张镇军圆锥曲线方程
圆锥曲线 公式
圆锥曲线是一个在三维空间中由一个固定点（焦点）和一个固定直线（直角方向线）确定的曲线。
根据焦点和直角方向线的位置关系，圆锥曲线可以分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
下面是各种圆锥曲线的基本方程：
1. 椭圆（Ellipse）的方程：
(x/a)² + (y/b)² = 1
其中，a为椭圆的长轴（长半径）长度，b为椭圆的短轴（短半径）长度。
2. 双曲线（Hyperbola）的方程：
(x/a)² - (y/b)² = 1 (右开口)
或
-(x/a)² + (y/b)² = 1 (左开口)
其中，a为双曲线的实轴（长半轴）长度，b为双曲线的虚轴（短半轴）长度。
3. 抛物线（Parabola）的方程：
y = ax² + bx + c
其中，a、b、c为抛物线方程的系数，确定了抛物线的形状和位置。
4. 直线（Line）的方程：
y = mx + c
其中，m为直线的斜率，c为直线的纵截距。
这些方程仅涵盖了基本形态的圆锥曲线方程。
在实际应用中，还可以根据具体情况进行方程的变形和扩展。
推导如何推导出圆锥曲线的标准方程
推导如何推导出圆锥曲线的标准方程圆锥曲线是数学中重要的曲线类型，在几何学和物理学等领域有广泛的应用。
推导出圆锥曲线的标准方程可以帮助我们更好地理解和研究它们的性质和特点。
本文将从圆锥体的定义开始，逐步推导出圆锥曲线的标准方程。
第一步，我们先回顾一下圆锥体的定义。
圆锥体是由一条直线L（生成直线）和一个点F（焦点）确定的，满足对于平面上的任意一点P，其到直线L的距离与到焦点F的距离之比都是常数e（离心率），即PF/PL=e。
在圆锥体中，如果生成直线L是平行于两个相互垂直的直线（参考系中的轴），则生成的曲线就是圆锥曲线。
以下我们假设焦点F的坐标为(Fx, Fy, Fz)，离心率为e，生成直线L与x、y、z轴的交点坐标分别为(A, 0, 0)，(0, B, 0)和(0, 0, C)，其中A、B、C为正实数。
我们将推导出椭圆、双曲线和抛物线三种圆锥曲线的标准方程。
一、椭圆的标准方程推导假设点P(x, y, z)为椭圆上的一点，由椭圆的定义可得：PF^2/PL^2 = (x - Fx)^2 + (y - Fy)^2 + (z - Fz)^2 / ((x - A)^2 + y^2 +z^2) = e^2化简上式，可以得到椭圆的标准方程：((x - Fx)^2 + (y - Fy)^2 + (z - Fz)^2) / ((x - A)^2 + y^2 + z^2) = e^2将该方程用参数表示，可以得到椭圆的参数方程：x = Fx + (A - Fx)cosθ + (B - Fy)sinθy = Fy - (A - Fx)sinθ + (B - Fy)cosθz = Fz + Csinθ其中，θ为角度变量，θ的取值范围根据椭圆的形状确定。
二、双曲线的标准方程推导双曲线的定义与椭圆类似，只是离心率e>1。
通过类似的推导过程，可以得到双曲线的标准方程：((x - Fx)^2 + (y - Fy)^2 + (z - Fz)^2) / ((x - A)^2 + y^2 + z^2) = e^2其中e为双曲线的离心率。
圆锥曲线标准方程
圆锥曲线标准方程圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
本文将重点介绍圆锥曲线的标准方程，以及它们在几何和代数上的性质。
首先，我们来看圆的标准方程。
圆的标准方程可以表示为：(x h)² + (y k)² = r²。
其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。
圆是一种特殊的椭圆，其长短轴相等。
接下来，我们来讨论椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。
其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
椭圆是一种闭合曲线，其所有点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆在几何光学、天体力学等领域有着重要的应用。
双曲线是另一种重要的圆锥曲线。
它的标准方程可以表示为：(x h)²/a² (y k)²/b² = 1。
或者。
(x h)²/a² (y k)²/b² = -1。
双曲线有两条渐近线，其性质和椭圆有很大的不同。
在电磁学、光学等领域，双曲线也有着重要的应用。
最后，我们来讨论抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程可以表示为：y = ax² + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
抛物线是一种开口朝上或开口朝下的曲线，其在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
通过以上介绍，我们可以看到圆锥曲线的标准方程在数学和实际应用中有着重要的地位。
它们描述了平面上各种不同的曲线形状，具有丰富的几何和代数性质。
深入理解和熟练运用圆锥曲线的标准方程，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
