Banach空间中von Neumann-Jordan型常数的一些性质

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von neumann代数和对合运算连续的banach—代数

von neumann代数和对合运算连续的banach—代数现代数学中，代数学是一种重要的学科，它的发展已经受到了极大的关注。

其中最著名的是“Von Neumann代数”，它又称为纽曼代数，它是一种抽象代数系统。

同时，围绕着这个系统的一个重要的概念是被称为“Banach-代数”的，它是一种合成运算连续的代数。

在本文中，我将对Von Neumann代数和对合运算连续的Banach-代数进行探讨，从而更好地了解这两种代数在现代数学中的重要性。

一、Von Neumann代数首先，我们谈谈Von Neumann代数。

Von Neumann代数是一种抽象代数系统，由数学家John Von Neumann提出，他在1930年以前是一位著名的数学家，因此它也被称为纽曼代数。

它是一类受限线性代数系统，它以实数为基本数据类型。

它由一组基本的算子组成，这些算子中包括加法、算术乘法和对位乘法等。

同时，它还具有一定的运算规则，如关于结合律的遵守和可交换性的保持。

Von Neumann代数的重要性在于它可以描述和解释一系列抽象的线性系统，例如线性变换，矩阵等。

由于这类变换的强大性质，Von Neumann代数可以用来分析和解释大量复杂的计算问题，其中包括对抽象数据结构和算法的分析等。

因此，它在计算机科学、数值分析以及分析几何中被广泛应用。

二、对合运算连续的Banach-代数接下来，让我们来谈谈合运算连续的Banach-代数。

Banach-代数是一种线性变换的抽象，它是建立在康涅狄格空间上的一种结构化数据类型。

它是一类合成运算连续的代数，它能够保持Von Neumann 代数的关注价值，并超越了它在空间上的局限性。

Banach-代数具有独特的运算性质，能够提供一种可视化建模、数学建模和计算机科学建模的方法。

它具有可拓展性，能够更好地实现复杂的合成运算，模拟一般现实中的问题。

因此，它在现代数学中经常被用来分析、建模和解释复杂的实际问题，例如最优化问题、图像处理问题等。

Banach空间中二阶Neumann边值问题的一种拟上下解方法

Banach空间中二阶Neumann边值问题的一种拟上下解方
法
杨和
【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(044)001
【摘要】利用比较原理,通过构造L-拟上下解单调迭代过程,在L-拟上下解反向取定的情况下,研究了Banach空间中二阶Neumann边值问题{-
u"(t)=f(t,u(t),u(t)),u'(0)=u'(T)=0解的存在性,获得了该问题解的存在唯一性定理,并给出了唯一解近似序列的误差估计.
【总页数】4页(P6-9)
【作者】杨和
【作者单位】西北师范大学,数学与信息科学学院,甘肃,兰州,730070
【正文语种】中文
【中图分类】O175.15
【相关文献】
1.Banach空间中的常微分方程边值问题的拟上下解方法 [J], 刘孝磊;马翠玲;郝树艳;孙玺菁
2.Banach空间分数阶微分方程边值问题的一种拟上下解方法 [J], 李永祥;梁秋燕
3.Banach空间二阶边值问题的拟上下解方法 [J], 刘旭
4.Banach空间二阶周期边值问题的一种拟上下解方法 [J], 张玲忠
5.Banach空间中一类二阶三点边值问题的一种拟上下解方法 [J], 李强
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von Neumann熵基本性质简述

von Neumann熵基本性质简述作者：孙仕海来源：《教育教学论坛》2016年第43期摘要：熵是信息论中一个十分重要的概念，能够用于刻画信源的平均信息量。

但和经典信息论中的香农熵不一样，量子信息中信源的不确定性需要使用von Neumann熵来进行刻画。

同时，von Neumann熵在纠缠判别、纠缠度刻画等方面也具有十分重要的地位。

因此，我们希望通过本文对von Neumann熵的性质进行介绍，能够帮助研究生更好地掌握该概念。

关键词：量子信息;von Neumann熵;信息论中图分类号：G642.0 ; ;文献标志码：A ; ;文章编号：1674-9324（2016）43-0279-02一、定义设一个量子系统的状态由密度算子=pi|ψ〉〈ψ|（1）其中，pi≥0，pi=1，|ψ〉是系统空间内的纯态。

但此处需要注意的是不同的|ψ〉不一定相互正交。

从von Neumann熵的定义可以看出，其和经典信息论中的香农熵具有相类似的含义，能够用于定量分析信源的平均信息量，是忠实传送信源编码态所需要的最小信道量子位数目。

同时，从公式（4）可以看出，当量子态处于完全混合态时（此时|ψi〉互相正交），von Neumann熵退化为香农熵。

二、基本性质1.非负性。

S（ρ）=-trρlogρ≥0（5）其中，当且仅当量子系统处于纯态时等号成立。

该性质十分明显，而且证明过程十分简单，在此就不进行证明。

冯诺伊曼代数

相关概念
由于H上所有交换自伴算子代数对于包含为偏序集，由佐恩引理，该集合有极大元，为极大交换自伴代数。
极大交换自伴代数为交换冯·诺伊曼代数。
与测度论的关系
若为测度空间，则L∞(μ)为的极大交换冯·诺伊曼代数，且L∞(μ)的弱算子拓扑与弱拓扑相同。反之，
给定任何交换冯·诺伊曼代数，都存在测度空间，使得L∞(μ)与其同构。
冯诺伊曼代数
数理科学术语
目录
01
简介
02
定义
03
性质
04
相关概念
05
与测度论的关系
06
发展
冯·诺伊曼代数亦称弱闭对称算子环，是一类由算子构成的弱闭的C代数。
简介
冯·诺伊曼代数亦称弱闭对称算子环，是一类弱闭的算子C代数。
定义
定义2
定义1
定义3
令(H)为希尔伯特空间H上有界线性算子全体所成的C代数，其中运算为取伴随算子。
对每个作用在可分希尔伯特空间的冯·诺伊曼代数，都存在一个可分C子代数A，且A是的弱稠子集。

若T为希尔伯特空间的正规算子，则T生成的冯·诺伊曼代数为交换代数。
若为(H)的自伴子代数，则的弱闭包为冯·诺伊曼代数，且若为交换代数，则也是交换代数。
谢谢观看
交换冯·诺伊曼代数理论等价于勒贝格测度理论与自伴算子的谱定理。
故冯·诺伊曼代数理论是测度论的非交换推广。
发展
冯·诺伊曼代数是冯·诺伊曼(vonNeumann,J.)等人于1935年开始研究的一类算子环，他们得到完整而深入
的结果，后人为纪念这一数学理论的奠基者，就以他的名字来命名这类算子环。
有些文献把冯·诺伊曼代数定义为(H)中弱（强）闭自伴子代数（不必含单位算子I）。

