答案中的排列为
10001 10001 10001
【解析】：对于 A 选项：序列 11010 11010
1 2
a 2b
ab
8，
c2 a2 b2 2ab 16 ，当且仅当 a b 2 2 时取等号，
C 的焦距的最小值为 2 4 8 ，
故选： B ．
【总结与归纳】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．
9．设函数 f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ，则 f (x)( )
【总结与归纳】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．
11．若 2x 2y 3x 3y ，则 (
)
A． ln( y x 1) 0 B． ln( y x 1) 0 C． ln | x y | 0
D． ln | x y | 0
【思路分析】由 2x 2y 3x 3y ，可得 2x 3x 2y 3y ，令 f (x) 2x 3x ，则 f (x) 在 R 上单调递增，
故要求的圆的方程为 (x 5)2 ( y 5)2 25 或 (x 1)2 ( y 1)2 1 ．
故所求圆的圆心为 (5,5) 或 (1,1) ；
故圆心到直线 2x y 3 0 的距离 d | 2 5 5 3 | 2 5 或 d | 2 1 1 3 | 2 5 ；
22 12
积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者 ( )
2020高考数学解答题核心素养题型《专题07 立体几何综合问题》+答题指导)(解析版)
专题07 立体几何综合问题【题型解读】▶▶题型一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算(1)空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解．(2)利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第四步：计算向量的夹角(或函数值)；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2019·河南郑州高三联考)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD . (1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABD 中，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD ，由余弦定理，得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，所以△ABD 为直角三角形且∠ADB ＝90°，故BD ⊥AD .因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BD .又AD ∩DE ＝D ，所以BD ⊥平面ADE .因为BD ⊂平面BDEF ，所以平面BDEF ⊥平面ADE .(2)由(1)可得，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD ， 又由ED ＝BD ，设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3.因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊥AD ，所以可以点D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，C (－1，3，0)，E (0,0，3)，F (0，3，3)．所以AE →＝(－1,0，3)，AC →＝(－2，3，0)．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A E →＝0，n ·A C →＝0，即⎩⎨⎧ －x ＋3z ＝0，－2x ＋3y ＝0，令z ＝1，得n ＝(3，2,1)为平面AEC 的一个法向量．因为A F →＝(－1，3，3)， 所以cos 〈n ，A F →〉＝n ·A F →|n |·|A F →|＝4214， 所以直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214. 【素养解读】本例问题(1)证明两平面垂直，考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)计算线面所成的角时，考查了直观想象和数学运算的核心素养．【突破训练1】 (2018·北京卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为AA 1，AC ，A 1C 1，BB 1的中点，AB ＝BC ＝ 5 ，AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)求二面角B －CD －C 1的余弦值；(3)证明：直线FG 与平面BCD 相交．【答案】见解析【解析】(1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为CC 1⊥平面ABC ，所以四边形A 1ACC 1为矩形．又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，所以AC ⊥EF .因为AB ＝BC .所以AC ⊥BE ，所以AC ⊥平面BEF .(2)由(1)知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1.又CC 1⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC .因为BE ⊂平面ABC ，所以EF ⊥BE .如图建立空间直角坐称系Exyz .由题意得B (0,2,0)，C (－1,0,0)，D (1,0,1)，F (0,0,2)，G (0,2,1)．所以CD →＝(2,0,1)，C B →＝(1,2,0)，设平面BCD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C D →＝0，n ·C B →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋c ＝0，a ＋2b ＝0.令a ＝2，则b ＝－1，c ＝－4，所以平面BCD 的法向量n ＝(2，－1，－4)，又因为平面CDC 1的法向量为E B →＝(0,2,0)，所以cos 〈n ，E B →〉＝n ·E B→|n ||EB →|＝－2121. 由图可得二面角B －CD －C 1为钝二面角，所以二面角B －CD －C 1的余弦值为－2121. (3)证明：平面BCD 的法向量为n ＝(2，－1，－4)，因为G (0,2,1)，F (0，0,2)，所以G F →＝(0，－2,1)，所以n ·G F →＝－2，所以n 与G F →不垂直，所以GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，所以GF 与平面BCD 相交． ▶▶题型二 平面图形折叠成空间几何体的问题1．先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．2．(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．(3)解决翻折问题的答题步骤第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；第三步：利用判定定理或性质定理进行证明．【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|B F →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz .由(1)可得，DE ⊥PE .又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，故PE ⊥PF .可得PH ＝32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，0，D P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，32，H P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪H P →·D P →|H P →|·|DP →|＝ 34 3＝34. 