总之，圆锥曲线的标准方程是数学中的重要概念，对于理解和应用各种曲线形状具有重要意义。
圆锥曲线的极坐标方程公式推导过程
圆锥曲线的极坐标方程公式推导过程1.引言圆锥曲线是数学中重要的曲线，其中包括椭圆、抛物线和双曲线。
在本文中，我们将介绍如何推导出圆锥曲线的极坐标方程公式。
2.极坐标系的基本概念极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，与直角坐标系相互转化。
在极坐标系中，一个点的位置由极径和极角来确定。
其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与极坐标系的极轴正方向之间的夹角。
3.圆锥曲线的定义圆锥曲线是一个平面上的曲线，可以通过焦点和准线的定义来确定。
对于椭圆、抛物线和双曲线，它们各自都有不同的定义和性质。
3.1椭圆椭圆是指平面上到两个给定焦点的距离之和等于常数的点的集合。
在极坐标系下，椭圆的极坐标方程为：r=(a*(1-e^2))/(1-e*c osθ)其中，r表示点到原点的极径，a表示半长轴的长度，e表示离心率，θ表示极角。
3.2抛物线抛物线是指平面上到一个给定点的距离等于到一个给定直线的距离的点的集合。
在极坐标系下，抛物线的极坐标方程为：r=(2*p)/(1-c osθ)其中，r表示点到原点的极径，p表示焦点到准线的距离，θ表示极角。
3.3双曲线双曲线是指平面上到两个给定焦点距离之差等于常数的点的集合。
在极坐标系下，双曲线的极坐标方程为：r=(a*(e^2-1))/(1-e*c osθ)其中，r表示点到原点的极径，a表示半长轴的长度，e表示离心率，θ表示极角。
4.结论通过上述推导，我们得出了圆锥曲线在极坐标系下的方程公式。
这些公式使我们能够更加方便地描述和研究圆锥曲线的性质和特点。
希望本文能够帮助读者更好地理解圆锥曲线的极坐标方程推导过程，并在学习和研究中有所启发。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
二次曲线系方程解圆锥曲线
二次曲线系方程解圆锥曲线二次曲线是平面上的一种曲线，其方程形式为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0，其中A、B、C、D、E、F是系数。
二次曲线有许多不同的形状，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
在本文中，我们将重点讨论圆锥曲线。
圆锥曲线是二次曲线的一种特殊形式，其方程可以用矩阵表示为X^TAX=0，其中X和A分别是3维向量和3x3的矩阵。
圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型，它们在空间中的形状和性质各不相同。
首先我们来讨论椭圆。
椭圆是平面上的一种闭合曲线，其形状类似于圆。
椭圆的方程可以用标准形式表示为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心点，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半径。
椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行，且长轴大于短轴。
椭圆在物理学、几何学和工程学中广泛应用，如描述行星轨道、天体运动和信号处理等。
接下来是双曲线。
双曲线是平面上的一种开放曲线，其形状类似于两个交叉的直角双曲线。
双曲线的方程可以用标准形式表示为(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1或者(y-k)^2/a^2-(x-h)^2/b^2=1，其中(h,k)是双曲线的中心点，a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半径。
双曲线的两个分支分别与x轴和y轴平行，并且其渐近线方程为y=(b/a)x 和y=-(b/a)x。
双曲线在数学、物理学和工程学中具有重要的应用，如描述电磁场线、光学成像和网络拓扑等。
最后是抛物线。
抛物线是平面上的一种开放曲线，其形状类似于开口向上或向下的弧线。
抛物线的方程可以用标准形式表示为y^2=4ax 或者x^2=4ay，其中a是抛物线的焦点距离。
抛物线的焦点在y轴上方或者下方，且抛物线在焦点处与x轴垂直。
抛物线在物理学、工程学和天文学中有多种应用，如描述自由落体、抛物运动和天体轨道等。
总之，圆锥曲线是二次曲线的一种特殊形式，包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
第16讲 圆锥曲线等角定理(解析几何)(解析版)
