正弦信号的直接FFT参数估计与相位差分法对比研究
fft分离正弦余弦
fft分离正弦余弦# 快速傅立叶变换（FFT）：分离正弦和余弦信号## 概述快速傅立叶变换（FFT）是一种广泛应用于信号处理和频谱分析的算法，它能够高效地将信号从时域转换到频域。
其中，分离正弦和余弦信号是FFT算法中的一个重要应用场景。
本文将深入探讨如何利用FFT算法来分离正弦和余弦信号，并介绍相关的理论基础和实际应用。
## 正弦和余弦信号的特点在信号处理中，正弦和余弦信号是最常见的周期性信号之一。
它们具有以下特点：- 正弦信号：具有固定频率、振幅和相位的周期性信号。
在时域中呈现为波形振荡，频谱中只有一个峰值。
- 余弦信号：与正弦信号类似，但相位偏移90度，因此在时域中与正弦信号完全相同，在频谱中也具有相同的峰值。
## FFT算法原理快速傅立叶变换（FFT）是一种将离散信号从时域转换到频域的算法。
其基本原理是将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，通过计算这些正弦和余弦函数在频域上的振幅和相位来分析信号的频谱特性。
## 分离正弦和余弦信号的步骤### 步骤一：采样信号首先，需要采集到包含正弦和余弦信号的时域数据，并进行适当的采样以获取离散信号。
### 步骤二：应用FFT算法利用采集到的离散信号，应用FFT算法将信号从时域转换到频域。
这将得到信号在频域上的振幅和相位信息。
### 步骤三：识别正弦和余弦成分根据FFT得到的频谱信息，可以通过识别频谱中的峰值来确定正弦和余弦成分的频率、振幅和相位。
### 步骤四：分离信号成分根据识别到的正弦和余弦成分的频率、振幅和相位信息，可以将原始信号分解成独立的正弦和余弦信号。
## 实际应用场景分离正弦和余弦信号在许多领域都有重要的应用，包括但不限于：- 通信系统中的频谱分析和信号调制解调；- 音频处理中的音乐合成和音调识别；- 振动分析中的故障诊断和结构健康监测。
## 结论通过本文的介绍，我们了解了如何利用FFT算法来分离正弦和余弦信号，以及其在实际应用中的重要性。
正弦信号相位差
正弦信号相位差
相位差是两同频率信号之间相位角之差。
设正弦信号 f1(t)= A1 sin(wt+j1) , f2(t)= A2 sin(wt+j2) 则两信号的相位差为
F12= j1-j2 = (wt+j1) -( wt+ j2)= j1 - j2
两信号的相位关系有以下几种情况：
注意：
1．只有同频率的正弦信号才可以比较相位
2．在同一问题或同一电路中，可选定一个变量，令其初始相位为零，其余变量与它相比较。
称此变量为参考正弦量。
3．导前与落后是相对的。
一般限定相位差在2p范围内，取F=-p ~ +p。
例题
比较两正弦电压 u1(t)= Um1 sinwt 与 u2(t)= Um2 coswt 的相位。
u2(t)= Um2 sin(wt+ p/2)
F12= 0 - p /2 = - p /2
所以 u2 超前u1 且相位正交。
正弦信号的有效值
设正弦信号 i = Imsin(wt+j ) , 其有效值定义为(方均根）
有效值的物理意义是：若一个直流量(U或I), 与一个周期变化的交流量(u或i)在相同电阻上产生的平均功率相同, 则称这个直流量是这个交流量的有效值。
通常用不加下标的大写字母U或I代表正弦信号u或i的有效值。
相位判断法
