信号与系统 微分方程式的求解
信号与系统 典型公式
( t )e
j t
dt 1
F [1] 2 ( )
若f (t ) F ( )则F (t ) 2f ( )即F F (t ) 2 f ( )
(四)尺度变换特性
1 F [ f (at )] F( ) a a
若
t2
t1
f1 ( t ) f 2 ( t )dt 0 (p326式(6-53))
则称f1(t)与f2(t)在区间（t1,t2）上(相互)正交。 对复值函数f1(t)，f2(t)(p329)
f1 ( t ), f 2 ( t )正交 f1 ( t ) f *2 ( t )dt 0
更一般的三角函数形式傅里叶级数（FS）
f (t ) a 0 [a n cos( n 1 t ) b n sin( n 1 t )]
n 1
f (t) c0 cn cos( n1t n ) d 0 d n sin( n1t n )
n 1 n 1
f(t)的直流分量=其任意周期的直流分量
f(t)=fD(t)+fA(t)，
f(t)的功率=fD(t)的功率+fA(t)功率 三、偶分量与奇分量分解
f(t)=fe(t)+fo(t)
f(t)的功率=fe(t)功率+fo(t)功率 且
f (t ) f ( t ) f（t） e 2
f (t ) f ( t ) f（t） o 2
时域卷积定理 若
F[ f1 (t )] F1 ( )
F[ f2 (t )] F2 ()
则
F[ f1 (t )* f2 (t )] F1 () F2 ()
信号与系统 陈后金 第二版 课后习题答案(完整版)
（1） f (t) = 3sin 2t + 6 sinπ t
（2） f (t) = (a sin t) 2
（8）
f
(k)
=
cos⎜⎛ ⎝
πk 4
⎟⎞ ⎠
+
sin⎜⎛ ⎝
πk 8
⎟⎞ ⎠
−
2
cos⎜⎛ ⎝
πk 2
⎟⎞ ⎠
解：（1）因为 sin 2t 的周期为π ，而 sin πt 的周期为 2 。
显然，使方程
−∞
0
2-10 已知信号 f (t) 的波形如题 2-10 图所示，绘出下列信号的波形。
f (t)
2
1
−1 0
t 2
题 2-10 图
（3） f (5 − 3t) （7） f ′(t) 解：（3）将 f (t) 表示成如下的数学表达式
（5） f (t)u(1 − t)
由此得
⎧2
f
(t)
=
⎪ ⎨ ⎪ ⎩
f (t)u(1− t) 2
1
0.5
t
−1 0
1
（7）方法 1：几何法。由于 f (t) 的波形在 t = −1处有一个幅度为 2 的正跳变，所以 f ′(t) 在 此处会形成一个强度为 2 的冲激信号。同理，在 t = 0 处 f ′(t) 会形成一个强度为 1 的冲激信 号（方向向下，因为是负跳变），而在 0 < t < 2 的区间内有 f ′(t) = −0.5 （由 f (t) 的表达式可
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《信号与系统》（陈后金等编）作业参考解答
（2）显然，该系统为非线性系统。 由于
T{f (t − t0 )}= Kf (t − t0 ) + f 2 (t − t0 ) = y(t − t0 )
信号与系统第二章第一讲
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统_2_微分方程求解
第2-11页
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©三峡大学 电气信息学院 电子工程系
信号与系统 电子教案
说明
•对于一个具体的电网络，系统的 0状 态就是系统中
储能元件的储能情况;
将初始条件代入，得
y(0) = (C1+P0) + C2=1， y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2 , C2= –1 最后得微分方程的全解 为
y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t, t≥0
上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因 而也不能区分自由响应和强迫响应。
微分方程的经典解：
y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）
齐次解是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根 确定。
特解的函数形式与激励函数的形式有关。P41表2-1、 2-2
第2-4页
2.2 冲激响应和阶跃响应 一、卷积代数
一、冲激响应
二、奇异函数的卷积特性
二、阶跃响应
三、卷积的微积分性质
四、卷积的时移特性
第2-3页
■
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信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)
