水动力学基本微分方程
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水动力常数
水动力常数是指水在流动过程中，单位时间内水体受到的阻力与惯性力的比值。
它反映了水流在某一特定方向上的流动特性，可以用来描述水流的速度、方向以及水流的稳定性。
水动力常数的计算公式为：K = μ* λ* L^3 / D
其中，μ是黏性系数，是流体黏附于物体表面的能力；λ是水流方向的长度，L是流体的体积，D是流体的黏度。
这些参数都与流体的性质和流动状态有关。
具体来说，当水在管道、湖泊、河流等中流动时，会受到周围环境的影响，包括水流的速度、压力、温度等。
这些因素会影响水流的稳定性，进而影响水动力常数的大小。
水动力常数越大，说明水流受到的阻力越大，惯性力越小，水流越稳定；反之则相反。
在实际应用中，水动力常数可以用来评估水流的稳定性、预测水流的流向和速度、优化水利设施的设计等。
例如，在水利工程中，可以通过调整管道的形状、大小、水流方向等因素来改变水动力常数，从而优化水流的效果。
此外，水动力常数还可以用来评估湖泊、河流等水体的生态稳定性，为环境保护和生态修复提供依据。
总之，水动力常数是描述水流特性的重要参数之一，它与流体的性质、流动状态以及周围环境等因素有关。
通过了解水动力常数的变化规律和应用范围，可以更好地理解和应用水流现象，为水利工程、环境保护等领域提供重要的参考依据。
第3章流体力学连续性方程微分形式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
du p p p du d y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt d
<I> <II> <III>
p 2、均匀不可压缩流体，即=Const； <II>= d ( )
中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。 受力分析(x方向为例)： 1.表面力
z
A'
D' M p(x,y,z) B' N
C'
p dx p x 2
dz dx D dy A
O
o’
p dx p Cx 2
B
x
∵理想流体，∴=0
左表面
y
p dx P p A ( p ) dydz M M 2 x p dx 右表面 P p A ( p ) dydz N N 2 x
2 2 2 2 2 2 ，例： 拉普拉斯算符 x y z 2
2 2 2 u u u x x x u x 2 2 2 x y z 2
第三节 流体动力学基本方程式
第四节 欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三 项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分， 只能在一定条件下积分。 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
du p p p du du y x 1 z ( Xdx Y Zdz dy ) ( dx dy dz ) dx dy d x y z dt dt dt
水动力学基本微分方程
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
无量纲，大部分含水层 介于10-5～10-3之间
物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱 体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位 时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水：
①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
s表示；
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部
从上游断面流入：(q dq x)dt
dx 2
从下游断面流出：(q dq x)dt
dx 2 在∆t时间内，垂直方向的
补给量为：Wx dt
由于潜水面的上升而 引起的均衡区内的水的增 量为：
H x dt
t
其差 dq x dt dx
根据连续性原理，上面两个增量应相等，即
q W H
x x K K t
式中：：水位下降时称为给水度，水位上升时称为饱和差；
W：降雨入渗强度（+）或蒸发强度（—）； h：含水层厚度； H：含水层的水位（平均值）； K：含水层渗透系数；
注意：
a.Ｈ为整个含水层厚度上的平均值； b.Ｈ、h均为未知，所以该方程为二阶非线性偏微分方程； c.该方程不适于水力梯度较大地段；不能计算任一点的Ｈ。
o
dx
x
y
在dt内，均衡单元贮存量的变化量为:
《地下水动力学》课程总结
应用
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
水动力学基本
3.2.3 流线与迹线
一、流线 1.定义：流线是同一时刻由液流中许多质点组
成的线，线上任一点的流速方向与该线在该点 相切。流线上任一点的切线方向就代表该点的 流速方向，则整个液流的瞬时流线图就形象地 描绘出该瞬时整个液流的运动趋势。
3.2.3 流线与迹线
一、流线
流线微分方程式：
y
ux uy uz 1 dx dy dz dt
量，简称压能。
u2 2g — 不计射流本身重量和空气阻力时，以断面流速u 为初速的铅直上升射流所能达到的高度，水力学中称流
速水头，表示单位重量液体动能。
测压管水头—表示断面测压管水面相对于基准面的 高度，表明单位势能，以Hp表示：
Hp
z
p
断面总水头—表明单位总能量，以H表示：
H z p u2
以个别液体运动质点为对象.研究给定质点在整 个运动过程中的轨迹.各个质点运动状态总和构 成整个液体运动.