相位判断法相位判断法是一种用于分析和处理信号的技术，尤其是在电子工程和信号处理领域中。
它涉及到确定两个或多个信号之间的相位关系，这对于理解信号的时域特性和频率特性至关重要。
以下是相位判断法的几种常见应用和技术细节：1. 相位比较：通过直接比较两个信号的相位，可以确定它们之间的相对位置。
这通常通过使用相位计或示波器完成，其中一个信号被用作参考，另一个信号与之比较。
2. 锁相环（PLL）：锁相环是一种反馈控制系统，它能够锁定输出信号的相位到输入信号的相位上。
通过比较两个信号的相位差，PLL可以生成一个与输入信号同频率且相位对齐的信号。
3. 数字信号处理（DSP）：在数字领域，相位判断可以通过离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）来实现。
这些变换可以将信号从时域转换到频域，在频域中分析信号的相位成分。
4. 零交叉检测：对于正弦波信号，相位可以通过检测信号从正到负或从负到正的零交叉点来估计。
每个周期内的零交叉点对应于固定的相位值。
5. 希尔伯特变换：希尔伯特变换是一种数学工具，可以从一个信号中提取出与其相位相反的信号。
这使得可以独立地分析原始信号的幅度和相位。
6. 相量法：在交流电路分析中，相量法通过将正弦波形表示为旋转的矢量（相量）来简化计算。
这种方法可以直接用来分析和判断电路中各组件间的相位关系。
7. 相位解缠：在多路信号传输系统中，信号可能会因为传输延迟或相位偏移而产生相位混乱，相位解缠算法可以用来恢复信号的正确顺序和相位关系。
相位判断法的准确性和可靠性对于确保信号同步、改善通信质量和提高控制系统的性能至关重要。
在实际应用中，选择合适的相位判断技术取决于信号的类型、所需的精确度以及系统的工作环境。
基于相位差分算法的参数估计研究
Ｗ ＡＮＧ Ｘｉ ，Ｚ ｎ ＨＡＯ Ｃ ｕ ｈ ｎ—ｈ ｉ ，Ｒ ｕ ＯＮＧ Ｊａ ｉｎ—ｇ ｎ ａｇ
（ ．Ｃ ｌ ｇ ｆｎ０ ａ ｏ ｎ ｏ ｍｕｉａｏ ｎ ｅｒ ｇ Ｈ ｒｉ ｎ ｎｅ ｎ ｎ ｅｓｙ １ ｏＩ ｅｏ Ｉｆ ｔ ｎａｄＣ ｍ ｎｃｔ ｎＥ ｎｅｉ ， ａｂｎＥ 百 ｅ ｇＵ ｉ ｒ ｔ， ｅ Ⅲｌｉ ｉ ｎ ｖ ｉ
Ｈａ ｂ ｎ Ｈｅ ｌｎ ａ ｇ ｌ Ｏ ｏ ｒ ｉ ｉ ｉ ｎ ５ ０ １，Ｃ ｉ ａ ｏ ｈｎ ；
２ ｈ ５ ｔ Ｉｓｔｔ ０ Ａ Ｉ Ｎ ｎ ｎ ｉ ｇｕ２ Ｏ ｏ ， ｈ ａ ．Ｔ ｅ８ １ ｈ ｎｔｕｅ ｆ ＳＣ， ａｊ ｇＪ ｎｓ １０ ７ Ｃ ｉ ） ｌ ｊ Ｃ ｉ ａ ｎ
ＡＢＳ ＴＲＡＣＴ： ｓ ｄ ｏ ｕ ｅ ｒ ｃ ｓｉ ｇ ｏ ｉ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｍｅ ｓ ｒ ｍｅ ｔ ｓｍｃｕ ｅ ｉ 小 ｌｌ ｃ ａ ｎ １ ｒ ｃ ｉ ｅ ，ａ Ｂａ ｅ ｎ ｆｎｈ ｒ ｐ ０ ｅ ｓｎ ｆ｛ ｒｑ ｅ ｃ ａ ｕ ｅ ｎ ｔ ｔ ｒ ｎ ｎ ａ ｈ ｎ ｅ ｅ ｅｖ ｒ
关键词 ： 相位差分； 参数估 计； 最小二乘 ； 最小均 方误差
中圉分类号 ：Ｎ ｌ Ｔ ９ｌ 文献标识码 ： Ａ
Ｐａ ａ ｅｅ ｔｍ ａ ｉｎ ｓ ｄ ０ ａ ｅ Ｄ诹 ｅ ｅ ｅ Ａｌ Ｏ ｉｈｍ ｒ ｍ ｔ ｒＥｓｉ ｔ０ Ｂａ ｅ ｎ Ｐｈ ｓ ｒ ｎｃ ｇ ｒｔ
基于全相位频谱分析的正弦信号高精度参数估计方法.
