“一元二次方程的应用”常见题型归类

“一元二次方程的应用”常见题型归类

一元二次方程的应用是一元二次方程这一章的重点内容，也是中考的重要考点?郾为了帮助同学们系统掌握这类问题的解法，现将其常见题型归类如下：类型1 增长（降低）率问题

例1 在国家宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14 000元/m2下降到5月份的12 600

元/m2?郾

（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：■≈0?郾95）

（2）如果房价按此百分率继续回落，你预测到7月份商品房成交均价是否会跌破10 000元/m2？请说明理由?郾

解：（1）设4、5两月平均每月降价的百分率为x，由题意，得

14 000（1-x）2=12 600?郾化简，得（1-x）2=0?郾9?郾

解得x1≈0?郾05，x2≈1?郾95（不合题意，舍去）?郾

答：4、5两月平均每月降价的百分率约为5%?郾

（2）房价按此百分率继续回落，7月份的商品房

成交均价为

12 600（1-x）2=12 600×（1-0.05）2≈12 600×0?郾9=11 340>10 000?郾

答：7月份该市的商品房成交均价不会跌破10 000元/m2?郾

温馨小提示：解答这类问题需要牢记公式：a（1±x）n=b，其中a为增长（或降低）的基础量，x为增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b 为增长（或降低）后的结果量?郾+x表示增长率为x，-x表示降低率为x?郾值得注意的是，一般设增长率（或降低率）为x，而不设为x%，但求出解后要变为百分数?郾另外，对于这类问题，采用直接开平方法求解比较简便?郾

类型2 面积问题

例2 如图1，某小区在一块长40m、宽26m的矩形场地ABCD上修建的三条同样宽的甬道，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种上小草. 若使每一块草坪的面积都为144m2，请你求出甬道的宽度?郾

解：将横向的甬道向上平移到AD边，将两条纵

向的甬道向右平移到DC边（如图2所示）?郾设甬道的宽为xm，由题意，得

（40-2x）（26-x）=144×6?郾

整理，得x2-46x+88=0?郾解得x1=44，x2=2?郾

∵2x＜40，∴x1=44不符合题意，舍去?郾∴x=2?郾

答：甬道的宽度为2m?郾

温馨小提示：在面积问题中，面积公式就是等量关系?郾对于规则的几何图形，可直接根据面积公式建立一元二次方程?郾如果图形不规则，或图形数量关系较复杂时，应通过分割、组合或平移成规则图形，找出各部分面积之间的关系，列出方程?郾

类型3 数字问题

例3 有一个两位数，个位数字与十位数字之和为14，交换数字位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积大38，求这个两位数?郾

解：设原两位数的个位数字为x，则十位数字为（14-x），它们的积为x（14-x），两个数字交换位置后，新的两位数为10x+（14-x），根据题意，得

10x+（14-x）-x（14-x）=38?郾

整理，得x2-5x-24=0?郾解得x1=8，x2=-3?郾

∵个位数字不可能是负数，∴x2=-3舍去?郾

当x=8时，14-x=6，即原两位数为68?郾

答：这个两位数为68?郾

温馨小提示：对于数字问题，要正确地表示数?郾两位数=十位上的数字×10+个位上的数字；三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字?郾其他数字，可类似表示?郾

类型4 商品销售问题

例4 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元?郾为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施?郾经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？

解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得

（40-x）（20+2x）=1 200?郾

整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20?郾

由尽快减少库存可知，x1=10不合题意，舍去?郾所以x=20?郾

答：每件衬衫应降价20元?郾

温馨小提示：营销问题最重要的量就是利润，常用关系式有：（1）利润=售价-进价；（2）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入-总支出?郾另外，在本

题中，要特别注意理解“尽快减少库存”的含义，对求出的结果进行取舍?郾

类型5 情景对话型问题

例5 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如右图所示收费标准：

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元. 请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.

因为27 000＞25×1 000，所以员工人数一定超过25人?郾

由题意得［1 000-20（x-25）］x=27 000?郾解得x1=45，x2=30?郾

当x1=45时，1 000-20（x-25）=600＜700，故舍去x1=45?郾

当x2=30时，1 000-20（x-25）=900>700，符合题意?郾

答：该单位共有30名员工去天水湾风景区旅游?郾

温馨小提示：读懂漫画或对话所反映出来的数量关系或等量关系，然后建立我们熟悉的数学模型去解

答?郾

类型6 规律探究型问题

例6 如图3，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请认真观察下面图形的铺设规律后，解答下列问题：

（1）?摇?摇（2）?摇?摇（3）

（1）在图（n）中，每一横排有块瓷砖，每一竖列有块瓷砖；（用含n的代数式表示）

（2）按上述铺设方案，铺矩形地面共用了506

块瓷砖，求n；

（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明你的理由?郾

解：（1）n+3，n+2?郾

（2）由图形规律，得（n+3）（n+2）=506，整理，得n2+5n-500=0.

解得n1=20，n2=-25（舍去）?郾

所以n为20?郾

（3）由题意，得（n+2）（n+3）-n（n+1）=n（n+1）?