点—线—面 运动轨迹 运动要素
四、局限性： 液体质点运动轨迹非常复杂，实用上不需要知 道某一质点的运动轨迹，因此水力学上不常采 用此方法。
3.1.2 欧拉法
一、定义： 直接从流场中每一固定空间点的流速分布入手 ，建立速度、加速度等运动要素的数学表达式 ，来获得整个流场的运动特性。
3.恒定元流连续性方程：
根据质量守恒定律，单位时间内流进dA1的质量 等于流出dA2的质量：
ρ1u1 dA1＝ρ2u2 dA2＝常数 对于不可压缩液体，ρ1＝ρ2＝常数，则有：
u1 dA1＝u2 dA2＝dQ＝常数 恒定元流连续性方程
4.恒定总流连续性方程： 因总流是无数元流的集合体，因此,对上式在总流 过水断面上积分：
uz t
(ux
第4章流体动力学基础1
2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）
水力学PPT课件
dp (Xdx Ydy Zdz)
就是说，静水压强的的分布规律完全是由单位
质量力决定的。
第二章 水静力
学 由于密度可视为常数，式子（XdxYdy Zdz)
也是函数U（x,y,z)的全微分即：
dU Xdx Ydy Zdz
则函数U（x,y,z)的全微分为：
dU U dx U dy U dz
p dx x
Y
六面体左右两面的表面力为：
( p 1 p dx)dydz 2 x
( p 1 p dx)dydz 2 x
第二章 水静力
学
Z
另外作用在微小六面体上的质
量力在X轴向的分量为：
A(x,y,z) N
M dz
dy
X • dxdydz
O
dx
X
Y
根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为
零，即：
(
⑵专门水力学：为各种工程实践服务
第一章 绪
二、论水力学和流体力学
水力学：以水为研究对象，在理论上遇到困难 时， 通过观测和实验的方法来解决问题。 流体力学：以一般流体（液体和气体）为研究对象 ，偏重于从理论概念出发，掌握 流体运动的基本 规律，但解决实际 工程时，会遇到很大的困难， 在应 用上受到一定的限制。
§2-1 静水压强及其特
性 一、压强的定义： 单位面积上所受的压力
公式 p P 平均压强
A
p lim P A 0 A
单位：N/m2 （Pa）
点压强
二、静水压强的特性
第一特性：静水压强垂直于作用面，并指 向作用面。
第二章 水静力 学
证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体
P Ⅰ
N
AB
Ⅱ τ
地下水动力学地下水流基本微分方程及定解条件(1)
嫁到多孔介质固体骨架上，增大有效应力，压缩多孔介质，结果使含 水层介质厚度变薄和空隙率n变小，同时从孔隙中释放地下水； ➢ p减少多孔介质固体颗粒也会膨胀,而有效应力增大又会影响固体颗 粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体颗粒的压缩性 比多孔介质要小得多，因此通常忽略多孔介质固体颗粒的压缩性。
——多孔介质中孔隙压缩系数 （Compressibility of the pores of a porous medium），表 示多孔介质中孔隙的压缩性的指标。n——多孔介质的孔隙度。
1-8
因
，故
。
1-9
水的压缩方程 多孔介质的压缩方程
dp 1 dV
V V p
V
1 dVb d Vb
➢ 潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏 干作用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，由于包气 带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后现象。
➢ 当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降 部位引起重力排水，用给水度表示重力排水的能力；在下 部饱水部分则引起弹性释水，用贮水率* 表示这一部分的 释水能力。
yxtznzyxzvyvxvzyx????????????????????????????二化简方程左端项当渗流满足达西定律且取坐标与各向异性主轴方向一致有zhkvyhkvxhkvzzzyyyxxx???????????????????????????????????????????????xhkxxhkxxhkxxhkxxhkxxvxxxxxxxxxxx??????由于在一般情况下水的密度变化很小可视?近似不变故xhkxxvxxx???????????渗流连续性方程化简yxtznzyxzvyvxvzyx????????????????????????????二化简方程左端项zhkvyhkvxhkvzzzyyyxxx????????????同理zhkzzvyhkyyvzzzyyy????????????????????xhkxxvxxx??????????两边代入水均衡方程有xxyyzzhhhkkkxyzxxyyzzhznxyt???????????????????????????????????????thnztzn?????????????渗流连续性方程化简两边同除以????ns??thzhkzyhkyxhkxszzyyxx??????????????????物理意义
——多孔介质中孔隙压缩系数 （Compressibility of the pores of a porous medium），表 示多孔介质中孔隙的压缩性的指标。n——多孔介质的孔隙度。