电力系统中,对电网电压和电流基波参数的测量分析,通常采用传统的离散傅里叶变换(DFT 进行频谱分析来实现,当信号的频率不是DFT 频率分辨率的整数倍的时候,即对信号非整周期采样,会产生频谱泄漏,使测得的幅值、频率和相位偏离实际值,尤其相位测量误差更大[1-4]。
现提出一种基于全相位频谱分析的正弦信号高精度参数估计算法,在精度与实时性与算法复杂度上均优于现有算法,软件编写简单,在无噪情况下参数估计近似为无偏估计,尤其对相位的估计,误差可达到0.001%。
1全相位频谱分析文献[5]提出一种新型的频谱估计算法,对传统DFT 频谱分析时数据的截断方式进行了改进,可以很大程度地减小频谱泄漏。
若将N 阶中心对称窗和N 阶矩形窗卷积产生的一个2N -1阶窗作为窗函数,则是全相位单窗频谱分析,若将N 阶中心对称窗和自身卷积产生的一个2N-1阶窗作为窗函数,则是全相位双窗频谱分析,其框图如图1所示。
首先,推导对具有单一频率f 0的单频信号进行全相位频谱分析得到的幅度。
设单频信号:x=e j 2πf 0f sn其中,f 0为信号频率,f s 为采样频率。
对于时间序列中的一点x (N ,存在也只存在N 个包含该点的N 维向量:X 0=[x (N x (N+1…x (2N-1]T X 1=[x (N-1x (N …x (2N-2]T…X N-1=[x (1x (2…x (N ]T将每个向量进行循环移位,把样本点x (N 移到首位,则得到另外的N 个N 维向量:X 0′=[x (N x (N+1…x (2N-1]T X 1′=[x (N x (N+1…x (N-1]T…X N-1′=[x (N x (1…x (N-1]T对准x (N 相加得到全相位数据向量:X A P =1N[Nx (N (N-1x (N+1+x (1…x (2N-1+(N-1x (N-1]T基于全相位频谱分析的正弦信号高精度参数估计方法黄晓红1,王兆华2(1.河北理工大学信息学院,河北唐山063000;2.天津大学电子信息工程学院,天津300072摘要:对传统频谱分析的输入数据截断方式进行了改进,提出了全相位频谱分析,理论证明全相位频谱分析幅度谱是传统FFT 频谱分析幅度谱的平方,可以很大程度上减小频谱泄露,同时,给出了其实现框图。
电子示波器对两个同频正弦信号相位差的两种测量方法的对比分析
・
ｌｌ ０・
２ １ 年 ００
王 靖 电子示波器对两个同频正弦信号相位差的两种测量方法的对 比分析
信号 、 为测 量对 象来 进 行分 析 。 作
第１ 期
ａ ＝ ＿］ ３ 。 ×６ ０
来。
①
相 位 差 的 极 性 可 以从 波 形 上 很 直 观 的看 出 ２、 量方 法 和过程 ．４ 狈
图二
４钡 量 结果 ．０
ｃ ／ ～
／Ｂ
图一
－ ’
的相角是 ３０ ， ６ 。 图中线段 Ａ Ｃ对应于被测信号的
一
个周期 ，线段 Ａ 是相位差 所对应的时间 ， Ｂ
于是 相位差
收稿 日期 ：０ ０ ｌ ０ ２ ｌ —０ 一 ２
作者简介： 王靖（９（ ）男， １８ 卜 ， 贵州普安人 ， 兴义民族师范学院教 师， 主要从事电子测量和 电路分
Ｗ ＡＮＧ ｉｇ Ｊｎ
（ ｕ ｈｕＵ ｉ ｒｉ ， ｕ ａ ｇ Ｇ ｉ ｏ ５０ ０ Ｇ ｉ ｏ ｎｖ ｓｙ Ｇ ｉ ｎ ， ｕｚ ｕ５ ０ ０ ） ｚ ｅ ｔ ｙ ｈ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｆ ｒ ｗｏｓｎ ｓ ｉ ａ ｉｎ ｌ ｉ ｅ ｕ ｎ ｙ ｔ ｅｒ ｈ ｓ ｉ ｅ ｅ ｃ ｅｄｆ ｒ ｎ ｅｂ ｔ ｅ ｎ ｔｅ ｉｉ ａ ｈ ｅ ｗｈｌ ｅ ｓ ｒ ｃ ： ｏ ｕ ｏｄ ｓｇ ａｓｗ ｔ ｆ ｑ ｅ ｃ ， ｈ ｉ ｐ ａ ｅ ｄｆ ｒ ｎ ｅｉ ｔ ｉ ｅ ｃ ｅｗ ｅ ｔ ｌ ａ ， ｉ ｔ ｔ ｉ ｌ ｈｒ ｓ ｈ ｅ ｈ ｎｉ ｐｓ ｅｈ
２１ 年 ３ ００ 月 第１ 期
黔西南民族师范高等专科学校学报
Ｍ ｒ ．２ １ ａ ｈ ００ Ｎ． ｏ １
识别正弦频率算法
识别正弦频率算法识别正弦波信号的频率可以通过多种算法来实现，其中常见的几种方法包括：1. 峰值检测法：对于周期性非常明显的正弦波信号，可以通过测量相邻峰值（或谷值）之间的时间间隔来计算周期，进而通过周期计算频率。
公式为：\( f = \frac{1}{T} \)，其中 \( f \)是频率，\( T \) 是信号的周期。
2. 傅里叶变换 (FFT)：快速傅里叶变换是分析信号频率成分的常用工具。