第16讲圆锥曲线等角定理知识与方法圆锥曲线等角定理及其证明1.椭圆的等角定理:过椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上任意一点N(t,0)的一条弦端点与对应点G(a2t,0)的连线所成角被焦点所在直线平分，即∠OGA=∠OGB.【证明】只需证明k GA=−k GB,即k GA+k GB=0.即证:y Ax A−x G+y Bx B−x G=0,即证y A(x B−x G)+y B(x A−x G)=0,其中x G=a2t.又因为:x A=my A+t,x B=my B+t,故只需证明:my B+t−x Gy B+my A+t−x Gy A=0,即证:2m+(t−x G)(1y A +1y B)=0①联立{x=my+tx2a2+y2b2=1,得:(m2a2+1b2)y2+2mta2y+t2a2−1=0由韦达定理,得:y A+y B=−2mta2m2a2+1b2,y A y B=t2a2−1m2a2+1b2代入①式:等式左边=2m+(t−a 2t )(y A+y By A y B)=2m+(t−a2t)(−2mta2t2a2−1)=2m+(t−a2t)(−2mtt2−a2)=2m−2m=0故命题得证.2.双曲线的等角定理:过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)实轴上任意一点N(t,0)的一条弦端点与对应点G (a 2t ,0)的连线所成角被焦点所在直线平分，即∠OGA =∠OGB .该定理的证明方式和椭圆的类似,可以参照上面的解法进行证明.3.拋物线的等角定理:过抛物线y 2=2px(p >0)对称轴上任意一点N(a,0)的一条弦端点A 、B 与对应点G(−a,0)的连线所成角被对称轴平分.【证明】只需证明k GA =−k GB ,即k GA +k GB =0.即证:y Ax A −x G+y B x B −x G=0,即证:y A (x B −x G )+y B (x A −x G )=0① 其中x G =−a .设AB 所在直线方程为:x =my +a ,则有:x A =my A +a,x B =my B +a ,代入(1)中可得:my B +a−x Gy B+my A +a−x Gy A=0,化简，得:2m +2a (1y A+1y B)=0 ②联立{x =my +a y 2=2px ,得:y 2=2p(my +a),即y 2−2pmy −2pa =0由韦达定理，得：y A +y B =2pm,y A y B =−2pa.代入②式,等式左边=2m +2a (y A +y By A yB)=2m +2a (2pm−2pa )=0, 故命题得证.典型例题类型1:椭圆等角定理的应用【例1】设椭圆C:x 22+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交A,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明：∠OMA =∠OMB . 【答案】(1)y =−√22x +√2或y =√22x −√2;(2)见解析.【解析】（1）由已知得F(1,0),l 的方程为x =1. 由已知可得,点A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22). 所以AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2.(2)当l 与x 轴重合时,∠OMA =∠OMB =0∘.当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以∠OMA =∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1<√2,x 2<√2,直线MA,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1−2+y 2x 2−2.由y 1=kx 1−k,y 2=kx 2−k ,得k MA +k MB =2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)将y =k(x −1)代入x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0. 所以x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2−22k 2+1. 则2kx 1x 2−3k (x 1+x 2)+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0从而k MA +k MB =0,故MA,MB 的倾斜角互补,所以∠OMA =∠OMB . 综上,∠OMA =∠OMB .【例2】如图,两条相交线段AB 、PQ 的四个端点都在椭圆x 24+y 23=1上，其中直线AB 的方程为x =m ,直线PQ的方程为y =12x +n .(1)若n =0,∠BAP =∠BAQ ,求m 的值;(2)探究：是否存在常数m ,当n 变化时,恒有∠BAP =∠BAQ ? 【答案】（1）m =±1；（2）见解析.【解析】(1)依题意,当n =0时,由{x 24+y 23=1y =12x ,解得P (−√3,−√32),Q (√3,√32),因为∠BAP =∠BAQ ,所以k AP =k AQ , 设A(m,y),则y+√32m+√3y−√32m−√3=0,化简得2my =3,又由m 24+y 23=1,联立方程组{2my =3m 24+y 23=1,解得m =±1或m =±√3. 