1-8
因
，故
。
1-9
水的压缩方程 多孔介质的压缩方程
dp 1 dV
V V p
V
1 dVb d Vb
➢ 潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏 干作用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，由于包气 带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后现象。
➢ 当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降 部位引起重力排水，用给水度表示重力排水的能力；在下 部饱水部分则引起弹性释水，用贮水率* 表示这一部分的 释水能力。
yxtznzyxzvyvxvzyx????????????????????????????二化简方程左端项当渗流满足达西定律且取坐标与各向异性主轴方向一致有zhkvyhkvxhkvzzzyyyxxx???????????????????????????????????????????????xhkxxhkxxhkxxhkxxhkxxvxxxxxxxxxxx??????由于在一般情况下水的密度变化很小可视?近似不变故xhkxxvxxx???????????渗流连续性方程化简yxtznzyxzvyvxvzyx????????????????????????????二化简方程左端项zhkvyhkvxhkvzzzyyyxxx????????????同理zhkzzvyhkyyvzzzyyy????????????????????xhkxxvxxx??????????两边代入水均衡方程有xxyyzzhhhkkkxyzxxyyzzhznxyt???????????????????????????????????????thnztzn?????????????渗流连续性方程化简两边同除以????ns??thzhkzyhkyxhkxszzyyxx??????????????????物理意义
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Q y dy 沿y方向流入单元体的水量： (Qy y 2 )dt
流出： (Q Qy dy)dt y
y 2
沿z方向流入单元体的水量： v2 dx dy dt 流出：v1 dx dy dt
流入量－流出量＝：
Q x x方向： dxdt x
y方向： Q y y dydt
2 H 2 H 2 H s H 2 2 2 K t x y z
２.对于二维的情况，常用 和T表示(
各项均乘以m）
H H H (Tx ) (Ty ) ， x x y y t 2 H 2 H H 当Tx Ty T时, 则 2 2 x y T t
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) s x x y y z z t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
a
o
b a dy
x y Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量 a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
Qx (Qx dx)dt x
Q ,通过 x dt
dt时段内分别沿oy、 oz进入单元的水量为
z
c
d
c d
dz
Qx Qx dx x
a.忽略弱透水层的弹性释水；
b.水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中 中取一微分柱体（其长宽分别为dx、 dy，高为含水层厚度m）作为均衡单元。下面分析在 dt时段内，微分柱体的水均衡问题。
P(x，y）
设P( x, y)位于柱体中心，
Qx dx 沿x方向流入单元体的水量： (Qx x 2 )dt Qx dx )dt 流出：(Qx x 2
K1 m1
因为 物理意义：
T 2 B
K1 v1 ( H H1 ) m1
当主含水层和相邻含水层间的水头差等于一个 长度单位时，通过单位面积含水层上的越流量。 越流系数反映越流量的大小， 越大，相同水
头下的越流量也越大。
四、潜水含水层中渗流基本微分方程
（一）Dupuit假定
Ｂ1、Ｂ2分别称为上、下两弱透水层的越流因素
则上式为： 2 H 2 H H1 H H 2 H H 2 2 2 2 x y T t B1 B2
越流因素Ｂ是反映弱透水层隔水性能的参数。Ｂ越 大，越流量Ｑ越小，对于隔水层Ｂ无穷大，越流量 为零。
２.越流系数（Coefficient of leakage）
潜水面通常不是水平面，潜水含水层中存在着流速的 垂直分量，潜水面本身又是渗流区边界，随时间而变化。 为了建立潜水含水层中渗流基本微分方程，引出了Dupuit 假定： 假设潜水面比较平缓，潜水面上任意一点P有：
J dH Sin , ds
由于 很小， tg sin
相当于忽略了渗透速度的垂直分量 Vz ，
-5～10-3之间 无量纲，大部分含水层 介于 10
物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱
体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位