将采集到的正弦波信号进行FFT处理后，频谱图上会出现一个在对应频率位置上的显著峰值，该峰值对应的频率就是原始信号的频率。
3. 相关函数法：与已知参考信号进行互相关运算，当相关函数取得最大值时，对应的滞后时间即为信号的一个周期的一部分，从而可以计算出信号频率。
4. 锁相环 (PLL)：在实时系统中，锁相环常用于跟踪和锁定输入信号的频率。
PLL通过比较输入信号与本地产生的信号之间的相位差，并调整本地振荡器的频率，直到两者的频率和相位差趋于零，此时本地振荡器的频率即接近输入信号的频率。
5. 数字滤波器和谱分析：使用数字滤波器对信号进行带通滤波以提取特定频段的信息，然后通过谱分析方法确定主要频率分量。
6. 参数估计算法：针对噪声较大的环境，可以使用更高级的参数估计算法，如最小二乘法、卡尔曼滤波等估计信号模型参数，从而获得准确的频率信息。
7. 李萨如图形法：在实验环境中，还可以利用示波器同时显示两个不同频率的正弦波叠加后的李萨如图形，根据图形形状判断未知频率与已知频率之间的关系，从而确定未知频率。
每种方法都有其适用场景和局限性，在实际应用中需根据信号特性、精度要求以及实时性需求选择合适的方法。
fft计算相位
fft计算相位【实用版】目录1.傅里叶变换（FFT）简介2.相位的概念与计算方法3.FFT 计算相位的应用实例4.FFT 计算相位的优缺点正文1.傅里叶变换（FFT）简介傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称 FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称 DFT）及其逆变换的算法。
离散傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，从而分析信号的频率成分。
FFT 利用了对称性和周期性的性质，将 DFT 的计算复杂度从 O(N^2) 降低到 O(NlogN)，在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
2.相位的概念与计算方法相位是波形信号的一个重要参数，表示波形在时间上的分布和变化。
在信号处理中，相位的准确计算对于分析信号的特性至关重要。
在频域分析中，相位通常表示为弧度制，与角度制之间的关系为：相位（弧度）= 2π * 相位（角度）。
在 FFT 计算中，相位的计算方法通常有两种：一种是直接计算法，另一种是间接计算法。
直接计算法指的是在计算 FFT 的过程中，同时计算幅度和相位，这种方法的优点是计算简单，缺点是精度较低。
间接计算法是通过计算幅度和相位之间的关系（如：相位 = arctan(imag/real)）来获得相位信息，这种方法的优点是精度高，缺点是计算较为复杂。
3.FFT 计算相位的应用实例FFT 计算相位在许多领域都有广泛应用，例如信号处理、图像处理、通信系统等。
以信号处理为例，通过对信号的 FFT 计算，可以获得信号的频谱信息，从而分析信号的频率成分。
在频谱分析中，相位信息可以帮助我们了解信号在不同频率下的能量分布情况，对于信号的识别和分析具有重要意义。
4.FFT 计算相位的优缺点FFT 计算相位的优点是计算速度快，尤其在大规模数据处理中，其计算复杂度较低，可以大大提高计算效率。
此外，FFT 算法具有较好的数值稳定性，可以较好地处理频谱泄漏和旁瓣干扰等问题。
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第32卷第3期 电 子 与 信 息 学 报 Vol.32No.3 2010年3月 Journal of Electronics & Information Technology Mar.2010
正弦信号的直接FFT参数估计与相位差分法对比研究 李 辉①② 王岩飞① ①(中国科学院电子学研究所 北京 100190)
②(中国科学院研究生院 北京 100039)
摘 要：该文研究了基于FFT的正弦信号参数估计问题，揭示了频率与初相估计间的相互联系，并对相位差分法的估值误差公式进行了推导和仿真验证。两种算法的对比说明相位差分法运算量小，可以在不高的信噪比下获得彼此独立的高精度参数估值，因此更加有利于工程的实现。 关键词：直接FFT参数估计；对分迭代搜索；相位差分法；估值误差 中图分类号：TN911.72 文献标识码： A 文章编号：1009-5896(2010)03-0544-04 DOI: 10.3724/SP.J.1146.2008.01006