因为AB 平分∠PAQ ,所以m =±√3(不合题意）,所以m =±1. (2)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由{x 24+y 23=1y =12x +n ,整理得4y 2−6ny +3n 2−3=0,其中Δ=12(4−n 2),y 1+y 2=3n 2,y 1y 2=3(n 2−1)4,若存在常数m ,当n 变化时,恒有∠BAP =∠BAQ , 则由（1）可知只可能是m =±1,①当m =1时,取A (1,32),∠BAP =∠BAQ 等价于y+32m+1+y−32m−1=0, 即(2y 1−3)(2y 2−2n −1)+(2y 2−3)(2y 1−2n −1)=0,即4y 1y 2+3(2n −1)=2(n +2)(y 1+y 2)即3(n 2−1)+3(2n +1)=3n(n +2),此式子恒成立, 所以存在常数m =1,当n 变化时,恒有∠BAP =∠BAQ ;②当m =−1时,取A (−1,−32),由椭圆的对称性,同理可知结论也成立, 综上可得,存在常数m =±1,当n 变化时,恒有∠BAP =∠BAQ .【例3】已知点P(t,0)(t ≠0),直线AB 过点E (a 2t ,0)且与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)（或双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0))交于不同的两点A,B ,求证:直线PA,PB 与x 轴所成的较小的角相等. 【答案】见解析. 【解析】下面仅以椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)为例（如图)来证明,双曲线的情形可仿此证明.【证明】设点A 和点B 的坐标分别为(x 1,y 1)和(x 2,y 2),∵直线AB 过点E (a 2t ,0),∴设直线AB 的方程为y =k (x −a 2t ),代入椭圆方程可得:(b 2+a 2k 2)x 2−2a 4k 2t x +a 6k 2t2−a 2b 2=0∴x 1+x 2=2a 4k 2tb 2+a 2k 2,x 1x 2=a 6k 2t 2−a 2b 2b 2+a 2k 2∵k PA +k PB =y 1x 1−t +y 2x 2−t =y 1(x 2−t )+y 2(x 1−t )(x 1−t )(x 2−t )=k (x 1−a 2t)(x 2−t )+k (x 2−a 2t)(x 1−t )(x 1−t )(x 2−t )=k [2x 1x 2−(t +a 2t)(x 1+x 2)+2a 2](x 1−t )(x 2−t )=k [2(a 6k 2t 2−a 2b 2)b 2+a 2k 2−(t +a 2t)2a 4k 2t(x 1−t )(x 2−t )=0∴直线PA,PB 的斜率互为相反数,倾斜角互补, ∴直线PA,PB 与x 轴所成的较小的角相等.类型2：拋物线等角定理的应用【例4】已知倾斜角为45∘的直线l 过抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F ,且直线l 交拋物线C 于A 、B 两点.若点M (−p2,0),则tan∠AMB =() A.√2 B.2C.2√2D.2√6【答案】C【解析】过A 作AH ⊥x 轴,AA ′⊥准线L ′,BB ′⊥准线L ′. 设∠AMF =α,∠BMF =β,∠AFH =θ, 由于sinθ=AH AF=AHAA ′=tanα,所以tanα=sinθ=sin45∘=√22. 同理tanβ=sinθ=√22, 从而tan∠AMB =tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=2√2.所以tan∠AMB =2√2.【例5】已知F 是拋物线y 2=4x 的焦点,其准线与x 轴交于P 点,过点P 的直线l 与拋物线交于A,B 两点,若线段AB 上有一点M(x,y),满足|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则M 的轨迹方程是________. 【答案】x =1(−2<y <2且≠0) 【解析】解法1:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M(x,y),所以y−y 1y2−y 1=y1y 2⇒(y 1+y 2)y =2y 1y 2⋯⋯(1)由直线AB ：x =my −1和拋物线y 2=4x 联立,得y 2−4my +4=0⇒Δ=16m 2−16>0⇒m <−1或m >1⇒{y 1+y 2=4my 1y 2=4⋯(2)由(1)和(2)得4my =8⇒my =2代入直线AB:x =my −1,得x =1,y =2m ∈(−2,0)∪(0,2) 故M 点的轨迹方程是x =1(−2<y <2且y ≠0).解法2：延长BF ,与拋物线交于点C ,设∠APx =α,∠CPx =β,∠BFx =θ, 点B 在x 轴上的射影为H,A,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1, 则tanα=BH HP =BH BB 1=BHBF =sinθ,同理tanβ=sinθ,所以α=β.于是A,C 关于x 轴对称, 进而得△AFP ≅△∠CFP ,故∠AFP =∠CFP . 由条件|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |得:|AM||BM|=|PA||PB|, 又因为|PA||PB|=|AA 1||BB 1|=|AF||BF|,所以|AM||BM|=|AF||BF|,由角平分线定理得∠AFM =∠BFM .