一致光滑Banach空间中m-增生算子零点的粘滞迭代逼近算法

一致光滑Banach空间中m-增生算子零点的粘滞迭代逼近算法张瑜龙;张芳【摘要】研究了在一致光滑Banach空间中m-增生算子的零点粘滞迭代逼近问题，证明了修正的迭代序列强收敛到m-增生算子的一个零点，此结果推广和改进了一些作者的相关结论。

%The iterative method approximating zero points of m-accretive operators in uniformly smooth Banach spaces is studied. The strong convergence to a zero of the modified iterative sequence is proved. These results extend and improve corresponding results of others.【期刊名称】《天津工业大学学报》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】5页(P81-84,88)【关键词】m-增生算子;不动点;一致光滑Banach空间【作者】张瑜龙;张芳【作者单位】天津工业大学理学院，天津 300160;天津工业大学理学院，天津300160【正文语种】中文【中图分类】O177.2增生算子是最重要的几类非线性算子之一，关于增生算子的零点问题已经获得了丰富的结果[1-2].近几十年来，国内外数学家们一直致力于寻找迭代算法以逼近增生算子的零点，这类问题已经成为非线性泛函分析研究中的热点问题之一.1974年Bruch[3]使用正则化迭代算法证明了Hilbert空间中极大单调算子零点的强收敛性定理；1979年Reich[4]将Bruch的主要定理结果扩展到了一致光滑的Banach空间中的m-增生算子的零点问题；2006年Xu[5]用迭代序列xn+1=αnu+（1-αn）Jrnxn去逼近m-增生算子的零点，并证明了该序列强收敛到m-增生算子的一个零点.本文受Xu研究方法的启发，在一致光滑的Banach空间中，修正了Xu的迭代序列，并证明了修正后的迭代算法的强收敛性，此结果推广和改进了一些作者的相关结论[6].设（X，d）为度量空间，称 T：（X，d）→（X，d）是一个压缩映射，如果存在0＜α＜1，使得：设（X，d）为度量空间，称 T：（X，d）→（X，d）是非扩张的，如果∀x，y∈X，则设E是一个具有范数‖·‖的实Banach空间，其对偶空间为E*，C是E的一个非空闭凸子集，＜·，·＞表示E与E*间的配对，正规对偶映射J：E→2E，定义如下众所周知，E是光滑的当且仅当J是单值的.设S={x∈E:‖x‖ =1}表示实Banach空间E的单位球，E是光滑的如果下面极限对每一个x，y∈S存在，如果每一个y∈S对任何x∈S上面的极限一致被得到，则E是一致光滑的.众所周知，如果E是一致光滑的，则正规对偶映象J是单值的，而且在E的任一有界子集上是一致连续的.Banach空间E中具有定义域D（A）和值域R（A）的算子A:D（A）⊂E→E称为增生的，如果对任意的x，y∈D（A），存在j（x，y）∈J（x，y），使称增生算子A为m-增生的，如果存在某个正数使得I+rA的值域是全空间，即对于 m-增生算子 A，r＞ 0，令 Jr=（I+rA）-1，则 Jr称为A的预解算子.F（J）r 是Jr的不动点集.以下用F表示算子A的零点集，即F =A-（10）={x∈D （A）:0∈Ax}.众所周知，如果A是m-增生的，那么其预解算子Jr是非扩张的且对于所有的r＞0，有F（J）r=F.在本文中总假定A是m-增生的且零点集非空. 引理1[7-8]（预解等式）设E是Banach空间，对任意的λ＞0，μ＞0有以下等式成立引理2[9-10] 设{αn}是一个非负实数列满足下面性质：αn+1≤（1-λn）αn+λnμn，n≥0，其中λn｛⊂（0，1）并且μn｛｝使得引理3[11]设C是一致光滑的Banach空间E的非空闭凸子集，设T:C→C是具有不动点的非扩张映象且F（T）≠，并且f是C→C的一个具有常数α（0＜α ＜1）的压缩映射，定义zt=t（fz）t+（1-t）Tzt，t∈（0，1），序列{zt}强收敛到一个点p∈F（T）.引理4[11]设C是一致光滑的Banach空间E的非空闭凸子集，设T:C→C是具有不动点的非扩张映象，f是C→C的一个具有常数α（0＜α＜1）的压缩映射，对每一个t∈（0，1），设 zt是 C的唯一点且zt=tf（zt）+（1-t）Tzt，假设{xn}⊂C是一个序列，若 =0，则有引理5[12] 若E是Banach空间，对任意x，y∈E，那么以下式子成立定理1 设E是一致光滑Banach空间，A是E中的m-增生算子使得C=是凸的，f是C→C的一个具有常数α（0＜α＜1）的压缩映射.给定序列，βn｛｝∈[0，1]及rn｛｝，序列xn｛｝定义如下如果序列｛αn，｛βn和｛rn｝满足如下条件=r，rn≥ε，其中ε＞ 0.则由式（1）定义的迭代序列xn｛｝强收敛到A的一个零点.证明首先证明序列xn｛｝是有界的.事实上，对任意的v∈F=A-1（0），有（iii）由归纳法可知即序列xn｛｝有界，那么序列yn｛｝也是有界的.证明：由引理1知如果rn-1≤rn则同理可证由定义并结合式（2），可得再由定义并结合式（3）和式（4）可得其中M2是某一常数，满足当rn-1≥rn，同样可以证明上面的结论，由定理条件可得成立.由引理2得证明‖xn-Jrnxn‖=0，由已知的定理条件有从而有又因为证明：定义序列zt=tf（zt）+（1-t）Jrzt，由引理3，知{zt}强收敛到Jr的一个不动点v且在一致光滑的Banach空间J是非扩张的，由引理4及则有对所有的t∈（0，1），有由于E 是一致光滑的Banach空间，J在C上的有界子集是范数对范数一致连续的，由同样的讨论证明[10]，可得到最后证明xn→v，由引理2，有设M=max｛‖ xn-v‖2｝，则上式为由引理2可得‖x n-v‖ =0，命题得证.定理2 设E是一致光滑Banach空间，A是E中的m-增生算子使得C=是凸的.给定序列，βn｛｝∈[0，1]及rn｛｝，序列xn｛｝定义如下如果序列｛αn，｛βn和｛rn｝满足如下条件则由式（5）定义的迭代序列xn｛｝强收敛到A的一个零点.证明令定理1中的f（xn）=u，证明方法如上面所证，则迭代序列xn｛｝强收敛到增生算子A的一个零点.本文主要在文献[5]、[10]结论的基础上采用新的方法由一步迭代推广到两步，并且使用粘滞迭代算法证明了迭代序列（1）式强收敛到增生算子的一个零点，此结果改进和扩展了文献[5]、[10]的结果.【相关文献】[1]DEIMLING K.Zems of accretive operator[J].Manuscrlpta Math，1974，13：283-288.[2]BROWDER F E，PETRYSHN W V.Construction of fixed points of nonlinear mapping in hibert spaces[J].J Math Anal Appl，1967，20：197-200.[3]BRUCH R E.A strong convergent iterative solution for a maximal monotone operator in hiben spaces[J].J Math Anal Appl，1974，48：114-126.[4]REICH S.Constructing zeros of accretive operator[J].Applic Anal，1979，9：159-163.[5]XU H K.Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive operators [J].J Math Anal Appl，2006，314：631-643.[6]XU H K.Iterative algorithms for nonlinear operators[J].J London Math Soc，2002，66：240-256.[7]BRUCK R E，PASSTY G B.Almost convergence of the innite product of resolvents in Banach spaces[J].Nonlinear Anal，1979（3）：279-282.[8]BRUCK R E，REICH S.Nonexpansive projections and resolvents in Banachspaces[J].Houston J Math，1977（3）：459-470.[9]XU H K.An iterative approach to quadratic optimization[J].J Optim Theory Appl，2003，116：659-678.[10]REICH S.Strong convergence theorems for resolvents of accretive operators in Banach spaces[J].J Math Anal Appl，1980，75：287-292.[11]SOMYOT Plubtieng，RATTANAPORN Wangkeeree.Strong convergence of mann iterations for a countable family of nonexpansive mappings[J].Nonlinear Anal，2009，70：3110-3118.[12]CHO Yeol Je，KANG Shin Min，QIN Xiaolong.Approximation of common xed pointsof an innite family of nonexpansive mappings in Banach spaces[J].Computers and Mathematics with Applications，2008，56：2058-2064.。