所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 【素养解读】本例在证明或计算过程中都要考虑图形翻折前后的变化，因此综合考查了逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模的核心素养．【突破训练2】 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC .又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC .所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2. 如图，以O 为原点，OB →，OC →，OA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0， 得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－22， CD →＝BE →＝(－2，0,0)．设平面A 1BC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1,1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0,1,1)， 从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值为63. ▶▶题型三 线、面位置关系中的探索性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，解决这类问题的基本思路类似于反证法，即“在假设存在的前提下通过推理论证，如果能找到符合要求的点(或其他的问题)，就肯定这个结论，如果在推理论证中出现矛盾，就说明假设不成立，从而否定这个结论”．【例3】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝2 2 ，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ； (2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】见解析【解析】(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .(2)如图，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，A P →＝(0,2,23)，取平面PAC 的一个法向量O B →＝(2,0,0)．设M (a,2－a,0)(0<a ≤2)，则A M →＝(a,4－a,0)．设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由A P →·n ＝0，A M →·n ＝0得⎩⎨⎧ 2y ＋23z ＝0，ax ＋(4－a)y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )， 所以cos 〈O B →，n 〉＝23(a －4)23(a －4)2＋3a 2＋a2.由已知得|cos 〈O B →，n 〉|＝32. 所以23|a －4|23(a －4)2＋3a 2＋a2＝32.解得a ＝－4(舍去)，a ＝43. 所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43.又P C →＝(0,2，－23)， 所以cos 〈P C →，n 〉＝34.所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34. 【素养解读】本例问题(1)中证明线面垂直直接考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)中要探求点M 的位置，要求较高，它既考查了直观想象的核心素养，又考查了数学建模的核心素养．【突破训练3】 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面ABB 1A 1，且AA 1＝AB ＝2. (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6，请问在线段A 1C 上是否存在点E ，使得二面角A －BE －C 的大小为2π3，请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)证明：连接AB 1交A 1B 于点D ，因为AA 1＝AB ，所以AD ⊥A 1B ，又平面A 1BC ⊥侧面ABB 1A 1，平面A 1BC ⊂平面ABB 1A 1＝A 1B ，所以AD ⊥平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BC ，又AA 1∩AD ＝A ，所以BC ⊥侧面ABB 1A 1，所以BC ⊥AB . (2)由(1)得AD ⊥平面A 1BC ，所以∠ACD 是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，即∠ACD ＝π6，又AD ＝2，所以AC ＝22，假设存在适合条件的点E ，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，设A 1E →＝λA 1C →(0≤λ≤1)，则B (2，2，0)，B 1(2，2，2)，由A 1(0,0,2)，C (0,22，0)，得E (0,22λ，2－2λ)，设平面EAB 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AB →＝0，得⎩⎨⎧ 22λy ＋(2－2λ)z ＝0，2x ＋2y ＝0， 所以可取m ＝(1－λ，λ－1，2λ)， 由(1)知AB 1⊥平面A 1BC ，所以平面CEB 的一个法向量n ＝(1,1，2)， 所以12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2π3＝cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2λ22(λ－1)2＋2λ2，解得λ＝12，故点E 为线段A 1C 中点时，二面角A －BE －C 的大小为2π3.。
2020年高考数学题型总结之函数——函数与方程
题型一：函数与方程※方法与指导：1、已知函数根的关系，求函数值①利用函数的对称轴或者对称中心求根之和（三角函数或者其他周期函数）②利用二次函数写出根之和或根之积③利用有两个根、则满足2、已知函数根的个数求函数根关系的范围①利用均值不等式和基本不等式（可以取到最值）②利用对勾函数的单调性求最值③构造函数求函数最值3、已知根的个数求参数范围①数形结合（第一想到相切、第二极限迫近法）I、如果为非二次函数的函数要想到利用导数求切线（斜率定义）II、如果为二次函数要想到判别式确定根的个数问题III、如果为直线要想到直线过定点和切线或者其他直线斜率进行比较②构造函数I、分离参数求导（求导有时候会复杂）求最值（有时会用到洛必达）II、构造一个函数（会讨论参数范围）注：构造一个函数时，若含有对数函数，应该把对数函数前未知数除掉III、构造两个函数注1、在相同位置取得不同最值，或者在不同位置取得相同最值。