The Contrastive Study between Direct FFT and Phase Difference in Parameter Estimation of Sinusoidal Signal Li Hui①② Wang Yan-fei① ①(Institute of Electronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)
②(Graduate University of the Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039, China)
Abstract: This paper firstly studies parameter estimation issue directly based on FFT. Thereby, the relationship between the frequency and phase estimation is exposed. Subsequently, the estimation error formula of phase difference arithmetic are deduced and validated by computer simulation. The compare of two methods shows that phase difference arithmetic possesses lesser calculation quantity. Simultaneously, it can gain highly accurate, mutually independent parameter estimation under low SNR. So phase difference arithmetic is easy to realize in engineering field much more. Key words: Direct FFT parameter estimation; Half-divided repetition search; Phase difference arithmetic; Estimation error 1 引言
正弦信号的参数(频率或初相)估计在雷达、声纳以及电子对抗等领域都有着极其广泛的应用。例如在雷达探测中，回波的频率和初相估计精度直接决定了被测物体的径向速度和距离测量精度。最直接的正弦信号频率估计就是在信号FFT之后，首先搜索到谱峰，再进一步运用对分法等迭代搜索算法以得到频率的精确估计。在此基础上将频率估值代入FFT的计算式就可以得到对应的初相估计[1]。这种
方法的好处就是直接利用FFT的概念完成正弦信号参数的估值，无需进一步复杂的推导和证明，直观明了，但是在实际的工程应用中却不是最优的。这是因为在此种算法中频率估计的误差直接影响初相估计的精确性，而获得频率的精确估值就需要足够多的迭代次数，这样就往往不能满足系统对实时性
2008-08-14收到，2009-12-30改回 通信作者：李辉 wudalihui@163.com
的要求。相位差分法是在FFT粗测结果上的进一步校正，这种算法无需在频谱的最大和次大谱线间进行频率的搜索，只需对采样点分组后进行两次FFT就可以在不高的信噪比下获得精度相当高的频率和初相估值，而且初相和频率的估计精度是彼此独立的，十分有利于工程的实现[2]。本文首先分析了直接
使用FFT进行参数估计时频率估计误差对初相估计的影响，并利用数值分析的方法对实际工程中特定频点的参数估值问题进行了研究，定量地给出了频率和初相估值误差间的对应关系。文章第2节对高斯白噪声环境中的相位差分参数估计算法进行了严密的数学推导，得出了估值误差与采样点数和信噪比之间严格的解析关系，利用MATLAB得到的仿真结果证明了理论推导的正确性。两种算法的对比说明相位差分法无需频率的迭代逼近，只需两次FFT就可以在不高的信噪比下获得彼此独立的高精度频率和初相估值，在运算量上具有很大的优势，尤其适用于实时性要求高的场合。
更多技术文章，论文请登录www.srvee.com内容版权归作者所有第3期 李 辉等：正弦信号的直接FFT参数估计与相位差分法对比研究 545 2 直接FFT参数估计 设以采样率1/
Sft=Δ采样后的点频信号可以
表示为