frechet-von neumann定理

弗雷歇-冯·诺伊曼定理（Frechet-von Neumann Theorem）是泛函分析中的一个重要定理，它建立了任意Banach空间中的每个有界线性算子都可以表示为两个有界线性算子的乘积。

这个定理在算子代数和量子力学等领域有着广泛的应用。

具体来说，对于任意两个Banach空间X和Y，如果T是X到Y的有界线性算子，那么存在两个有界线性算子A和B，使得T = AB。

其中，A和B的范数分别不超过T的范数。

特别地，如果X和Y都是有限维的，那么T可以表示为一个可逆矩阵与一个对角矩阵的乘积。

这个定理的证明需要用到谱定理和Riesz表示定理等重要的泛函分析理论。

它的证明过程比较复杂，但它的应用却非常广泛，比如在算子代数中，它可以用来研究C*代数的结构；在量子力学中，它可以用来描述量子态的演化等。

Banach空间中具多值扰动微分包含解的存在性及其渐近性质

Banach空间中具多值扰动微分包含解的存在性及其渐近性质Banach空间上的微分包含理论是非线性分析中非常活跃的一个分支.从七十年代开始,美国、罗马尼亚和日本等国的著名数学家(如V.Barbu、J.P.Aubin、T.Kato、N.H.Pavel等)就开始从事这方面的研究工作(见[2, 9, 13, 71]).近几十年来,这一领域的研究对近代物理和工程技术中出现的非线性问题和控制论的研究有着重要的理论意义和应用价值.由于Volterra方程(见[2])、偏微分方程(见[9, 13, 71])、控制论和最优化中研究的许多问题都可以转化为微分包含问题,因此在一定的条件下研究微分包含解(包括强解、弱解、温和解和积分解)的存在性以及渐近性态问题就显得非常重要.本文就是在Banach空间中讨论了具多值扰动微分包含解的存在性及其渐近行为,共分四章:本文第一章主要考虑以下半线性非局部微分包含解的存在性这里F是一上半连续多值映射, g :C([0,T];E)→E是一给定的连续映射,线性算子A(可能无界)是一紧半群的无穷小生成元.本章中我们主要利用多值不动点定理和紧性方法给出上述非局部微分包含解的存在性定理(见Theorem 1.2).证明的关键在于我们设法构造了一个新的特殊的集值映射,然后利用集值分析和非紧性测度理论证明了该集值映射是一个在给定圆盘上具闭凸值的上半连续的紧算子,正是由于该算子的良好性质便于我们构造了连续函数空间里一个相对紧的解序列,从而我们能够得到上述主要结论.如果在F和g上附加的是渐近条件或强有界条件,我们同样能够得到定理 1.2中的结论(见Corollary 1.6和Remark 1.7).这些结果推广了文献[5, 64]中的相应结论至非局部多值情形.由于我们不再需要多值扰动F的Lipschitz型条件,因此这些结论即使对单值情形也是新的.在这一章的最后,我们还给出了这些结果在偏微分方程中的应用.第二章我们继续致力于研究上述多值微分包含问题,其中A是强连续有界线性算子族{S(t) : t∈[0,T]}的生成元, F是一个upper?Carathe′odory多值映射和g是某给定的算子.本章中我们主要利用不动点技巧、非紧测度性质、集值分析以及微分包含理论的相关已知结果,讨论了一般Banach空间中半线性微分包含适度解的存在性(见Lemma 2.9和Theorem 2.7).行文中,引理2.9给出的不等式对于整个定理 2.7的证明起着至关重要的作用.在定理2.7中,我们既没有对Banach空间附加任何条件,也没有假设半群的紧性,因此我们的结果推广了文[22, 28, 30, 88, 89,91]中的主要定理.第三章在实Banach空间中考虑如下发展型微分包含解的存在性这里线性无界算子族{A(t)}t∈[0,d]生成一强连续发展系统U(t, s), F仍是一多值映射.在这章中,我们首先证明了当g是全连续算子时上述发展包含适度解的存在性(见Theorem 3.5).在定理3.5中,对于包含的线性部分我们只假设其生成强连续的发展系统,既不需其紧性,甚至也不需其等度连续性.主要是在其证明中,设法构造了一个新的非紧测度,正是该正则测度便于我们寻找连续函数空间中的非空紧凸子集,从而大大降低了对发展系统的要求.因此该定理又从本质上进一步改善了第二章中给出的结果.其次讨论了当g是Lipschitz连续算子时该发展包含适度解的存在性(见Theorem 3.11).在定理3.11的证明中,我们充分利用了对非紧性测度的估计和叠加算子的性质,从而在不需要空间可分性和发展系统紧性的情形下得到了上述主要定理.因此我们的结果推广了这方面的许多工作(如文献[7, 22, 28, 30, 41, 47, 88, 91]).最后,我们应用定理 3.5给出的结果讨论了半线性偏微分方程的一个例子.第四章主要处理下列非线性非局部多值问题积分解的存在性及其渐近性态:其中耗散算子,生成压缩半群S(t), F是相应于其第二变量的弱上半连续多值映射, X~*是一致凸的Banach空间.4.1节中首先回忆了Banach空间的一些几何性质,接着介绍了一些基本概念,并给出了非自治耗散系统积分解的存在唯一性和Be′nilan不等式.在4.2节中,我们讨论了半群S(t)是等度连续和g是全连续情形下,上述非线性微分包含积分解的存在性(见Theorem 4.15). 4.3节得到了g是Lipschitz单值算子和多值映射F是关于Hausdor?距离的Lipschitz 型情形下积分解的存在性(见Theorem4.17).在最后的4.4节中,首先讨论了殆非扩张曲线的渐近性质,找寻殆非扩张曲线与我们所研究的耗散系统积分解之间的内在联系,并利用这些内在联系研究积分解u(t)在t趋于无穷时的渐近行为(见Theorem 4.23和Theorem 4.26).我们的结果改进了文[22, 58, 79, 80, 86, 87, 91, 92]中的许多已知结果.。