信号与系统 梁风梅主编 电子工业出版社 ppt第三章答案
习题三3.1考虑一个连续时间LTI 系统，满足初始松弛条件，其输入)(t x 与输出)(t y 的关系由下列微分方程描述：d ()4()()d y t y t x t t+= (1)若输入(13)()()j t x t e u t -+=，求输出)(t y 。
(2)若输入()e cos(3)()t x t t u t -=，求输出)(t y 。
解：此系统的特征方程为40s += 所以4()t h y t Ae -= (1)(13)()()j tx t eu t -+=设(13)()e j t p y t Y -+= 则(13)(13)(13)(13j)e 4e e ,0j tj t j t Y Y t -+-+-+-++=>解得11336jY j -==+ 所以4(13)1()()()e e ()6t j t h p j y t y t y t A u t --+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭又因为初始松弛，所以106jA -+= 即16j A -=所以4(13)11()()()()()66t j th p j j y t y t y t e e u t --+--=+=+ (2)()cos(3)()t x t e t u t -=是(1)中(13)()()j tx t eu t -+=的实部，用2()x t 表示cos(3)()t e t u t -，用1()x t 表示(13)()j t e u t -+观察得{}21()Re ()x t x t =所以{}421111()Re ()cos(3)sin(3)()666t t t y t y t e e t e t u t ---⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭3.2若离散时间LTI 系统的输入[]x n 与输出][n y 的关系由下述差分方程给出：][]1[25.0][n x n y n y =--求系统的单位冲激响应][n h 。
解：[]0.25[1][]h n h n n δ=-+因为该系统是因果的，所以0n <时，[]0h n =2231[0]0.25[1][0]01111[1]0.25[0][1]1044111[2]0.25[1][2]0444111[3]0.25[2][3]0444 (111)[]0.25[1][]0444n nh h h h h h h h h n h n n δδδδδ-=-+=+==+=⨯+==+=⨯+==+=⨯+==-+=⨯+=综上，1[][]4n h n u n = 3.3系统S 为两个系统1S 与2S 的级联：S1：因果LTI 系统，[]0.5[1][]w n w n x n =-+； S2: 因果LTI 系统，[][1][]y n ay n bw n =-+][n x 与][n y 的关系由下列差分方程给出：[]0.125[2]0.75[1][]y n y n y n x n +---=(1) 确定a 与b 。
信号与系统微分方程式的经典解法.ppt
完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称为系统的强迫响应.特 征方程根i(i=1,2,…,n)称为系统的“固有频率”(或“自由频率”) 上例中完全解的分解如下:
1 1 1 5 t t t y ( t ) t 0 e e te 16 16 4
完全响应 自由响应 强迫响应
n k 1
齐次解形式：（和特征根有关）
Ck e
kt
线性时不变系统经典求解
特征根 齐次解的形式
对于每一个单根
k重实根
k r
给出一项
Ce rt
r
rt rt k 1 rt C e C te C t e 1 2 k
aj b 12 ,
k重复根
at at C e cos bt C e bt 1 2 sin
信号与系统23微分方程经典求解法1信号与系统n阶常系数微分方程的求解法thesolutionmethodforconstantcoefficientdifferenceequationofnthorder时域分析法经典法变换域法第四章拉普拉斯变换法微分方程求解全响应齐次方程通解非齐次方程特解全响应齐次方程通解非齐次方程特解自由响应受迫响应全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应解齐次方程卷积法2信号与系统n阶线性时不变系统的描述一个线性系统其激励信号与响应信号之间的关系可以用下列形式的微分方程式来描述一个线性系统其激励信号与响应信号之间的关系可以用下列形式的微分方程式来描述xtrt11011ddddddnnnnnnmmaytaytaytttbbb??????阶次
t e cos(t)
p at
a t t eB [1 c o s ( t ) B s i n ( t ) ]当a＋jb是特征根 2
信号与系统第二版课后答案
所以
5-4用部分分式法求下列象函数的拉氏反变换。
(1)
(2)
(3)
(4)