0()cos[2], 0,1,,1snfntnNπθ=Δ+=−" (1)
对()sn做FFT，搜索到谱峰后再进一步运用对分迭
代等搜索算法得到频率的精确估值0
ˆf，并代入FFT
的计算式，得 100011
0000
()()exp[2] ()cos(2)()sin(2)
N
nNN
nn
Sfsnjfnt
snfntjsnfntπππ−=−−===⋅−Δ
=Δ−Δ∑
∑∑
(2) 所以初相θ的估值
1010
01
00
()cos(2)arg()tan()sin(2)
NnN
n
snfntSfsnfnt
πθπ−−=−=⎡⎤⎢⎥Δ⎢⎥⎡⎤⎢⎥
==−
⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥Δ
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
(3)
一般情况下0f
和
0f
不相等，存在着一定的偏差，当
00/ffl=时，真实的初相
[]1010
01
00
()cos(2/)arg()tan()sin(2/)
NnN
n
snfntlSfsnfntl
πθπ−−=−=⎡⎤⎢⎥Δ⎢⎥
⎢⎥==−
⎢⎥
⎢⎥Δ
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
(4)
可见当00ff≠，即1l≠时，θθ≠。由于从θ和θ的表达式中很难直接得出频率估值误差与初相估值误差之间明确的解析关系，所以只能用数值分析的方法对某一特定频点的参数估计问题进行研究。 已知某在研的多频连续波测距系统的主侧音和第一匹配音分别为236 MHz和220 MHz，下面就以这两个频点为例，对直接利用FFT的参数估计问题使用数值分析的方法进行深入的研究。基本的思路如下：首先对信号序列做FFT并搜索到离散谱线的最大值0k
和次大值0'k；以0k、0'k为端点，运用对分
迭代搜索算法[3]，就可以进行频率的逼近搜索。算法的基本流程如图1所示，其中/
SffNΔ=
，为FFT
的频率分辨率；0δ>，为设定的频率估值误差。 在不同的信噪比下，利用MATLAB实现频率的迭代搜索和初相的计算[4]，当/
SffNΔ==
500 MHz/1024时，迭代的频率估计误差和相应的相位估计误差如表1，表2所示。 从表1，表2可以看出，当迭代的次数不够，频率偏差比较大时，信号的信噪比无论高低，初相估值都存在很大的偏差，不具备使用价值；经过几次迭代以后，频率估值逼近真实值，相应的初相估值也逼近真实值，此时误差主要由信噪比决定。
图1 对分迭代搜索算法流程 表1 220 MHz信号不同频率估计误差时的相位估计误差()
D
频率估计误差(kHz) 214.8 29.3 92.8 31.7 1.2 SNR=10 dB -80.2 11.2 -33.8 -11.2 -1.1 SNR=6 dB -77.9 9.3 -31.8 -11.0 1.5 SNR=3 dB -77.6 12.5 -36.5 -11.1 1.8
表2 236 MHz信号不同频率估计误差时的相位估计误差()D 频率估计误差(kHz) -160.2 83.9 -38.1 22.9 -7.5 7.7 SNR=10 dB 58.0 -30.4 15.0 -9.3 2.3 -1.2 SNR=6 dB 57.7 -31.8 13.0 -7.7 2.1 1.6 SNR=3 dB 62.2 -30.6 16.1 -9.5 1.8 -1.7
3 相位差分法 相位差分法的基本原理是将频率为0f
，初相θ
的正弦信号
0()exp[(2)]stjfπθ=+ (5) 以采样率Sf进行采样，设信号的记录时间为T
，采
样点数为N，将得到的序列分为前后两个等长的子
序列1()sn和2()sn
，分别求出它们的FFT，得[5]
1210
()exp()
()()exp()kkSkAj
SkSkjfTϕ
π⎫=⎪
⎪
⎬⎪=
⎪⎪⎭
(6)
其中kA和kϕ分别为幅度项和相位项，有如下形式[6]
000
sin[(/2)]sin[2(/2)/](12/)(/2)k
k
kfTA
kfTN
NfTk
ππϕθπ
⎫−⎪
⎪=
⎪⎪−
⎬
⎪⎪=+−−⎪
⎪⎭
(7)
由式(7)可知幅度最大值处对应的离散频率为0k=
0[/2]fT，用1ϕ和2ϕ表示1()Sk和2()Sk在最大谱线处的相位，由文献[7]可知，利用21ϕϕϕΔ=−可以对
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