因子von neumann代数上完全保持交换性的映射

的ꎬ从而( ｉｉｉ) ⇒ ( ｉ) ⇒ ( ｉｉ) 是显然的ꎬ所以只需证
明( ｉｉ) ⇒ ( ｉｉｉ) . 接下来假设 Φ 是双边２－保交
数ｃ.
Φ ( ０ ) ＝０ꎻΦ ( Ｉ ) ＝ｃＩꎬ 对某一非零
首先证明 Φ ( ０ ) ＝０ꎬ 对于任意的Ｔ ∈ ꎬ由
æç ０
如果 Φ: →
是双边完全保交换的满射ꎬ则 Φ 是线性同构或共轭线性同构的非零常数倍ꎮ
关键词:因子ｖｏｎＮｅｕｍａｎｎ代数ꎻ完全保持ꎻ交换性
中图分类号:Ｏ１７７文献标志码: Ａｄｏｉ:１０. ３９６９ / ｊ. ｉｓｓｎ. １６７３－２０５７. ２０２０. ０１. ０１１
第４１卷第１期
２０２０年２月
太
原
科
技
大
学
学
报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＡＩＹＵＡＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ
Ｖｏｌ. ４１Ｎｏ. １
Ｆｅｂ. ２０２０

文献[８] 中了刻画ꎻ２００８年ꎬＰ. Šｅｍｒｌ在文献
[９] 中对全矩阵代数上保交换的单射连续映射进行
了刻画ꎮ
下面介绍完全保持的概念:令Ｘ和Ｙ是数域 F
( ＝ ℝ 或 )上的Ｂａｎａｃｈ空间. 对于线性子空间 ∈Ｂ
(Ｘ)ꎬ ∈Ｂ(Ｘ)ꎬ映射 Φ: → ꎬ以及每个ｎ∈ ℕ ꎬ定
年侯晋川和黄丽 [１０] 在标准算子代数上刻画了双边
玲 [１１] 刻画了在有限ｖｏｎＮｅｕｍａｎｎ代数完全迹秩不
增( 完全保迹秩) 映射ꎻ２０１４年ꎬ黄丽和刘艳晓 [１２] 在
收稿日期:２０１８￣０９￣１９