注2、构造函数时一般会出现、、、注3、若有二次函数一般对称轴会和有关4、函数形式：、、的根的个数讨论①画的图像注1.画图时先绝对值再平移变换（去左，右翻左）注2、画图时先平移变换再绝对值（去下，下翻上）注3、基础函数直接画图注4、非基础函数求导画图注5、与（）的图像②换元并讨论函数根的个数问题③代入后依据②讨论根的个数（利用分参或者二次函数存在性定理）5、任意存在题型中求函数的值域问题①、有,求函数在定义域上的最值问题②、有，求函数在定义域上的最值问题③，有，求函数在定义域上的最值问题④在上存在（）使得求的值域D，且在上有解教学建议：适合中等偏上学生的题，也适合教师的题，一个可以提升自己的题！题型一：函数与方程练习题1．定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于（）A．0 B．2 C．8 D．102．设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[5，+∞）D．（5，+∞）3．已知函数f（x）＝若F（x）＝f（x）+m有两个零点x1，x2，则x1x2的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，0）C．[e，0] D．[﹣l，0]4．已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，且关于x的方程|f（x）|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（，]B．（0，]∪{} C．[，）∪{}D．[，]∪{}5．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣）D．（﹣∞，）6．已知函数f（x）＝lnx﹣x3+2ex2﹣（a+e2）x在定义域内有零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．7．若函数f（x）＝log2x﹣kx在区间[1，+∞）有零点，则实数k的取值范围是（）A．（0，] B．[0，] C．（，] D．[，]8．已知函数f（x）＝sin2x的图象与直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（）A．﹣2 B． C．0 D．19．已知函数，设1≤x1＜x2＜…＜x n≤16，若|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，则M的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数根a，b，c，则a+b+c的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）11．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2] B．[1，2）C．[0，1] D．[0，1）12．已知函数f（x）＝，当x∈[m，+∞）时，f（x）的取值范围为（﹣∞，e+2]，则实数m的取值范围是（）A．（] B．（﹣∞，1] C．[] D．[ln2，1]13．已知函数f（x）＝（kx﹣2）e x﹣x（x＞0），若f（x）＜0）的解集为（s，t），且（s，t）中恰有两个整数，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．14．若函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣a（x∈[0，]）恰有三个不同的零点x1，x2，x3，则x+x2+x3的取值范围是（）1A．[，）B．[，）C．（，] D．（，]15．记函数f（x）＝e x﹣x﹣a，若曲线y＝﹣cos2x+2cos x+1上存在点（x0，y0）使得f（y0）＝y0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，e2﹣4）B．[2﹣2ln2，e2﹣4] C．[2﹣2ln2，e﹣2+4] D．（﹣∞，e﹣2+4）16．若直线y＝a分别与直线y＝2x﹣3，曲线y＝e x﹣x（x≥0）交于点A，B，则|AB|的最小值为（）A．6﹣3ln3 B．3﹣ln3 C．e D．0.5e17．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝ax有四个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（，e）18．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．，B．， C．[﹣1， D．[0，3]19．已知函数f（x）＝的图象上存在两个点关于y轴对称，则实数m的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（1，2）D．（0，1）20．已知函数只有一个零点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．21．已知函数，则方程f（x）＝kx+1有3个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．C．D．（0，+∞）22．已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）＝f（b），则实数2a+b的取值范围是（）A．[3+2，+∞）B．（3+2，+∞）C．[6，+∞）D．（6，+∞）23．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6 B．7 C．8 D．924．函数在区间[﹣3，4]上零点的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．825．已知函数f（x）＝，g（x）＝（其中e为自然对数的底数）．当k∈（0，﹣）时，函数h（x）＝f[g（x）]﹣k的零点个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个26．已知a∈Z，若m∈（0，e），x1，x2∈（0，e），且x1≠x2，使得，则满足条件的a的取值个数为（）A．5 B．4 C．3 D．227．已知函数．若方程f（x）﹣a＝0恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．28．已知函数f（x）＝，当a＜0时，方程f2（x）﹣2f（x）+a＝0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．﹣15≤a＜﹣8 B．C．﹣15＜a＜﹣8 D．29．已知函数，m，n满足f（m2﹣2n）+f（n2﹣2m）≥0，则|m+7n+4|的取值范围是（）A．[2，12] B．[2，22] C．[12，22] D．30．已知函数（e为自然对数的底），若方程f（﹣x）+f（x）＝0有且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，2e）D．（2e，+∞）31．设函数f（x）＝，则函数g（x）＝f（x）﹣ln（x+e2）的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个32．已知定义域为R的函数的满足f（x）＝4f（x+2），当x∈[0，2）时，，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为，且{a n}的前n项和为S n，若S n＜k对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（）A．（，+∞）B．[，+∞）C．[2，+∞）D．[，+∞）33．设函数，则f（﹣2）+f（log22019）＝（）A．1011 B．1010 C．1009 D．101234．已知函数f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1+x2的最大值为（）A．B．2ln2﹣C．3ln2﹣2 D．ln2﹣135．已知定义在非零实数集上的奇函数y＝f（x），函数y＝f（x﹣2）与的图象共有4个交点，则该4个交点横坐标之和为（）A．2 B．4 C．6 D．836．设函数，若函数g（x）＝f2（x）+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3＝（）A．12 B．11 C．6 D．337．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足，若函数F（x）＝f（x）﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．38．已知函数，g（x）＝f（x）﹣ax，若函数g（x）恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（﹣∞，﹣1） D．（7，+∞）39．函数f（x）对于任意实数x，都有f（﹣x）＝f（x）与f（1+x）＝f（1﹣x）成立，并且当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则方程f（x）﹣＝0的根的个数是（）A．