因为∠AFB +∠CFA =180∘,所以2∠AFM +2∠AFP =180∘, 故∠AFM +∠AFP =90∘,即∠MFP =90∘,即MF ⊥x 轴, 于是M 在直线x =1上（不在x 轴），且在拋物线开口之内.由{y 2=4x x =1⇒y =±2,得M 的轨迹方程为x =1(−2<y <2,且y ≠0). 【例6】已知A,B 是拋物线y 2=4x 上的两点,F 是焦点,直线AF,BF 的倾斜角互补,记AF,AB 的斜率分别为k 1,k 2,则1k 22−1k 12=________.【答案】1.【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由k AF +k AF =0,得y 1x 1−1=y 2x2−1即y 1y 124−1=y2y 224−1,得y 1y 2=4而k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y1+y 2,直线AB 的方程为y −y 1=4y1+y 2(x −x 1),即y =4y1+y 2x +y 1y 2y 1+y2,将y 1y 2=4代入，得y =4y1+y 2(x +1),可得直线AB 过定点K(−1,0),即准线x =−1与x 轴的交点. 设点A 在准线上的投影为A 1,在x 轴上的投影为H ,记∠AKx =α,∠AFx =θ,则tanα=AH KH=AH AA 1=AH AF =sinθ于是1k 22−1k 12=1tan 2α−1tan 2θ=1sin 2θ−1tan 2θ=1sin 2θ−cos 2θsin 2θ=sin 2θsin 2θ=1.【例7】设椭圆C:x 22+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA =∠OMB . 【答案】(1)y =−√22x +√2或y =√22x −√2;(2)见解析.【解析】（1）由已知得F(1,0),l 的方程为x =1. 由已知可得,点A 的坐标为(1,√22)或(1,−√22). 所以AM 的方程为y =−√22x +√2或y =√22x −√2.(2)解法1:设直线l 的方程为:my =x −1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),k AM =y 1−0x 1−2,k BM =y 2−0x 2−2联立方程组得:{my =x −1x 22+y 2=1 消元整理得：(m 2+2)y 2+2my −1=0(1)因为点F 为椭圆的右焦点,所以方程(1)有两个实数根分别为y 1,y 2. 由韦达定理可得:y 1+y 2=−2m 2+m 2,y 1y 2=−12+m 2 所以k AM +k BM =y 1−0x1−2+y 2−0x2−2=y 1my1−1+y 2my2−1=2my 1y 2−(y 1+y 2)(my 1−1)(my 2−1)=−2m 2+m 2+2m2+m 2(my1−1)(my 2−1)=0.解法2:椭圆第二定义过点A,B分别作椭圆右准线的垂线垂足分别为A1,B1（如图所示）由椭圆的第二定义可得：e=AFAA1=BFBB1,所以有：AFBF =AA1BB1①,又因为AA1//x轴//BB1,所以AFBF =A1MB1M②由①②得AA1BB1=A1MB1M,即有AA1A1M=BB1B1M且∠AA1M=∠BB1M,所以△AA1M≅△BB1M,即可得∠AMA1=∠BMB1,故∠OMA=∠OMB.【例8】在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x 24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.【解析】（1）联立{y=ay=x24,不妨取M(2√a,a),N(−2√a,a),由曲线C:y=x 24可得:y′=x2,∴曲线C在M点处的切线斜率为2√a2=√a,其切线方程为:y−a=√a(x−2√a),即为√ax−y−a=0.同理可得曲线C在点N处的切线方程为:√ax+y+a=0. (2)存在符合条件的点(0,−a),下面给出证明:设P(0,b)满足∠OPM=∠OPN,联立{y=kx+ay=x24,得x2−4kx−4a=0，设M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.则x1+x2=4k,x1x2=−4a所以k1+k2=y1−bx1+y2−bx2=2kx1x2+(a−b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a当b=−a时,k1+k2=0,直线PM,PN的倾斜角互补,∴∠OPM=∠OPN.即点P(0,−a)符合条件.强化训练1.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为抛物线的准线与x轴的交点,若tan∠AMB=2√2,则|AB|=________.【答案】【解析】sinθ=AHAF =AHMH=tanα,同理sinθ=tanβ，于是tanα=tanβ,∴α=β由tan2α=2√2⇒2tanα1−tan2α=2√2⇒tanα=√22∴sinθ=√22,∴AB=2psin2θ=82.已知点P(t,0)(t≠0),直线AB过点E(−t,0),且与抛物线y2=2px(p>0)交于不同的两点A,B,求证：直线PA,PB与x轴所成的较小的角相等.【答案】见解析.