时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水： ①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
s表示；
2 2 2
5.若化为柱坐标（三维各向同性介质）
1 H 1 2 H 2 H s H (r ) 2 2 2 r r r r z K t
三、越流含水层中渗流基本微分方程
（一）什么是越流？
1.半承压含水层：一个主含水层的上层和（或）下层为弱透 水层，主含水层通过弱透水层与相邻含水层发生水力联系， 但它本身具有承压性，主含水层称为半承压含水层。
2.越流：当半承压含水层与相邻含水层间存在水头差时，地 下水便通过弱透水层从高水头含水层向低水头含水层产生 垂向流动，这种现象称为越流。 简言之，相邻含水层在水头差的作用下，通过弱透水 层与主含水层发生水力联系的现象称为越流。
越流的方向：由两相邻含水层的水位决定。
（二）越流含水层中渗流基本微分方程 1.假定
当含水层中的水头降低（或升高）一 个单位时，单位时间内在单位体积含水层 中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水 层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存） 的水量，称为贮水率,也称单位贮存量， 量纲为［L-1］。
２.贮水系数（ storage coefficient ）
s m
m为含水层厚度，用于二维流计算。
③ 为常数（constant）；
均衡区
在渗流场中取一无限小的平行六面体，作为均衡单元， 如图示，六面体边长分别为dx、dy、dz，下面分析dt时 段内，均衡单元中的质量守恒问题。
均衡期
依据质量守恒和能 量守恒定律，建立承 压含水层中渗流基本 微分方程。 Qx
z
c
d
b dx
c d
dz
Qx Qx dx x
z方向： (v2 v1 ) dx dy dt
H dxdydt 单元体内贮存量的变化为： t
根据水均衡原理得：
Q y Qx H dxdt dydt (v2 v1 ) dx dy dt dxdydt x y t
H Qx T dy x H Qy T dx y H2 H v2 K2 m2 H H1 v1 K1 m1
上式中，若介质为均质各向同性介质， T＝Constant
K2 2 H 2 H K1 H 2 ( H1 H ) (H 2 H ) 2 Tm1 Tm2 T t x y
式中：Ｔ为主含水层的导水系数 Ｋi，mi分别为弱透水层的渗透系数和厚度
定义： B1 Tm1 K1 B2 Tm2 K2
Q y Qx Qz H 化简为： ( dx dy dz) s dxdydz x y z t
根据达西定律：
H Qx K xx dydz x H Q y K yy dxdz y H Qz K zz dxdy z
Qx H ( K xx )dydz x x x Q y H ( K yy )dxdz y y y Qz H ( K zz )dxdy z z z
３.当含水层有垂直水量交换时，其量常用Ｗ表示，称 为源（汇）项，含水层的源（汇）项可是t和位置的 函数 W=W(x,y,z,t)。
当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时， Ｗ为负，称为汇； 当给含水层中注水或从垂直方向有水流入含水层时， Ｗ为正，称为源；
三维：
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) W s x x y y z z t
2
H H 1 H 这时有： 2 2 x y a t
2 2
H 4. 对于稳定流， 0 t
可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分 方程。 对于均质各向同性的三维流来说：
H H H 2 2 0 通常称为laplace 方程 2 x y z
p p h
图
当从含水层中抽水、水头下降△h时，
( P rh) ( rh) 两个物理过程
（1）H下降△h，水体积膨胀，从而释放出一定 体积的水； （2）σ 保持不变，骨架所受压力增加，因为固 体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加 引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下 水被挤出。 这两点就是弹性释水的机理。
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部 分给水能力用给水度 （Specific yield）表示； 给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单 位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的 水量。
4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， s 为压力变化所给出的水量， 为重力疏干排出的水量； ② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关， 给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；