2020 B．2019 C．1010 D．100940．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（x）+a（a∈R）有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是．参考答案与试题解析题型一：函数与方程1．定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于（）A．0 B．2 C．8 D．10【解答】解：对于f2（x）+bf（x）+c＝0来说，f（x）最多只有2解，又当x不等于2时，x最多四个解，不满足题中的条件．而题目要求5解，即可推断f（2）必为方程的一解．假设f（x）的一个解为A，得f（x）＝|x﹣2|＝A，推出x1＝2+A，x2＝2﹣A，∴x1+x2＝4．同理可得x3+x4＝4，∴x1+x2+x3+x4+x5＝4+4+2＝10，∴f（x1+x2+x3+x4+x5）＝f（10）＝|10﹣2|＝8，故选：C．2．设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），则x1+4x2的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（4，+∞）C．[5，+∞）D．（5，+∞）【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a ＞1），可知x1是方程的解；x2是方程的解；则x1，x2分别为函数的图象与函数y＝y＝a x和函数y＝log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝a x和y＝log a x以及的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以，有x1x2＝1，而x1≠x2则x 1+4x2＝x1+x2+3x2≥＞2+3＝5即x1+4x2∈（5，+∞）故选：D．3．已知函数f（x）＝若F（x）＝f（x）+m有两个零点x1，x2，则x1x2的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，0）C．[e，0] D．[﹣l，0]【解答】解：作出f（x）的图象，F（x）＝f（x）+m有两个零点，即f（x）＝﹣m有两个不等实根x1，x2，即为﹣m＝x1+1＝lnx2，可得x1＝﹣m﹣1，x2＝e﹣m，m≥﹣1，则x1x2＝（﹣m﹣1）e﹣m，可设g（m）＝（﹣m﹣1）e﹣m，g′（m）＝me﹣m，由m＞0时，g′（m）＞0，g（m）递增，﹣1≤m＜0时，g′（m）＜0，g（m）递减，即m＝0处g（m）取得极小值，且为最小值﹣1，又x1x2≤0，即有x1x2的范围是[﹣1，0]．故选：D．4．已知函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）在R上单调递增，且关于x的方程|f（x）|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（，] B．（0，]∪{}C．[，）∪{} D．[，]∪{}【解答】解：∵f（x）是R上的单调递增函数，∴y＝1+log a|x﹣1|在（﹣∞，0]上单调递增，可得0＜a＜1，且0+4a≥1+0，即≤a＜1，作出y＝|f（x）|和y＝x+3的函数草图如图所示：由图象可知|f（x）|＝x+3在（0，+∞）上有且只有一解，可得4a≤3，或x2+4a＝x+3，即有△＝1﹣4（4a﹣3）＝0，即有≤a≤或a＝；由1+log a|x﹣1|＝0，解得x＝1﹣≤﹣3，即x≤0时，有且只有一解．则a的范围是[，]∪{}．故选：D．5．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，画出函数f（x）＝的图象如下图所示：f（x）﹣2g（x）恰有三个零点即f（x）＝2g（x）有三个不同交点，即f（x）＝2mx有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在k OA，k OB之间时，有三个交点即k OA＜2m＜k OB所以﹣可得故选：A．6．已知函数f（x）＝lnx﹣x3+2ex2﹣（a+e2）x在定义域内有零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣x3+2ex2﹣（a+e2）x的定义域为（0，+∞），令lnx﹣x3+2ex2﹣（a+e2）x＝0，得＝x2﹣2ex+ax+e2；设g（x）＝，则g′（x）＝，则当0＜x＜e时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（0，e）上单调递增；当x＞c时，g′（x）＜0，∴g（x）在区间（e，+∞）上单调递减；∴x＝e时，函数g（x）取得最大值为g（x）max＝g（e）＝；设h（x）＝x2﹣2ex+a+e2＝（x﹣e）2+a，则当x＝e时，h（x）取得最小值为h（x）min＝h（e）＝a；要使f（x）在定义域内有零点，则h（x）min≤g（x）max，即a≤，∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．故选：B．7．若函数f（x）＝log2x﹣kx在区间[1，+∞）有零点，则实数k的取值范围是（）A．（0，] B．[0，] C．（，] D．[，]【解答】解：根据题意，函数f（x）＝log2x﹣kx在区间[1，+∞）有零点等价于函数y＝log2x的图象与直线y＝kx在[1，+∞）有交点，设过原点的直线y＝kx与y＝log2x（x∈[1，+∞））的图象相切于点A（x0，y0），由y′＝，可得过原点的直线y＝kx与y＝log2x（x∈[1，+∞））的图象相切于点A的切线方程为：y﹣log2x＝，又此直线过点（0，0），所以x0＝e，即y′|＝，即过原点的直线y＝kx与y＝log2x（x∈[1，+∞））的图象相切于点A的切线方程为：y＝x，由图可知函数y＝log2x的图象与直线y＝kx在[1，+∞）有交点时，实数k的取值范围是0，故选：B．8．已知函数f（x）＝sin2x的图象与直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，则（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（）A．﹣2 B．C．0 D．1【解答】解：由题意得直线2kx﹣2y﹣kπ＝0（k＞0）过定点（，0），且斜率k＞0，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，所以x3+x1＝π；x2＝，f′（x）＝2cos2x，则切线方程过点（x1，sin2x1），（x2，sin2x2），所以2（2x3﹣π）cos2x3＝ 2sin2x3，，而（x1﹣x2）tan（x2﹣2x3）＝（﹣x3）tan（﹣2x3）＝（π﹣2x3）cot2x3＝﹣．故选：B．9．已知函数，设1≤x1＜x2＜…＜x n≤16，若|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，则M的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由，得f（1）＝1，f（2）＝0，f（16）＝3．∵1≤x1＜x2＜…＜x n≤16，∴|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤|f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x3）+…+f（x n﹣1）﹣f（x n）|＝|f（x n）﹣f（x1）|≤|f（16）﹣f（2）|＝|3﹣0|＝3．又|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤M，则M的最小值为3．故选：A．10．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个不同的实数根a，b，c，则a+b+c的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【解答】解：作图可得，a，b+c＝2，所以a+b+c∈（），故选：D．11．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2] B．[1，2）C．