【解析】设点A和点B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),∵直线AB过点E(−t,0),∴设直线AB的方程为x=my−t代入抛物线的方程得:y2−2pmy+2pt=0,∴y1+y2=2pm,y1y2=2pt∵k PA+k PB=y1x1−t+y2x2−t=y1(x2−t)+y2(x1−t)(x1−t)(x2−t)=y1(y222p−t)+y2(y122p−t)(x1−t)(x2−t)=(y1+y2)(y1y22p−t)(x1−t)(x2−t)=0∴直线PA,PB的斜率互为相反数,倾斜角互补,∴直线PA,PB与x轴所成的较小的角相等.3.已知抛物线C:x2=4y的交点为F,准线与轴相交于点P,过F的直线与C交于A、B两点,若|PA|=2|PB|,则|AB|=A.5B.92C.√5 D.3√22【答案】B【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由圆锥曲线中的等角定理可知,y轴是∠APB的平分线由角平分线定理可知|AF||BF|=2,即y1+1y2+1=2,故y1=2y2+1设直线AB方程为x=my+1,与抛物线方程联立得,my2+(2m−4)y+1=0故y1+y2=4−2mm2,y1y2=1m2,解方程组{y1=2y2+1y1+y2=4−2mm2y1y2=1m2得{y1=2y2=12m=1故|AB|=y1+y2+2=92.4.已知抛物线y2=4x的准线与x轴相交于点P,过点P且斜率为k(k>0)的直线与拋物线交于A,B两点,F为拋物线的焦点,若|FB|=2|FA|,则AB的长度为()A.32B.2 C.√172D.√17【答案C】【解析】由|FB|=2|FA|及抛物线定义知,A为PB的中点,设A(y 24,y),B(y22+1,2y)代入抛物线方程4y2=4(y22+1),解得y=±√2不妨设A(12,√2),所以|AB|=|PA|=√(12+1)2+(√2−0)2=√172，故选C.。
圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程描述圆锥曲线是在三维空间中的一类曲线，它由一个固定的点（焦点）和一个固定的直线（准线）决定。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
在本文档中，我们将重点介绍这些圆锥曲线的参数方程表示。
椭圆的参数方程椭圆是圆锥曲线中一种闭合的曲线，它的形状类似于拉伸的圆。
椭圆的参数方程可以表示为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a代表椭圆的长轴的长度，b代表椭圆的短轴的长度，t代表参数。
参数t的范围通常是0到2π，这样可以保证椭圆的闭合性。
双曲线的参数方程双曲线是圆锥曲线中的另一种类型，它的形状类似于打开的弓形。
双曲线的参数方程可以表示为：x = a * cosh(t)y = b * sinh(t)其中，a代表双曲线的长轴的长度，b代表双曲线的短轴的长度，t代表参数。
双曲线的参数范围通常是负无穷到正无穷，以确保它的无限延伸性。
抛物线的参数方程抛物线是圆锥曲线中的第三种类型，它的形状类似于打开的碗。
抛物线的参数方程可以表示为：x = a * t^2y = b * t其中，a和b代表抛物线的系数，t代表参数。
抛物线的参数范围通常是负无穷到正无穷。
示例以下是一个使用Python的Matplotlib库实现的示例代码，演示如何使用参数方程绘制圆锥曲线（椭圆）。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltt = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)a =3b =2x = a * np.cos(t)y = b * np.sin(t)plt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Ellipse')plt.grid(True)plt.axis('equal')plt.show()总结本文介绍了圆锥曲线的参数方程，包括椭圆、双曲线和抛物线的参数方程表示。
圆锥曲线 方程
圆锥曲线 方程 圆锥曲线是二维平面上的一个重要几何概念，它由一个固定点（称为焦点）和一条固定直线（称为直准线）确定。圆锥曲线的方程描述了其几何特征和性质，并在数学和物理中有着广泛的应用。
一、椭圆的方程 椭圆是圆锥曲线中的一种，其方程可以通过以下形式表示： （x - h）²/a² +（y - k）²/b² = 1 其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。 二、双曲线的方程 双曲线也是圆锥曲线的一种重要类型，其方程可以表示为： （x - h）²/a² -（y - k）²/b² = 1 或 （y - k）²/b² -（x - h）²/a² = 1 其中(h, k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线的长轴半径和短轴半径。