解(1)
故有
所以
(2)
可得
又
可得
B= 0，C= 1
所以
(t)s(t)，(t)s(t)
故有
y1(t)=yzi(t)+s(t)= 3e3t(t)
y2(t)=yzi(t)s(t)= e3t(t)
从而有
y1(t)y2(t)= 2s(t)= 2e3t(t)
即
s(t)= e3t(t)
故冲激响应
h(t)=s(t)=(t)3e3t(t)
2-16若系统的零状态响应
y(t)=f(t)*h(t)
也可以利用迟延性质计算该卷积。因为
(t) *(t)=t(t)
f1(tt1) *f2(tt2)=f(tt1t2)
故对本题，有
(t+ 3 ) *(t5 )=(t+ 35)(t+ 35)=(t2)(t2)
两种方法结果一致。
(b)由(t)的特点，故
(t) * 2= 2
(c)tet(t) *(t)= [tet(t)]= (ettet)(t)
解(1)
(2)
3-6对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为
题3-6图
证因为
0，|t| >
则
3-7试求信号f(t) = 1 + 2cost+ 3cos3t的傅里叶变换。
解因为
12()
2cost2[(1)+(+ 1)]
3cos3t3[(3)+(+ 3)]
故有
F() = 2[() +(1)+(+ 1)]+3[(3)+(+ 3)]
3.2微分方程的经典求解方法讲解
n
b0 b2
思考题：给定一个二阶系统，在过阻尼情况下，1）试证明：系统的输出响应 函数是单调函数；2）请问：输出曲线是否一定是单调减的？请说明原因。
21
时间常数定义
时间常数定义
暂态项具有指数形式Aemt，当 m=-a(a>0) 为负实数时，Ae-at 具有如 图3.3 所示的曲线形式（假定A=1）
矢量
c(t )ss C cos(t ) Re(Ce j e jt ) Re(Ce jt )
c(t)ss 的 n 阶微分为
D n c(t ) ss Re[( j) n Ce jt ]
2
稳态响应
稳态响应：正弦输入
Dnc(t )ss Re[( j)n Ce jt ]
系统的有效阻尼常数
m1, 2
b1 j 2b2
2 4b2b0 b1 jd 2 4b2
b1 2 b2b0
阻尼常数的临界值
b1 b1 b1 2 b2b0
令其 为零
定义阻尼比：
和无阻尼振荡频率（自然频率）：
n
b0 b2
18
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
稳态响应
稳态响应：
(**)
c(t ) ss
bq t q b2t 2 b0 b1t 2! q!
输入信号与假设的解
微分方程
系数 b0, b1, ……, bq 可以通过令方程左右两端具有关于 t 的相同阶次 项的相应系数相等而计算得到
方程(*)右端，t 的最高阶数是 k，因此，t k 肯定也出现在方程的左 端
VJ LJ ( j ) 3 m ( j ) ( j ) 2 m ( j ) d m jm ( j ) d p p x( j ) K BC C
2010年厦门大学考研真题 信号与系统及答案解析
厦门大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析科目代码：847 科目名称：信号与系统招生专业：通信与信息系统、信号与信息处理、电子与通信工程（专业学位）一、（20分）已知二阶系统如题1图所示，若VV (00)=55VV ，ss LL (00)=1100AA ，试求零输入响应VV (tt )。
V(t)i C (t)i R (t)1/24ohm【考查重点】：这道题主要考查第二章的微分方程式的建立和求解，以及零输入相应的求解，属于基础题。
【答案解析】： 解：由图可得：⎩⎪⎨⎪⎧CC ddddttVV (tt )=zz CC (tt )−VV (tt )=LL ddddtt zz LL (tt )VV (tt )=zz RR (tt )RR zz LL (tt )=zz CC (tt )+zz RR (tt )整理消去变量可得到CC dd 22VV (tt )+1dd VV (tt )+1VV (tt )=0即dd 2ddtt 2VV (tt )+12ddddtt VV (tt )+36VV (tt )=0解特征方程式αα2+12αα+36=0得特征根： αα1=αα2=−6因此可得到VV (tt )=(CC 1tt +CC 2)ee −6tt又因为zz LL (tt )=CCdd ddtt VV (tt )+1RR VV (tt )=2ddddttVV (tt )+24VV (tt )将VV (0)=5VV ，zz LL (0)=10AA 代入得到：�VV (0)=CC 2=5zz LL (0)=2(CC 1−6CC 2)+24CC 2=10⟹�CC 1=−25CC 2=5所以，VV (tt )=(−25tt +5)ee −6tt二、（两小题，每题10分，共20分）用图解法直接画出输出波形。
（1）（10分）yy (tt )=ff (tt )∗hh (tt )∗hh (tt )，ff (tt )与hh (tt )的波形如题2（1）图所示。