[0，1] D．[0，1）【解答】解：f（f（x））＝，画出函数图象，因为关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，x1，x2，所以x1＜0，x2＞2，∴0≤m＜1．故选：D．12．已知函数f（x）＝，当x∈[m，+∞）时，f（x）的取值范围为（﹣∞，e+2]，则实数m的取值范围是（）A．（] B．（﹣∞，1] C．[] D．[ln2，1]【解答】解：当x≥ln2时，f（x）＝（x﹣2）（x﹣e x）+3的导数为f′（x）＝（x﹣1）（2﹣e x），当ln2≤x≤1时，f′（x）≤0，f（x）递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＝1处f（x）取得极大值2+e，作出y＝f（x）的图象，由当x∈[m，+∞）时，f（x）的取值范围为（﹣∞，e+2]，由3﹣2x＝2+e，可得x＝，可得≤m≤1．故选：C．13．已知函数f（x）＝（kx﹣2）e x﹣x（x＞0），若f（x）＜0）的解集为（s，t），且（s，t）中恰有两个整数，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）＝（kx﹣2）e x﹣x＜0，得（kx﹣2）e x＜x，即kx﹣2＜，（x＞0），设h（x）＝，（x＞0），h′（x）＝＝，由h′（x）＞0得0＜x＜1，函数h（x）为增函数，由h′（x）＜0得x＞1，函数h（x）为减函数，即当x＝1时，f（x）取得极大值，极大值为h（1）＝，要使kx﹣2＜，（x＞0），在s，t）中恰有两个整数，则k≤0时，不满足条件．则k＞0，当x＝2时，h（2）＝，当x＝3时，h（3）＝，即A（2，），B（3，），则当直线g（x）＝kx﹣2在A，B之间满足条件，此时两个整数解为1，2，此时满足，即得，即+≤k＜1+，即k的取值范围是[+，1+），故选：D．14．若函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣a（x∈[0，]）恰有三个不同的零点x1，x2，x3，则x+x2+x3的取值范围是（）1A．[，）B．[，）C．（，] D．（，]【解答】解：设t＝2x﹣，因为x∈[0，]，所以t∈[﹣，2π]，则g（t）＝cos t，t∈[﹣，2π]，函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣a（x∈[0，]）恰有三个不同的零点x1，x2，x3等价于y ＝g（t）与直线y＝a有三个不同的交点，由图可知：t2+t3＝2π，t1∈[﹣，0），即2x2+2x3＝2π，2x1∈[﹣，0），即x2+x3＝，x1∈[0，），所以x1+x2+x3∈[，），故选：A．15．记函数f（x）＝e x﹣x﹣a，若曲线y＝﹣cos2x+2cos x+1上存在点（x0，y0）使得f（y0）＝y0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，e2﹣4）B．[2﹣2ln2，e2﹣4]C．[2﹣2ln2，e﹣2+4] D．（﹣∞，e﹣2+4）【解答】解：y＝﹣cos2x+2cos x+1＝﹣（cos x﹣1）2+2，∵﹣1≤cos x≤1，∴﹣2≤y≤2，即﹣2≤y0≤2，若f（y0）＝y0，有解，等价为f（x）＝x，在﹣2≤x≤2上有解，即e x﹣x﹣a＝x，即a＝e x﹣2x在﹣2≤x≤2上有解，设h（x）＝e x﹣2x，则h′（x）＝e x﹣2，由h′（x）＞0得ln2＜x≤2，h（x）为增函数，由h′（x）＜0得﹣2≤x＜ln2，h（x）为减函数，即当x＝ln2时，函数取得极小值同时也是最小值h（ln2）＝2﹣2ln2，h（2）＝e2﹣4，h（﹣2）＝e﹣2+4，则h（﹣2）最大，即2﹣2ln2≤h（x）≤e﹣2+4，要使a＝e x﹣2x在﹣2≤x≤2上有解，则2﹣2ln2≤a≤e﹣2+4，即实数a的取值范围是[2﹣2ln2，e﹣2+4]，故选：C．16．若直线y＝a分别与直线y＝2x﹣3，曲线y＝e x﹣x（x≥0）交于点A，B，则|AB|的最小值为（）A．6﹣3ln3 B．3﹣ln3 C．e D．0.5e【解答】解：作出两个曲线的图象如图，设A（x1，a），B＝（x2，a），则x1＞x2，则2x1﹣3＝e﹣x2，即x1＝（e﹣x2+3），则|AB|＝x1﹣x2＝（e﹣x2+3）﹣x2＝（﹣3x2+e+3），设f（x）＝（e x﹣3x+3），x≥0，函数的导数f′（x）＝（﹣3+e x），由f′（x）＞0得x＞ln3，f（x）为增函数，由f′（x）＜0得0≤x＜ln3，f（x）为减函数，即当x＝ln3时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln3）＝（3+3﹣3ln3）＝3﹣ln3，故选：B．17．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝ax有四个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（，e）【解答】解：方程f（x）＝ax有四个不等的实数根等价于y＝g（x）＝的图象与直线y＝a有4个交点，①当x＞0时，g′（x）＝，易得y＝g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，②当x＜0时，g′（x）＝2x＝，易得y＝g（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，在（﹣1，0）为增函数，综合①②得y＝g（x）的图象与直线y＝a的图象的位置关系如图所示，则实数a的取值范围是0＜a＜1，故选：B．18．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1有且仅有两个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．，B．，C．[﹣1，D．[0，3]【解答】解：要使方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1则当且仅当f（x）﹣a≥0，且f （x）﹣a﹣1≤0时，方程等价为f（x）﹣a﹣f（x）+a+1＝1，即f（x）≥a，且f（x）≤a+1，得a≤f（x）≤a+1，即f（x）的图象夹在平行直线y＝a和y＝a+1之间的部分只有两个整数解．作出函数f（x）的图象如图：∵f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，∴要使a≤f（x）≤a+1的整数解只有两个，则其中一个整数解为x＝0，另外一个整数解为﹣1，即满足，得，即﹣≤a＜，即实数a的取值范围是[﹣，），故选：A．19．已知函数f（x）＝的图象上存在两个点关于y轴对称，则实数m的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（1，2）D．（0，1）【解答】解：函数f（x）＝的图象上存在两个点关于y轴对称，即函数y＝﹣x2+m的图象关于y轴对称变换后，与y＝e x+，x＞0的图象有交点，即方程e x+＝﹣x2+m有正根，也即方程m＝e x++x2有正根；令g（x）＝e x++x2，x＞0，则g′（x）＝e x﹣e﹣x+2x，令h（x）＝e x﹣e﹣x+2x，x＞0，则h′（x）＝e x+e﹣x+2＞0恒成立，∴h（x）是单调增函数，则g′（x）＞g′（0）＝1﹣1+0＝0，∴g（x）是单调增函数，∴g（x）＞g（0）＝1+1+0＝2，∴m的取值范围是（2，+∞）．故选：B．20．已知函数只有一个零点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝只有一个零点，∴xlnx+a＝0只有一解，即a＝﹣xlnx只有一解．设g（x）＝﹣xlnx（x＞0），则g′（x）＝﹣lnx﹣1＝﹣（lnx+1），∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当x＝时，g（x）取得最大值g（）＝．且当x→0时，g（x）→0，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，∵a＝g（x）只有一解，∴a≤0或a＝．故选：C．21．已知函数，则方程f（x）＝kx+1有3个不同的实根，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．C．D．（0，+∞）【解答】解：∵f（x）＝kx+1恒过点（0，1），代入，得．