H Qx K B h x
h-含水层厚度，当隔水底板水平时，h = H
（二）潜水含水层中渗流基本微分方程
1.方程的建立
在Dupuit假定下，考虑一维问题，取平行于xoz平 面的单位宽度进行研究。 首先取一微分柱 体（其长度为∆x，宽 为１，高为整个含水 层厚度）作为均衡单 元，下面分析在dt时 段内，微分柱体的水 均衡问题。
第二章
水动力学基本微分方程
2-1
地下水动力学基本微分方程
一、含水层的弹性理论
1.含水层的弹性释水（以承压水为例）
从承压含水层中抽出的水，由两部分组成 含水层所贮存水的弹性释放 侧向补给（来自远方） 现取一处于平衡状态的承压含水层柱体。设含水层 上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为 σ ，骨架上的反压强为 ，水的顶托力为P。 当水处于平衡状态时，
从上游断面流入： (q dq x )dt
dx 2
从下游断面流出： (q
在∆t时间内，垂直方向的 补给量为：
③ 弹性释放瞬时完成；重力疏干具明显的滞后效应； ④ 数量级： s 约10-5～10-3； 约0.1～0.3； ∵ ＞＞ s
流出： (Q Qy dy)dt y
y 2
沿z方向流入单元体的水量： v2 dx dy dt 流出：v1 dx dy dt
流入量－流出量＝：
Q x x方向： dxdt x
y方向： Q y y dydt
2 H 2 H 2 H s H 2 2 2 K t x y z
２.对于二维的情况，常用 和T表示(
各项均乘以m）
H H H (Tx ) (Ty ) ， x x y y t 2 H 2 H H 当Tx Ty T时, 则 2 2 x y T t
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) s x x y y z z t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
a
o
b a dy
x y Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量 a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
Qx (Qx dx)dt x
Q ,通过 x dt
dt时段内分别沿oy、 oz进入单元的水量为
z
c
d
c d
dz
Qx Qx dx x
a.忽略弱透水层的弹性释水；
b.水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中 中取一微分柱体（其长宽分别为dx、 dy，高为含水层厚度m）作为均衡单元。下面分析在 dt时段内，微分柱体的水均衡问题。
P(x，y）
设P( x, y)位于柱体中心，
Qx dx 沿x方向流入单元体的水量： (Qx x 2 )dt Qx dx )dt 流出：(Qx x 2
K1 m1
因为 物理意义：
T 2 B
K1 v1 ( H H1 ) m1
当主含水层和相邻含水层间的水头差等于一个 长度单位时，通过单位面积含水层上的越流量。 越流系数反映越流量的大小， 越大，相同水
头下的越流量也越大。
四、潜水含水层中渗流基本微分方程
（一）Dupuit假定
Ｂ1、Ｂ2分别称为上、下两弱透水层的越流因素
则上式为： 2 H 2 H H1 H H 2 H H 2 2 2 2 x y T t B1 B2
越流因素Ｂ是反映弱透水层隔水性能的参数。Ｂ越 大，越流量Ｑ越小，对于隔水层Ｂ无穷大，越流量 为零。
２.越流系数（Coefficient of leakage）
潜水面通常不是水平面，潜水含水层中存在着流速的 垂直分量，潜水面本身又是渗流区边界，随时间而变化。 为了建立潜水含水层中渗流基本微分方程，引出了Dupuit 假定： 假设潜水面比较平缓，潜水面上任意一点P有：
J dH Sin , ds
由于 很小， tg sin
相当于忽略了渗透速度的垂直分量 Vz ，
-5～10-3之间 无量纲，大部分含水层 介于 10
物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱
体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位
时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水： ①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
s表示；
2 2 2
5.若化为柱坐标（三维各向同性介质）
1 H 1 2 H 2 H s H (r ) 2 2 2 r r r r z K t
三、越流含水层中渗流基本微分方程
（一）什么是越流？
1.半承压含水层：一个主含水层的上层和（或）下层为弱透 水层，主含水层通过弱透水层与相邻含水层发生水力联系， 但它本身具有承压性，主含水层称为半承压含水层。
2.越流：当半承压含水层与相邻含水层间存在水头差时，地 下水便通过弱透水层从高水头含水层向低水头含水层产生 垂向流动，这种现象称为越流。 简言之，相邻含水层在水头差的作用下，通过弱透水 层与主含水层发生水力联系的现象称为越流。
越流的方向：由两相邻含水层的水位决定。
（二）越流含水层中渗流基本微分方程 1.假定