信号与系统微分方程式的经典解法
供依据。
研究展望
数值解法研究
随着计算机技术的发展，数值解法在求解微分方程式中扮演着越来越重要的角色。未来可 以进一步研究数值解法的精度、稳定性和收敛性等问题，提高求解效率和质量。
符号解法研究
符号解法能够提供微分方程式的解析解，有助于深入理解和分析系统的动态行为。未来可 以进一步研究符号解法的算法和软件实现，拓展其应用领域。
信号与系统微分方程式的经 典解法
• 引言 • 经典解法概述 • 分离变量法 • 积分因子法 • 待定系数法 • 数值解法 • 解的稳定性与收敛性分析 • 应用实例与展望
01
引言
背景介绍
01
信号与系统微分方程式是描述信 号传输和处理过程的重要数学模 型。
02
在通信、控制、图像处理等领域 ，微分方程式被广泛用于描述信 号的动态变化和传输过程。
VS
分析
将 $u(x, t) = X(x)T(t)$ 代入原方程，得到 $X''(x)T(t) = c^2 X(x)T''(t)$，进一步化简 得到 $X''(x) = c^2 X(x)$ 和 $T''(t) = 0$， 分别求解得到 $X(x)$ 和 $T(t)$ 的表达式， 最终得到原方程的解。
微分方程在信号处理中的应用
描述信号的时域特
性
微分方程可以描述信号在时间上 的变化规律，如信号的幅度、频 率和相位等。
信号滤波和处理
通过求解微分方程，可以对信号 进行滤波、去噪和增强等处理， 提高信号质量。
系统分析和控制
微分方程可以用于分析系统的动 态特性和稳定性，为控制系统设 计和优化提供依据。
02
适用范围和限制
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(2)
当et e t时, 很明显, 可选r t Be t。 这里，B是待定系数。 代入方程后有：
Be t 2 Be t 3 Be t e t e t
上面求出的齐次解 rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解
r t Ai e i t rp t
p 1
B1 cos t B2 sin t
p p 1 1 2
t e
sin t B t B t cos t D t D t
p 1 2
B p t B p 1 e t cos t D p t D p 1 e t sin t
例2-2-3
d3 d2 d 求微分方程 3 r t 7 2 r t 16 r t 12r t et dt dt dt 的齐次解。
系统的特征方程为
3 7 2 16 12 0
特征根
2 3 0
2
1 2重根 , 2 3 因而对应的齐次解为
信号与系统
§2.3 微分方程的求解
主要内容
复习求解系统微分方程的经典法 求解系统微分方程的经典法
求解系统微分方程的方法
分析系统的方法：列写方程，求解方程。
列写方程 : 根据元件约束,网络拓扑约束 经典法 应 零输入响应和零状态响 零输入 : 可利用经典法求解 解方程 零状态 : 利用卷积积分法求解 变换域法
1
将et t 2代入方程右端, 得到 t 2 2t , 为使等式两端 平衡，试选特解函数式
rp t B1t 2 B2 t B3
这里 , B1 , B2 , B3为待定系数。 将此式代入方程得到
3 B1t 2 4 B1 3 B2 t 2 B1 2 B2 3 B3 t 2 2t
求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
kt A e k 注意重根情况处理方法。
n k 1
特
全
解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应 为 t 0 时的方程的解，初始条件 2 n 1 d r ( 0 ) d r ( 0 ) d r ( 0 ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n 1 初始条件的确定是此课程要解决的问题。
rh t A1t A2 e 2 t A3e 3 t
例2-2-4
d 2 r t d r t d et 给定微分方程式 2 3r t et 2 dt dt dt 1 et t 2 ; 2 et et , 分别求两种情况下此 如果已知：方程的特解。
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
3 B1 1 4 B1 3 B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
联解得到
1 2 10 B1 , B2 , B3 3 9 27
1 2 2 10 rp t t t 3 9 27
所以，特解为
i 1 n
1 t 于是，特解为 e 。 3
1 B 3
几种典型激励函数相应的特解
激励函数e(t) 响应函数r(t)的特解
E (常数)
B(常数)
B1t p B2 t p1 B p t B p1 Be t
tp e t
cos t sin t
t e
p t p t