令，解得或（舍去），又易知y＝e x在（0，1）处的切线的斜率为1．则当时，f（x）＝kx+1有3个不同的实根；当时，f（x）＝kx+1有2个不同的实根；当时，f（x）＝kx+1有1个或没有的实根；当k≤0时，f（x）＝kx+1有2个不同的实根．故选：B．22．已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）＝f（b），则实数2a+b的取值范围是（）A．[3+2，+∞）B．（3+2，+∞）C．[6，+∞）D．（6，+∞）【解答】解：∵f（x）＝|lg（x﹣1）|，∵f（a）＝f（b），∴|lg（a﹣1）|＝|lg（b﹣1）|，又∵1＜a＜b，∴﹣lg（a﹣1）＝lg（b﹣1），∴lg（a﹣1）+lg（b﹣1）＝0∴（a﹣1）（b﹣1）＝1，整理可得，ab＝a+b，∴则2a+b＝（2a+b）（）＝3当且仅当且即a＝1+，b＝时取等号∴2a+b的取值范围是[3+2，+∞）故选：A．23．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t ＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C．24．函数在区间[﹣3，4]上零点的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：设g（x）＝1+x﹣+﹣+…﹣+，则g′（x）＝1﹣x+x2﹣x3+…+x2018＝，在区间[﹣3，4]上，＞0，故函数g（x）在[﹣3，4]上是增函数，由于g（﹣3）式子中右边x的指数为偶次项前为负，奇数项前为正，结果必负，即g（﹣3）＜0，且g（4）＝1+4+（﹣+）+（﹣+）+…+（﹣+）＞0，故在[﹣3，4]上函数g（x）有且只有一个零点．又y＝cos2x在区间[﹣3，4]上有±，±，五个零点，且与上述零点不重复，∴函数f（x）＝（1+x﹣+﹣+…﹣+）cos2x在区间[﹣3，4]上的零点的个数为1+5＝6．故选：C．25．已知函数f（x）＝，g（x）＝（其中e为自然对数的底数）．当k∈（0，﹣）时，函数h（x）＝f[g（x）]﹣k的零点个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：函数f（x）＝2|x|﹣x2为偶函数，且f（x）的最大值为1，作出f（x）的图象；由g（x）＝的导数为g′（x）＝，可得x＞﹣1时，g（x）递增，x＜﹣2或﹣2＜x＜﹣1时，g（x）递减，x＝﹣1取得极小值，作出g（x）的图象，函数h（x）＝f[g（x）]﹣k的零点个数，即为f[g（x）]＝k的解的个数，可令t＝g（x），k＝f（t），若k∈（0，﹣），则k＝f（t）有4解，两个负的，两个正的（一个介于（0，），一个大于1），则t＝g（x）有4解，符合题意．故选：B．26．已知a∈Z，若m∈（0，e），x1，x2∈（0，e），且x1≠x2，使得，则满足条件的a的取值个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：令f（x）＝ax﹣lnx（0＜x＜e），（m﹣）2+3＝t，则t＝f（x）恒有两解，故f（x）在（0，e）上不单调，f′（x）＝a﹣，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，不符合题意；当a＞0，令f′（x）＝0可得x＝，故当≥e时，f（x）为单调函数，不符合题意；故0＜＜e．∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，e）时，f′（x）＞0，∴当x＝时，f（x）取得最小值f（）＝1+lna，且x→0时，f（x）→+∞，x→e时，f（x）→ae﹣1，∵t＝f（x）恒有两解，∴1+lna＜t＜ae﹣1恒成立，又m∈（0，e），t＝（m﹣）2+3∴3≤t＜5，∴，解得：≤a＜e2．∵a∈Z，∴a的取值范围为{3，4，5，6，7}．故选：A．27．已知函数．若方程f（x）﹣a＝0恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝＝，令f′（x）≥0可得，0，函数f（x）在（0，）上单调递增，令f′（x）＜0可得，x，函数f（x）在（，+∞）上单调递减，当x＝时，函数f（x）取极大值，也即为最大值f（）＝，又∵x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）＞0，若方程f（x）＝a恰有两个不同的实数根，则0＜a＜故选：A．28．已知函数f（x）＝，当a＜0时，方程f2（x）﹣2f（x）+a＝0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．﹣15≤a＜﹣8 B．C．﹣15＜a＜﹣8 D．【解答】解：令t＝f（x），则方程f2（x）﹣2f（x）+a＝0可转化为t2﹣2t+a＝0，设方程t2﹣2t+a＝0的解为t＝t1，t＝t2，则方程f2（x）﹣2f（x）+a＝0有4个不相等的实数根等价于t＝f（x）的图象与直线t＝t，t＝t2的交点共4个，1由函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2的位置关系可得：﹣3≤t1，设g（t）＝t2﹣2t+a，则，解得：﹣15≤a＜﹣8，故选：A．29．已知函数，m，n满足f（m2﹣2n）+f（n2﹣2m）≥0，则|m+7n+4|的取值范围是（）A．[2，12] B．[2，22]C．[12，22] D．【解答】解：由题意，，可得f（x）为奇函数，又f（x）是R上的减函数，故f（m2﹣2n）+f（n2﹣2m）≥0f（m2﹣2n）≥﹣f（n2﹣2m）＝f（2m﹣n2）m2﹣2n≤2m﹣n2（m﹣1）2+（n﹣1）2≤2，所以满足条件的（m，n）表示的区域是圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2的内部（含边界），则点（m，n）到直线x+7y+4＝0的距离，则（﹣）≤|m+7n+4x≤（+），即12﹣10≤|m+7n+4x≤12+10，即2≤|m+7n+4x≤22，所以|m+7n+4|的取值范围是[2，22]，故选：B．30．已知函数（e为自然对数的底），若方程f（﹣x）+f（x）＝0有且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是（）A．（0，e）B．（e，+∞）C．（0，2e）D．（2e，+∞）【解答】解：设F（x）＝f（x）+f（﹣x），可得F（﹣x）＝F（x），即有F（x）为偶函数，由题意考虑x＞0时，F（x）有两个零点，当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e x﹣mx+，即有x＞0时，F（x）＝xe x﹣e x+e x﹣mx+＝xe x﹣mx+，由F（x）＝0，可得xe x﹣mx+＝0，由y＝xe x，y＝m（x﹣）相切，设切点为（t，te t），y＝xe x的导数为y′＝（x+1）e x，可得切线的斜率为（t+1）e t，可得切线的方程为y﹣te t＝（t+1）e t（x﹣t），由切线经过点（，0），可得﹣te t＝（t+1）e t（﹣t），解得t＝1或﹣（舍去），即有切线的斜率为2e，由图象可得m＞2e时，直线与曲线有两个交点，综上可得m的范围是（2e，+∞）．故选：D．31．设函数f（x）＝，则函数g（x）＝f（x）﹣ln（x+e2）的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣ln（x+e2）的零点个数即为g（x）＝0，即y＝f（x）和y＝ln（x+e2）的图象交点个数，作出y＝f（x）的图象和y＝ln（x+e2）的图象，可得它们共有3个交点，即零点个数为3．故选：C．32．已知定义域为R的函数的满足f（x）＝4f（x+2），当x∈[0，2）时，，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为，且{a n}的前n项和为S n，若S n＜k对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为（）A．（，+∞）B．[，+∞）C．[2，+∞）D．[，+∞）【解答】解：当x∈[0，2）时，，可得0≤x＜1时，f（x）的最大值为f（）＝；1＜x≤2时，f（x）的最大值为f（）＝1，即有0≤x＜2时，f（x）的最大值为；当2≤x＜4时，f（x）＝f（x﹣2）的最大值为；当4≤x＜8时，f（x）＝f（x﹣2）的最大值为；…可得{a n}为首项为，公比为的等比数列，可得S n＝＝（1﹣）＜，由S n＜k对任意的正整数n均成立，可得k≥．