广义von_Neumann常数的几何性质

第28卷㊀第4期2023年8月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.4Aug.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广义von Neumann 常数的几何性质赵㊀亮,㊀赵平安(哈尔滨理工大学理学院,哈尔滨150080)摘㊀要:空间几何常数是空间几何性质的一种量化㊂为了进一步应用几何常数研究Banach 空间的几何结构,通过引入一个新的广义von Neumann 常数,给出了广义von Neumann 常数的连续性㊁对称性㊁有界性以及广义von Neumann 常数的等价形式,并用其判别了Banach 空间的一致非方性,通过两个例子给出几个特殊Banach 空间的广义Von Neumann 常数的计算式或估值㊂关键词:广义von Neumann 常数;连续性;对称性;有界性;一致非方DOI :10.15938/j.jhust.2023.04.017中图分类号:O177.2文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)04-0138-07Geometric Properties of Generalized Von Neumann ConstantZHAO Liang,㊀ZHAO Pingan(School of Science,Harbin University of Science and Technology,Harbin 150080,China)Abstract :Spatial geometric constant is a quantization of the properties of spatial geometry.In order to further apply the geometricconstant to study the geometry of the Banach space,a new generalized von Neumann constant is introduced.We give the continuity,symmetry,boundedness and the equivalent form of the generalized von Neumann constant,and judge the consistent non-square of the Banach space,and give the calculation formula or valuation of several special Banach space with two examples.Keywords :generalized von neumann constant;continuity;symmetry;boundedness;uniformly non-square㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2022-03-28基金项目:黑龙江省自然科学基金(A2016004).作者简介:赵平安(1998 ),女,硕士研究生.通信作者:赵㊀亮(1970 ),男,博士,教授,硕士研究生导师,E-mail:zhaoliang@.0㊀引言2005年,Gao J[1]引入了几个带参数的常数e ε(X ),E ε(X ),f ε(X ),F ε(X ),介绍了它们的一些几何性质,并且分别讨论了它们与正规结构及一致正规结构的关系,同时给出这些常数在一些经典空间的估计值㊂2006年,Gao J [2]引入高继常数E (X ),给出Banach 空间具有正规结构的几个充分条件,并计算了它的取值范围㊂2007年,Gao J[3]引入带参数t >0的几何常数,其中E (t ,X )=sup x ,y ɪS (X ){ x +ty 2+ x -ty 2}㊂Gao J 在文[4]中引入ξ,η>0的高继常数E ξ,η(X ),其中E ξ,η(X )=sup x ,y ɪS (X ){ ξx +ηy 2+ ξx -ηy 2}并且得到了Banach 空间X 具有一致正规结构的几个充分条件,同时给出E ξ,η(X )在一些具体空间中的估计值㊂同年王丰辉等计算出了l p ㊁L P [0,1]和Lorentz 空间的高继常数E (X )的值㊂2009年徐军[5]给出高继常数的一个等价定义并且计算其在L p [0,1]和l p 空间的精确值㊂本文对广义Von Neumann 常数E (λ,X )的刻画在一定程度上发展了已有的关于非平凡Banach 空间的相应结果㊂例如:文[6-13]关于一些结果已经进行了简单的介绍,能够促进不同研究方向的交流与进步,文[14-15]给出了一些特殊的Banach 空间的几何常数的计算式,类似地这里也计算了几个特殊Banach 空间的广义Von Neumann 常数㊂1㊀预备知识本文统一用X 表示Banach 空间,B (X )={x ɪX ʒ x ɤ1},S (X )={x ɪX ʒ x =1}分别代表X 上的闭单位球和单位球面㊂定义1[2]㊀E (X )=sup{ x +y 2+ x -y 2ʒx ,y ɪS (X )}称为Banach 空间X 上的高继常数㊂定义2[9]㊀Jordan-von Neumann 常数C NJ (X )的等价形式记作C ᶄNJ(X )=supx +y 2+ x -y 24ʒx ,y ɪS (X ){}㊂定义3[10]㊀L ᶄY (λ,X )=sup x ,y ɪS (X ){ λx +(1-λ)y 2+λ(1-λ) x -y 2}λɪ[0,1],是用来描述平行四边形法则的常数㊂定义4[16]㊀若存在δ>0,使得对任意的x ,y ɪS (X ),或者x +y 2<1-δ或者x -y2<1-δ,则称X 是一致非方的㊂引理1[17]㊀设x ,y ɪS (X ),对任意的εɪ(0,1),如果x +y2>1-ε,那么对任意的λɪ(0,1),z =λx +(1-λ)y ,有 z >1-2ε㊂引理2[18-19]㊀Clarkson 不等式1)当1ɤp ɤ2时,x +y p + x -y p ȡ( x + y )p +| x - y |p ;2)当2ɤp ɤɕ时,x +y p + x -y p ɤ( x + y )p +| x - y |p ㊂引理3[20]㊀设2ɤp ɤɕ.若a ,b ɪR +,则1)a p +b p ɤ(a 2+b 2)p2;2)(a 2+b 2)p2ɤ2p -22(a p +b p )㊂下面引入新常数,它是von Neumann 常数的推广㊂2㊀主要结果及证明定义5㊀E (λ,X )=supx ,y ɪS (X )λx +12y{2+(1-λ)x -12y2}λɪ(0,1),称为Banach 空间X的广义Von Neumann 常数㊂E (12,X )=C ᶄNJ (X )=E (X )4=L ᶄY (12,X ),这里L ᶄY (λ,X )是Liu Q 等[9]在2021年引入的㊂性质11)对称性:E (λ,X )=E (1-λ,X );2)连续性:E (λ,X )在(0,1)上关于λ是连续的;3)有界性:若X 是维数大于2的Banach 空间,那么12ɤE (λ,X )ɤ2λ2-2λ+52;4)一致非方性:若对任意的λɪ(0,1),使得E (λ,X )ɤ2λ2+2λ+12,λɪ(0,12]2λ2-6λ+92,λɪ[12,1)ìîíïïïï,则X 是一致非方的㊂证明:1)取 x =x , y =-y ,于是 x = y =1,则 x , y ɪS (X ),因此有E (1-λ,X )=supx , y ɪS (X )(1-λ) x +12y 2{+λ x -12 y 2}=sup x ,y ɪS (X )(1-λ)x -12y2{+λx +12y 2}=E (λ,X ),2)一方面,对任意的λɪ(0,12],x ,y ɪS (X ),ε>0,存在δ0=ε2>0,当0<δ<δ0,记a =(λ+δ)x +12y -λx +12y ,b =(λ+δ)x +12y +λx +12y ,c =[1-(λ+δ)]x -12y -(1-λ)x -12y ,d =[1-(λ+δ)]x -12y +(1-λ)x -12y ,A =(λ+δ)x +12y -λx -12y ,B =(λ+δ) x +12 y +λ x +12y ,C =[1-(λ+δ)]x -12y -(1-λ)x +12y ,931第4期赵㊀亮等:广义von Neumann 常数的几何性质D =[1-(λ+δ)+(1-λ)] x + y ,我们得到,a ɤA ,b ɤB ,c ɤC ,d ɤD ,(λ+δ)x +12y2+[1-(λ+δ)]x -12y2-λx +12y2-(1-λ)x -12y2=ab +cd ɤAB +CD =δ(2λ+δ+1)+(-δ)(3-2λ-δ)=2δ(δ+2λ-1)ɤ2δ2<ε,那么我们有E (λ+δ,X )-E (λ,X )<ε,另一方面,对任意的λɪ[12,1),取λ~=1-λɪ(0,12],显然有E (λ~,X )在(0,12]是连续的,那么对任意的ε>0,存在δ0>0,使得|E (λ~1,X )-E (λ~2,X )|<ε,若对λ~1,λ~2ɪ(0,12],|λ~1-λ~2|<δ0,有E (λ,X )=E (1-λ,X )=E (λ~,X ),可以得到|E (λ2,X )-E (λ1,X )|=|E (λ~1,X )-E (λ~2,X )|<ε,即E (λ,X )在(0,1)上关于λ是连续的㊂3)一方面,对于任意的x ,y ɪS (X ),由于 x ʃy ɤ x + y ,λx +12y ɤλ x +12 y =λ+12,(1-λ)x -12y ɤ(1-λ) x +12 y =1-λ+12=32-λ,由E (λ,X )的定义知E (λ,X )ɤ(λ+12)2+(32-λ)2=2λ2-2λ+52,另一方面,对于任意的x ,y ɪS (X ),λx +12y +(1-λ)x -12y ȡλx +12y +(1-λ)x -12y = x =1,因此有E (λ,X )ȡλx +12y2+(1-λ)x -12y 2ȡλx +12y2+(1-λx +12y )2=2(λx +12y -12)2+14[]ȡ124)应用反证法,若X 不是一致非方的,则对任意的εɪ(0,1),存在x ,y ɪS (X ),使得x +y 2>1-ε且x -y2>1-ε,根据引理1知1-2ε< z = λx +(1-λ)y =λx +12y +(12-λ)y ɤλx +12y +12-λ,可以推得λx +12y >1-2ε-12-λ,(1-λ)x -12y =(12-λ)x -12(x -y )ȡ12 x -y -12-λ>1-ε-12-λ,λx +12y2+(1-λ)x -12y2>1-2ε-12-λ()2+1-ε-12-λ()2,由ε的任意性知当λɪ(0,12]时,E (λ,X )>(1-12+λ)2+[1-(12-λ)]2=2λ2+2λ+12;当λɪ[12,1)时,E (λ,X )>(1-λ+12)2+[1-(λ-12)]2=2λ2-6λ+92㊂又由E (λ,X )的取值范围知当λɪ(0,12]时,2λ2-2λ+52ȡ2λ2+2λ+12ȡ12;当λɪ[12,1)时,2λ2-2λ+52ȡ2λ2-6λ+92ȡ12;E (λ,X )>2λ2+2λ+12,λɪ(0,12]2λ2-6λ+92,λɪ[12,1)ìîíïïïï㊂这与所给条件矛盾!则X 是一致非方的㊂定理1　设X 是非平凡的Banach 空间,有E (λ,X )=supx ,y ɪB (X )λx +12y2+(1-λ)x -12y2{}㊂证明:首先显然有041哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀supx ,y ɪS (X )λx +12y2+(1-λ)x -12y2{}ɤsupx ,y ɪB (X )λx +12y2+(1-λ)x -12y2{}㊂下面只需证相反不等式即可,令g (t )=λx +12y 2+(1-λ)x -12y 2,g 1(t )=tx +12y 2,g 2(t )=tx -12y 2㊂下面证明g 1(t )是凸的偶函数,g 1(λt 1+(1-λ)t 2)=[λt 1+(1-λ)t 2]x +y 2=λt 1x +y 2()+(1-λ)t 2x +y 2()ɤλt 1x +y 2+(1-λ)t 2x +y 2㊂于是g 1(t )是凸的偶函数,同样可以证得g 2(t )是凸的偶函数,两个凸的偶函数的和g (t )是凸的偶函数,对任意的x ,y ɪB (X ),对于 x ɤ1,有g (t )ɤgt x (),sup x ,y ɪB (X )(1-λ)x +12y 2+λx -12y 2{}ɤsup x ,y ɪB (X )(1-λ)x x +12y 2+λx x -12y 2{}=sup x ɪS (X )y ɪB (X )λx +y 22+(1-λ)x -y22{},令h (t )=λx +t2y2+(1-λ)x -t 2y 2,其中λ是固定的,取h 1(t )=λ0x +t 2y 2,h 2(t )=(1-λ0)x -t 2y 2,下面证明h 1(t )是凸的偶函数,h 1(λt 1+(1-λ)t 2)=λ0x +[λt 1+(1-λ)t 2]y2=λλ0x +(1-λ)λ0x +[λt 1+(1-λ)t 2]y2=ɤλλ0x +t 1y 2+(1-λ)λ0x +t 2y2㊂可见h 1(t )是凸的偶函数,同样可以证得h 2(t )是凸的偶函数,两个凸的偶函数的和h (t )是凸的偶函数,对任意的y ɪB (X ),有 y ɤ1,于是h (1)ɤh1 y (),则sup x ɪS (X )y ɪB (X )λx +y22+(1-λ)x -y22{}=h (1)ɤh 1 y ()=su p x ɪS (X )y ɪB (X )λx +y 2 y 2+(1-λ)x -y 2 y2{}=sup x ,y ɪS (X )λx +12y2+(1-λ)x -12y2{},于是得到广义Von Neumann 常数的等价形式E (λ,X )=supx ,y ɪB (X )λx +12y2+(1-λ)x -12y2{}㊂以下例子计算了几个特殊Banach 空间的广义Von Neumann 常数㊂3㊀实㊀例例1　1)E (λ,l 1)=2λ2-2λ+52;2)当1ɤp ɤ2时,E (λ,l p )ɤ21-2p {[1+(2-2λ)p ]2p +[1+(2λ)p ]2p };3)当2ɤp ɤɕ时,E (λ,l p )=2-2p(λ+12)p[{+(λ-12)p]2p +(32-λ)p[+(12-λ)p]2p};4)2λ2-2λ+52ȡE (λ,l ɕ)ȡλ2-2λ+54,λɪ(0,12]λ2+14,λɪ[12,1)ìîíïïïï㊂证明:1)取x =(1,0,0 ),y =(0,1,0 ),则x = y =1,由E (λ,X )的取值范围有2λ2-2λ+52ȡE (λ,l 1)ȡλx +12y2+(1-λ)x -12y2=(λ,12,0, )2+(1-λ,-12,0, )2=(λ+12)2+(32-λ)2=2λ2-2λ+52,于是得到E (λ,l 1)=2λ2-2λ+52㊂2)当1ɤp ɤ2时,对任意的x ,y ɪS (l p ),取a =λx +12y ,b =(1-λ)x -12y ,由引理2Clarkson 不等式有a +b p + a -b p ȡ( a + b )p +| a - b |p141第4期赵㊀亮等:广义von Neumann 常数的几何性质当λɪ(0,12]时,λx +12y +(1-λ)x -12y()pɤ1+(|2λ-1|+1)p =1+(2-2λ)p ,当λɪ[12,1)时,λx +12y +((1-λ)x -12y)pɤ1+(|2λ-1|+1)p =1+(2λ)p ,进而得到λx +12y +(1-λ)x -12y()pɤmin{1+(2-2λ)p,1+(2λ)p }ɤ1+(2-2λ)p+1+(2λ)p2,那么两边同时开p 次方得到λx +12y +(1-λ)x -12y ɤ1+(2-2λ)p +1+(2λ)p2()1p=2-1p[1+(2-2λ)p +1+(2λ)p ]1pɤ2-1p{[1+(2-2λ)p ]1p +[1+(2λ)p ]1p };上式两边再平方得到λx +12y 2+(1-λ)x -12y 2ɤλx +12y +(1-λ)x -12y()2ɤ2-1p [1+(2-2λ)p ]1p +[1+(2λ)p ]1p {}{}2ɤ21-2p[1+(2-2λ)p]2p+[1+(2λ)p]2p{},根据E (λ,X )的定义知,E (λ,l p )-εɤλx +12y 2+(1-λ)x -12y 2ɤ21-2p [1+(2-2λ)p ]2p +{[1+(2λ)p ]2p },由ε>0的任意性,令εң0,于是得到E (λ,l p )ɤ21-2p [1+(2-2λ)p ]2p +[1+(2λ)p ]2p {}㊂3)当2ɤp ɤɕ时,对任意的x ,y ɪS (l p ),取a =λx +12y ,b =(1-λ)x -12y ,由E (λ,X )的定义及引理3知,对任意的ε>0,使得E (λ,l p )-εɤλx +12y2+(1-λ)x -12y 2ɤ21-2pλx +12yp+(1-λ)x -12yp[]2p,再根据引理4Clarkson 不等式 a +b p+a -b pɤ( a + b )p+| a - b |p ,当λɪ(0,12]时,λx +12yp+(1-λ)x -12y pɤ(1-λ)x +12y p+(1-λ)x -12y p ɤ(1-λ+12)p+1-λ-12p=(32-λ)p+12-λp=(32-λ)p +(12-λ)p ,E (λ,l p )-εɤλx +12y2+(1-λ)x -12y 2ɤ21-2p [(32-λ)p +(12-λ)p ]2p ,当λɪ[12,1)时,λx +12yp+(1-λ)x -12yp=(1-λ)x +12yp+λx -12y p ɤλx +12yp+λx -12y p ɤ(λ+12)p +(λ-12)p ,E (λ,l p )-εɤλx +12y2+(1-λ)x -12y 2ɤ21-2p[(λ+12)p +(λ-12)p ]2p,由ε的任意性,令εң0,整理可以得到E (λ,l p )ɤ21-2p [(32-λ)p +(12-λ)p ]2p ,λɪ(0,12]21-2p [(λ+12)p +(λ-12)p ]2p ,λɪ[12,1)ìîíïïïï,即E (λ,l p )ɤmin 21-2p[(32-λ)p +(12-λ)p ]2p{,21-2p[(λ+12)p +(λ-12)p ]2p}ɤ1221-2p [(32-λ)p +(12-λ)p ]2p{+21-2p[(λ+12)p +(λ-12)p ]2p}=2-2p[(32-λ)p +(12-λ)p ]2p {+[(λ+12)p +(λ-12)p ]2p},241哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀另一方面,取x =2-1p (1,1,0, ),y =2-1p (1,-1,0, )ɪl p ,有 x = y =1,则λx +12yp=2-1p(λ+12,λ-12,0, )p=2-1p (λ+12)p+(λ-12)p[]1p,(1-λ)x -12yp=2-1p(12-λ,32-λ,0, )p=2-1p(32-λ)p +(12-λ)p[]1p,λx +12y2p=2-2p (λ+12)p +(λ-12)p[]2p,(1-λ)x -12y 2p=2-2p(32-λ)p+(12-λ)p[]2p,由于E (λ,l p )=sup λx +12y2+(1-λ)x -12y2{}ȡ2-2p(λ+12)p+(λ-12)p[]2p+(32-λ)p+(12-λ)p[]2p{},综上得到,当2ɤp ɤɕ时,E (λ,l p )=2-2p(λ+12)p +(λ-12)p[]2p+{(32-λ)p +(12-λ)p[]2p}4)取x =(1,0, ),y =(0,-1,0, ), x = y =1,由E (λ,X )的取值范围有2λ2-2λ+52ȡE (λ,l ɕ)ȡλx +12y2+(1-λ)x -12y2=(λ,12,0, )2+(1-λ,-12,0, )2=λ2-2λ+54,λɪ(0,12]λ2+14,λɪ[12,1)ìîíïïïï,进而得到2λ2-2λ+52ȡE (λ,l ɕ)ȡλ2-2λ+54,λɪ(0,12]λ2+14,λɪ[12,1)ìîíïïïï㊂设C [a ,b ]是[a ,b ]上所有实连续函数的线性空间,其范数定义为: x =sup t ɪ[a ,b ]|x (t )|㊂例2　E (λ,X )在C [a ,b ]空间的值:E (λ,C [a ,b ])=2λ2-2λ+52㊂证明:令x (t )=t -b a -b ,y (t )=1+b -ta -b, x (t ) =1, y (t ) =1,因为对任意非平凡的Banach 空间X 均有2λ2-2λ+52ȡE (λ,C [a ,b ])ȡλx (t )+12y (t )2+(1-λ)x (t )-12y (t )2=sup t ɪ[a ,b ]λt -b a -b +12(1+b -t a -b)2+supt ɪ[a ,b ](1-λ)t -b a -b -12(1+b -t a -b)2=(λ+12)2+(32-λ)2=2λ2-2λ+52,即证㊂4㊀结㊀论本文通过给出一个新的von Neumann 常数的定义,计算了其在具体空间的真实值或估值,并应用其判别了空间的一致非方性㊂参考文献:[1]㊀GAO J.Normal Structure and Pythagorean Approach inBanach Spaces [J].Periodica Mathematica Hungarica,2005,51(2):19.[2]㊀GAO J.A Pythagorean Approach in Banach Spaces[J].Journal of Inequalities and Applications,2006,2006:1.[3]㊀GAO J.Normal Structure and Some Parameters in BanachSpaces [J ].Nonlinear Func.Anal.Appl.2005,10(2):299.[4]㊀GAO J.On the Generalized Pythagorean Parameters andthe Applications in Banach Spaces[J].Discrete &Con-tinuous Dynamical Systems-B,2007,8(3):557.[5]㊀徐军.Banach 空间的一些几何常数及其性质[D].哈尔滨:哈尔滨理工大学,2009.[6]㊀杨长森,杜艳霞,陈利.广义James 常数和一致正规结构[J].河南师范大学学报:自然科学版,2008,36(3):7.YANG Changsen,DU Yanxia,CHEN Li.Generalized James Constant and Consistent Formal Structure [J ].Journal of Henan Normal University:Natural Science Edi-tion,2008,36(3):7.341第4期赵㊀亮等:广义von Neumann 常数的几何性质[7]㊀杨祥钊.Banach空间的若干几何常数及其性质[D].南宁:广西师范学院,2012.[8]㊀郑亚男.广义高继常数与广义光滑模的一些性质[J].河南师范大学学报,2011(4):12.ZHENG Yanan.On the Generalized James Constant andUniform Normal Structure[J].Journal of Henan NormalUniversity,2011(4):12.[9]㊀LIU Q,SARFRAZ M,LI Y.Some Aspects of General-ized Zb ganu and James Constant in Banach Spaces[J].Demonstratio Mathematica,2021,54(1):299. 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Banach空间的几何常数及其应用的开题报告