三、抛物线的方程 抛物线是另一种常见的圆锥曲线，其方程可以表示为： y = ax² + bx + c 其中a、b和c是常数，确定了抛物线的形状和位置。 四、圆的方程 圆是圆锥曲线中最简单的一种，其方程可以表示为： （x - h）² +（y - k）² = r² 其中(h, k)是圆的中心坐标，r是半径长度。 圆锥曲线的方程不仅用于描述几何特征，还广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。通过对方程的分析和计算，我们可以了解曲线的对称性、焦点、顶点、离心率等重要性质，从而更好地应用和理解圆锥曲线在实际问题中的应用。
总结： 本文简要介绍了圆锥曲线及其方程。椭圆、双曲线、抛物线和圆分别对应了不同的方程形式，通过对这些方程的分析，我们可以揭示曲线的重要性质。圆锥曲线的研究在数学和物理学中有着广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。希望本文能够对读者对圆锥曲线有一个初步的了解，为深入研究和应用提供基础。
圆锥曲线极线方程
圆锥曲线极线方程
圆锥曲线是一类常见的数学曲线，它在几何学和物理学中都有广泛的应用。
其中，极线方程是一种描述该曲线的常用方式之一。
在极坐标系中，曲线上的点可以用极径和极角来表示。
极线是一条通过原点的直线，它与曲线的交点叫做极点。
圆锥曲线的极线方程指的是从极点出发，将极线平移后与曲线的交点所满足的方程式。
对于椭圆，它的极线方程为 r = a(1-e^2)/(1-e*cosθ)，其中r是距离极点的距离，a是椭圆长半轴长度，e是离心率，θ是极角。
对于双曲线，它的极线方程为 r = a(1+e*cosθ)，其中r是距离极点的距离，a是双曲线距离中心点的距离，e是离心率，θ是极角。
对于抛物线，它的极线方程为r = 2a/(1+cosθ)，其中r是距离极点的距离，a是抛物线的参数，θ是极角。
通过极线方程，我们可以了解曲线的一些特性，例如离心率、直线与曲线的交点等等。
因此，极线方程在圆锥曲线的研究中具有重要的地位。
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圆 锥 曲 线 一、基本思想和基本方法 ⒈基本思想：运动与联系、特殊与一般、函数与方程、转化与类比 ⒉基本方法：代数方法、几何方法、向量方法、三角代换 ⒊基本问题：①由性质求轨迹方程 ②由方程研究性质
二、常见的几种题型 ⒈ 求轨迹方程 ⒉ 弦长公式极其应用 ⒊ 垂直半径的问题 ⒋ 弦的中点与斜率的关系 ⒌ 圆锥曲线上关于直线的对称点问题 ⒍ 圆锥曲线的切线问题 ⒎ 圆锥曲线中的不等式问题
三、几组公式： ㈠三类弦长（e表示离心率,p表示焦准距,α弦所在直线的倾斜角）： 1．焦点弦的弦长：
椭圆： |AB|=22cos12eep；
双曲线：|AB|=|cos1|222eep；当22cos1e＞0时，AB是内点弦，当 22cos1e＜0时，AB是外点弦．
抛物线：|AB|=2sin2p．
2．中心弦的弦长： 椭圆： |AB|=22cos12eb； 双曲线：|AB|=1cos222eb．
3．顶点弦的弦长（这里的顶点在长轴、实轴上）： 椭圆： |AB|=22cos12eep|cosα|；
双曲线： |AB|=|cos1|222eep|cosα|； 抛物线： |AB|=2sin2p|cosα|． ㈡ 与圆锥曲线离心率相关的几个角（以椭圆为例）： ⒈ 命题1：设P（x，y）是椭圆2222byax=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是
椭圆的两个焦点，∠F1PF2=α，则y=±b时，max＝2arctgbc， 简证：由△PF1F2的面积为S=b2 tg2 =c|y|，所以tg2 =2byc．（或由均值定理）． 2．命题2.设P（x，y）是椭圆2222byax=1（a＞b＞0）上一点。∠A1PA2=α，∠B1ＰB2=β，则当y=±b时，baarctg2max；当x=±a时，abarctg2max． 简证：设PA1、PA2的斜率分别为K1、K2，则K1=axy，K2=axy； 可得：K1K2 ＝－22ab；由到角公式和均值定理既可证明． ⒊命题3：设P、Q是椭圆2222byax=1（a＞b＞0）的左焦点弦，倾斜角为α，
O是原点，∠POQ=β，则当α=900时，acbarctg2min2． ⒋命题4：设P，Q是椭圆12222byax（a＞b＞0）的左焦点弦，倾斜角 为，O是原点，A1，A2是椭圆长轴的两个顶点。设∠PA2Q=，∠PA1Q=，
则当=900时，caeparctg2min；当=900时，caeparctg2max． 说明：命题在双曲线、抛物线形式略有变化，研究方法相同． ㈢ 圆锥曲线中的三角形： ⒈ 焦点三角形：
① 面积：S=c|y|/2=b2tg2=b221brr
② 离心率：e=sinsin)sin( ⒉ 与焦点弦有关的三角形：
S=22cos1sineepc S= 22cos1sin2eepc S=22cos1sin)(ecaep
⒊ 与准线有关的三角形 EF1平分∠QEP，S=222cos1sineep； FQ⊥OQ，S=abp/c． 四、例题讲解 ㈠轨迹方程的求法 例题⒈（坐标法）点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为p，MN为l上的定长线段，且|MN|=2p， ⑴当|MN|在直线l上滑动时，求△AMN外心C的轨迹E。
⑵当圆心C在E上什么位置时，|AM|+|AN|=23p？ 说明：一般步骤： ① 选择适当的直角坐标系．②设所求点为P（x，y），并写出相关点的坐标． ③ 出一个含已知点和所求点的等式．④用坐标表示这个等式，并化简整理． ⑤ 去“坏”点．