故选：B．33．设函数，则f（﹣2）+f（log22019）＝（）A．1011 B．1010 C．1009 D．1012【解答】解：根据题意，10＝log21024＜log22019＜11＝log22048，则f（log22019）＝＝，f（﹣2）＝+log2（2+2）＝，则f（﹣2）+f（log22019）＝+＝1012，故选：D．34．已知函数f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1+x2的最大值为（）A．B．2ln2﹣C．3ln2﹣2 D．ln2﹣1【解答】解：设x1＜x2，当x＜0时，f（x）＝2x2，f（x）单调递减，不存在x1＜x2＜0，使得f（x1）＝f（x2），当x≥0时，f（x）＝e x，f（x）单调递增，不存在0≤x1＜x2，使得f（x1）＝f（x2），∴x1＜0≤x2，令2x12＝e＝t，t≥1，则x1＝﹣，x2＝lnt，x1+x2＝lnt﹣，设g（t）＝lnt﹣，t≥1，则g′（t）＝﹣＝，令g′（t）＝0，解得t＝8，当1≤t＜8时，g′（t）＞0；当t＞8时，g′（t）＜0，则g（t）在[1，8）上单调递增，在（8，+∞）上单调递减，可得g（t）max＝g（8）＝ln8﹣2＝3ln2﹣2．故选：C．35．已知定义在非零实数集上的奇函数y＝f（x），函数y＝f（x﹣2）与的图象共有4个交点，则该4个交点横坐标之和为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：函数f（x）为奇函数，则函数f（x﹣2）关于点（2，0）对称，函数也关于点（2，0）对称，所以四个交点的横坐标之和为8，故选：D．36．设函数，若函数g（x）＝f2（x）+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3＝（）A．12 B．11 C．6 D．3【解答】解：作出函数f（x）的图象如图所示，由图可得关于x的方程f（x）＝t的解有两个或三个（t＝1时有三个，t≠1时有两个），所以关于t的方程t2+bt+c＝0只能有一个根t＝1（若有两个根，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有四个或五个根），由f（x）＝1，可得x1，x2，x3的值分别为1，2，3，x1x2+x2x3+x1x3＝1×2+2×3+1×3＝11．故选：B．37．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足，若函数F（x）＝f（x）﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，若函数F（x）＝f（x）﹣m有6个零点，∴等价为当x＞0时，函数F（x）＝f（x）﹣m有3个零点，且0不是函数F（x）＝f（x）﹣m的零点，即当x＞0时，f（x）＝m有3个根，当0≤x＜1时，f（x）＝x2﹣＝（x﹣）2﹣，当x≥1时，f（x）＝，则f′（x）＝＝当x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数，即当x＝2时，函数f（x）为极大值，极大值为f（2）＝，当x≥1时，f（x）≥0，作出f（x）在x≥0时的图象如图，要使y＝m与y＝f（x）在x≥0时有三个交点，则0＜m＜，即实数m的取值范围是（0，），故选：C．38．已知函数，g（x）＝f（x）﹣ax，若函数g（x）恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，﹣1）D．（7，+∞）【解答】由g（x）＝f（x）﹣ax＝0得f（x）＝ax，若函数g（x）恰有三个不同的零点，则等价为f（x）与y＝ax有三个不同的交点，∵f（x）＝x2+3x+4＝（x+）2+，∴当a≥0，两个函数只有一个交点，不满足条件．∴a＜0，要使f（x）与y＝ax有三个不同的交点，则等价为当x＞a时，y＝ax与y＝﹣x﹣1，有一个交点，此时a＜﹣，当x≤a时，y＝ax与f（x）＝x2+3x+4有两个交点，则当y＝ax与f（x）＝x2+3x+4相切时，f（x）＝x2+3x+4＝ax．即x2+（3﹣a）x+4＝0，则判别式△＝（3﹣a）2﹣16＝0得a﹣3＝4或a﹣3＝﹣4，则a＝7（舍）或a＝﹣1，当x＝a时，f（a）＝a2+3a+4，即A（a，a2+3a+4），当y＝ax过点A时，直线y＝ax与f（x）有两个交点，此时a2+3a+4＝a•a＝a2，得3a+4＝0得a＝﹣，要使当x≤a时，y＝ax与f（x）＝x2+3x+4有两个交点，则满足﹣≤a＜﹣1，又a＜﹣，∴﹣≤a＜﹣，即实数a的取值范围是[﹣，﹣），故选：B．39．函数f（x）对于任意实数x，都有f（﹣x）＝f（x）与f（1+x）＝f（1﹣x）成立，并且当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则方程f（x）﹣＝0的根的个数是（）A．2020 B．2019 C．1010 D．1009【解答】解：由函数f（x）对于任意实数x，都有f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，又f（1+x）＝f（1﹣x）成立，所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，联立f（﹣x）＝f（x）与f（1+x）＝f（1﹣x）可得f（x）＝f（2+x），即函数f（x）为周期为2的周期函数，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝在[0，1]有两个交点，在（1，3]有两个交点，在（3，5]有两个交点…在（2017，2019]有两个交点，在（2019，+∞）无交点，在（﹣∞，0）无交点，即交点个数为2020，故选：A．40．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（x）+a（a∈R）有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是[0，e] ．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：则当﹣2≤x≤0时，抛物线的对称轴为x＝﹣1，若函数g（x）＝f（x）+a有三个不同的零点x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，即g（x）＝f（x）+a＝0，f（x）＝﹣a有三个不同的根，则0≤﹣a＜1，即﹣1＜a≤0，当x≤0时，﹣x2﹣2x+a＝0，即x2+2x﹣a＝0，则x1x2＝﹣a，当x＞0时，由lnx3+a＝0，得lnx3＝﹣a，即x3＝e﹣a，则x1•x2•x3＝﹣ae﹣a，设g（a）＝﹣ae﹣a，﹣1＜a≤0，则导数g′（a）＝﹣e﹣a+ae﹣a＝e﹣a（a+1），则当﹣1≤a≤0时，g′（a）≤0恒成立，即此时函数g（a）为减函数，则g（0）＝0，g（﹣1）＝e，即0≤g（a）≤e，即0≤x1•x2•x3≤e，即x1•x2•x3的取值范围是[0，e]，故答案为：[0，e]．。
2020全国高考数学考点题型分类与解析01 集合
7
.A .
A.
（ •上海卷）已知集合 ， ，求 10. 2020
A = {1, 2, 4} B = {2, 3, 4} A I B = _______
【答案】{2, 4}
4/4
=
p1i , i
= 1, 2,3, 4
q
=
pi+3 1
,
i
= 1, 2, 3, 4
即 { } ，故{ } ， q ∈ p13, p14 , p15, p16 , p17
p13 , p14 , p15 , p16 , p17 = T
此时 即 中有 个元素 故 正确 故选： { } S ∪T = p1, p12, p13, p14, p14, p15, p16, p17 S U T
x + y = 8 (1,7),(2, 6), (3,5),(4, 4)
故 AI B中元素的个数为 4.故选：C.
（ •江苏卷）已知集合 ，则 5. 2020
A = {−1, 0,1, 2}, B = {0, 2, 3} A I B = _____.
【答案】{0, 2}
【解析】∵ A = {−1,0,1,2}, B = {0, 2,3} ∴ AI B = {0, 2} ,故答案为：{0, 2}.