Banach空间的几何常数及其应用的开题报告1. 研究背景及意义Banach空间作为函数空间中最具代表性的一种，具有广泛的应用，如数学分析、微积分、偏微分方程、经济学、物理学等领域。

由于Banach空间具有完备性、凸性、线性等性质，它们在数学研究中是非常重要的。

其中，Banach空间的几何常数是衡量Banach空间各种几何性质的参数之一，对于研究Banach空间的几何结构、算子等有重要作用。

目前国内外对于Banach空间的几何常数进行了大量的研究。

例如，Pisier研究了赋范空间中随机算子所需要的几何常数，Førde和Pisier研究了不等式中几何常数与向量值的关系等。

此外，Banach空间的几何常数在欧氏空间、非线性波动方程、抽象Harmonic分析等领域中也有广泛的应用。

2. 研究内容本文将研究Banach空间的几何常数及其应用。

具体研究内容包括：（1）Banach空间的基本定义和性质；（2）Banach空间的几何常数的定义和性质；（3）Banach空间的几何常数的计算方法及在赋范空间、线性算子等方面的应用；（4）Banach空间几何常数的应用举例，包括欧氏空间、非线性波动方程、抽象Harmonic分析等领域中的应用。

3. 研究方法本文将采用文献研究法、数学分析法、计算机模拟法等方法。

具体研究过程包括：（1）查阅相关文献，了解Banach空间的基本定义和性质、Banach 空间的几何常数的定义和计算方法、Banach空间几何常数的应用等方面的研究进展；（2）通过数学分析方法，对Banach空间的几何常数进行研究和计算；（3）应用计算机模拟法，对Banach空间的几何常数进行模拟计算，并进行可视化表达。

4. 研究预期结果通过对Banach空间的几何常数及其应用的研究，预期达到以下效果：（1）系统了解Banach空间的基本定义和性质、Banach空间的几何常数的定义和计算方法、Banach空间几何常数的应用等方面的研究进展；（2）深入研究Banach空间的几何常数及其计算方法，得出相关理论结论；（3）阐述Banach空间的几何常数在赋范空间、线性算子等方面的应用，举例说明Banach空间几何常数在实际问题中的重要作用。

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数学物理学报
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Ｂａａｈ空间中ｖｎＮｅｍａｎＪｒａｎｃｏｕｎ．ｏｄｎ型常数的些性质
一＝，，【 Nhomakorabea一
杨长森王亚敏
（河南师范大学数学与信息科学学院河南新乡４３０）５０７
Ｎ．ｏ１
杨长森等：Ｂａａｈ空间中ｖｎＮｕｎ —ｏｄｎ型常数的一些性质ｎｃｏｅｍａｎＪｒａ
２３１
最近Ｔｋｈｓｉ引入了如下的Ｊｍｅ型常数ａａａｈ［］ａｓ
，
ｔ
（）ｕ｛ｄ［－ｌＩ＋ｆＩ：，７＝ｓｐ／］－￣ｘ一７ｌＩＩＸＹ∈ｓ），ｘ）．，
１引言
设为非平凡的Ｂｎｃａａｈ空间，位球．表示空间的单位球面，Ｂｘ表示空间的闭单
Ｂｎｃａａｈ空间的凸性模５（定义为：对 ∈（２有ｘｃ）０】，，
Ｉｖ ∈ ）ｌ）ｘｌｌ＋；ＩｅＩＩｚ＋ｖｌｘｌ；ｖ）Ｉ＞ｌ＝ｅｅ］ｙ］ｘ］＋Ｉｘ；ｙｘＩ＞，．Ｃ忪ｅＢ
摘要：该文主要给出ｙｎＮｅｍａｎＪｒａｏｕｎ．ｏｄｎ型常数的一些性质．首先得到利用ｖｎＮｅｍａｎｏｕｎ－Ｊｒａｏｄｎ型常数来刻划一致非方的等价条件．其次介绍了ｖｎＮｅｍａｎＪｒａｏｕｎ－ｏｄｎ型常数与正规
结构的关系．最后介绍了ｉ）（与其他空间常数之间的关系，例如ｉ与（）间的（）之
Ｔ
，
，
凸性征：Ｅ（＝ｓｐｅｘｅ＝０．０）ｕ｛，（５））个Ｂｎｃａａｈ空间称为Ｊｍｅａｓ意义上的一致非方，如果存在一个正数
一
＜２对于，
Ｖ，ｘＹ∈５，使得ｍｎ１＋ｌｌ一１．ｘｉ（ｌｌｌｌｘ，）Ｊｍｓａｅ常数是这样定义的，ＪＸ）ｕ｛ｎ１＋圳，一引），）显然有：（＝ｓｐｍｉ（ｌｘ忙Ｉ：Ｙ∈ ，
２ｖｎＮｅｍａｎＪｒａｏｕｎ－ｏｄｎ型常数的一些性质
苜先我们给出如卜果．结
定理２１对任意的Ｂｎｃ．ａａｈ空间ｘ，＜ｔ一∞ ＜∞， ≠０则ｔ，
（）ｓｌ＝ｕｐ圭兰
一ｐ
（ｕ匝ｌｌｌ，，Ｂｐｘｌｓ ∈ ）ｔｌｌ ∈ ，２ｖｌ＋￣，ｘ
关系等等．
关键词：ｙｎＮｅｍａｎＪｒａｏｕｎ，ｏｄｎ型常数；一致非方；正规结构．一
ＭＲ（００２０）主题分类：６２中图分类号：７．文献标识码：４Ｂ０Ｏ１７２Ａ
文章编号：０３３９（０２０ —１—０１０－９８２１）１２１－２
是Ｊｍｅ意义上的一致非方乍ｊｘ）．ａｓ（＜２
收稿日期：００．２０；２１－－９修订日期：０２０ —６１．２１ —２０
Ｅ－ａｉ：ｙａｇｃｎｇｅ９９￣ｓｎａ．ｏｍｍｌｎｈａｓｎ０１ｉｃ
基金项目：教育部科技司重点项目（００１、２８８）河南省基础与前沿技术项目（０３０１０２和河南省教育厅自然１２０４０１）科学研究计划项目（０７１０６２０Ｂｌ００）２０１０１，０８１０６资助
［
圳ｌ）２．＝
证
第一个等式由（的定义可知成立，下证第二个等式成立．）
［圭
］！± ！！二！：『：！！！！兰：兰 ± ］
ｌ（ｌ＋ｌｌＪ２１ｌｌｌｌｘ）＋
一
为方便起见，记（＝Ｊ，１．）ｘｔ）（本文主要涉及到ｙｎＮｕｎ —ｏｄｎ型常数的一些知识，下面先回顾一下它的定义［ｏｅｍａｎＪｒａ
ｕ；
＞．
我们用（表示丁＝１的情况．即（＝））．显见，（）（．）在这以前的一些文章中，涉及到的许多常数和上面提到的常数有关．Ｊｍｅ常数：ＪＸ）ｘ一。１；ａｓ（＝Ｊ，。（）ｖｎＮｕｎ．ｏｄｎ常数［．ＪＸ）（；ｏｅｍａｎＪｒａ２ＣＮ（＝］）光滑模：Ｐ７＝Ｊ，丁一１ｘ（）ｚ１）；－（Ｚ￣ａｕ常数［．ｚＸ）ｏＸ）ｂｇｎ２Ｃ（＝Ｃ（．］
其中７０一－， ∞ ｔ＜＋∞，当ｔ０一０时，有且 ≠ ，Ｏ
６（）６舰）） ÷ ）比６；＝；＝＝
由于ａｂ是关于ｔ的单调不减函数，故可定义，）
一
。。
（，）．ｉｔｎｂ＝ｍｉ（，）０ｂ＝１ｍ（，）ｎａ６．