当含水层中的水头降低（或升高）一 个单位时，单位时间内在单位体积含水层 中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水 层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存） 的水量，称为贮水率,也称单位贮存量， 量纲为［L-1］。
２.贮水系数（ storage coefficient ）
s m
m为含水层厚度，用于二维流计算。
③ 为常数（constant）；
均衡区
在渗流场中取一无限小的平行六面体，作为均衡单元， 如图示，六面体边长分别为dx、dy、dz，下面分析dt时 段内，均衡单元中的质量守恒问题。
均衡期
依据质量守恒和能 量守恒定律，建立承 压含水层中渗流基本 微分方程。 Qx
z
c
d
b dx
c d
dz
Qx Qx dx x
z方向： (v2 v1 ) dx dy dt
H dxdydt 单元体内贮存量的变化为： t
根据水均衡原理得：
Q y Qx H dxdt dydt (v2 v1 ) dx dy dt dxdydt x y t
H Qx T dy x H Qy T dx y H2 H v2 K2 m2 H H1 v1 K1 m1
上式中，若介质为均质各向同性介质， T＝Constant
K2 2 H 2 H K1 H 2 ( H1 H ) (H 2 H ) 2 Tm1 Tm2 T t x y
式中：Ｔ为主含水层的导水系数 Ｋi，mi分别为弱透水层的渗透系数和厚度
定义： B1 Tm1 K1 B2 Tm2 K2
Q y Qx Qz H 化简为： ( dx dy dz) s dxdydz x y z t
根据达西定律：
H Qx K xx dydz x H Q y K yy dxdz y H Qz K zz dxdy z
Qx H ( K xx )dydz x x x Q y H ( K yy )dxdz y y y Qz H ( K zz )dxdy z z z
３.当含水层有垂直水量交换时，其量常用Ｗ表示，称 为源（汇）项，含水层的源（汇）项可是t和位置的 函数 W=W(x,y,z,t)。
当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时， Ｗ为负，称为汇； 当给含水层中注水或从垂直方向有水流入含水层时， Ｗ为正，称为源；
三维：
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) W s x x y y z z t
2
H H 1 H 这时有： 2 2 x y a t
2 2
H 4. 对于稳定流， 0 t
可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分 方程。 对于均质各向同性的三维流来说：
H H H 2 2 0 通常称为laplace 方程 2 x y z
p p h
图
当从含水层中抽水、水头下降△h时，
( P rh) ( rh) 两个物理过程
（1）H下降△h，水体积膨胀，从而释放出一定 体积的水； （2）σ 保持不变，骨架所受压力增加，因为固 体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加 引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下 水被挤出。 这两点就是弹性释水的机理。
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部 分给水能力用给水度 （Specific yield）表示； 给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单 位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的 水量。
4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， s 为压力变化所给出的水量， 为重力疏干排出的水量； ② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关， 给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；
H Qx K B h x
h-含水层厚度，当隔水底板水平时，h = H
（二）潜水含水层中渗流基本微分方程
1.方程的建立
在Dupuit假定下，考虑一维问题，取平行于xoz平 面的单位宽度进行研究。 首先取一微分柱 体（其长度为∆x，宽 为１，高为整个含水 层厚度）作为均衡单 元，下面分析在dt时 段内，微分柱体的水 均衡问题。
第二章
水动力学基本微分方程
2-1
地下水动力学基本微分方程
一、含水层的弹性理论
1.含水层的弹性释水（以承压水为例）
从承压含水层中抽出的水，由两部分组成 含水层所贮存水的弹性释放 侧向补给（来自远方） 现取一处于平衡状态的承压含水层柱体。设含水层 上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为 σ ，骨架上的反压强为 ，水的顶托力为P。 当水处于平衡状态时，
从上游断面流入： (q dq x )dt
dx 2
从下游断面流出： (q
在∆t时间内，垂直方向的 补给量为：
③ 弹性释放瞬时完成；重力疏干具明显的滞后效应； ④ 数量级： s 约10-5～10-3； 约0.1～0.3； ∵ ＞＞ s