p1 p2 , p2 p4 ∈T
p4 ∈ S p1
同理 ， ， ， ， ， p4 ∈ S p4 ∈ S p3 ∈ S p3 ∈ S p2 ∈ S
p2
p3
p2
p1
p1
若 ，则 ，则 ，故 即 ， p1 =1 p2 ≥ 2
p3 p2
<
p3
p3 p2
=
p2
p3 = p22
2020高考数学专题一：集合各类题型汇编讲义,高考真题及答案
一、高考考试要求：有关集合的高考试题考查重点是集合与集合之间的关系近年试题加强了对集合的计算化简的考查并向无限集发展多以小題形式出现也会渗透在解答题之中相对独立。
具体理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；③空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.[注]：①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A=，则CsA= {0}）③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS（CAB）= D（注：CAB = ）.3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1)n∈Z}为偶数集{x|x=4n±1n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合ABC若A⊆BB⊆C则A⊆C(真子集也满足);④若A⊆B则有A=⌀和A≠⌀两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).1.主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：结合律:分配律:.0-1律：等幂律：求补律：A∩CUA=φ A∪CUA=U ðCUU=φ ðCUφ=U反演律：CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (C UA)∩(CUB)题组一常识题1．若集合A＝{－101}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{01} D．{0，－1}【答案】C【解析】因为B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{01}，所以A∩B＝{01}．2．设集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合=集合则。
2020届高考数学三轮小专题《7.9 反证法与数学归纳法》典例导引+课后精练(无答案)
§7.9 反证法与数学归纳法【典题导引】例1．已知数列{}n a 满足11a =，且11429n n n n a a a a ++-+=()n *∈N ． （1）求2a ，3a ，4a ；（2）由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3）用数学归纳法证明（2）的结果．例2．设数列{}n a 满足110a -<<，*1ln(2),n n n a a a n N +=-+∈．（1）求证：10n a -<<，*n N ∈； （2）求证：数列{}n a 为递减数列．例3．已知函数0()cx d f x ax b+=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论．例4．已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，记()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求122()()222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式1()()444n n nf f πππ-+成立．【课后巩固】1．设i 为虚数单位，*n N ∈，R θ∈，求证：(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+．2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：112n n na S a =+-，且0n a >，n ∈N ＋. (1)求123,,a a a ，并猜想{}n a 的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．3．已知函数1()sin2xf x =，x ∈R ，记1()n f x +为()n f x 的导数，n *∈N ． （1）求2()f x ，3()f x ；（2）猜想()n f x ，n *∈N 的表达式，并证明你的猜想．4．已知函数31()3f x x x =-，数列{}n a 满足条件：11a ≥，1(1)n n a f a +'≥+．试比较12311111111n a a a a ++++++++L 与1的大小，并说明理由．5．试证明：不论正数,,a b c 是等差数列还是等比数列，均有：2n n n a c b +≥*()n N ∈.6．已知数列{}n a 满足：1N a *∈，136a ≤，121823618n n n nn a a a a a +≤⎧=⎨->⎩，，，(1,2,)n =L ．记集合N {}n a n M *∈=．（1）若16a =，写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数．7．记11(1)()()2x x x n+⨯+⨯⨯+L （2n ≥且*n ∈N ）的展开式中含x 项的系数为n S ，含2x 项的系数为n T ．（1）求n S ；（2）若2nnT an bn c S =++，对2,3,4n =成立，求实数a b c ,,的值； （3）对（2）中的实数a b c ,,，用数学归纳法证明：对任意2n ≥且*n ∈N ，2n nT an bn c S =++都成立．8．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列．在{}n a 的每相邻两项之间插入这两项的算术平 均数，得到新数列{(1)}n a ，这样的操作叫做该数列的1次“A ”扩展．连续m 次“A ” 扩展，得到新数列{()}n a m ．例如：数列1，2，3第1次“A ”扩展后得到数列1，32，2，52，3；第2次“A ”扩展后得到数列1，54，32，74，2，94，52，114，3．（1）已知{}n a 共有10项，且21n a n =-．记{()}n a m 的所有项的和为()n S m ，求(1)n S ，(2)n S 的值；（2）求证：{()}n a m 为等差数列，并求其公差m d ．。
2020届高考数学：解三角形常见题型及技巧 学案(含习题)
高考解三角形常见题型及技巧【基础知识】1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。
变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。
变式2：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。
2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
（边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。
变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。
变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边）(1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理(2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin Aa 。
(3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。
4．三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h 。
(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R 。
(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)。
5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。
2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2。
2020年高考数学新课标一卷
2020年高考数学新课标一卷2020年的高考数学新课标一卷是全国各地高中毕业生参加高考的必考科目之一。
作为一项重要的考试，高考数学考试对考生的数学基础、逻辑思维能力和解题能力都提出了较高的要求。
本文将围绕2020年高考数学新课标一卷的题目进行分析和解答。
一、选择题部分选择题是高考数学考试的常见题型，也是考察考生对数学知识点的理解和应用能力。
以下是2020年高考数学新课标一卷中的一道选择题：题目：已知集合 A = {x | -2 ≤ x ≤ 2}，集合 B = {y | y = x^2}，则A ∩ B = （）A. [-2, 2]B. {0}C. (-∞, 2]D. [-2, 2)解析：首先，根据题目给出的条件，集合 A 表示 x 的取值范围在-2到2之间。
集合 B 表示 y 等于 x 的平方，即 y = x^2。
要求A ∩ B，即求出满足同时属于 A 和B 的元素。
因为集合 A 和集合 B 的元素都是实数，所以我们需要找到满足 -2 ≤ x ≤2 且 y = x^2 的解。
根据条件 y = x^2，我们可以列出方程 x^2 = x^2，整理得到 x^2 - x^2 = 0，进一步得到 x(x - 1)(x + 1) = 0。
解这个方程得到 x = -1，0，1。
因此，满足条件的 x 值为 -1，0，1，对应的 y 值分别为 1，0，1。
所以A ∩ B= {0}，选项 B 正确。
二、解答题部分解答题是高考数学考试中需要展示解题思路和运算过程的题型。
以下是2020年高考数学新课标一卷中的一道解答题：题目：已知函数 f(x) = x^2 + 2x，g(x) = x - 1，求函数 h(x) = f(g(x)) 的解析式。
解析：首先，我们需要将函数 g(x) 的解析式代入函数 f(x) 中，得到 h(x) =f(g(x)) = f(x - 1) = (x - 1)^2 + 2(x - 1)。
展开得到 h(x) = x^2 - 2x + 1 + 2x - 2 = x^2 - 1。
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2020高考数学题型归纳
1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几
何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题
(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几
何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通
过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分
析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂
直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻
辑思维能力和空间想象能力。
2.判定两个平面平行的方法：
(1)根据定义--证明两平面没有公共点;
(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个
平面;
(3)证明两平面同垂直于一条直线。
1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一
些简单的应用问题。
2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简
单的应用问题。
3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能
用它们解决一些简单的应用问题。
4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明
一些简单的问题。
5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。
6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计
算一些等可能性事件的概率。
7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加
法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
1.导数概念的理解。
2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大
值与最小值。复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行
了证明。
3.要能正确求导，必须做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的
求导法则，复合函数的求导法则。
(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分
解函数中应对哪个变量求导。
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