例题⒉ （判断轨迹法）已知⊙O的方程为x2+y2=4；定点A（4，O）；求过定点A且与⊙O相切的动圆圆心P的轨迹方程． 答案：（x-2）2-y2/3=1 说明：一般步骤： ① 根据条件判断是否为学过的点的轨迹方程．②判断轨迹的位置． ③利用已知的方程形式，设出待定系数求解．④整理检验．
例题⒊（转移法）F1、F2是椭圆x2/2+y2=1的两个焦点，P是抛物线y=x2上的动点，求三角形F1PF2的重心轨迹方程． 答案：y=3x2（消参法，交轨法） 说明：一般步骤 ①设所求点为P（x，y），相关点为Q（x0，y0）。②建立P、Q坐标的关系式，解出x0，y0 ；③代入F（x，y）=0。④整理检验。
例题⒋已知三点A（-4，0）、B（4，0）、F（8，0），直线l的方程为x=2，过F作互相垂直的两条直线，分别交l于M、N点，直线AM、BN交于P点，求P点的轨迹方程．答案：（x2/16-y2/48=1） 说明：一般步骤： ①若所求动点P（x，y）的坐标关系不易找到，也没有相关点可以利用，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，然后再消去参数，建立普通方程． ②参数的选择丰富多彩，常用的有变角、变斜率、有向线段数量等等．
㈡直线与圆锥曲线： ⒈ 直线l：y=5/3（x-C）交双曲线C：x2-y2/3=1于A、B点，OA⊥OB，求|AB|．4
⒉ 已知抛物线y2=2x，直线l在y轴上的截距为2，且与抛物线交于P、Q两点，以|PQ|为直径的圆过原点，求该直线的方程。 答案：y=-x+2
例题⒉ （弦的中点与斜率的关系） ⑴ 已知椭圆012222babyax与直线x+y=1交于A、B两点，|AB|=22，AB
的中点M与椭圆中心连线的斜率为2/2，求椭圆的方程。 答案：（Ax2+By2=1；x2+2y2/=3） ⑵ 双曲线C：x2/4-y2/2=1。①过M（1，1）的直线，交双曲线于A、B两点，求直线AB的方程。②是否存在直线l，使N（1，1/2）为l被双曲线所截弦的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。 答案：x-2y+1=0；不存在，因为直线与双曲线无公共点。
例题⒊ (圆锥曲线中的对称问题) ⑴ 若抛物线y=ax2-1（a＞0）上存在关于直线x+y=0对称的两个点，求a的取值范围。 答案：a＞3/4 （提示：由交点弦的中点在x+y=0上及△＞0求出；或由弦的中点在内部求出）
⑵ 已知椭圆方程为C：x2/4+y2/3=1。试确定m的范围，使得椭圆C上存在着不同的两个点，关于直线l：y=4x+m对称。
答案：M∈（-213/13，213/13）
㈢圆锥曲线的切线问题
例⒈（江苏理本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴
正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线2yx相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于,PQ， （1）若2OAOB，求c的值； （2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。 解：（1）设过C点的直线为ykxc，所以20xkxcc，即20xkxc，设
A1122,,,xyBxy，OA=11,xy，22,OBxy，因为2OAOB，所以
BAx
y
OC
Ql
P12122xxyy，即12122xxkxckxc，221212122xxkxxkcxxc 所以222ckckckc，即220,cc所以21cc舍去 （2）设过Q的切线为111yykxx，/2yx，所以112kx，即
2211111222yxxxyxxx，它与yc的交点为M11,22xccx，又
21212,,2222xxyykkPc
，所以Q,2kc，因为12xxc,所以21cxx，
所以M12,,222xxkcc,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。 （3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q,2kc，因为PQx轴，所以,2PkPy
因为1222xxk，所以P为AB的中点。 例⒉（安徽文本小题满分14分）设F是抛物线G:x2=4y的焦点. （Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：
（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足0·FBFA,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.
解：（I）设切点2004xQx，．由2xy，知抛物线在Q点处的切线斜率为02x，故
所求切线方程为2000()42xxyxx． 即20424xxyx． 因为点(0)P，在切线上． 所以2044x，2016x，04x． 所求切线方程为24yx． （II）设11()Axy，，22()Cxy，． 由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设0k． 因直线AC过焦点(01)F，，所以直线AC的方程为1ykx．